量子力学的矩阵形式与表象变换

练习3：求Lz算符在（L2,Lz)的共同表象： (Y11,Y10,Y1-1)的矩阵。 答案：
0 0 Lz 0 0 0 0 0
练习4：求Lx算符在（L2,Lz)的共同表象： (Y11,Y10,Y1-1)的矩阵。（答案见周世勋书P130 习题4.5）
∆. 本征矢在自身Q表象的表示。
C）表象例子
D）不同表象间变换
设F表象，基矢为｛ψ k}, F′表象，基矢为｛ψ ′k},
m 由 ak k am
k m
, k )a k S mk ak －＞ a´=Sa am （ m
, k ) 就是么正变换矩阵 Smk （ m
Δ .本征矢的归一化:
X i X i 1
C 1 X i X i
Δ .未归一的归一化系数C:
X Ci X i
i
Δ .任意列矩阵X可用厄米矩阵的本征矢展开
Cj X j X
(练习1）
9.矩阵迹（spur or trace） 定义：spA= Ann ， （或写成trA）.
n
公式：sp(AB)=sp(BA).
A1 A A2 A 3
A1 A A2 A 3
以二维坐标系间变换为例。 ( e ) 相对原坐标系 1, e2 ) 顺时针 设新坐标系 (e1, e2 转过θ角。则
c1e1 c2 e2 , e1 d1e1 d 2e2 , e2
2、算符、本征矢在自身表象的矩阵表示特点
ˆ 在自身Q表象的表示 ∆. 即 Q
。
* ˆ 分立谱：Qmn U m QU n d q n mn ，
Q是对角矩阵 ，对角元是本征值qn 。
* ˆ QU d q ( ) 连续谱： Q U
Q也是对角矩阵，但对角元是无穷大。
ˆ ( x,i ) ( x x)dx F ˆ ( x,i ) ( x x) Fxx ( x x) F x x
小结论：算符在坐标表象的矩阵表示是 δ 函数形式。在 行列下标对应一致的前提下，则此 δ 函数前面那部分就 是此算符在坐标表象的算符表示。
写成列矩阵形式:
连续谱：
U ( x) a U ( x)d
a U ( x)U ( x)dx ( )
在自身表象下，连续谱本征函数就是δ 函数。例如，
坐标的本征函数在坐标表象里表示为： (r r ) 。
动量的本征函数在动量表象里表示为：
8.厄米矩阵的本征矢特点
A. 本征值是实数； B. 不同本征值的本征矢是正交的. X k X l 0 当λ i≠λj时,则
(列矩阵的本征矢正交定义:
X i X j 0 .)

C. 厄米矩阵的本征矢的正交归一完备。X i
X j ij
（若简并情况下k个本征矢不正交,可以通过线性 组合,变为正交的k个本征矢）.
A11 A21 An1 A12 A22 An 2 A13 A1n A2 n 0 A23
An 3 Ann
这是λ 的n 次方程, 解出λ 的 n 个根 λ i( 会有重根 , 这是简并情 况),就是n个本征值.将n个本征值 一一代入本征方程(1),可以解出n 个对应的本征矢Xi(i=1,2,…n).
4.5
量子力学的矩阵形式与表象变换 Nhomakorabea量子力学常用有两种理论形式：
1、薛定谔的波动力学； 2、海森堡的矩阵力学。
二者通过表象变换可以等价。
薛定谔的波动力学采用的坐标表象； 海森堡当初矩阵力学采用的能量表象。
本节内容：
4.5.1 4.5.2 4.5.3 4.5.4 量子态的不同表象，幺正变换。 力学量（算符）的矩阵表示。 量子力学的矩阵表示。 力学量的表象变换。
分立谱: Un(x)=Σ mamUm(x), am=∫U*m(x)Un(x)dx=δ
0 0 Un 1 _____第n行 0
mn
1 0 0 1 例如,U1 ,U 2 , 0 0 0 0
~* B B

cos U ( ) sin

sin cos
A1 由 A A1e1 A2e2 (e1 , e2 ) A ，得 2
A1 A1 1 －1 A －1 ＝ U ＝ R （ ） ， R （ ）＝ U A A A 2 2 2
厄米矩阵重要性：
厄米算符→厄米矩阵， 厄米算符的本征函数→厄米矩阵的本征矢。
量子力学的所有公式都有对应的 矩阵公式，求厄米算符的本征函数与 本征值等价于求厄米矩阵的本征矢与 本征值。
0 1 练习2，求σx= 1 0
的本征矢与本征值。
4.5.2 力学量（算符）的矩阵表示。 1、取一个表象Q，其基矢为{Un}. ˆ 在Q表象的矩阵表示定义为： 算符 F ˆ ˆU ) Fmn U m FU n d (U m , F n
现把力学量算符Ｑ的本征函数｛Ｕn｝看成 是某多维坐标系的一套基矢,任何态函数ψ (x)看 成一个矢量，叫态矢。展开系数｛ak}就是坐标 a1 ，排成单列矩阵：
a 2
量子力学把选定算符Q与正交归一完备本征函数{Un} 称之为Ｑ表象。任一态ψ (x)按算符Q的本征函数 {Un}展开系数｛ak}所成的单列矩阵ψ 就是ψ (x)所 描述的态在Ｑ表象的表示。
练习，求证U是么正矩阵。
么正变换小结
基矢变换： (e1, e2 ) (e1, e2 )U ( ) A1 1 －1 A 同一矢量不同坐标变换： A ＝U A 2 2
2、量子态的表象及其变换
A）、量子态的表象定义
ˆU q U 设力学量Ｑ，本征函数｛Ｕn｝,满足： Q n n n 由{Un}的完备性，任何态函数ψ (x)都可以用{Un}展 开，即 ψ (x)＝∑n an Un(x). 其中 an＝∫U＊n(x)ψ (x)dx.
(p ) p。
3、算符
1）坐标表象，本征矢为 ( x x )
ˆ ( x,i ) 在坐标、动量表象的矩阵表示 F x
x xx ( x x ) x ( x x )dx x ( x x )
p xx ( x x)( i ) ( x x)dx i ( x x) x x
B)、表象与三维空间的类比
1）Ｑ表象本征函数→三维空间坐标系基矢
都是正交归一,但Ｑ表象是多维的，甚至是 无限维的。这种由无限或有限维的本征函数 作基矢构成的空间叫希尔伯特空间 2）态函数（叫态矢）→三维空间的矢量A；
3）态函数在Ｑ表象单列矩阵→三维空间矢量 坐标表示；
4）不同表象之间变换（表象变换）→坐标系之 间变换。 二者变换都是么正变换，包括基矢（本征函数） 与展开系数间的变换。
4.5.1 量子态的不同表象，幺正变换。
1、同一矢量A的不同坐标表示及其变换。
同一量子态的不同表象表示及其变换类似 于同一矢量A的不同坐标表示及其变换。。 A）.取一个坐标系，相当取三个基矢: (e1, e2 , e3 ), 三个基矢是正交归一：ei· ej=δ ij B）任一矢量Ａ可按基矢{ei}展开：A＝A1e1+A2e2+A3e3 矢量Ａ可按展开系数即坐标来表示： 其中，系数Ai=(ei ·A)
A1 A A2 A 3

C）.同一矢量A，取不同的坐标系，其坐标表示 是不同的。不同坐标系基矢之间、同一矢量不同 坐标表示之间可以变换。这样的三维空间叫位形 空间或牛顿空间。
(e1 , e2 , e3 ), (e1 , e2 , e3 ),
具体形式为
b1 F11 b2 F21 F12 F22
ˆ 在Q表象里的矩阵表示为： B=FA 例1．波函数公式 F
a1 a A 2
e2 e2
c1 d1 ) (e1 , e2 ) (e1, e2 c d 2 2 ) (e1 e1) (e1 e2 ) (e1 , e2 ) (e1, e2 (e e ) ( e e ) 2 2 2 1
F1n a1 F2 n a2
是波函数ψ 在Q表象的矩阵表示，
b1 b2 B
是波函数在Q表象的矩阵表示。
•
算符与算符矩阵的对应
ˆ 是厄米算符，则对应矩阵F是厄米矩阵，即F+=F 1）若 F ˆB ˆ 的矩阵=AB。 ˆ, B ˆ 的矩阵分别为A，B，则 A 2）若 A

~ ( A)nm Amn
( A ) A
A A ( A ) A 4. 厄米矩阵 ， nm mn Anm
当A是实矩阵时，厄米矩阵是对称矩阵。
A A I 或 A A1 ，称A为么正矩阵。 5. 么正矩阵，

7.矩阵的本征方程与求解 1).矩阵A本征方程、本征矢与本征值 本征方程 ： AX=λ X A 是 n×n 方阵， X 是 n 行的单列矩阵，称本征矢， λ 是常数，称本征值。 2). 矩阵A的本征方程求解 由 AX=λ X, 得 （A-λ I）X=0 ----（1） 要有非零解，其系数矩阵行列式必须为0， 即 A I 0 ，称为久期方程。具体形式为：
例子见书P129练习1。
i px 1 1 2 ) e 2）动量表象，本征矢为 p ( x) ( 2