喀兴林高等量子力学习题6、7、8
量子力学练习题
量子力学练习题1、若?F 、?G均为厄米算符，则??F G 也为厄米算符（） 2、不同定态的线性叠加还是定态（） 3、若?A 与?B 对易，且?B 与?C 对易，则必有?A 与?C 对易（） 4、若两力学量算符?F 与?G 对易，则在任意态中，它们都有确定的值（）5、所谓全同粒子就是指所有性质均相同的粒子（）6、归一化波函数的模方2|(,)|r t ψ 表示时刻，r处粒子出现的概率（） 7. 设为()n x ψ一维线性谐振子的归一化波函数，则有*?()()nn x p x dx ∞-∞ψψ=?；*1?()()n n x px dx ∞+-∞ψψ=?8、称为隧道效应； 9、在2?L 和?z L 的共同本征态lmY 中，22??x y L L = 10、氢原子处于03232020(,)ra A r e Y θ?-ψ=态，则其最可几半径r =11、Planck 的量子假说揭示了微观粒子能量的特性。
12. 两个角动量11j =、212j =耦合的总角动量J = 和13. 量子力学几率守恒定律的微分形式和积分形式分别为14. 本征值方程的特点是什么？15. 全同性原理是16. 已知?d F x dx+=+，?d F x dx-=-，求??[,]?F F +-= 17. 求??[,()]?xf p = 18. 如果电子的质量、电荷和加速电压分别为m 、-e 、U ，则其德布罗意波长。
19.若Ψ1 ，Ψ2 ,..., Ψn ,...是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加Ψ= C 1Ψ1 + C 2Ψ2 + ...+ C n Ψn + ... (其中 C 1 , C 2 ,...,C n ,...为复常数)也是体系的一个可能状态。
（） 20.设氢原子处于态求氢原子的能量、角动量平方、角动量z 分量取值的情况和相应的概率P 以及各力学量的平均值。
()()()()()1101111,,,,22r R r Y R r Y ψθ?θ?θ?-=-221、简述量子力学的主要基本假定。
高等量子力学试题库
高等量子力学试题库一、简述题1. (§1.4)试以一维线性谐振子基函数所构成的空间为例，说明一般矢量空间的维数与位形空间维数的区别 2. (§2.4)试述幺正算符的性质 3. (§3.2)试述本征子空间的概念 4. (§3.3)试述厄米算符完备组的概念和建立厄米算符完备组的必要性 5. (§6.2)试述量子力学的基本原理 6. (§11)试述相互作用绘景与薛定谔绘景、海森伯绘景的区别和联系7. (§17.2)设氢原子的定态狄拉克方程为 ψψβαE r e mc P c =-+⋅)ˆ(212 ，为求氢原子哈密顿算符Hˆ 确切的本征矢量，试确定包含Hˆ在内的厄米算符完备组 8. (§19)若系统的哈密顿具有下列对称性（1）空间反演（2）空间平移（3）空间转动（4）SO(4)（5）时间平移，试分别给出这些对称性所带来的守恒量9. (§21.2)对于 Fermi 子，试讨论由时间反演引起的简并。
（提示：参阅曾书335页） 10. (§23)试述角动量耦合与3j ，6j 和9j 符号之间的关系11. (§23.7)对具有两个价电子的原子，设两电子的轨道和自旋角动量分别为21,L L 和21,S S，试在希尔伯特空间中给出两组可能的耦合基矢 12. (§34.4)试给出位置表象中的Hartree-Fock 方程并叙述其物理意义 二、证明题1. (§1.1)利用矢量空间的加法运算法则证明零矢量是唯一的2. (§1.1)利用矢量空间的数乘运算法则证明：若0=a ψ，则0=a 或0=ψ3. (§1.2)对于任意ψ和ϕ，试证：ϕψϕψ+≤+4. (§1.5)试证明：若三个右矢ψ、ϕ和χ满足χϕψ=+，则有χϕψ=+5. (§2.3)证明定理：在复矢量空间中，若算符A 对其定义域中的任意ψ满足0=ψψA ，则必有0=A6. (§2.4)证明定理：算符H 为厄米算符的充要条件是对其定义域中的所有矢量ψ满足=ψψH 实数7. (§2.4)证明：若I U U =+，则对任意ψ和ϕ，U 满足ϕψϕψ=U U ，进而证明，幺正变换不改变矢量的模8. (§2.4)设U 是幺正算符，试证明：在矢量空间中，若{}iν是一组基矢，则{iU ν也是一组基矢9. (§2.5)证明投影算符是厄米算符，并由全空间的投影算符证明基矢的完全性关系 10. (§3.1)证明：复空间中厄米算符的本征值都是实数11. (§3.1)证明：厄米算符属于不同本征值的两个本征矢量互相正交12. (§3.1)证明：若B A ,两算符相似，则二者有相同的本征值谱，且每一本征值都有相同的简并度 13. (§6.6)设i a 是算符A 属于本征值i a 的本征函数，即满足i i i a a a A =，且定义物理量在状态ψ中的平均值为ψψA A =。
量子力学考试题
量子力学考试题量子力学考试题（共五题，每题20分）1、扼要说明：（a ）束缚定态的主要性质。
（b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。
2、设力学量算符（厄米算符）∧F ，∧G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧F ），试证明：（a ）∧K 的本征值是实数。
（b ）对于∧F 的任何本征态ψ，∧K 的平均值为0。
（c ）在任何态中2F +2G ≥K3、自旋/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为S H ??ω=∧H ＝ω∧z S +ν∧x S （ω，ν>0，ω?ν）（a ）求能级的精确值。
（b ）视ν∧x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。
4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0<x</x5、某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。
已知单粒子“轨道”态只有3种：a ψ(→r )，b ψ(→r )，c ψ(→r )，试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。
（i ）无自旋全同粒子。
（ii ）自旋 /2的全同粒子（例如电子）。
量子力学考试评分标准1、（a ），（b ）各10分（a ）能量有确定值。
力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。
（b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’）选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e →r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分（a ）∧K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。
（b ）∧F ψ＝λψ，ψ∧F ＝λψ K ＝ψ∧K ψ＝i ψ∧F ∧G -∧G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧F 2+∧G 2-∧Kψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧F -i ∧G )ψ︱2≥0 ∴<∧F 2+∧G 2-∧K >≥0，即2F +2G ≥K 3、(a)，(b)各10分(a) ∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝2 ω［1001-］+2 ν［0110］＝2 ［ωννω-］∧H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2λ，则［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λωννλω---︱＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2 22νω+，E 2＝222νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+2 22ων）＝ω+ων22E 1≈-2 ［ω+ων22］，E 2 ＝2［ω+ων22］（b ）∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝∧H 0+∧H’，∧H 0＝ω∧z S ，∧H ’＝ν∧x S∧H 0本征值为ω 21±，取E 1（0）＝-ω 21，E 2（0）＝ω 21相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ]则∧H ’之矩阵元（S z 表象）为'11H =0，'22H =0，'12H ＝'21H ＝ν 21E 1＝E 1（0）+'11H +)0(2)0(12'21E E H-＝-ω 21+0-ων2241＝-ω21-ων241 E 2＝E2（0）+'22H +)0(1)0(22'12E E H -＝ω 21+ων2414、E 1＝2222ma π，)(1x ψ＝0sin 2a xa π a x x a x ≥≤<<,00x ＝dx x a ?021ψ＝2sin 202a dx a x x a a=?π x p ＝-i ?=a dx dx d011ψψ-i ?=aa x d a 020)sin 21(2π x xp ＝-i ??-=aaa x d a x x a i dx dx d x 0011)(sin sin 2ππψψ ＝-a a x xd a i 02)(sin 1π ＝0sin [12a a x x a i π --?adx a x 02]sin π＝0+?=ai dx ih 02122 ψ 四项各5分5、（i ），（ii ）各10分（i ）s ＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。
量子力学课后习题答案
Wnl (r)dr Rnl2 (r)r 2dr
例如：对于基态 n 1, l 0
W10 (r) R102 (r)r 2
4 a03
r e2 2r / a0
求最可几半径
R e 2 r / a0
10
a03 / 2
dW10 (r) 4 (2r 2 r 2 )e2r / a0
x)
k
2
2
(
x)
0
其解为 2 (x) Asin kx B cos kx
根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得
2 (0) 1(0) B 0
2 (a) 3 (a) Asin ka 0
A0
sin ka 0
ka n
(n 1, 2, 3,)
[1 r
eikr
r
(1 r
eikr )
1 r
eikr
r
(1 r
eikr )]er
i1 1 11 1 1
2
[ r
(
r2
ik
) r
r
(
r2
ik
r )]er
k
r2
er
J1与er 同向。 1 表示向外传播的球面波。
习题
(2)
J2
i
2
(
2
* 2
2*
解：U (x)与t 无关，是定态问题
薛定谔方程为
2
2
d2 dx2
(x) U (x) (x)
E (x)
在各区域的具体形式为：
x0
高等量子力学 教材 喀兴林 sakurai
《探究高等量子力学教材：以喀兴林（sakurai）为例》一、引言在物理学习的道路上，量子力学可谓是一道坎。
它的复杂性和抽象性，常常让学习者望而生畏。
然而，高等量子力学教材的选择对于学习者来说至关重要。
本文将以喀兴林（sakurai）为例，探讨高等量子力学教材的特点和价值。
二、丰富多彩的量子世界喀兴林以其严谨的逻辑和深度的物理内涵而著称，其中所阐释的量子理论更是广为学者所推崇。
在量子理论的世界中，我们能够领略到电子、光子、原子核及其它微观粒子的奇妙世界。
而喀兴林教材娴熟地展现了这一世界的精巧和美妙。
三、探究喀兴林教材的深度喀兴林教材以数学严谨而著称，其中不乏对于量子力学相关数学工具的深入探讨。
从线性代数到泛函分析，在阅读喀兴林教材的过程中，我们不仅能够更好地理解量子力学的物理内涵，而且还能够感受到数学在物理中的重要性。
四、喀兴林教材的广度与实用性除了深度之外，喀兴林教材在广度上也别具特色。
它不仅囊括了量子力学的基本原理和基础知识，还涵盖了许多前沿领域的最新进展。
这为学习者提供了一个更为完整的量子力学知识体系，能够更好地拓展学习者的视野和思维方式。
五、喀兴林教材的个人理解与观点在喀兴林教材的阅读和学习过程中，我迷恋于其中所蕴含的严密逻辑和博大精深的物理内涵。
我深信，只有通过深入学习这样一本高质量、深度和广度兼具的教材，才能够更好地领略量子力学的奥妙。
六、总结与回顾通过对喀兴林教材的全面评估和探究，我们更加全面、深刻地理解了量子力学这一高深领域。
喀兴林教材的独特特色，无疑为学习者提供了一个深入学习量子力学的重要途径。
总结：喀兴林教材作为高等量子力学教材的代表，在深度和广度上都有着突出的表现。
通过深入学习这样一本教材，我们能够更好地理解量子力学的奥秘，提升自己的物理素养和思维方式。
相信在未来的学习和研究中，喀兴林教材将为我们指引新的方向，开启新的视野。
七、喀兴林教材对量子力学学习者的启发喀兴林教材所展现的深度和广度，对于量子力学学习者而言，无疑是一种极大的启发和激励。
量子力学经典八十题(推荐版本)【含答案】
ψ
nxnynz
(x,
y,
z)
=
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩0
8 abc ,
sin
nxπx a
sin
nyπ b
y
sin
nzπ c
z
, 0 < x < a,0 其余区域
<
y
<
b
,
0
<
z
<
c
n = 1, 2,3,""
9. 粒子在一维 δ 势阱
V (x) = −γ δ (x) (γ > 0)
中运动，波函数为ψ (x) ，写出ψ ′(x) 的跃变条件。
2
量子力学复习题答案（安徽大学）
( ) 解： L2 , L z 的共同本征函数是球谐函数Ylm (θ ,ϕ) 。
L2Ylm (θ ,ϕ) = l(l + 1)= 2Ylm (θ ,ϕ ) , LzYlm (θ ,ϕ ) = m=Ylm (θ ,ϕ)
15. 写出电子自旋 s z 的二本征态和本征值。
V (x)
=
−
n= 2 mx0 x
+
=2 2m
n (n −1) x2
10. 一 个 质 量 为 m 的 粒 子 在 势 V (x) 作 用 下 作 一 维 运 动 。 假 定 它 处 在 E = =2α 2 的 能 量 本 征 态 2m
ψ
(
x)
=
⎛ ⎜ ⎝
α2 π
⎞1/ ⎟
4
e−γ
2x2
⎠
2，
（ a ）求粒子的平均位置； （ b ）求粒子的平均动量；
22. 使用定态微扰论时，对哈密顿量 H 有什么样的要求？
高等量子力学习题
吉林大学物理学院理论物理中心 高等量子力学习题† 量子力学中的对称性1、 试证明：若体系在线性变换Qˆ下保持不变，则必有0]ˆ,ˆ[=Q H 。
这里H ˆ为体系的哈密顿算符，变换Qˆ不显含时间，且存在逆变换1ˆ−Q 。
进一步证明，若Q ˆ为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。
2、 令坐标系xyz O −绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R zeG 的矩阵表示。
3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n G转θd 角，在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψG =。
试导出转动算符),(θd n U G的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U G下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。
4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。
5、 证明宇称算符的厄米性和幺正性，并证明宇称算符为实算符。
6、 试证明幺正算符U 与复数共轭算符K 的乘积为反幺正算符。
7、 试证明自旋不为零的粒子的时间反演算符可表为K e T y S i π=−=。
8、 试讨论由时间反演不变性引起的Kramers 简并。
† 角动量理论1、 角动量算符可以从两个方面来定义，一种是按矢量算符三个分量所满足的对易关系定义，另一种是按坐标系转动时，态函数的变换规律来定义，试证明这两种定义是等价的。
2、 试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。
3、 定义角动量升降算符yx J i J J ˆˆˆ±=±，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数j ，相应的磁量子数m 的取值范围。
4、 给出角量子数1=j 情况下，角动量平方算符及角动量各分量的矩阵表示。
5、 设总角动量算符21J J J G G G +=，1J G 、2J G相应的角量子数分别为1j 和2j ，试讨论总角动量量子数j 的取值情况。
高等量子力学习题
高等量子力学习题高等量子力学习题量子力学中的对称性1、试证明：若体系在线性变换Q下保持不变，则必有0]?,?[=Q H 。
这里H ?为体系的哈密顿算符，变换Q不显含时间，且存在逆变换1?-Q 。
进一步证明，若Q ?为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。
2、令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R ze的矩阵表示。
3、设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n转θd 角，在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψ =。
试导出转动算符),(θd n U的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。
4、设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。
5、证明宇称算符的厄米性和幺正性，并证明宇称算符为实算符。
6、试证明幺正算符U 与复数共轭算符K 的乘积为反幺正算符。
7、试证明自旋不为零的粒子的时间反演算符可表为K e T y S i π-=。
8、试讨论由时间反演不变性引起的Kramers 简并。
角动量理论1、角动量算符可以从两个方面来定义，一种是按矢量算符三个分量所满足的对易关系定义，另一种是按坐标系转动时，态函数的变换规律来定义，试证明这两种定义是等价的。
2、试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。
3、定义角动量升降算符yx J i J J ±=±，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数j ，相应的磁量子数m 的取值范围。
4、给出角量子数1=j 情况下，角动量平方算符及角动量各分量的矩阵表示。
5、设总角动量算符21J J J +=，1J 、2J相应的角量子数分别为1j 和2j ，试讨论总角动量量子数j 的取值情况。
6、利用已知的C-G 系数的对称性关系，证明以下三个关系式：11332222221133111122332233221111212)1(1212)1(1212)1(32313m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j C j j C j j C j j C -+----+++-=++-=++-=7、已知在3?s表象中，=01102?1 s ，-=002?2i i s ，问在1?s 表象中2?s 的矩阵表示是怎样的？8、已知∑>>>=113322112211|||m m m j m j m j m j m j Cjm ，其中m m j j jm m j ''|''δδ>=<，1111''1111|''m m j j m j m j δδ>=<，2222''2222|''m m j j m j m j δδ>=<。
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练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}ia 展开的（6.1）式中，证明若ψ是归一化的，则1=∑*iii cc ，即A 取各值的概率也是归一化的。
（杜花伟）证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。
根据(6.1)式∑=ii ic aψ, ψi i a c =可得1===∑∑*ψψψψi ii i ii a a c c即A 取各值的概率是归一化的。
#练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变.(2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美）(1)证明：在定态中i E i H i = , 3,2,1=i 则()t E i i i i t-=ψ所以i A i e i A e A t E i t E i i i ==-ψψ.即所有物理量的平均值不随时间变化.(2)两个定态的叠加不一定是定态.例如()()()t E i t E i ex v ex u t x 21,--+=ψ当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. #6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立：)(]),([)()](,[X f X i P X f P f Pi P f X ∂∂=∂∂=（解答：玉辉 核对：项朋）证明：（1）)()()()()()()()()](,[P f Pi P i P f P i P f P f P i Pi P f P f P i X P f P Xf P f X ∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂=-= ψψψψψψψψψ所以 )()](,[P f Pi P f X ∂∂=（2）)()()())(())(()()())(()()(]),([X f Xi X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ∂∂=∂∂--∂∂--∂∂-=∂∂--∂∂-=-= ψψψψψψψψψ所以 )(]),([X f Xi P X f ∂∂=#练习6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f Pi P X f X ∂∂= 解：不正确。
因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 #练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海） （1）00=⋅=⋅L X ,L P （2）[]0=⋅P X L,（3）()()P X X P P X P X L ⋅-⋅⋅-= i 2222证明： （1）∑∑∑∑===⋅ijkk j i ijk k j jkijkiiiii P X P P X P L P εεL P由于⎪⎩⎪⎨⎧=-==其他情况,,,,,,,032121313213122311231ijk ijk ijkε且k j i P X P ，，是相互对易的，所以0＝∑=⋅ijkk j i ijkP X P εL P∑∑∑∑===⋅ijkk j i ijk k j jkijk ii ii i P X X P X X L X εεL X ，同上面的过程可以得到0=⋅L X（2）先计算：[][]l l k j jkijk l jkll l k j ijk i P X P X P X P X L ,,P X ,∑∑∑∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅εε由于[]ij j i i P X δ =,。
将上式展开可以得到：[]0=⋅P X ,i L ，再利用相同的道理可以推出：[]0=⋅P X L,（3）证明：23232223212323222222212223212221212123222123222122p x p x p x p x p x p x p x p x p x p p p x x x P X ++++++++=++++=))(()())((323322331133332222221122331122111211x p x x p p x x p p x x p p x x p x x p p x x p p x x p p x x p x X P P X ++++++++=)(33221122p x p x p x i P X i ++=1212211212212121313113313113131323233223233232322p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x L +--++--++--=利用公式ij j i i p x δ =],[2332211332211332211232332332222222221211211332211323322221211232322222121222=+++---=+++-+-+-=++++++---=++-)()()()()(())((p x p x p x i p x i p x i p x i p x p x p x i p x x p x p x x p x p x x p x p x p x p x i x p x x p x x p x p x p x p x PX i X P P X P X L即得证！#6.6 试仿照w p x )(3的计算方法，计算w xp )(和w p x )(22。
（高召习）解：由Weyle 规则，将物理量的经典式A(x ，p)写成ηξ和为变量的傅里叶积分ηηξξηξd e a A(x,p)pi x i +∞∞-∞∞-⎰⎰=),(d （1）将积分中指数上的x 和p 改为对应的算符X 和P 。
所得结果即为与A(x ，p)对应的算符式A （X ，P ）ηηξξηξd e a d A(X,P)P i X i ⎰⎰∞∞-+∞∞-=),( （2）首先计算（1）式中A(x ，p)的傅里叶变换),(ηξA ,取A(x ，p)为mn p x ，则有dp e p x A dx a pi x i ⎰⎰∞∞-∞∞---=ηξπηξ),()(),(221 （3） 对于mnp x 有)()()()(),(ηδηξδξηξππηξηξηξmnpi mx i np i x i m n i i dxdp e i e i dxdp e p x a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂==----⎰⎰⎰⎰222121 (4) 对于xp ，n=1,m=1,将此式代入（2）得)()()()()()()()()(),(PX XP i XP d i x XP e d P e i d d ee e i i d d e i i xp P X x i x i i p i x i pi x i w +=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂==⎰⎰⎰⎰⎰⎰+2121212121A 21ξξξδξξξξδηξηδηξδξηξηδηξδξξξξηηξηξ即)(21 =PX XP (xp)w +对于22p x ，n=2，m=2，将此式代入（2）得)(])([)()()()()()(),(222222222122222261X P PXPX P PX X XP XPXP P X d d e e i e i d d e e e i i d d e i i p x P X A p i x i x i i p i x i pi x i w +++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂==⎰⎰⎰⎰⎰⎰+ξηηηδξξδηξηδηξδξηξηδηξδξηξξξηηξηξ即)()(2222222261X P PXPX P PX X XP XPXP P X p x w +++++= #练习6.7 证明)(p x m n W的一般公式：)21()()(=+∂∂-=ξξξ P i X p x mnWm n并利用此式计算)(p x mnW。
（解答：田军龙 审核：邱鸿广）证明：ηξηδξδηξηξd d mnei i p x Pi X i mnW+∂∂⎰⎰∂∂=)()()()()(ηξηδξδξηηξηξd d ee ei i i Pi Xi mn 21)()()()(∂∂⎰⎰∂∂=ξηηδξδξηηξηξd de e i e ii P i mX i nmn ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎰∂∂∂∂⎰-+)()()(21)()()1( ξξδξξξd Pe i mXi nmn ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=--∂∂⎰-+)21()()1()( ξξδξξξd X i i P e n m m n ⎰∂∂---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+)()()21()1(ξξδξξξd P e i m X i n n ⎰+∂∂-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=)21()()1()( 0)21()(=+∂∂=ξξξξ P e i mXi n)21()(=+∂∂-=ξξξ P i X mn)(81)(22222222222323XPX X XP PX X XP X PXPXPX PX P XX P XP PXP W +++++++=#练习6.8 （梁端） 解：()()n nBnPX P X px +=21 因为： []0,=P X所以： ()P X px n Bn=欲求： ()wnpx 则：()()⎰⎰--=dxdp pe x a p i x i n ηξπηξ221, =()dxdp e i e i p i x i nηξηξπ--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎰⎰221=()()ηδηξδξ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂i i n所以： ()()()()ηξηδηξδξηξd d ei i P X px Pi X i nwn+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=A =⎰⎰, =()()ηξηδηξδξηξd d e e i i P i X i n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎰⎰=()()()ξηηηδξξδηξd d e i e i P i X i n⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎰⎰21 =()()[]ξξξδξd e P i Xi n-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎰因为： []0,=P X ()()[]P X P X n n px n n wn=++=111故： 在条件[]0,=P X 下()()wnBnp x px =#练习6.9 一般认为一个正确的对应关系应满足：经典量f 的算符对应的平方，应当与经典2f 的对应相同。