高等量子力学 位置表象和动量表象
量子力学中几种表象及其之间的关系
量子力学中几种表象及其之间的关系摘要体系的态可以用以坐标为变量的波函数ψ(x,t)来描写，力学量则以作用在这种波函数上的算符（量子力学中的算符代表对波函数的一种运算）来表示，这是量子力学中态和力学量的一种具体表述方式。
态还可以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状态。
微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示形式称为表象。
常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。
而研究量子力学规律的各种表示形式以及这些不同形式之间的变换的理论，则称为表象理论。
关键词态的表象 坐标表象 动量表象 Q 表象 算符表象 角动量表象 正文体系的态既可用以x （表示全部坐标变量）为变量的波函数ψ(x,t)来描写，也可用以动量p 为变量的波函数c(p,t)来描写。
ψ(x,t)和c(p,t)之间的变换关系是式中 是动量的本征函数，dxx t x t p c dp x t p c t x p p )(),(),()(),(),(*ψ⎰=⎰=ψψψ/2/1)2(1)(ipx p ex -=πψ称ψ(x,t)是在坐标表象中的波函数，而c(p,t)是同一态在动量表象中的波函数。
由ψ(x,t)可知，粒子坐标在x 到x+dx 之间的概率c 由(p,t ）可知，粒子动量在p 到p+dp 之间的概率如果ψ(x,t)所描写的状态是具有动量p ’的自由粒子的状态，即ψ(x,t)=ψp ’(x,t),则在动量表象中，粒子具有确定动量p ’的波函数是以动量p 为变量的δ函数。
那么，态在任意力学量Q 的表象中的描写方式又是什么样呢？ 设力学量Q 具有分立的本征值Q1,Q2,…Qn …，对应的本征函数为u1(x),u2(x),…,un(x),…,并组成正交归一的完全系。
将态在坐标表象中的波函数ψ(x,t)按{un(x)}展开成dx t x dx t x w 2),(),(ψ=dpt p c dp t p w 2),(),(=dx e x x dx x t x t p c t iEp pp p p/''')()()(),(),(-**⎰=ψ⎰=ψψψ/')'(t iEp e p p --=δ)()(),(x u t a t x n nn ∑=ψ上式两边乘 ，再对x 变化整个空间积分 即其物理意义是，体系处在ψ(x,t)所描述的状态时，力学量Q 具有确定值Qn 的几率为可以用一组数代替ψ(x,t)描写该状态。
波函数从坐标表象到动量表象的变换
在量子力学中，波函数是用于描述量子粒子的状态的数学函数。
波函数在不同的表象下具有不同的表示形式，其中最常见的是坐标表象和动量表象。
波函数从坐标表象到动量表象的变换可以通过傅里叶变换来实现。
首先，考虑一维情况下的波函数。
在坐标表象下，波函数是对位置的函数，通常记作ψ(x)，其中x表示位置。
而在动量表象下，波函数是对动量的函数，通常记作φ(p)，其中p表示动量。
傅里叶变换是将一个函数从一个表象转换到另一个表象的数学工具。
对于波函数的变换，傅里叶变换可以写为：φ(p) = _{-}^{} (x) e^{-i} dx其中，e表示自然对数的底，i表示虚数单位，（h/2π）。
这个公式告诉我们，如果我们知道了波函数在坐标表象下的形式（即ψ(x)），就可以通过上述公式计算出波函数在动量表象下的形式（即φ(p)）。
需要注意的是，傅里叶变换是一个复变换，即波函数在坐标表象和动量表象下一般都是复数。
因此，我们可以把φ(p)看作是对应于动量为p的粒子的相对概率幅的复数表示。
对于三维情况下的波函数变换，原理类似，只是需要考虑三个空间坐标和动量的傅里叶变换。
在实际应用中，傅里叶变换和逆傅里叶变换是成对使用的。
如果我们知道波函数在动量表象下的形式（即φ(p)），就可以通过逆傅里叶变换计算出波函数在坐标表象下的形式（即ψ(x)）。
逆傅里叶变换的公式为：ψ(x) = _{-}^{} (p) e^{i} dp其中，ψ(x)表示波函数在坐标表象下的形式，φ(p)表示波函数在动量表象下的形式。
总之，波函数从坐标表象到动量表象的变换是通过傅里叶变换来实现的。
傅里叶变换可以将波函数在不同表象下的表示进行转换，并在量子力学的研究中具有重要的应用价值。
通过波函数的变换，我们可以从不同角度理解和描述量子体系的性质和行为。
量子力学 态和力学量的表象
ˆ x, h u ( x ) Q u ( x ) ， Q n n n i x
{un }构成正交归一的完全系，
( x, t ) an (t )un ( x),
n
an (t ) un* ( x) ( x, t )dx bn (t ) un ( x)( x, t )dx
的表示，
L a1 (t ) a (t ) F2 n L 2 M M Fmn L an (t ) M M F1n
ˆ 在 Q 表象中的矩阵元，矩阵 F 为 F ˆ 在 Q 表象中 Fmn 即为 F
F 。
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
ˆ所 由此可知 | an |2 是在 ( x ,t ) 所描写的态中测量力学量 Q
得结果为 Qn 的几率。 数列， ，就是 ( x, t ) 所描写的态在 Q 表象中的表示。可写为矩阵形式，
a1 (t ) a (t ) 2 M ， an (t ) M
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
的共轭矩阵是一个行矩阵，用 † 标记，
* * * † (a1 (t ), a2 (t ),L , an (t ),L ) 。
量子力学中的位置与动量算符
量子力学中的位置与动量算符量子力学是描述微观世界的一种物理学理论，它的基础是量子力学方程和算符。
在量子力学中，位置和动量是两个基本物理量，它们的算符分别是位置算符和动量算符。
本文将详细介绍量子力学中的位置与动量算符，包括它们的定义、性质以及它们之间的关系。
一、位置算符在经典力学中，位置是一个确定的物理量，可以用一个具体的数值来描述。
然而，在量子力学中，位置并不是一个确定的量，而是一个算符，即位置算符。
位置算符用符号x表示，它的定义是：x = iħ∂/∂p其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，∂/∂p表示对动量p求偏导数。
位置算符的本质是描述粒子在空间中的位置分布。
位置算符的性质有以下几点：1. 位置算符是厄米算符。
厄米算符是指满足厄米共轭关系的算符。
对于位置算符x来说，它的厄米共轭算符是x†=x。
2. 位置算符的本征态是位置本征态。
位置本征态是指满足位置本征值方程的态。
对于位置算符x来说，位置本征值方程是x|x⟩=x'|x⟩，其中x'是位置本征值，|x⟩是位置本征态。
3. 位置算符的本征值是连续的。
在经典力学中，位置是连续变量，而在量子力学中，位置算符的本征值也是连续的。
二、动量算符动量是一个描述物体运动状态的物理量，它的算符是动量算符。
动量算符用符号p表示，它的定义是：p = -iħ∂/∂x其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，∂/∂x表示对位置x求偏导数。
动量算符的本质是描述粒子的运动状态。
动量算符的性质有以下几点：1. 动量算符是厄米算符。
对于动量算符p来说，它的厄米共轭算符是p†=p。
2. 动量算符的本征态是动量本征态。
动量本征态是指满足动量本征值方程的态。
对于动量算符p来说，动量本征值方程是p|p⟩=p'|p⟩，其中p'是动量本征值，|p⟩是动量本征态。
3. 动量算符的本征值是连续的。
与位置算符类似，动量算符的本征值也是连续的。
三、位置与动量算符的关系在量子力学中，位置算符和动量算符之间存在一种重要的关系，即不确定关系。
量子力学的表象与表示
第五章 量子力学的表象与表示§5.1 幺正变换和反幺正变换1, 幺正算符定义对任意两个波函数()r ϕ 、()r ψ，定义内积(,)()()r r dr ϕψϕψ*=⎰(5.1)物理含义是：当微观粒子处在状态()r ψ时，找到粒子处在状态()rϕ的概率幅。
依据内积概念，“幺正算符”[定义1]：“对任意两个波函数ϕ、ψ，如果算符ˆU恒使下式成立 ˆˆ(,)(,)UU ϕψϕψ= (5.2) 而且有逆算符1ˆ-U 存在，使得1ˆˆUU I -=1，称这个算符U ˆ为幺正算符。
” 算符Aˆ的厄米算符ˆA +定义为：ˆA +在任意ϕ、ψ中的矩阵元恒由下式右方决定ˆˆ(,)(,)AA ϕψϕψ+= (5.3) 由此，幺正算符Uˆ[定义2]： “算符Uˆ为幺正算符的充要条件是 I U U U U==++ˆˆˆˆ (5.4a) 或者说1ˆˆ-+=U U。
” (5.4b) 证明：若ˆˆ(,)(,)UU ϕψϕψ=成立，则按+U ˆ定义，由于ϕ、ψ任意，所以I U U=+ˆˆ 又因为Uˆ有唯一的逆算符1ˆ-U 存在，对上式右乘以1ˆU -，即得 1ˆˆUU +-= 这就从第一种定义导出了第二种定义。
类似，也能从第二种定义导出第一种定义。
从而，幺正算符的这两种定义是等价的。
2, 幺正算符的性质幺正算符性质：i, 幺正算符的逆算符是幺正算符1这里强调1ˆU-既是ˆU的右乘逆又是ˆU 的左乘逆。
注意，无限维空间和有限维空间情况不同，任一算符ˆU 的逆算符有4种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，它俩必相等，唯有此时可简单地写为1ˆU-；4）既无左逆也无右逆。
ˆˆˆˆ(,)(,)(,)UU U U ϕψϕψϕψ+==证明：设 1-+=U U ， 则()()(),111--+++-===U U U U 所以1-U 也是幺正算符。
ii, 两个幺正算符的乘积算符仍是幺正算符.证明：设Uˆ、V ˆ是两个幺正算符，则 ()111ˆˆˆˆˆˆ()UVV U V U UV -+++--=== 所以V Uˆˆ也是个幺正算符。
量子力学第四章-表象理论(3部分)
∑a
n
n
*(t )an (t ) + ∫ aq *(t )aq (t )dq = 1
|aq(t)|2dq 是在 是在Ψ(x,t) 态中 测量力学量 Q 所得结果在 q → q + d q之间的几率。 之间的几率。 之间的几率
在这样的表象中， 在这样的表象中，Ψ 仍可以用一个列矩阵 表示： 表示：
a1(t) a 2(t) M Ψ = a n (t) M aq (t)
将Ψ(x,t) 按 Q 的 本征函数展开： 本征函数展开：
Ψ( x, t ) = ∑ an (t )un ( x)
n
证：
1 = ∫ Ψ * ( x, t )Ψ( x.t )dx
=
an (t ) = ∫ un * ( x)Ψ( x.t )dx
a1(t), a2(t), ..., an(t), ... ...,
∫
ψ p * ( x )ψ p ′ ( x ) e
− iE p′ t / h
dx
所以，在动量表象中， 所以，在动量表象中， 具有确定动量p 的粒 具有确定动量p’的粒 子的波函数是以动量 函数。 p为变量的δ- 函数。 换言之， 换言之，动量本征函 数在自身表象中是一 函数。 个δ函数。
=e
− iE p′ t / h
假设只有分立本征值将q表象的表达方式代入一力学量算符的矩阵表示22211211nm是其矩阵元写成矩阵形式q表象的表达方式11101011计算中使用了公式由此得l在自身表象中具有最简单形式是一个对角矩阵对角元素就是1力学量算符用厄密矩阵表示dx所以厄密算符的矩阵表示是一厄密矩阵
第四章 态和力学量表象
§1 态的表象 §2 算符的矩阵表示 §3 量子力学公式的矩阵表述 §4 Dirac 符号 §5 Hellmann – Feynman 定理及应用 §6 占有数表象 §7 么正变换矩阵
量子力学的表象变换
量子力学的表象变换量子力学是描述微观粒子行为的理论，它具有许多奇特的特性和规律。
其中一个重要的概念就是表象变换，它是一个数学工具，用于描述在不同的观测角度下，量子系统的性质和行为。
量子力学的表象变换可以理解为从一个视角切换到另一个视角，就像在观察一幅画时，可以从不同的角度看到不同的景象一样。
这种变换的目的是为了更好地理解和描述量子系统的行为。
在量子力学中，存在多种不同的表象，如波函数表象（也称为薛定谔表象）和狄拉克表象（也称为自由度表象）。
在波函数表象中，系统的状态由波函数描述，而在狄拉克表象中，系统的状态由态矢量描述。
表象变换的基本原理是变换矩阵的应用。
这个变换矩阵是一个数学工具，用于在不同的表象之间建立联系。
它可以将一个态矢量或波函数从一个表象变换到另一个表象，从而描述量子系统在不同观测角度下的行为。
在量子力学中，表象变换有两种基本形式，即基态表象变换和幺正变换。
基态表象变换是将系统的基矢量从一个表象变换到另一个表象，通过变换矩阵的作用，得到新的基矢量。
幺正变换则是将整个系统的态矢量或波函数进行变换，通过变换矩阵的作用，得到新的态矢量或波函数。
通过表象变换，我们可以更好地理解和描述量子系统的性质和行为。
例如，在不同的表象下，量子系统的能量、动量和位置等物理量的表达式可以有所不同。
通过表象变换，我们可以在不同的表象下计算这些物理量，从而得到更全面的量子力学描述。
除了基本的表象变换之外，量子力学还涉及到更复杂的变换，如相互作用表象变换和相互作用绘景变换。
这些变换是为了更好地描述量子系统在相互作用下的行为和演化。
表象变换在量子力学中发挥着重要的作用。
它不仅为我们提供了一种理解和描述量子系统行为的数学工具，也为实际应用提供了基础。
例如，在量子计算和量子通信中，表象变换可以用于描述和控制量子态的演化和传输，从而实现更高效和安全的量子信息处理。
最后，需要注意的是，量子力学的表象变换本质上是一种数学工具，它并不涉及具体的实验操作。
波函数从坐标表象到动量表象的变换
波函数从坐标表象到动量表象的变换波函数从坐标表象到动量表象的变换是量子力学中一个重要的数学工具。
在坐标表象中，波函数描述了系统在坐标空间上的性质；而在动量表象中，波函数描述了系统在动量空间上的性质。
这两种表象之间的变换是通过傅里叶变换来实现的。
在坐标表象中，波函数表示为Ψ(x)，代表了粒子在不同位置上的概率幅。
而在动量表象中，波函数表示为Φ(p)，代表了粒子具有不同动量的概率幅。
波函数的坐标表象到动量表象的变换可以通过下述公式实现：Φ(p) = 1/√(2πħ) ∫ Ψ(x) e^(-ipx/ħ) dx这个公式表示，将坐标表象的波函数Ψ(x)用傅里叶变换转化成动量表象的波函数Φ(p)。
其中，p代表了动量，ħ是普朗克常量除以2π。
这个变换公式可以解释为如下的数学过程：波函数Ψ(x)与平面波函数e^(-ipx/ħ)做内积，然后对整个坐标空间进行积分，得到动量表象的波函数Φ(p)。
傅里叶变换是一种线性变换，它将一个函数转换成了另一个函数。
在量子力学中，它被广泛应用于坐标表象和动量表象之间的变换中。
需要注意的是，坐标表象和动量表象是正交归一的，所以在进行坐标表象到动量表象的变换时，需要保证波函数在归一化过程中的一致性。
在实际应用中，波函数从坐标表象到动量表象的变换在许多量子力学问题中起着重要作用。
例如，在求解势场中的粒子运动问题时，可以通过将波函数从坐标表象变换到动量表象，使得问题的求解更加简单。
总之，波函数从坐标表象到动量表象的变换是通过傅里叶变换来实现的。
这个变换公式是量子力学中重要的数学工具，广泛应用于描述粒子在坐标空间和动量空间上的性质。
这个变换过程在实际应用中具有重要的意义，可以简化问题的求解过程。
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x x ( x x )dx
x x ( x x )
（7.14）
这是算符X的本征矢量，即位置表象的基矢的正交归一化关系。
我们用全部正交归一化的 x 构成位置表象的基矢， 讨论各种 矢量和算符在这一表象中的矩阵，由于本征值是连续的，我们只 能用本征值本身作为矩阵的行和列的编号；因而，这种矩阵将不 是离散的而是连续的，这种矩阵称为连续矩阵。
设 是一个归一化的矢量， 归一于 1 或归一于 函数均可， 则利用（7.12）式得
dx x x x x dx x x
（7.15）
x 就是矢量 在基矢 x 上的分量， x 取一切值的 x 全体完全 等价于矢量 ， 称为矢量 的位置表象。 x 是本征值 x 的函数，
Axx '
x
（7.23）
下面看几个最基本的矢量和算符在位置表象中的具体形式。 首 先 看 位 置 表 象 的 基 矢 。 设 讨 论 一 个 具 体 的 矢 量 x0 ， 令
x0 ，则其位置表象为
dx x x 1
（7.12） （7.13）
dp p p 1
因而可以建立位置表象（x表象）和动量表象（p表象）。我们
首先讨论位置表象。
现将（7.12）式两边作用于 X 的一个特定的本征矢量 x ，得
x dx x x x
x ' dx x x x '
A, f B [ A, B] f B
特别地，
[ x, p ] 2ip x 2 x
2 x 2
§7 位置表象和动量表象
在这一节和以后的两节里，我们根据量子力学的五个基本 原理，讨论几个重要的算符
位置算符 X 、 动量算符 P 、角
动量算符 L ，以及各种情况下的哈密顿 H 的本征值、本征矢量以
为此，用动量 P 构造一个幺正算符 Q（） ：
Q（） e
i P
式中 是一个实数。 Q（） 是一个幺正算符，其伴算符为
Q（） Q ( )
1
e
i P
（7.5）
f ( B) B
Q（） X 的对易关系是 与
[ A，f ( B)] [ A, B] f B [ A, B]
（7.11）
由此知动量算符 P 的本征值也可取全部实数， 而其全部本征矢量
p 也可以由一个本征矢量出发，用上升算符 T
T ( ) 构造出来。
( ) 或下降算符
§7-2 位置表象和动量表象
算符 X 和 P 都具有连续的本征值谱， X 和 P 的本征矢量组
x 和 p 都是完全的。
A, B n n 1CB n1 B n1 A, B nn1 n 1CB n1 CB n1 nCBn1
② 设 则
f B f n B n
n
[ A, B n ] nCBn 1
f B
df B nf n B n 1 dB n
x x x0 ( x x0 )
其次看位置算符X在自己表象中的矩阵形式：
X x ' x x ' X x x x ' x x ( x x ' )
（7.24）
这是一个对角矩阵， 其对角元是相同的行和列序号乘以 函数型 的无穷大；由于连续矩阵是以本征值本身作为行和列的序号的， 所以所有的对角元都是本征值（乘以 函数） ，这与离散情况有 类似之处。
X x xx
P p p p
（7.1） （7.2）
我们的任务是：求出本征值x和p分别可以取哪些值，以及相 应的本征矢量之间的关系。 讨论的根据是我们的原理1、原理2和原理3，其中唯一的定 量关系是原理3中的对易关系：
X , P i
（7.3）
X x xx
我们首先设位置 X 有一个本征值 x 和一个相应的归一化的本征 矢量 x 满足（7.1）式，然后去求其它的本征值和本征矢量。
及相关的问题； 同时建立一些常见的表象并将初等量子力学中常 见的表现形式同本书联系起来。
本节主要内容：
§7-1 本正值谱和本征矢量
§7-2 位置表象和动量表象
§7-3 位置表象的函数形式
§7-4
xyz 表象和 r 表象
§7-5 函数空间的性质*
§7-1 本正值谱和本征矢量
首先研究单粒子的一维运动， 讨论位置 X 和动量 P 的本征值 谱和本征矢量。设 x 和 p 为归一化的本征矢量， x 和 p 是本征 值，则有
( p p ) p p p x x p dx
e
i px
x p e
i ( p p ) x
i px
0x 0 p
e
i px
0x 0 p
2
dx 0 x 0 p
2
e
1
dx
0x 0 p
0x 0 p
2
2 ( p p)
1 2
[ A, B n1 ] CB n2 B[ A, B n2 ]
B A, B n 1
将n 换成（ n － 1） ，就有
[ A, B n ] CB n1 CB n1 B 2 [ A, B n2 ] 2CB n1 B 2 [ A, B n2 ]
重复这种递推过程（ n － 1）次，即得
1
e
i
将 Q（） [即（7.5）式]作用于 x ，由于 Q（） Q（ ） ，可得
Q（）x x x Q（） x
（7.9）
可见算符 Q（） 是右矢 x 的下降算符，而 Q（） 是左矢 x 的下
降算符。
有了算符 Q（） Q（） 和 ，就可以从任何一个本征矢量出
( x )Q（）x
（7.6）
x 由此式可见，若 x 是 X 的本征矢量，则 Q（） 也是本征矢量；
若 x 是 X 的一个本征值，则 x 也是一个本征值。既然 为任意 实数时上述推理均能成立，就可以得出结论：位置算符 X 的本征 值可取一切实数。这一结论说明，在量子力学中粒子位置的可取 值与经典力学中情况并无不同。
（7.20）
算符A在位置表象中的矩阵元为
Ax ' x x ' A x
（7.21）
A 可以写
算符对矢量的作用也可以写成矩阵形式， 例如 成
x ' x ' A dx x ' A x x
x dxAx x x
' '
（7.22）
写成连续矩阵形式即为
' A ' xx x
'
（7.17）
* x ''
（7.18）
而内积 可以写成矩阵形式：
* dx x x x x dx
（7.19）
即
* x
'
* x ''
x ' x ''
n A, f B A, f n B f n A, B n n n
n
f n nCBn1 Cf B [ A, B] f B
①为②的特例。 由①的结果，若令
A x, B p x， 则
n n [ x, p x ] nip x 1
为求动量本征矢量 p 在位置表象的形式 x p ，令
0 x x 0 表示算符 X 的本征值为零的本征矢量，0 p p 0
表示算符 P 的本征值为零的本征矢量：
x p x T ( p) 0 p x e
xe
e
i px
i pX
0p
T ( ) p p
T （） e
i Px
i px
0p e
i px
x 0p
i px
i X
,
0 x Q( x) 0 p e
0x e
0p
(7.25)
e
i px
0x 0 p
在上面的计算中， 除应用了 x 和 p 的升降算符外， 还要注意到： 一个算符（或算符的函数）向右遇到自己的本征右矢或向左遇到 自己的本征左矢时，该算符都可以用相应的本征值代替。现在问 题的关键是要计算 0 x 0 p 等于什么。利用（7.12）式，有
i ( x x) x i ( x x) x
(7.27) (7.28)
注意 函数是偶函数，上面的结果是：若对行序号 x 微分则取 负号，对列序号 x 微分则取正号。
动量表象也可以类似地讨论，特别是讨论动量表象中矢量
x 和算符 X 的矩阵形式；其中 p x 即是（7.26）式的复共轭，
动量算符P在位置表象中是一个连续矩阵，有
Pxx x P x x p dp p P p dp p x
px px 1 e p ( p p)e dp dp 2
i
i
i
x p
1 2
e
i px
( x x ) p 1 1 e pdp i 2 ( x x) 2 2 x
发，求出位置算符 X 的全部本征矢量 x 。
对于动量P也可以作类似的讨论。引入算符