高等量子力学习题.
高等量子力学-习题及答案 ch02
第二章量子力学测量问题一、从不同角度，量子测量有不同分类，常见的分类有哪些。
(1)一般测量、投影测量和POVM；(2)直接测量和间接测量；(3)完全测量与不完全测量。
二、理想测量的三个基本要求是什么。
(1)当t=0，即探测体和被测系统相互作用之前，探测体制备在量子态ρp，同时量子客体制备在ρ0态。
(2)使用仪器测量之前，量子客体和探测体在t=0时开始相互作用，在t=τ>0时结束作用。
(3)此方法的第三步是，一个经典仪器及在探测体上的测量可以用冯·诺依曼投影假设的理想测量描述。
三、什么叫标准量子极限，标准量子极限可以逾越吗？其中，叫作标准量子极限。
标准量子极限可以逾越吗?答案是肯定的。
在得到这个极限时用了不确定关系，但是二者是不相同的。
标准量子极限的具体数值依赖于量子态，与如何测量有关，而不确定关系是底线。
那么，在遵守不确定性原理的前提下如何使测量精度超越标准量子极限呢?目前有两种思路：一种是以牺牲共轭量一方为代价，去求得另一方的超精度测量，这即是压缩态的思想；另一种就是量子非破坏性测量(QuantumNon-DemolitionMeasurement，QND测量)。
四、什么是量子Zeno效应，在对量子系统进行连续测量时，测量设备一般以两种不同的方式反作用于量子系统，请简单描述。
量子Zeno效应是纯量子测量效应。
理论和实验都已经表明，频繁的测量能阻止不稳定量子系统的衰变或跃迁。
极端而言，连续进行的量子测量将使不稳定的量子系统稳定地保持在其初态上，这种不稳定初态的存活概率在连续测量下将成为百分之百，这就是量子Zeno 效应。
这种在古代哲学中提到的“飞矢不动”的佯谬，在量子系统中真的可以实现。
在对量子系统进行连续测量时，测量设备一般以两种不同的方式反作用于量子系统。
其一，它可以影响被测量的可观测值的期望值的演化。
这被称为“动力学反作用”，这种影响是可以预测的。
其二，测量设备以随机的方式扰动这个可观测量，增加它们的不确定性，从而造成对期.望值的随机偏离。
高等量子力学习题
高等量子力学习题班级成绩Chapter 7 晶体中电子在电场和磁场中的运动学号（the movement of crystal electron in electric姓名field and magnetic field）一、简要回答下列问题（answer the following questions）：1、何谓准自由电子？2、晶体中电子的速度是怎样描述的？证明对于能带中的电子，k 状态和－k状态的电子速度相等，方向相反。
3、何谓准动量？加速度和有效质量是怎样定义的？4、有效质量是否为电子的真实质量？引入有效质量的目的是什么？5、半导体和绝缘体的能带有何异同？6、当有电场后，满带中的电子能永远漂移下去吗？加电场后，空穴向什么方向漂移？二、解释下列物理概念（explain the following physics concepts）1、波包2、回旋共振和德?哈斯－范?阿尔芬效应3、金属与半金属三、已知一维晶格中电子的能带可写成 )2cos 81cos 87()(22ka ka ma k E +-=式中a 是晶格常数，m 是电子的质量，求1、能带宽度；2、电子的平均速度；3、在带顶和带底的电子的有效质量。
四、已知某简立方晶体的晶格常数为a ，其价电子的能带为B a k a k a k A E z y x +=)cos()cos()cos(1、已测得带顶电子的有效质量为22*2a m -= ，试求参数A ；2、求出能带宽度；3、求出布里渊区中心点附近电子的状态密度。
五、设电子等能面为椭球 222222312123()222k k k E k m m m =++外加磁场B 相对于椭球主轴方向余弦为,,αβγ，1、写出电子的准经典运动方程，2、求电子绕磁场的回转频率。
六、简述能带论的局限性。
高等量子力学练习题及答案解析
练习28.1 证明: ()[]()t G t G -=-++00证明: 根据公式(28.4)()()()00H t t ie t t it t G '--±'±='-θ可知()()00tH ie t it G-+-=θ()()()00H t i e t i t G ---+=-θ则()[]()()000tH i tH i e t ie t i t G θθ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-++()()()t G e t i H t i-==---00θ #28.2证明下列二式成立：()()()()⎰∞∞-±±±±--+-=-''dt 't t VG ''t t G 't t G 't t G 00()()()()⎰∞∞-±±±±--+-=-''dt 't ''t VG ''t t G 't t G 't t G 00证明：因为：()()()⎰∞+∞---±±π=-dE e E G 21't t G 't t E i()()()⎰∞+∞---±±π=-dE e E G 21't t G 't t E i00又因为：()()()()E VG E G E G E G 00±±±±+=即有()()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G dE e E VG E G 21't t G dE e E VG E G 21dE e E G 21dE e E VG E G E G 21dE e E G 21't t G '00't t E i00't t E i 0't t E i 0't t E i00't t E i00--+-=π+-=π+π=+π=π=-±∞+∞-±±∞+∞---±±±∞+∞---±±∞+∞---±∞+∞---±±±∞+∞---±±⎰⎰⎰⎰⎰⎰又因为()()()()()()()E VG E G E G E VG E G E G E G 0000±±±±±±±+=+=同理可证得()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G '00--+-=-±+∞∞-±±±⎰综上所述()()()()()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G ''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G '0'00--+-=---+-=-±∞+∞-±±±±+∞∞-±±±⎰⎰两式成立。
（完整版）高等量子力学习题汇总
（完整版）⾼等量⼦⼒学习题汇总第⼀章1、简述量⼦⼒学基本原理。
答：QM 原理⼀描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的⽮量,只相差⼀个复数因⼦的两个⽮量，描写挺⼀个物理状态。
QM 原理⼆ 1、描写围观体系物理量的是Hillbert空间内的厄⽶算符(A)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、⼀个任意态总可以⽤算符A ?的本征态ia 展开如下：ψψi i i iia C a C==∑；⽽物理量A 在ψ中出现的⼏率与2i C 成正⽐。
原理三⼀个微观粒⼦在直⾓坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[]ij j i i p x δη=?,? 原理四在薛定谔图景中，微观体系态⽮量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔⽅程给()()t H t ti ψψ?=??η在海森堡图景中，⼀个厄⽶算符()()t A H ?的运动规律由海森堡⽅程给出：()()()[]H A i t A dt d H H ?,?1?η= 原理五⼀个包含多个全同粒⼦的体系，在Hillbert 空间中的态⽮对于任何⼀对粒⼦的交换是对称的或反对称的。
服从前者的粒⼦称为玻⾊⼦，服从后者的粒⼦称为费⽶⼦。
2、薛定谔图景的概念？答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态⽮随时间⽽变⽽x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来⾃()t ψ⽽x 来⾃x ，这叫做薛定谔图景.3、已知.10,01= =βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=±>=±x S 4、已知：P 为极化⽮量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为：求证：答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2则：P x =2(x 1x 2+y 1y 2) P y =2(x 1y 2-x 2y 1) P z =x 12+y 12-x 22-y 22 P 2=P x 2+P y 2+P z 2=4(x 1x 2+y 1y 2)2+4(x 1y 2-x 2y 1)2+(x 12+y 12-x 22-y 22)2=4(x 12x 22+y 12y 22+x 12y 22+x 22y 12)+(x 14-2x 12x 22-2x 12y 22-2x 22y 12-2y 12y 22-2x 22y 22+y 14+x 24+y 24) =(x14+2x 12x 22+2x 12y 22+2x 22y 12+2y 12y 22+2x 22y 22+y 14+x 24+y 24) =(x 12+y 12+x 22+y 22)2 =(|C 1|2+|C 2|2)2 5、6、证明不确定关系.————答案:对于两个可观测量A ∧和B ∧成⽴不等式：（1）先证明⼀个引理----schwarz 不等式：对于两个态⽮|α?和|β?，必有：（2）此不等式类似于对实欧式空间的两个⽮量a,b ，必有：（3）对任意复常数λ，我们有：（4）取||βαλββ??=-，代⼊上式可得（2）.现在证明（1）式：取（5）这⾥⽤态|?来强调对任何ket ⽮量都适⽤，于是（2）式给出：（6）因：（7）其中对易⼦,,A B A B ∧∧∧∧=???是⼀个反厄⽶算符，它的平⽅值恒为纯虚数，⽽反对易⼦},A B ∧∧是厄⽶算符，它的平⽅值恒为实数，于是：的模的平⽅等于。
高等量子力学试题库
高等量子力学试题库一、简述题1. (§1.4)试以一维线性谐振子基函数所构成的空间为例，说明一般矢量空间的维数与位形空间维数的区别 2. (§2.4)试述幺正算符的性质 3. (§3.2)试述本征子空间的概念 4. (§3.3)试述厄米算符完备组的概念和建立厄米算符完备组的必要性 5. (§6.2)试述量子力学的基本原理 6. (§11)试述相互作用绘景与薛定谔绘景、海森伯绘景的区别和联系7. (§17.2)设氢原子的定态狄拉克方程为 ψψβαE r e mc P c =-+⋅)ˆ(212 ，为求氢原子哈密顿算符Hˆ 确切的本征矢量，试确定包含Hˆ在内的厄米算符完备组 8. (§19)若系统的哈密顿具有下列对称性（1）空间反演（2）空间平移（3）空间转动（4）SO(4)（5）时间平移，试分别给出这些对称性所带来的守恒量9. (§21.2)对于 Fermi 子，试讨论由时间反演引起的简并。
（提示：参阅曾书335页） 10. (§23)试述角动量耦合与3j ，6j 和9j 符号之间的关系11. (§23.7)对具有两个价电子的原子，设两电子的轨道和自旋角动量分别为21,L L 和21,S S，试在希尔伯特空间中给出两组可能的耦合基矢 12. (§34.4)试给出位置表象中的Hartree-Fock 方程并叙述其物理意义 二、证明题1. (§1.1)利用矢量空间的加法运算法则证明零矢量是唯一的2. (§1.1)利用矢量空间的数乘运算法则证明：若0=a ψ，则0=a 或0=ψ3. (§1.2)对于任意ψ和ϕ，试证：ϕψϕψ+≤+4. (§1.5)试证明：若三个右矢ψ、ϕ和χ满足χϕψ=+，则有χϕψ=+5. (§2.3)证明定理：在复矢量空间中，若算符A 对其定义域中的任意ψ满足0=ψψA ，则必有0=A6. (§2.4)证明定理：算符H 为厄米算符的充要条件是对其定义域中的所有矢量ψ满足=ψψH 实数7. (§2.4)证明：若I U U =+，则对任意ψ和ϕ，U 满足ϕψϕψ=U U ，进而证明，幺正变换不改变矢量的模8. (§2.4)设U 是幺正算符，试证明：在矢量空间中，若{}iν是一组基矢，则{iU ν也是一组基矢9. (§2.5)证明投影算符是厄米算符，并由全空间的投影算符证明基矢的完全性关系 10. (§3.1)证明：复空间中厄米算符的本征值都是实数11. (§3.1)证明：厄米算符属于不同本征值的两个本征矢量互相正交12. (§3.1)证明：若B A ,两算符相似，则二者有相同的本征值谱，且每一本征值都有相同的简并度 13. (§6.6)设i a 是算符A 属于本征值i a 的本征函数，即满足i i i a a a A =，且定义物理量在状态ψ中的平均值为ψψA A =。
高等量子力学30节练习
a b a b a b a b 0 a b a† b a† b a b b b
(31.4) (31.6)
N b a† b a† b N b a† b a b a† b a† b a† b a b
2 3
3 1 3
1 类似可证： 112 112 , 111 111 1 3 (2)对于费米子系统 1 p 123 132 1 P 1 1 1 1 2 2 3 2 3 3 2 3 3! p 1 1 1 1 1 2 2 3 2 3 3 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 3 1 2 2 2 2 3 3 1 3 3! 1 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 2 3 1 1 2 1 2 2 1 2 3 3 3 3 1 1 2 1 2 2 3 2 3 3 1 3
(31.6)
a† b a† b a b a† b b b a† b a† b a b
(31.2)
a † b a † b a b b b a † b a † b a b
1 6
1 6
1 1 类似可证： 12 12 , 123 123 2 6
† 练习31.6 证明 N b 同 a b及 a b 的对易关系为(31.10)式 PF:已知 a† b a† b a† b a† b 0 (31.2)
d b d x d x x b b x † x x
1†
PF: N d bN b d ba b a b (31.21)
† x x d x a † b a b d b N N b †
高等量子力学-习题及答案 ch01
第一章量子力学基本概念和一般理论
一、量子态矢量的定义是什么。
描述微观粒子状态的态矢量ψ等符号代表一个复矢量，而y+是y的厄密共轭矢量或称“对偶矢量"。
用狄拉克符号记为|ψ>，表示波函数ψ的右矢；<ψ|表示左矢。
右矢和左矢是互相独立的，但存在如下关系：。
二、请简述线性算符的运算规则和性质。
(6)若由方程能够唯一地解出|ψ>，则可定义算符A的逆算符
，于是A'满足
(7)若，则U称为幺正算符。
(8)，表示算符A的函数。
三、幺正变换的基本性质有哪些。
幺正变换具有许多非常有意义的性质。
(1)幺正变换下两个态矢量的内积不变。
(2)幺正变换下算符方程的形式不变。
(3)幺正变换下力学量算符对应的平均值保持不变。
(4)幺正变换下算符的行列式不变。
(5)幺正变换下算符的本征值谱不变。
(6)幺正变换下算符的迹不变。
(7)利用上述性质(6)可以给出指数算符函数的一一个有用公式。
(8)可以证明，若算符R是厄米算符，即R=R+，则由它所生成的算符
四、时间演化算符U(t，t0)的基本性质有哪些。
1.初始条件
2.幺正性
3.因子化特性
4.时间反演特性
5.薛定谔绘景中的动力学方程
五、矢量空间中的如下运算规则有哪些。
六、什么叫密度矩阵？
如果采用一个具体表象，例如，F表象(分立情形，)，则与量子态|ψ>相应的密度算符可表示成如下矩阵形式，称为密度矩阵。
七、请列举混合态密度算符的性质。
高等量子力学练习3-5,4-4,4-5
( A − ai ) jiα
⇒ 它们线性无关，关于 正交 它们线性无关，关于j正交 则 ∑ ( A − a ) jiα ≠ 0 同（ ）矛盾， 矛盾，
j j
这种情况不可取
⇒ ( A − ai ) jiα = 0
A jiα = ai jiα
符合（ ② =0符合（ ） 符合
0 2 − 2 2 2
显然可验证: 显然可验证
M −1 = M †
(5)
0 2 0 0 −1 −1 M AM = 8 2 , M BM = −2 12 0 0
det S = ∏ S nn =∏ e
n
=e
i
∑ Hn
n
= exp ( i tr H )
附 ：
Hψ Sψ
( n)
= Hn ψ =e
iH
(n)
(n)
ψ
(n)
1 m m (n) =∑ i H ψ m m!
1 m m (n) iH n ( n) = ∑ i Hn ψ =e ψ m m!
矩阵的行列式和迹均与表象的选择无关，故上式适用于任何表象。 矩阵的行列式和迹均与表象的选择无关，故上式适用于任何表象。 算符的表象变换是一种相似变换。 二矩阵相似， 注：算符的表象变换是一种相似变换。若A、B二矩阵相似， 二矩阵相似
非简并
） :对n=4维空间 例:对n=4维空间
z
非简并
{ iα }
{
jβ
o x z
y
（简并）本征子空间(xoy) 简并）本征子空间
}
非简并
o x
y
非简并
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高等量子力学习题
1、 对于一维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作用是()
()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。
设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x e
i p
a a D -=⎪⎭
⎫ ⎝⎛= ˆexp 。
2、 当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。
3、 若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。
4、 给定算符B A ,，证明[][][]....,,!
21
,++
+=-B A A B A B Be
e A
A
ξξ。
5、 给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。
证明Glauber
公式C
A B C B
A B
A e
e e e
e e e
2
12
1
==-+。
6、 设U 为幺正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满足
122=+B A 和[]0,=B A 。
试找出A 和B ，并证明U 可以表示为iH e U =，H 为厄密
算符。
7、 已知二阶矩阵A 和B 满足下列关系：02
=A ，1=+++AA A A ，A A B +
=。
试证明
B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。
8、 对于一维谐振子，求湮灭算符a
ˆ的本征态，将其表示为谐振子各能量本征态n 的线性叠加。
已知1ˆ-=n n n a 。
9、 从谐振子对易关系[
]1,=+
a a 出发，证明a e ae e
a
a
a
a λλλ--=+
+。
10、 证明谐振子相干态可以表示为
0*a
a e
ααα-+=。
11、
谐振子的产生和湮灭算符用a 和+
a 表示，经线性变换得+
+=va ua b 和
++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满足关系122=-v u 。
试证明：对于算符b 的任
何一个本征态，2
=∆⋅∆p x 。
12、
某量子体系的哈密顿量为，()
223
2
35++++=
a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡++
+
a a aa
a a 。
试求该体系的能量本征值。
13、
用+
a
ˆ和a ˆ表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式
[]()
ˆ,0ˆ1ˆˆˆˆˆ,ˆ2
2
===+=++++
+a a
a a a a
a a
，
该单粒子态上的粒子数算符记为a a n ˆˆˆ+=。
求n ˆ的本征值，并计算对易式[][
]?ˆ,ˆ?,ˆ,ˆ==+
a n a n
14、
用+
a
ˆ和a ˆ表示玻色子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式 []1ˆˆˆˆˆ,ˆ=-=++
+
a a
a a a a
， 该单粒子态上的粒子数算符记为a a n
ˆˆˆ+
=。
计算对易式[]
()[],...3,2,1?,ˆ,ˆ?,ˆ,ˆ===+k a n a n k
k 。
15、
设有两个独立的谐振子组成一个体系，用+
+
2211ˆ,ˆ,ˆ,ˆa a a a
分别表示两个谐振子的产生和湮灭算符，满足对易关系[][]
1ˆ,ˆ,1ˆ,ˆ2211==+
+a a a a
，用222111ˆˆˆˆˆˆa a n a a n +
+==和表示粒子数算符。
在粒子数表象中，归一化本征态记为2121n n n n ⊗=。
令(
)
+
+
+=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=2121,a a a a a a ()为泡利矩阵σσ,2
1a a J +=。
求：（1）用+
+2211ˆ,ˆ,ˆ,ˆa a a a 表示出?,,,=±J J J J z y x
（2）证明这样定义的算符的全部代数性质； （3）求出z J J ,2
的本征值和共同本征态。
16、
设J 为角动量，在z J J ,2表象中定义矩阵(
)jm e
jm d i j
m m λ
λ-=''，其中λ为实
数。
当2
1
=j 时，求出这个矩阵的具体形式。
17、
在费米子体系中，场算符为()()
∑⋅=i
i i b r k i V
r ˆex p 1
ˆ
ψ
，其中算符i
b ˆ和+i b ˆ满足对易关系[]1ˆˆˆ
ˆˆ,ˆ=+=++
+
+i i i
i i
i b b b b b b 。
单个费米子自由运动时的哈密顿量为
22
222ˆˆ∇-==m
m p H 。
试推导N 个费米子组成的体系在二次量子化后的粒子数表象中的形式？。