高等量子力学-基本原理-2
高等量子力学内容介绍
4学时
♥ 均与经典力学的哈密顿形式密切相关 † 路径积分—源于经典力学的拉格朗日形式 ♥ 便于推广到相对论形式 ♥ 把含时与不含时问题纳于同一框架处理
♥ 便于考察量子学与经典力学之关系
相对论量子力学初步
• 6学时
• 14学时
角动量理论
• 角动量理论在分子原子原子核和基本粒子物理中有广 泛的应用.
• 10学时
二次量子化方法
使用产生算符合湮灭算符在对称化的希尔伯特空间处 理处理全同粒子系统的有效方法 • 二次量子化方法的基本概念 • 6学时
路径积分 路径积分方法的由来
●量子力学三种形式与经典力学的关系
† 矩阵力学—泊松括号→对易子
• 在五个基本原理的基础上建立量子力学的理论体系.
• 对量子力学的一些基本内容作简短的必要的重复,但主
要还是介绍属于高等量子力学的范围的新内容,如算符
的构造、代数运算、三种绘景、密度矩阵等
• 30学时
量子力学中的对称性
• 量子力学中对称性非常重要:
对称性的研究可以给出寻找运动规律的的某些线索； 对称性的存在,在未建立方程时,可以给解的形式以确定 的限制并将借进行分类； 薛定谔方程能精确求解的不多,据对称性分析可以确定 体系某些确定的知识—能级简并； 可使矩阵元的计算简化，为微扰计算提供合适的波函数； • 学习时空对称性与和他们相联系的守恒律
标准内容内容
量子力学中的对称性 角动量理论 二次量子化方法 路径积分 散射的量子理论 相对论量子力学初步
本课程教学内容安排
• • • • • • • • 希尔伯特空间 量子力学的理论结构 量子力学中的对称性 角动量理论 散射的量子理论 二次量子化方法 路径积分 相对论量子力学初步
高等量子力学_第二章_算符
条件（1） ：在值域中取一任意 ，证明在定义域有 存在：
1 AB AB
可见对于任意 ，确有 存在，这个 就是 B 。
条件（2） ：若 A 1 A 2 ，用 C 作用在此式两边：
CA 1 CA 2
但此式就是 1 2 ，条件(2)也得到满足，因此 A1 存在。
§2-2 算符的代数运算
在量子力学中，经常出现不可对易线性算符的代数运算， 在这一小节里，我们举几个较复杂的运算例子；并且用代数方 法证明两个常用的算符等式（2.9）和（2.14）两式。
设 A 和 B 为两个线性算符，互不对易。首先我们定义多重对 易式 [ Ai , B]和[ B, Ai ] ：
A A A A a A a
(2.1)
满足下列二条件的，称为反线性算符：
A A A A a A a
*
(2.2)
其中a是任意常数。在量子力学中出现的算符，绝大多数都是线 性算符，下面我们只讨论线性算符。 算符对其定义域中每一个右矢作用，都应有确定的结果。 定义一个具体的算符应当规定其定义域，并指出它对其定义域 中每一个矢量作用的结果。而确定一个具体的线性算符，只须 规定它对其定义域中的一组线性无关的右矢（例如一组基矢） 中每个右矢的作用结果即可。
A B
若两个算符 A和B 满足
[ A, B] AB BA
AB BA
则说这两个算符是可对易的，或称为两个算符对易。 定义： (2.2)
经常使用的几个对易关系：
ˆ ˆ ˆ ˆ [ F , G ] [G , F ]
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [F , G M ] [F , G ] [F , M ]
高等量子力学-基本原理-2要点
* dx
n
* dx 0
2。 完备性：
x C n n x x c x d
n
3.归一化条件：
n
| c n | 2 c d 1
2
4.平均值公式：
§7
全同性原理
(一) 全同粒子体系交换对称性 1.全同粒子
固有性质相同的粒子称为全同粒子 固有性质指的是：质量、电荷、自旋、磁矩、 宇称、寿命等 例：电子、质子、中子、超子、重子、轻子、 微子……同类核原子、分子…… 全同粒子的重要特点：在同样的物理条件下，它 们的行为完全相同，因此用一个全同粒子代替另 一粒子，不引起物理状态的变化
表示力学量的算符必须是线性厄密算符，而且有完备的本 征函数系。
ˆ的本征函数 力学量算符F {1 , 2 ,n }是正交归一的而且是完 备的 对于任意波函数有 ： r Cnn r
n
波函数完全描述了体系状态 若体系的状态已知，则体系的可以测量的力学量的可能测得值 的相应的概率就完全确定了。在这个意义上讲，波函数完全 描述了体系状态。
2．不可区分性 经典力学中，两物体性质相同时，仍然可以区分， 因各自有确定轨道。
位置 轨道 速度
1
2
微观体系（粒子），因为运动具有波粒二象性，无确 定轨道。粒子的位置是由波函数来决定。而波函数只 能提供粒子在每一个位置的概率。随着时间演变，几 个粒子的波函数会扩散蔓延，互相重叠。在波函数重 叠处就不能区分是哪个粒子。
4．全同粒子体系波函数的特性-交换对称性
设体系由N个全同粒子组成 以 q i 表示第i个粒子的坐标和自旋
qi (ri , si )
高等量子力学教学大纲
《高等量子力学》教学大纲一、课程信息课程名称：高等量子力学课程类别：素质选修课/专业基础课课程性质：选修/必修计划学时：64计划学分：4先修课程：无选用教材：适用专业：课程负责人：二、课程简介本课程系统和详细地讲述了量子力学的基本概念、原理、处理问题的方法和些重要理论问题。
课程共分8章，内容不仅包括传统的量子力学基本概念和一般理论、二次量子化方法、辐射场的量子化及其与物质的相互作用、形式制才理论、相对论量子力学，还包括丘些年发展起来的量子力学测量问题、开放量子系统动力学和开放系统退相干。
三、课程教学要求注：“课程教学要求”栏中内容为针对该课程适用专业的专业毕业要求与相关教学要求的具体描述。
“关联程度”栏中字母表示二者关联程度。
关联程度按高关联、中关联、低关联三档分别表示为“H”“M”或“L”。
“课程教学要求”及“关联程度”中的空白栏表示该课程与所对应的专业毕业要求条目不相关。
四、课程教学内容五、考核要求及成绩评定注：此表中内容为该课程的全部考核方式及其相关信息。
六、学生学习建议（一）学习方法建议1.依据专业教学标准，结合岗位技能职业标准，通过案例展开学习，将每个项目分成多个任务，系统化地学习。
2.通过每个项目最后搭配的习题，巩固知识点。
3.了解行业企业技术标准，注重学习新技术、新工艺和新方法，根据教材中穿插设置的智能终端产品应用相关实例，对已有技术持续进行更新。
4.通过开展课堂讨论、实践活动，增强的团队协作能力，学会如何与他人合作、沟通、协调等等。
（二）学生课外阅读参考资料《高等量子力学》，闰学群主编，2020年，电子工业出版社教材。
七、课程改革与建设通过引导式教学，设计包括引导问题、优化决策、具体实施、课后拓展等内容，培养学生的团结协作能力和勤于思考的习惯，避免重讲轻练、重知识轻能力的弊端。
与纠缠方面相关的内容，量子测量理论、量子开放系统理论等，以往国内少数高等量子力学教材对此只是粗浅地一捷，大部分内容甚至从未涉及。
高等量子力学考试知识点
1、 黑体辐射：任何物体总在吸收投射在它身上的辐射。
物体吸收的辐射能量与投射到物体 上的辐射能之比称为该物体的吸收系数。
如果一个物体能吸收投射到它表面上的 全部辐射，即吸收系数为 1 时，则称这个物体为黑体。
光子可以被物质发射和吸收。
黑体向辐射场发射或吸收能量 hv 的过程就是 发射或吸收光子的过程。
2、 光电效应（条件）：当光子照射到金属的表面上时，能量为 hv 的光子被电子吸收。
12临界频率 v 0 满足2 = ℎ −0 = 0⁄ℎ（1）存在临界频率 v 0，当入射光的频率 v<v 0 时，无论光的强度多大，都无光电 子逸出。
只有在 v≥v 0 时，即使光的强度较弱，但只要光照到金属表面上，几乎 在 10-9s 的极短时间内，就能观测到光电子；（2）出射的光电子的能量只与入射光的频率 v 有关，而与入射光的强度无关； （3）入射光的强度只影响光电流的强弱，即只影响在单位时间内由单位面积上 逸出的光电子的数目。
3、由于光子以光速运动，根据狭义相对论的质能关系式有2 = 2 4 + 2 2C 是光速， m 0 是光子的静质量，为零，因此得到光子的能量和动量的关系是=4、康普顿效应的推导（ P7）：康普顿效应还证实： 在微观的单个碰撞事件中， 能量守恒定律和动量守恒定律仍然成立。
5、薛定谔方程：6、概率流守恒定律概率流密度 7、一维无限深势阱（P31）0 2= − ( ∗ − ∗ )+ ∇ ∙ =ℎ22 +ℎ0 −=2ℎ8、束缚态：粒子只能束缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态。
一维无限深势阱给出的波函数全部是束缚态波函数。
从（2.4.6）式还可证明，当 n 分别是奇数和偶数时，满足{( −) = ( ) （n 为奇数）( −) = −( ) （n 为偶数）即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称这时的波函数具有偶宇称；当n是偶数时，波函数是 x 的奇函数，我们称这时的波函数具有奇宇称。
高等量子力学 教材
高等量子力学是研究微观粒子，如原子、分子、光子等行为的物理学分支。
这门学科主要关注量子系统中粒子的波粒二象性、不确定性原理、量子纠缠等现象。
高等量子力学教材通常包括以下主要内容：
1. 量子力学基本原理：介绍波函数、薛定谔方程、测量理论等基本概念。
2. 量子力学数学基础：涵盖复数、矩阵、线性代数、群论等数学工具。
3. 量子力学基本定理：阐述算符、本征值、本征函数等基本定理。
4. 量子力学近似方法：介绍微扰理论、量子力学中的近似方法等。
5. 量子力学中的特殊理论：涵盖相对论量子力学、量子场论等高级理论。
6. 量子力学应用：讲解原子物理、分子物理、核物理、粒子物理等领域中的具体应用。
7. 量子信息与量子计算：介绍量子比特、量子门、量子算法等概念。
高等量子力学教材的目的是帮助读者深入理解量子力学的基本原理和方法，为进一步研究物理学和其他相关学科打下坚实基础。
量子力学第二章波函数和方程.
（三） 自由粒子满足的方程
描写自由粒子波函数:
A
exp
i
(
p
•
r
Et )
应是所要建立的方程的解。
将上式对 t 微商，得：
i E
第二章 波函数 和 Schrodinger 方
程
§2.1 波函数的统计解释
子弹
光波
波：I≠I1+I2
光栅衍射
I Eo2
I Nh N
I大处 I小处 I=0
到达光子数多 到达光子数少 无光子到达
电子衍射
I | |2
IN
电子到达该处概率大 电子到达该处概率小 电子到达该处概率为零
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
电子穿过狭缝 １出现在Ｐ点
的几率密度
电子穿过狭缝 ２出现在Ｐ点
的几率密度
相干项 正是由于相干项的 出现，才产生了衍
射花纹。
一般情况下，如果Ψ1和Ψ2 是体系的可能状态，那 末它们的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是该体系的一个可能状态.
量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波
描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：
(r, t )
描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。
经典概念中 粒子意味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
高等量子力学田光善讲义
高等量子力学田光善讲义1. 量子力学简介量子力学是描述微观粒子行为的理论，也是现代物理学的基石之一。
它通过波函数描述粒子的状态，并通过算符描述物理量的测量。
量子力学的发展为我们认识微观世界提供了全新的视角。
2. 量子力学的基本原理2.1 波粒二象性根据量子力学的波粒二象性，微观粒子既可以表现为粒子，也可以表现为波动。
这种双重性质使得我们无法准确地确定粒子的位置和动量，而只能得到一定的概率分布。
2.2 波函数和波函数演化波函数是量子力学中描述粒子状态的数学工具，它可以通过薛定谔方程来演化。
波函数的模的平方给出了测量粒子处于某个状态的概率。
2.3 算符和物理量测量算符是量子力学中描述物理量的数学工具，它对波函数进行操作，得到物理量的期望值。
物理量的测量结果是随机的，符合一定的概率分布。
2.4 不确定性原理不确定性原理是量子力学的重要基本原理之一，它指出了我们无法同时准确测量粒子的位置和动量，或者能量和时间。
不确定性原理限制了我们对微观世界的认识。
3. 量子力学的数学形式3.1 希尔伯特空间希尔伯特空间是量子力学中描述波函数的数学空间，它是一个完备的内积空间。
在希尔伯特空间中，我们可以定义态矢量、算符和内积等概念。
3.2 算符和本征值问题算符在希尔伯特空间中是线性算符，它可以对态矢量进行操作。
本征值问题是求解算符的特征值和特征向量，它可以得到物理量的本征值和本征态。
3.3 规范化和正交归一化波函数的规范化是保证概率守恒的重要条件，它要求波函数的模的平方在整个空间上积分为1。
正交归一化是希尔伯特空间中的一组正交基的要求，它使得不同态矢量之间的内积为0或1。
4. 量子力学的应用4.1 原子物理学量子力学在原子物理学中有着广泛的应用，可以解释原子的能级结构、光谱现象等。
通过量子力学的计算，我们可以预测和解释实验结果。
4.2 分子物理学量子力学在分子物理学中的应用也非常丰富。
它可以描述分子的振动、转动和电子结构等性质，为化学反应的理解和控制提供了重要的理论基础。
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仅当 [Ô , Û] = 0 成立时, (Ô Û)+ = Ô Û 才成立。
证:
设
^
Q
为厄米算符，其本征方程
^
Q
*Q ^d(Q ^)*d
* d** d
（* 实数）
例
例
量子力学基本假定
量子力学中的力学量用线性厄密算符表示。
若力学量在经典力学中有对应的量,则在直角坐标系下 通过如下对应方式，改造为量子力学中的力学量算符：
力 对学 于量 任算 意F符 ˆ波的函本数 ：征有函r{数 1,2,Cnnn}r是 正交归一的而且备是的完
n
波函数完全描述了体系状态 若体系的状态已知，则体系的可以测量的力学量的可能测得值 的相应的概率就完全确定了。在这个意义上讲，波函数完全 描述了体系状态。
一些基本表达式
分立谱
本征值方程 ： 正交归一性 ：
高等量子力学
一、 量子力学的建立 二、 量子力学基本原理 三、 量子力学的理论方法 四、 量子力学的应用
二、 量子力学基本原理
§1 波函数的统计解释原理 §2 态叠加原理 §3 体系状态波函数满足薛定谔方程 §4 力学量用厄米算符表示 §5 体系状态波函数可用算符的
本征函数展开 §6 不确定度关系 §7 全同性原理
F F (r,p)
r r ˆ r p p ˆ i F F ( r ,p ) F ˆ F ( r ˆ ,p ˆ )
若力学量是量子力学中特有的 (如宇称、自旋 等），将由量子力学本身定义给出。
§5 体系状态波函数可用算符的 本征函数展开
表示力学量的算符必须是线性厄密算符，而且有完备的本 征函数系。
2。完备 ： 性
n*dx 0
x C nnxxcxd n
3.归 一 化：条 件
|cn |2 c2d1 n
4.平均值 ： 公 F 式 *F ˆdx
|cn|2nc2d n
6 不确定度关系
两力学量算符对易则同时有确定值；若不对易，一般来说，不 存在共同本征函数，不同时具有确定值。
问题：
两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟 不确定到什么程度？即不确定度是多少？
力学量算符
坐标算符 rˆ
动量算符 Pˆ 力学量算符
Fˆ rˆ , Pˆ
坐标表象
动量表象
rˆ r
Pˆi
rˆ i p Pˆ P
Fˆ r,Pˆ Fˆr,i
F ˆ rˆ,PF ˆ i ,P P
其中
i j k x y z
i j k P Px Py Pz
(二）算符的本征方程、本征值与本征函数
(2) 厄密算符
1. 定义:
满足下列关系 的算符称为 厄密算符.
d*Oˆd(Oˆ)*
2. 性质
性质 I: 两个厄密算符之和仍是厄密算符。
即
若
Ô + = Ô , Û+ = Û
则
(Ô +Û)+ = Ô + + Û+ = (Ô +Û)
或 Oˆ Oˆ
性质III: 厄米算符的本征值必为实数
性质 II: 两个厄密算符之积一般不是厄密 算符, 除非二算符对易。
E•t
2
力学量测量问题
一个粒子处于力学量Fˆ 的本征态态下 n(r)
测量该力学量时,所得结果是完全确定的,即为 F n
但如粒子处于非本征态 ( r ) C nn ( r )
即很多本征值Fn的本征态 n 的叠加,测量粒子的力学量Fˆ 时,
求和中所包含的力学量本征值Fn都有可能出现,出现的概率为| C n |2
注意
（1）以上所述力学量算符规则是对坐标表象而
言表；示对F(于rP 动)量中表的象坐，标表变示量力r 学换量成F坐的标算算符符是rˆ将i经典P
即 F(r,P)
F ˆ(r ˆ,P ) F (i P ,P )
（2）对于只在量子理论中才有，而在经典力学 中没有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。
F：
x C nn x
n
C n n * dx
处于
态时
，
测量
Fˆ 得到
的
n
概率是 C n 2
归一化条件 ： 平均值公式 ：
| cn |2 1
n
F
| cn |2 n
n
* Fˆ dx
连续谱 Fˆ
*d x c x d
（1）复共轭算符与厄密共轭算符
算符Û的复共轭算符 Û*就是把Û表达式中 的所有量换成复共轭.
例如: 坐标表象中
pˆ*(i)* ipˆ
算符 Ô 之厄密共轭算符 Ô + 定义: d *O ˆ d (O ˆ)*
~ 可以证明： Oˆ Oˆ *
可以证明: (Ô Â )+ = Â + Ô +
(Ô Â Û...)+ = ... Û+ Â + Ô +
当测量结果为某个本征值Fn时,粒子的状态就变为相应的
本征态 n ,
量子力学称之为量子态坍缩(collapse)
算符 Fˆ 作用在函数上，等于一常数 乘以
即 Fˆ 此称为算符 Fˆ 的本征方程
称为其本征值，为其本征函数。
如果算符 Fˆ描述力学量 F ，那么当体系处于 Fˆ
的本征态中时，力学量 F 有确定值，这个值就是Fˆ 属于该本征态的本征值。
该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系
(三) 厄密算符
§4 力学量用厄米算符表示
经典力学中物质运动的状态总用坐标、动量、角 动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量描述。
量子力学引入了波函数这样一个基本概念，以概 率的特征全面地描述了微观粒子的运动状态。但并不 能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了一个重 要的基本概念——算符，用它表示量子力学中的力学 量。
c * x x dx
处于 态时测量 Fˆ得到的值在
d 的概率是 c 2 d
c 2 d 1
F c 2 d
* Fˆ dx
分立谱和连续谱同时存在
力学量 F ˆ的算 本符 征值既 有有 连 ：分 续立谱又
1，2， ，n，
1。本征函数的 ： 正交归一性
n*mdx nm *dx
设二厄密算符对易关系为： F ˆG ˆG ˆF ˆik ˆ
有：
(F ˆ)2•(G ˆ)2 (k)2
4
其中： k*kˆd
不确定度关系
均方偏差
(F ˆ)2 (F ˆF)2
F2
2
F
坐标和动量的不确定度关系
x•px 2
海森堡的不确定原理于1927年3月23日发表 在《物理学杂志》上
随后海森堡又发现了能量与时间的不确定度关系