喀兴林高等量子力学EX3、4、5
喀兴林高等量子力学习题EX1.矢量空间
EX1.矢量空间练习 1.1 试只用条件（1）~（8）证明2ψψψ+=，0ψ=O 和1ψψ-=-（）。
（完成人：梁立欢 审核人：高思泽） 证明：由条件（5）、（7）得 11112ψψψψψψ+=+=+=（）只需证明O =0ψ和ψψ-=-)1(这两式互相等价 根据条件（7）00)00(0ψψψψ+=+= 现在等式两边加上)0(ψ-，得)0()00()0(0ψψψψψ-++=-+ 根据条件（4）， 上式左O =-+=)0(0ψψ 根据条件（4）、（2）上式右00)00(0ψψψψψ=O +=-+= O =∴0ψ由O =0ψ，根据条件（4）、（7）得ψψψψψψ-=O =-+=-=)1()11(0 ψψ-=-⇒)1( #练习 1.2 证明在内积空间中若()()ϕψϕψ,,21=对任意ϕ成立，则必有21ψψ=。
（完成人：谷巍 审核人：肖钰斐）证明 由题意可知，在内积空间中若()()ϕψϕψ,,21=对任意ϕ成立，则有(1ψ,)ϕ－(2ψ,)ϕ=0(1) 于是有()0,21=-ϕψψ(2)由于在内积空间中()()ϕψϕψ,,21=对任意ϕ成立，则可取21ψψϕ-=,则有()2121,ψψψψ--=0 成立 （3）根据数乘的条件（12）可知，则必有021=-ψψ（4） 即21ψψ=故命题成立，即必有21ψψ=. #练习1.3 矢量空间运算的12个条件是不是独立的？有没有一条或两条是其余各条的逻辑推论？如有，试证明之。
（完成人：赵中亮 审核人：张伟） 解：矢量空间运算的12个条件是独立的。
#练习 1.4 （1）在第二个例子中若将加法的规定改为：和矢量的长度为二矢量长度之和，方向为二矢量所夹角()︒〈180的分角线方向，空间是否仍为内积空间？ （2）在第二个例子中若将二矢量B A 和内积的定义改为θ或θ，空间是否仍为内积空间？ （3）在第三个例子的空间中，若将内积的定义改为 ()4*43*32*21*1432,m l m l m l m l m l +++=空间是否仍为内积空间？（4）在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为()()⎰⎰==baba dxx x g x f x g x f xdx x g x f x g x f 2**)()()(),()()()(),(或空间是否仍为内积空间？（完成人：张伟 审核人：赵中亮）解：（1）在第二个例子中若将加法的规定改变之后，空间不是内积空间。
喀兴林高等量子力学习题EX12-18
练习 12.1. 一维谐振子受微扰21X H ε=的问题，使有严格解的，试仿照正文中的方法，在薛定谔绘景中用近似的方法讨论这一问题，并将结果与严格解比较。
（解答人：李泽超 核对人：熊凯） 解：由题意得：受微扰的一维谐振子的哈密顿量是：()1......................................................................10H H H += ()()2.......21212212220⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=+++AA A A AA X m P m H ωωω ()()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=-=+=+++A A m i P A A m X iP X m m A iP X m m A 222121 ωωωωωω()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=+==+++++ωεττωεεm AA AA A A A A A A m X H 23.........2221谐振子从0=t 时刻起其状态满足薛定谔方程：()()()4.......................................:,10H H H t H t ti +==∂∂其中ψψ0H 的含时本征矢量的展开为：()()()5...........................................21exp ∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=jj t a t j i j t ωψ ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t m i t mt a m ωψ21exp微扰1H 的矩阵元为j H i ，具体的形式为：j AA AA A A A A i j H i +++=++++ τ利用算符A A 和+对本征矢量函数的；上升和下降的性质，得：()()()()()()6..................2121,2,,2j i j i j i i i i i i j H +-+++++-=δδδτ 采用微扰方法近似解薛定谔方程时，薛定谔方程可一化为下式： ()()()()7......................................exp 1t a j H t E E i t a t i j S jj i i ∑⎪⎭⎫⎝⎛-=∂∂将（6）式带入（7）式可得到在题意条件下的微扰方程的表达形式如下：()()()()()()()()()8..21121exp ,2,,2t a i i i i i t E E i t a t i j jj i j i j i j i i ∑+-+++++-⎪⎭⎫⎝⎛-=∂∂δδδτ经化简得：()()()()()()()()()()()()9...212exp 122exp 122t a i i t i t a i t a t i i i i t a dtdi i i i +-++-++--=⇒ωωτ将()t a i 的已知的低级的近似()()t a n i 代入方程的右边，即可以解出高一级的近似()()t a n i 1+。
关于原子的电子组态、谱项和精细结构
关于原⼦的电⼦组态、谱项和精细结构\def\vec#1{\boldsymbol{#1}}\def\t#1{\text{#1}}\def\bra#1{\langle#1|}\def\ket#1{|#1\rangle}\def\dirac#1#2{\langle#1|#2\rangle}参考了《原⼦结构理论》(黄时中), 《⾼等量⼦⼒学》(喀兴林), 《物理学中的群论》(Joshi), 《原⼦结构的量⼦理论II》(Slater)。
第⼀本书推导⼗分⼗分详细, 但不提群论。
⽤群论会很直观简洁, 在最后⼀本书第19章有。
可能有错, 姑妄⾔之。
2019-09-30修改。
补充了j-j耦合。
对于单个具有n个电⼦的原⼦, 如果把原⼦核视为⼀个电荷Z的点电荷且不考虑⾃旋(忽略旋-轨耦合和超精细结构), 则⾮相对论的 Schrodinger ⽅程写为\left[\sum_{i=1}^n\left(-\frac{1}{2}\nabla^2_i-\frac{Z}{r_i}\right)+\frac{1}{2}\sum_{i\neq j}\frac{1}{r_{ij}}\right]\Psi(x_1,\cdots,x_N)=E\Psi(x_1,\cdots,x_n)上式左边为系统哈密顿, x_i包含了i电⼦的空间坐标和⾃旋坐标。
Hartree ⽅程和 Hartree-Fock ⽅程Hartree⽅程可以从直觉得到。
先假设多电⼦态写为\Psi=\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)\cdots\psi_n(x_n), 现在要得出各个电⼦的态所满⾜的⽅程。
考虑两电⼦之间的库仑排斥能, 则可以写出各个单电⼦态满⾜的⽅程(组)\left[-\frac{1}{2}\nabla^2_i-\frac{Z}{r_i}+\sum_{i\neq j}\int\frac{|u_j(\vec{r}_j)|^2}{r_{ij}}\text{d}^3\vec{r}_j\right]u_i(\vec{r}_i)=\lambdau_i(\vec{r}_i)其中u_i(x_i)是\psi_i(x_i)的空间部分, 或者说\psi_j(x_i)=u_j(\vec{r}_i)\chi_{j}(\sigma_i), ⽽\chi是⾃旋部分, 这⾥j是态编号, i是电⼦编号。
量子力学课程概述
研 究 对
基本粒子 原子核 能源
象
天体物理 宇宙学
原子
分子
团簇 纳米体系 介观体系 材料科学 化学 生物学
主要内容
I. 绪论：量子力学的研究对象和方法特点，经典物理学的
困难，量子力学发展简史，光的波粒二象性，Bohr的量子论， 微观粒子的波粒二象性。 II. 波函数和薛定谔方程：波函数的统计解释，态迭加原理， 薛定谔方程，一维定态问题。 III. 量子力学中的力学量：表示力学量的算符，动量算符和角 动量算符，厄米算符本征函数的正交性，算符与力学量的关 系，算符的对易关系，两个力学量同时有确定值的条件，测
氢分子。
教学目的
1. 深入理解微观粒子的运动特性。
2. 掌握描述微观粒子运动的方法，
3.
即量子力学的数学框架。
3. 初步掌握应用量子力学处理简单 体系的方法。
要
求 理解不同于经典物理理论的量子化概念 掌握量子力学的基本概念、基本原理 掌握求解微观粒子运动规律的基本方法
学习内容 以假设提出及验证、实验结果分析及理论 推导为主。
不准关系，力学量平均值随时间的变化，对称性与守恒律，
电子在库仑场中的的运动，氢原子。
IV. V.
态和力学量的表象：态的表象算符的矩阵表示，量子 微扰理论：定态微扰理论，变分法的基本原理及方法，
力学公式的矩阵表述，么正变换。
含时微扰理论（跃迁几率、光的发射和吸收、选择定则）。 VI. 散射：散射过程的一般描述，散射截面，分波法，玻恩 近似，方形势阱与势垒所产生的散射。 VII.电子自旋与全同粒子：电子自旋，自旋算符和波函数， 角动量耦合，全同粒子的特性，玻色子与费密子，全同粒子 体系的波函数，泡利原理，两个电子的自旋波函数，氦原子，
物理书籍整理
科普：《定性与半定量物理学》赵凯华《边缘奇迹：相变和临界现象》于渌《QED: A Strange Theory about Light and Matter》Feynman《大宇之形》丘成桐《Gauge Fields, Knots and Gravity》Baez《趣味力学》别莱利曼《趣味刚体力学》刘延柱（小书，挺有意思）考研习题集用超星图书里的那本清华大学编写的普通物理学考研辅导教材(大约这个名字)数学分析：书目：《数学分析教程》常庚哲《数学分析新讲》张筑生《数学分析》卓里奇《数学分析八讲》辛钦《数学分析讲义》陈天权《数学分析习题课讲义》谢惠民等《数学分析习题集》北大版《特殊函数概论》王竹溪线性代数Linear Algebra内容：行列式、矩阵代数、线性方程组、线性空间、线性变换、欧几里得空间、n元实二次型等。
书目：《高等代数简明教程》蓝以中《Linear Algebra and Its Applications》Gilbert Strang《Linear Algebra and Its Applications》Peter D. Lax《Linear Algebra and Its Applications》David C. Lay力学Mechanics先修课程：高等数学内容：质点运动学、质点动力学、动量定理和动量守恒定律、功和能及碰撞问题、角动量、刚体力学、固体的弹性、振动、波动和声、流体力学、相对论简介。
书目：《力学》赵凯华《力学》舒幼生《经典力学》朗道《An Introduction To Mechanics》Daniel Kleppner、Robert Kolenkow狭义相对论：《狭义相对论》刘辽《The Principle of Relativity》Einstein广义相对论：《Einstein Gravity in a Nutshell》Zee《Spacetime and Geometry》Carroll热学Thermology先修课程：力学、高等数学内容：主要包括三部分，以实验为依据、以热力学第零定律、热力学第一定律、热力学第二定律为基本理论的宏观的热力学理论，研究物质宏观热现象和宏观状态变化规律；以气体分子统计物理学，研究大量分子热运动统计规律和热现象的微观实质；以Van der Waals方程和Clapeyron方程，研究气体状态变化及相变规律；以非平衡态理论的分子动理论，研究输运现象的宏观规律。
高等量子力学 教材 喀兴林 sakurai
《探究高等量子力学教材：以喀兴林（sakurai）为例》一、引言在物理学习的道路上，量子力学可谓是一道坎。
它的复杂性和抽象性，常常让学习者望而生畏。
然而，高等量子力学教材的选择对于学习者来说至关重要。
本文将以喀兴林（sakurai）为例，探讨高等量子力学教材的特点和价值。
二、丰富多彩的量子世界喀兴林以其严谨的逻辑和深度的物理内涵而著称，其中所阐释的量子理论更是广为学者所推崇。
在量子理论的世界中，我们能够领略到电子、光子、原子核及其它微观粒子的奇妙世界。
而喀兴林教材娴熟地展现了这一世界的精巧和美妙。
三、探究喀兴林教材的深度喀兴林教材以数学严谨而著称，其中不乏对于量子力学相关数学工具的深入探讨。
从线性代数到泛函分析，在阅读喀兴林教材的过程中，我们不仅能够更好地理解量子力学的物理内涵，而且还能够感受到数学在物理中的重要性。
四、喀兴林教材的广度与实用性除了深度之外，喀兴林教材在广度上也别具特色。
它不仅囊括了量子力学的基本原理和基础知识，还涵盖了许多前沿领域的最新进展。
这为学习者提供了一个更为完整的量子力学知识体系，能够更好地拓展学习者的视野和思维方式。
五、喀兴林教材的个人理解与观点在喀兴林教材的阅读和学习过程中，我迷恋于其中所蕴含的严密逻辑和博大精深的物理内涵。
我深信，只有通过深入学习这样一本高质量、深度和广度兼具的教材，才能够更好地领略量子力学的奥妙。
六、总结与回顾通过对喀兴林教材的全面评估和探究，我们更加全面、深刻地理解了量子力学这一高深领域。
喀兴林教材的独特特色，无疑为学习者提供了一个深入学习量子力学的重要途径。
总结：喀兴林教材作为高等量子力学教材的代表，在深度和广度上都有着突出的表现。
通过深入学习这样一本教材，我们能够更好地理解量子力学的奥秘，提升自己的物理素养和思维方式。
相信在未来的学习和研究中，喀兴林教材将为我们指引新的方向，开启新的视野。
七、喀兴林教材对量子力学学习者的启发喀兴林教材所展现的深度和广度，对于量子力学学习者而言，无疑是一种极大的启发和激励。
高等量子力学 课件 【ch05】开放量子系统动力学
01弱耦合限
其中，
。是相互作用的最一般形式。如果把相互作用哈密顿量H, 分解为系统哈 密顿量H₅ 的
马尔科夫量子主方程 如果量子动力学半群存在，在某种数学条件下(见下面),一个线性映射L, 即半群的生成元， 可以表示成如下 指数形式： 由此，立刻可以得到开放系统约化密度矩阵的一阶微分方程
02马尔科夫量子主方程
方程式(5.19)叫作马尔科夫量子主方程。半群生成元L 为超算符，它可以看成方程式(1.113)中刘 维超算符的
由式(5.13)容易看出， V(4)具有描述一般量子测量操作 (见式(2.28))的形式。再者，算符 满足条件
由此，可推导出 因此，我们说， 一个动力学映射V(t)是凸线性的、完全正和保迹的量子操作。
02马尔科夫量子主方程
上面给出了t 固定时的动力学映射V(1) 。如果让t 变化，即可得到动力学映射的一个参数簇 {V(t)}t≥0}, 其 中V(0) 为单位映射。这个簇描述了开放系统全部的时间演化。然而，如果库关联 函数衰减的特征时间远小 于系统演化的特征时间，则约化系统的记忆效应可以忽略。因此，像经 典理论那样可以获得马尔科夫型的行 为。对于均匀情况这一理论将借助如下半群特征构建。
其中 约化密度矩阵Ps(t) 在t 时刻可表示为
其运动方程为
02
量子马尔科夫过程
01开放量子系统动力学概述
设初始时刻t=0 时，总系统S+B 处于不关联的乘积态
量子力学该怎么学
量子力学该怎么学?我想对于考物理的同学来说量子是必须的。
我一直在想可能是国内流行的一些教材的失误造成了大多数人对着门学科的难以掌握，就算你能解题，也基本上是概念茫然，当然，有时连题目都不知道什么意思，更不知如何下手，有时，算着算着突然不知道意思了，……其实这些都不是咱们的错。
想起当年本人上课时，量子老师（老牛人）说，“现在教量子的那些人那里懂量子呀！”哥们当时只是笑。
现在才明白果然不错。
其实，目前而言，在下对量子也是刚入点门而已，不过，对于国内的考研量子力学题我现在是把握全部搞定的，要是当初就这么猛就好了.我把一些想法写下来算是抛砖引玉了！正文（一）选书的建议对于量子力学最重要的是概念的清晰把握，只有明白了量子力学的形式体系和核心概念才会觉得的量子好神秘啊！才会在解题时不至于找不到北。
真正的掌握它的概念需要学习Hilbert 空间的知识和Dirac符号体系，又以后者最为重要。
愚蒙认为：第一，优秀的量子力学书的最重要的标准是：深入浅出的讲解Hilbert空间和大量篇幅，透彻的讲授Dirac符号.第二，应该明确指出量子力学的5到6 条基本原理或假设。
第三，关键性的步骤或概念一定要指出。
下面就以上原则分析一下国内的流行教科书1 曾谨言《量子力学导论》2 周世洵《量子力学》3 尹鸿钧《量子力学》4 苏汝铿《量子力学》首先，我想说得是国内没有一本面向初等量子力学的教科书把概念说明白的，尤其，以北大的曾谨言先生《量子力学导论》为首，此书发行量巨大，我上本科时就是用它的。
坦白说。
它的错误很少,但这决不是好书的标准，对于Dirac符号就写了两页，而且语焉不详，关键地方几乎没有说。
我想，就算P A M.Dirac亲临也估计看不太明白。
：），至于曾老师的《量子力学》第一。
二卷，的确详细，不过缺点仍然一样，作为研究生教材，没有完整的理论体系，当字典用到行，可以作参考书，不适合当教材。
复旦的周世洵先生写的《量子力学》相比而言比曾谨言的强了不少，虽然年代久了点，但讲解较为透彻，步骤也详细点，。
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练习4.4 为厄米算符， （侯书进）
证明：(1) 是幺正算符；
(2)
证明：（1） 为厄米算符，则
所以
即
则 是幺正算符
(2)因为 是 的函数，则 与 可以同时对角化。在 表象中， 表现为对角矩阵，对角矩阵元 为 的本征值，则
而 的本征值
即
则
#
练习4.5（吴汉成完成，董延旭核对）
在三维空间中，有矩阵A和B：
同理可证B为厄米矩阵。
又
AB—BA= 0
，故得证。
（2）设A的本征值为a，本征矢量为： ；B的本征值为b,本征矢量为: 。
则必有本征方程：
即：
————[1]
久期方程：
解之得：
当 ,代入[1]式得：
整理得：
联解得：
即得：
归一化条件：
即：
即得：
解之得：
A的本征矢量： 。
同理可得：
当A的本征值 时，A本征值矢量：
3.1（做题人：韩丽芳校对人：胡相英）(好)
幺正算符也有本征矢量。证明幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数；幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。
证明：设算符 为幺正算符， 为其任意本征矢量， 为对应的本征值。
即
则
因 ，所以 即
即证得幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数。
设算符 为幺正算符的两个本征值为 、 ，对应的矢量分别为 、 ，且 。
，
（1）证明A和B均为厄米矩阵，而且[A，B]=0；
（2）分别求A和B的本征值与本征矢量；
（3）求A和B两算符的（归一化的）共同本征矢量集；
（4）求能使A和B都对角化的幺正变换矩阵U；
（5）用U将A和B对角化。
解：（1）证明：由题意得A的转置矩阵 ：
显然又得 的共轭矩阵：
与A比较，得：
又 ， ，显然A为厄米矩阵，
（2）全部不为零的 的总数是 。它们是线性无关的。
#
练习4 .1在任何表象中，与厄米算符H对应的矩阵（ ）称为厄米矩阵，与幺正算符对应的矩阵（ ）称为幺正矩阵。证明它们分别满足下列关系：
（做题：陈捷狮，审查人：刘强。）
解：（1）
（2）利用完全性关系可得：
证毕!
练习4.2在某表象中，算符 的矩阵形式为
证明：假设在n维空间中的一个完全集 去掉一个矢量 后仍是完全集 新的矢量集 是线性无关的，即
我们把 加入完全矢量集 成立一个新集合 ，
是完全集。则 肯定能表为 的线性叠加
新集合 是线性相关的与它是线性无关相矛盾。
在n维空间中的一个完全集 去掉一个矢量 后不是完全集
#
3.5、在有限维空间中，有A和B两个相互对易的厄米算符。它们的全部线性无关的正交归一化本征矢量字分别为 和 ：
得：
————————————[2]
所以得久期方程：
解之得：
当 时，代入[2]式得：
整理得：
联解得：
所以得：由归一化条件： ，得： Nhomakorabea解之得：
所以,当本征值 时， 的本征矢量：
同理可得：
当本征值 时， 的本征矢量：
当本征值 时， 的本征矢量：
综上所述得A和B的（归一化）共同本征矢量集： ，
（4）设能使A和Ｂ都对角化的幺正变换矩阵为U，则必有
， ，
又 ，并代入上式
此关系式说明了：能使A和B都对角化的幺正变换矩阵，与能使（AB）对角化的幺正变换的矩阵，都是相同的，两者都是U。另一方面，由（3）的结果可得能AB对角化的幺正矩阵为：
证明：假设算符A有逆，则在值域中取一任意|φ>，则定义域有|ψ>存在
即
已知A的全部本征值和相应的本征矢量： i=1，2，3…，
算符A存在零本征值，即
对于任意本征矢量 与 矛盾
假设不成立，即算符的本征值谱中有零本征值，这个算符肯定没有逆。
#
练习3.4 根据完全性和封闭性的定义，分别证明：在n维空间中的一个完全矢量集｛ ｝，（ 归一化但彼此不一定正交，i=1,2,3…,n）,若从其中去掉一个矢量，例如去掉 ，就不再是完全集。（做题者：杨涛 审题人：吴汉成）
则
因为幺正算符 则有
所以
因为 ，故 ，即 和 正交。
即证得幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。
3.2投影于某一子空间的投影算符 ，既然是厄米算符，它的本征值是什么？有无简并？本证子空间是什么？(好)
解：投影于某一子空间的投影算符 ，设全空间是 维的，且 。
则本征值方程
其中 为本征值， 为相应的本征态。
当A的本征值 时，A本征值矢量：
至于求B本征值和本征矢量的方法步骤，与求A的本征值和本征矢量的方法步骤是一样的，因此同理可求得B的本征值分别是：
而且相应本征值b的本征矢量分别为：
1）本征值 时，
2）本征值 时A，
3）本征值 时，
(3)设A和B的共同本征矢量 ，则必有本征方程：
显然也有方程：
设 则
又 ；并代入 式
#
练习4.3在三维空间中，K表象的基是 ， ， 。有一算符A，在此表象中的矩阵为
（1）求A的本征矢量在K表象中的形式及相应的本征值；
（2）取A的本征矢量 ， ， 为L表象（即A表象）的基，求表象变换的幺正矩阵 和 ;
（3）验证所求矩阵的幺正性；
（4）用 与 计算算符A在L表象中的矩阵。
（作题人：胡项英校对人：韩丽芳）
解：（1）设A在K表象中的本征矢量为 ，相应的本征矢量为 ，则：
有解则：
所以得：
所以：当 时，代入本征值方程且根据 则：
所以：
同理：当 时，则：
所以：
当 时，则：
所以：
（2）根据幺正矩阵 则A在K表象中矢量按列排列即为 ，
所以：
(3)将 , 的值代入得：
所以： 为幺正矩阵
（4）根据 ，分别代入 则：
， 分别为本征值 和 的简并度（它们也可以等于1）。
（1）证明
是A和B的共同本征矢量。它们是否归一化？彼此是否正交？
（2）全部不为零的 的总数是多少？它们是线性相关的还是线性无关的？
（做题：陈捷狮，审查人：刘强。）
解：（1）
所以： 是A和B的共同的本征矢量。
由于
他们是归一的。
由于A和B作用在 的本征值不同，所以彼此是正交。
则
由幺正算符等幂性 得
由 、 和 式得 ，所以 或 。
即求得投影算符的本征值是1或0。
当 时，本征失量是 ，其中 。所以是简并的，本征子空间 是由这 个基矢构成的矢量空间。
当 时，本征矢量是与 正交的矢量。所以也是简并的，本征子空间是 空间的补空间。
#
练习3.3 证明若算符的本征值谱中有零本征值，则这个算符肯定没有逆。
（1）求 的本征值及相应的本征矢量；
（2）用 的一组正交归一化本征矢量集表示这一表象的三个基失。
解：（1）本征值方程为
则久期方程为：
解得： 1= 2= ， 3=2
当 1= 2= 时本征函数为：
即此时本征函数分别为： ,
当时 3=2本征函数为：
因为
所以用 的一组正交归一化本征矢量集表示这一表象的三个基失为 1， 2， 3。