量子力学的表象与表示
第五章 量子力学的表象与表示
§5.1 幺正变换和反幺正变换
1, 幺正算符定义
对任意两个波函数)(r ?、)(r
ψ，定义内积
r d r r
)()(),(ψ?ψ?*?=
(5.1)
按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()r
ψ时，找
到粒子处在状态()r
?的概率幅。 依据内积概念，可以定义幺正算符如下：
“对任意两个波函数?、ψ，如果算符 U
恒使下式成立 ),()?,?(ψ?ψ?=U U
(5.2) 而且有逆算符1?-U
存在，使得I U U U U ==--11????1，称这个算符U ?为幺正算符。”
任一算符A
?的厄米算符+A ?定义为：+A ?在任意?、ψ中的矩阵元恒由下式右方决定
??(,)(,)A
A ?ψ?ψ+= (5.3) 由此，幺正算符U
?有另一个等价的定义： “算符U
?为幺正算符的充要条件是 I U U U U
==++???? (5.4a) 或者说
1??-+=U U
。” (5.4b) 证明：若),()?,?(ψ?ψ?=U U
成立，则按+U ?定义， ),??()?,?(),(ψ?ψ?ψ?U U U U
+== 由于?、ψ任意，所以
I U U
=+?? 又因为U
?有唯一的逆算符1?-U 存在，对上式右乘以1?U -，即得 1??U
U +-= 这就从第一种定义导出了第二种定义。类似，也能从第二种定义导出第一种定义。从而，幺正算符的这两种定义是等价的。
2, 幺正算符的性质
幺正算符有如下几条性质：
i, 幺正算符的逆算符是幺正算符
证明：设 1-+=U U ， 则()()(),1
11--+++-===U U U U 所以1-U 也是幺正
1
这里强调了 U
-1
既是对 U
右乘的逆又是对 U 左乘的逆。和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符 U
有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为 U
-1
。
算符。
ii, 两个幺正算符的乘积算符仍是幺正算符.
证明：设U
?、V ?是两个幺正算符，则 ()111??????()UV
V U V U UV -+++--=== 所以V U
??也是个幺正算符。 iii, 若一个幺正算符U ?和单位算符I 相差一无穷小，这个幺正算符被
称为无穷小幺正算符。这时U
?可记为 F i U
?1?ε-= (5.5a) ε为一个无穷小参数。于是U
?的逆算符(准确到ε的一阶，以下同)为 +-+=F i U
?1?1ε (5.5b) 利用U
?的幺正性, 1)??(1)?1)(?1(??=-+=-+=+++F F i F i F i U U
εεε 得到等式
F F
??=+ (5.6) 这说明，如将一个无穷小幺正算符U
?表示为上述形式，则其中的F ?为厄米算符。F
?也常称为幺正算符U ?的生成元。于是，按以下方式可以用厄米算符 Ω
构造出一个幺正算符U ? ()Ω∞
=≡Ω=∑?
i n n n e ?i !
n U ?αα01 (5.7)
这里，α为任意实数。
3, 幺正变换
幺正算符给量子系统带来的变换称为幺正变换。具体地讲，一个幺正算符对量子系统的幺正变换包括对态的和对算符的两方面的内容：
对波函数： )(?U U ψψ≡; (5.8a) 对力学量算符： )(1????U U U
Ω≡Ω-. (5.8b) 这两种变换必须配合使用，以保证任意概率幅在变换之后不改变，
),()?,()()()(U U U ψ?ψ?Ω=Ω
(5.9) 这可以检验：右边)?,()?,??()??,?()????,?(1ψ?ψ?ψ?ψ?Ω=Ω=Ω=?Ω=+-U U U U U U U U 。
例如，对一个量子系统施以三维富里叶积分变换：波函数)()(p r ψψ→和算符)(?)(?p r Ω→Ω，正是下节常说的由坐标表象向动量表象变换，便是一种幺正变换。这时
3/2?(2)i p r dr U e π-?=?
(5.10a)
13/2
?(2)i r p dp U e π?-=?
(5.10b) 注意，这里算符U ?是一种积分变换，其中，r 为积分变数，p 为参量。
因此当U ?和后面的算符或坐标函数作乘积运算时，r 必须和后面（算符或坐标函数）的自变量取成相同并对其求积分，p
作为参量保持不变
（因此，p 类似于矩阵乘积中的行标——保持固定，而r
则是它的列标
——与后面取一致并求和）；1?-U 的作用则相反，p 为积分变数，r 为参
量（此时r 为行标，p
为列标）。在多个算符连乘的运算中，中间的积分变数的记号必须注意相互区别，以避免混乱。比如
()3/2
?()()(2)
i p r dr p U r e r ψψψπ-?==?
(5.11a)
()13/2?()()(2)i r p dp r U p e p ψψψπ?-==?
(5.11b)
??'??'???
i i -p r r p -1h h 3/23/2
dr dp UU =e e (2πh)(2πh) '?'?''???
?
i -(p-p )r h 3
dr
=dp e (2πh)=dp δ(p -p )
(5.12) 这说明，算符1-UU 将任意动量函数()p ' ψ变为同一函数()p
ψ，是一个
恒等变换。还有，
m p U ?m p ?U ?222
12 =- （5.13） p i U ?r ?U ??=- 1 (5.14)
由(5.13)和(5.14)式又可以得到
)p (m
p )r (U ?U ?m p ?U ?)r (m
p ?U ?
ψψψ2222122
=?=?- (5.15)
（5.15）式也可以换一种算法——作直接变换来得到，即
?????? i 22-p r h 3/2p dr -U ψ(r)=e Δψ(r)2m (2π)2m
})()(){2()
2(122/3????-?-???+??-=r d e r p i d r e m r p i r p i
ψσψπ ??
i 22-p r 2h 3/2-i dr p =()(p)ψ(r)e =ψ(p)2m (2π)2m
由（5.13）和（5.14）式可知，在 U 的变换下，Hamilton 量)(2??2r V m
p H +=改变成为)i (V m
p H ?p
?+= 22
。这里利用了无穷远处粒子密度为零的边条件，确切些说，利用了动量算符的厄米性条件（参见第一章第四节）。
应当强调指出，量子体系在任一幺正变换下不改变它的全部物理内容。这个“全部物理内容”包括：基本对易规则、运动方程、全部力
学量算符方程、全部概率幅。比如，容易检验：基本对易规则在U
?变换下确实是保持不变的，
i x p p x x p p x
U U U U =-=?-?)()()()(???? (5.16)
关于全部概率幅不变是说应当有
()()r p
f f ?ψ?ψ= (5.17) 这里，()
r f ?ψ
是粒子处在)(r ?态时，找到它处于)(r
ψ态的概率幅，即
?*=r d r r f r
)()()
(?ψ?ψ
f 上标)(r
表示它是在变换之前由坐标波函数算出的。接着，系统经受
幺正变换U ?：)()(p r ??→，)()(p r ψψ→，自变数成为p 。于是变换之后，
这个概率幅应当表示为
?*=p d )p ()p (f )
p (
?ψ?ψ
现在来证明(5.17)式：实际上，
()()()()()??'??'
'??????
i i p r -p r
**2
32dr dr dp ψp p =dp ψr r e
2π ?'-''=*)r r ()r ()r (r d r d
δ?ψ
)
r (f )r ()r (r d ?ψ?ψ==?*
这表明任何概率幅的确没变。
反过来也可以说，两个量子体系，如能用某个幺正变换联系起来，它们在物理上就是等价的。这里，“物理上等价”的含义是从实验观测的角度说的。就是说，如果全部可观测力学量在两个系统中的观测值以及得到这些值的概率都对应相等，就说这两个系统在物理上是等价的，可以认为它们在物理上是相同的。因为从实验观点来看，它们之间已无区别。
※4, 反幺正变换
反幺正变换的全名是反线性的幺正变换。为阐述其内容，我们先定
义反线性算符。一个反线性算符 A
满足 ψβ?αβψα?A A A
??)(?**+=+ (5.18) 这里α、β为任一复常数，?、ψ为任意波函数。就是说，如将某一常数抽出算符作用之外，需要对它取复数共轭。这是与线性算符唯一的然而是极本质的差别。
反线性算符 A
的厄米共轭算符 A +的定义是 )?,(),?()?,(?ψψ?ψ?+*+==A A A
(5.19) 这里，为了使定义在逻辑上自洽，中间这个内积必须要有复数共轭。可作如下检查即知这一点是必须的：设想从内积的?或ψ中抽出一个复数常系数。
反线性的幺正算符A
?(反幺正算符)定义为 )?,(),?()?,(11?ψψ?ψ?-*-==A A A
(5.20) 根据这个定义，立即知道，对反幺正算符也有
1??-+=A A
(5.21)
这导致I A A A A
==++????。这和幺正算符相同。 反线性算符的进一步叙述参见附录一。
§5.2 量子力学的Dirac 符号表示
1, Dirac 符号
先从三维空间中对任一矢量的表示方法说起。众所周知，所有同类三维矢量的线性组合构成了三维空间。为了表示这个空间中的任一矢量，可以在三维空间中事先选定一个坐标系(比如某个笛卡儿坐标)，于
是任一矢量A 在这个坐标系中便由相应的三个数(是A
与坐标轴单位
矢量i e
的标积，也称为这个矢量在这个坐标系中的分量3,2,1,==?i A e A i i
)来表示。于是，标积、矢积、微分等各种运算便转化为对相应坐标进行数值运算。通常，三维空间任一矢量的表示方法依赖于坐标系（也即基矢）的选取。但是，也可以不选取任何基矢，而
只直接就将这些矢量写作为A 、B
、......，并利用标积B A ?、矢积B A ?等等，形式地表示对它们的代数运算或微积分运算。由于这种描述不依赖于基矢即笛卡儿坐标的选取，所以它是一种抽象的、普适的表示方法。
在量子力学中，按照态叠加原理，一个量子体系的所有可能状态将构成一个线性空间，这个由全部状态集合构成的线性空间通常称为Hilbert 空间。体系的每一个状态对应于体系Hilbert 空间中的一个矢量，称为状态矢量，简称态矢。所以状态Hilbert 空间又常称为态矢空间（或态空间）。这个Hilbert 空间的范数便是状态之间的内积
),(ψ?=N 1
。
在Hilbert 空间中，所有态矢都称为右矢，比如右矢A ，等等。这里，记号A 是对此态矢的某种标记。标记的办法以确切、简便为准。比如用系统的好量子数组来标记（例如nlm ）；也可以用态矢的波函数(它和态矢的关系下面即将谈及)来标记，例如态矢nlm 可记为nlm ψ；
如果要强调态矢随时间的变化，也可以记为()t nlm ψ；另外还有r ' ，p '
等等。这里，r ' p ' ）是坐标（动量）算符的对应于本征值为r ' （p '
）
的本征态，即有r r r r ''=' ?（p p p p ?''=' ）。 对于每一个右矢A ，对应地还有一个左矢A 2，它与该右矢互为
厄米共轭，即
+=)(A A 和 ()A A =+
(5.22)
1
注意，量子力学中的状态空间 —— Hilbert 空间不完全等同于数学中的Hilbert 空间。因为前者还包括了归
一化到δ-函数的矢量，而后者无此类矢量。
2
左矢常称为bra ，右矢常称为ket ，这是bracket 一字的左三个字母和右三个字母。
于是，用于展开态矢的基矢也就有左基矢和右基矢之分了。
有了左矢和右矢的概念，便可以引入内积——投影的定义。右矢A向右矢B的投影是右矢A与对应左矢B的内积，即
B A=在态矢A中发现态矢B的概率幅（5.23a）按量子力学基本假设，此式含意若用波函数表示便应当是
()()r d r
r
A
B
A
B
ψ
?*
?=(5.23b) 这个内积关于A是线性的，关于B则是反线性的。这可以设想从它们中各自抽出一个复数常系数，看是否经受复数共轭操作，便可以知道。由内积定义可知
*
=B
A
A
B(5.23c) 显然A（或A）和自己的内积A
A是个正数。对于标记(编号)为分立的一组左（右）态矢，如果彼此间的内积为零，自己的内积为1，称它们为正交归一的；对于标记(编号)为连续的一组左（右）态矢，若它们之间的内积是δ-函数，就称它们为正交归一的。于是对含连续参量的坐标本征态和动量本征态，归一化条件为1
?
?
''
?
?
i p(r-r')/
3
-i r(p-p')/
3
dp
r r=e=δ(r-r)
(2π)
dr
p p'=e=δ(p-p')
(2π)
(5.24)
和三维空间矢量解析的情况相似。在量子体系的态矢空间中，对态矢的描述可以不必事先选取基矢，而是采用抽象的态矢符号，以普适的方式表示它们在状态空间中的变化。但是，为了能在态矢空间中进行具体的计算，需要选定一组特定的态矢作为基矢，用它们去展开任意态矢。这里，
第一，为了运算方便，所选基矢最好是正交、归一的。就是说，规定基矢组{ξ和{}ξ有如下正交归一的性质
对分立编号：正交归一条件为
ij
j
i
δ
ξ
ξ=(5.25a) 对连续编号：正交归一条件为)
(ξ
ξ
δ
ξ''
-'
=
''
'(5.25b) 第二，若要能够展开任意的态矢，选做基矢的一组态矢必须是完备的。可以证明，这要求基矢组必须满足以下条件
对只有分立编号：完备条件为I
i
i
i
=
∑ξ(5.26a) 对只有连续编号：完备条件为I
d=
?ξξ
ξ(5.26b) 一般情况下，一个完备的基矢组常常既包含分立的基矢集合，又包含1后两者为连续表象。在这类表象中正交归一化为δ-函数。这使量子力学的Hilbert空间大于数学中由平方可积函数组成的传统的Hilbert空间。详细还可参见下面叙述。
着参数连续变化的基矢集合（两集合之间也正交）。如同质子和电子耦合系统的能谱和状态空间那样，既有负能区分立的束缚态部分，也有正能区连续的散射态部分。因此，完备性条件的普遍形式应为
'''∑?i i i
I =ξξ+ξd ξξ (5.26c)
如果所选基矢是完备的，它应当能够展开任一态矢A ，于是有
∑?i i i
A =a ξ+a(ξ)ξd ξ (5.27)
可以证明，完备性条件(5.26c)式与可以对任意态展开的(5.27)式相互等价。
先证明由(5.27)式可得（5.26c ）式。用分立编号的左基矢j ξ乘(5.27)式，注意基矢的正交归一性，展开式右边就简化为
∑∑j i j i i ij j i
i
ξA =a ξξ=a δ=a
若用连续编号的左基矢ξ'乘(5.27)式，类似可得
)(a d )()(a }d )(a {A ξξξξδξξξξξ'=''''-'''='''''''='??
将这两个系数表达式再代入(5.27)式，即得
?∑?∑+=+=A d A d A A A i
i i i
i i ξξξξξξξξξ
由A 的任意性，即得普遍的完备性条件(5.26c)。
反过来，由(5.6)也可以得到(5.27)式。因为
??
'''????''''''
∑?∑?∑?i i i i i i
i i i
A =I A =ξξ+ξd ξξA
=ξξA +ξd ξξA
=ξA ξ+ξA ξd ξ
以后，常常将这些完备性条件作为单位算符，插入运算式中适当
的地方，转入相应的基矢展式中，以便进行具体的运算。
显然，当坐标算符本征值r
'
连续变化取遍全空间时，坐标空间的本征矢{},r r ?
是完备的，因为用它们足以展开任何态矢。注意这组基矢的编号是连续的。对动量算符本征矢情况类似。于是，对于坐标空
间的本征基矢{},r r ? ，以及动量空间的本征基矢{},p p ?
，有它们的完备性条件
?
r dr r =I 和
?
p d p p =I (5.28)
两式物理意义很明确：前者表示，在空间任一点总可以找到粒子；后 者表示，不论粒子处在何种状态，总可以对它作动量成份的分解。
两个态矢A 和B 之间的内积也可以具体地写出来。这时有
?
∑+
=ξ
ξ
ξ
ξd
)
(a
a
A
i
i
i
?
∑'
'
'
+
=*
*ξ
ξ
ξ
ξd
)
(
b
b
B
i
i
i
它们的内积为
?
∑'
-'
'
+
=*
*ξ
ξ
ξ
ξ
δ
ξ
ξ
δd
d
a
b
a
b
A
B
ij
ij
j
i
)
(
)
(
)
(
?
∑*
*+
=ξ
ξ
ξd
a
b
a
b
i
i
i
)
(
)
((5.29) 这正是三维空间中（取定某个笛卡尔坐标系之后）两个矢量之间标量积的简单推广。
根据内积定义的物理解释：A
B为在A中发现B的概率幅，应当有
)
(r
A
r
A
ψ
=(5.30a) 这是因为，等式左边的含义是在A态中找到粒子位于 r处的概率幅，而这正是等式右边波函数)
(r
A
ψ的含义。同样，由内积解释还可以得到
?
i p r/
3/2
e
r p=
(2π)
(5.30b)
?
-i p r/
*
3/2
e
p r=r p=
(2π)
(5.30c) 这里，指数前面的分数是为了保证此类连续态能够归一化到δ-函数。
以上是关于量子力学第一公设（波函数公设）的另一种表述——将系统状态空间中的状态用Hilbert空间中Dirac符号的态矢表示。这种将量子状态表示作态矢的方法是一种抽象的普适的描述方法。
Dirac符号表示的重点在于量子状态。至于量子力学的第二公设——算符公设的表述形式, 可以保留第一章中那样，也可以只抽象地设定各个算符的符号，而不进一步设定算符的表示形式（例如，动量算符就只写成为p? 、坐标算符就为r? 等等）。
关于量子力学的第三公设——测量公设，对状态A进行力学量Ω的多次测量后所得平均值，现在用Dirac符号表示即为
A
A
A
?
A
?
A
Ω
=
Ω
≡
Ω(5.31a) 如果被测态已经归一化，则有
A
?
A
?
A
Ω
=
Ω
≡
Ω(5.31b) 注意，(5.31)式只说明它是算符Ω?在态矢A中的平均值，并未规定采用什麽样的基矢来展开，并未说明怎样去作相应的具体计算。
关于量子力学的第四公设——dinger
o
Schr 方程，用Dirac符号表示就是
()()
(),t r ?V m p ?dt
t d i ψψ?
?????+=
22 初条件()()00
ψψ==t t （5.32）
2, Dirac 符号的一些应用
在后面用Dirac 符号作大量具体计算之前，先证明两个广泛使用的态矢等式
???
???
?''='''
-='r r i r p ?r r i p ?
r ????
(5.33a)
这里r r '?≡'
??
是r
'坐标中的梯度算符，只负责对其后变数r '
的函数进行
微商。这两个态矢等式的含义是：将第一（第二）个等式作用到任意的右矢（左矢）上，等号恒成立。具体意思见下面证明过程。
证：用任一态矢A 右乘第一个等式的左边，得A p ?r
'。接着，在态矢A 的前面插入动量表象基矢的完备性条件，利用
()ip r 32?r p p p r p p e 2''?''''''==π
，得
p d A p p p r A p r ''''='?
?? ip r /A 3/2
e =p ψ(p )dp (2π)
''?'''?
()
i p r /A 32dp i e (p )r'2''?'?'=-ψ?π?
A r r i r r i A ''
-=''-=
??ψ??)(.
由于A 是任意的并且不依赖于变数
'r
，可从等式两边除去它。这表明存在如下左矢等式
r r i p r ''
-='
??? 证毕。
第二个等式其实是第一个等式的厄米共轭，也可作类似的证明（习
题10）。值得注意的是，这里等式左边的 p
是量子力学的动量算符，而等式右边的r ?
?'
只是对右矢r ' 中本征值
'r
的微商运算，不对其它态矢作用。这从上面运算过程可以清楚地看出。类似地，还有另外两个态矢等式
???
???
?''='''
-='p p i r p p p i p r ?????? (5.33b)
可以插入坐标表象的完备条件进行类似证明（习题11）。
※3, 关于Dirac 符号的局限性
用Dirac 符号表示的矩阵元B ?A Ω
可以有两种不同的理解： {}B ?A B ?A Ω
=Ω，或{}B ?A Ω 如前面所说，这里的左矢{}Ω?A 应理解为右矢{}A ?+Ω
的厄米共轭。若Ω?是厄米和幺正这两类算符(更一般地，只要Ω?是线性算符)，两种理解结
果相同，于是这种含混不会引起问题。因为， 不论Ω
?是厄米还是幺正，都有
{{}+
++Ω=Ω=Ω=Ω
?A ?B B A ?B ?A B ?A
{}{}
B ?A )A ?(B ?Ω
=Ω=++ 从内积两种表示相等()B ,A ?()B ?,A (+Ω=Ω
)1也可以看出这一点。但是，当Ω?为反线性算符时(比如时间反演算符T ?)，这两种理解将导致不同的
结果。这是因为反线性算符π?不存在通常意义下的厄米共轭算符+π
?(参见前面反线性算符的厄米共轭算符定义（5.19）式) ：
),?()?,(B A B A +≠ππ
此式左边关于B 是反线性的，而右边(不论+π
?取何形式)关于B 都是线性的，所以不论算符 π
+取何形式都无法这个等式成立。同样，对一个反线性算符π?，也有
{}{}B A B A ππ
??≠ 因为，左边的内积关于A 、B 均为反线性的，而右边的内积关于A 、B
均为线性的。由此可知，必须分辨下面两种情况
{B A π
?和{}B A π? 或者返回到更精密的记号
B A B A ππ
??,≡，B A B A ππ?,?≡ (5.34) §5.3 表象的概念
1, 波函数的标记和分类
三维空间de Broglie 平面波需用三个本征值(x p 、y p 、z p )来标记分类，若三个中少一个，波函数的标记就不完全，出现对该本征值（量子数）的简并。但这个标记分类的办法并不是唯一的。换一个角度，也可以用另外三个本征值来分类和标记这个解集合中的元素。比如在球坐标下，这个解的集合便由全体自由粒子球面波(球坐标中三维自由方程解的集合，见第四章第四节)所组成，这时用量子数(n 、l 、m )来
1
第二种理解
{}
A B Ω相应于( ,)Ω+
A B 。这是因为
A A A A ( )( ) Ω
ΩΩΩ===+++++。
标记和分类。再比如，既可以用量子数(x n 、y n 、z n )来标记三维各向同性谐振子的全部状态，也可以用量子数(n 、l 、m )来办到。标记中所用的一组(与量子数对应的) 力学量应当可以同时测量，对应的一组力学量算符必须彼此都能对易，因为它们已经同时各自具有确定的本征值，
由上面分析可以说：任一量子体系的波函数集合总能用相互对易的一组力学量算符的本征值来区分和标记。如果这组算符数目选少了就出现态的分类不彻底，波函数标记不明确的现象，就是说，会出现量子态对（未被选入的）某个力学量本征值的简并。能够对一个量子体系全部状态进行彻底(不出现简并)地分类标记的最少数目力学量算符，称为这个量子体系的完备力学量组。为了叙述简明和计算方便，通常选用该体系的守恒力学量作为完备力学量组中各力学量，就是说，常常用好量子数对态进行分类。
应当指出，由于力学量的本征值有的连续变化，有的分立变化，因而不同的量子体系，其状态的分类和标记有的是连续的，有的是分立的，有的还是两者兼有。甚至同一量子体系，若从不同的观点对其状态进行分类，也可以有时是分立的有时则是连续的。这要看分类时所选用的算符完备组的性质而定。比如氢原子问题，在束缚态问题——也即分立谱的范围内，可以选能量、轨道角动量及其第3分量这三个力学量做完备力学量组，对应的好量子数完备集为{}nlm ，本征函数族
为)}({r nlm
ψ。如果考虑与自旋有关的效应，还应计入自旋角动量的第3分量，否则就会无法进一步区分各种不同的自旋状态。进一步，如果还考虑电离和散射等非束缚态，则还应当包括正能区的连续谱。这时也可以仍然采用上述这种分类——将平面波按球面波展开，也可以引入动量矢量和自旋分量的量子数来作区分。此外，如果问题采用力学量r
的本征值来分类(同常它不是好量子数)，则量子态便被标记为关于r
的一系列（平方可积的）连续函数及其线性叠加。这等于直接用波函数来标记状态。
显然以上叙述也同样适用于对前面态矢作分类的情况。 2, 量子力学的表象概念
众所周知，在三维空间中，为了描述任一个三维矢量，可以事先选
定一组特定的彼此独立——线性无关的矢量{}3,2,1,=i e i
作为基矢。这组基矢是三个坐标轴上的三个单位矢量。从此以后，便可以用它们来
展开三维空间中任一矢量，也即，任一矢量A
就可以用它的坐标——
在这三个基矢上的投影i A （等于内积,e A i
?）来表示。通常在三维空间中说，选定了基矢就是选定了坐标系，向某组基矢投影便进入了该坐标系。坐标系有无穷多种取法。于是，三维空间中，同一矢量的表示
方法会有无穷多种。同一矢量各种表示之间可以相互转换，称为该矢量的坐标变换。不同坐标之间的变换取决于不同基矢组之间的转换。
为了计算简单，通常选作基矢的三个矢量总是正交归一的（ij j i e e δ=?
）。
总体来说，量子系统的情况和三维空间上面的叙述很类似，但量子系统的态矢空间—— Hilbert 空间通常是无穷维的，所以它的基矢通常有无穷多个：有时是可数无穷多，有时是连续变化的无穷多，这要看基矢所属力学量算符的性质而定。比如，选定一组基矢为可数无穷的情况，即选定{} ,,,n ,n 210=?之后，态矢空间中任一态矢A 即按这组基矢进行展开，其中展开系数A a n n ?=是A 向基矢n ?的投影（内积），
∑∞
==0n n n a A ?
由于内积可能是复数，所以另一条和三维空间情况不同的是，此时系数n a 可能是复数。由此，态矢A 便可以用这组复系数{}n a 来表示，有时就称它们为该态矢（在这组基矢中）的波函数。而作用于态矢A 并使它变化的各种力学量厄米算符，便成了无穷维厄米矩阵，它们决定着态矢的变化，成为态矢之间的某种映射。对于基矢为不可数无穷的情况，力学量厄米算符将是积分或微分算符的形式，参见下面叙述。
每选择一组展开基矢，态空间便有了一种描述方式，就说是选取了一种表象。同时，将一个矢量方程向某组基矢投影，便意味着进入了相应的（由该组基矢所代表的）表象。比如说，这从下面坐标表象、动量表象的例子可以明白。
表象的改变意味着状态空间中基矢的改变。表象变换是一种幺正变换。选用不同基矢去描述同一体系，得到的全部物理结论都应相同。举个例子便是前面坐标表象到动量表象的幺正变换。这也是下节Wigner 定理普遍结论：“不改变体系任何物理结论的变换?幺正或反幺正变换”的一个特例。
同样，为了计算简单，通常选择的基矢都是正交归一的：分立的、可数无穷情况归一为化ij δ，连续的、不可数无穷情况归一化为-δ函数。详细见下。
和前节叙述相同，作为基矢显然必须是完备的，因为要用它们来展开任意的态矢。基矢不完备就不能展开任意的态矢。
3, 几种常用的表象
几种常用的表象是坐标表象、动量表象和能量表象，它们分别相应于在状态空间对基矢的不同选取。
坐标表象。这是选取了坐标算符的本征态集合{}r ,r '?'
作为态矢空间的展开基矢。于是，如前面所说，取定这组基矢便是取定了坐标表
象，任一矢量或矢量方程向这组基矢投影便是进入了这个表象（对于多因子乘积的、复杂一些的方程，在转入坐标表象时，需要在方程所有乘积中间各自独立地插入坐标表象完备性条件）。坐标表象完备性条件见(5.28)。与此相应，任一态矢A 的展开式就成为如下积分展开的形式，
()A A dr r r A r r dr ''''''=?=???
(5.35a)
这些展开系数的集合构成了r '
的一个连续函数)r (A r A '='
?。它们是态矢A 向坐标表象基矢r ' 上的投影坐标（即与左矢r '
内积，见内积定义(5.23)）。全体坐标就是态矢A 在坐标表象中的表示，也就是态矢A 的波函数。当然也可以不借助态矢的语言，完全在坐标表象中对应
写出这个展开式。办法是将该式向坐标表象基矢r
投影，成为
()()()()r d r r r r d r r r r A A A ''-'='''=??
δ??? (5.35b)
此式完全使用坐标表象的波函数语言解释了上面展开式。于是，第一
章中说)r (A ' ?是系统处在这样一个状态上，粒子坐标取r '
的概率幅为
)r (A '
?；现在有了等价的说法。
可以将态矢形式dinger o
Schr 方程(5.32)式向坐标表象投影。为此注意，坐标表象的基矢不随时间变化，以及（5.33a ）式，于是
???
?????+-=+==)
()]()(21[)())?(2?()
,()()(22t r r V r i m t r V m p r t
t r i t r t i t t i r ψ??ψ??ψψ???ψ? (5.36) ),()]()(21[2t r r V r
i m ψ??+-= 就得到以前的dinger o
Schr 方程——在坐标表象中的dinger o Schr 波动方程。
另外，在坐标表象中也可对任意矩阵元进行计算。例如，对动量算符在坐标表象中的矩阵元，利用（5.33a ）式，有
()r r m r r r i r m p ?r ''-'?'-='''????
??'??-='''
δ22222 (5.37) 再比如，动能算符在两个任意态矢之间的矩阵元，在坐标表象中的计
算办法是：在适当地方插入坐表表象的完备性条件——这样做的实质即是将各个量均向坐标表象投影。如下：
??'''''''''=r d r B r r m
p r r A B m p A
2?2?22 ??'''''??
????''-'?''-'=*r d r d r r r m r B A )()(2)(2ψδψ
??'''??
????''?''-''-''=*r d r d r m r r r B A
)(2)()(2ψδψ
?''?'-'=*r d r m
r B A )()2)((2ψψ (5.38) 这就是在坐标表象里对B m
p
A 2?2 的具体解释。推导中第三步等号利用
了两次分部积分和A ψ（或B ψ）的束缚态边条件。
动量表象。这是选取了动量算符的本征态集合{}p ,p '?'
作为态矢
空间的展开基矢。任意矢量或矢量方程向这组基矢投影（若多因子乘积情况还须插入动量表象完备性条件，如同坐标表象中那样），便进入
了动量表象。由于动量算符本征值p '
也是连续变化的，动量基矢编号也就是连续的，完备性条件见(5.28)。而任一态矢A 在动量表象的展开式为
()??'''=?'''=p p p A p p p d A A
? (5.39a) 这时，展开系数集合构成变数p ' 的一个连续函数)p (A p A '='
?。在这
个表象中，态矢A 便可以用它的坐标集合，即函数)p (A '
?来表示（有时称为动量波函数)。同样地，也可以放弃态矢展开语言，完全在坐标表象中将此展开式对应地写出来。办法是将这个矢量表达式向坐标表
象基矢r
投影，写成
()()()p d e p r r
p i A A ''=?'?
2
3
2π?? （5.39b ） 此式只使用坐标表象的波函数语言解释了(5.39a)式：将任意态的波函数用动量本征态的波函数展开，得到的系数集合便是该态的动量波函数。也可以将(5.39a)在动量表象中写出来。办法还是：将该式向动量
表象基矢p
投影。可得
()()()p d p p p p A A ''-'=?
δ?? (5.39c) 此式使用动量表象的语言表述了(5.39a)式。
也可以写出动量表象中的 (5.32)式，办法是将它向动量表象基矢投影。注意，动量表象基矢不随时间变化以及(5.33b)式，于是可得
()()()()
()()()?????
???????????? ????+=?????????? ????+=????
??+??=??=??t ,p p i V m p t p p i V m p t r ?V m p ?p t t ,p i t t p i t t i p ψψψψψψ22222
2 即
()()t ,p p i V m p t t ,p i
ψψ????
?????? ????+=??22
(5.40)
这就是动量表象中的dinger o Schr 方程，方程的自变数为（t ,p
）。由于
势能V 的函数形式（通常比动能T ）复杂，算符???
?
????p i V 通常很复杂，
除概念分析外，实际计算中动量表象远没有坐标表象有用。另外，在动量表象中也可对任意矩阵元进行计算。例如，对动量算符在动量表象中的矩阵元，利用（5.29）式，有
()p p m
p p p m p p m p ?p ''-'''='''''=''' δ222222 (5.41) 可知，动量算符在自己的表象中是对角的。对(5.37)式一般矩阵元，也
可以类似于坐标表象中的做法，通过插入动量表象完备条件，转入动量表象来表述。这里省略。
能量表象。此表象取一组分立的能量定态，包括相互对易的三个算符（H 、L 2和L z ）的共同本征态{}nlm ,nlm ?作为展开基矢。由于此时基矢编号(nlm )通常是分立的，所以完备性条件为
I nlm nlm nlm
=∑ （5.42）
任意矢量或矢量方程向这组基矢投影（若多因子乘积情况还须插入能量表象基矢完备性条件），便进入了能量表象。任一态矢A 向此表象基矢投影的坐标集合是如下展式中一组系数{A nlm A nlm =，
nlm A A nlm
nlm ∑= (5.43a)
这组系数{}nlm A 就是态矢A 在能量表象中的表示，是态矢A 在能量表象中的“波函数”。
可以在坐标表象中将(5.43a)式重写出来，即将(5.43a)式向坐标表象投影，得
∑=n l m
n l m n l m A )r (A )r (
ψ?
（5.43b ） 与此相应，展开系数用坐标波函数表述出来便是 ()??====*
A nlm A nlm nlm ,r d )r ()r (A r r nlm r d A nlm A ?ψ?ψ (5.43c) 当然，也可以用向动量基矢投影的办法，在动量表象中写出(5.43a)和
(5.43b)式。此处从略。
注意，由于能量表象基矢编号(nlm )通常是分立的。于是，能量表象的表现形式有显著特点：代表态矢的展开系数{}nlm A 是断续的。与此相应，作用于态矢并使态矢改变的各种力学量算符便具有了可数的无
穷维厄米矩阵的形式。比如，态矢A 在某个算符 Ω
作用下变换为态矢B ，
B A ?=Ω
(5.44a)
这个态矢方程用能量表象来表述就是，将此矢量方程向能量表象的基矢nlm 投影。设其中态矢A 和B 在能量表象的基矢中展开式为
∑∑'
'''
'''''''''''='''=m l n m l n m l n m l n m l n B B ;m l n A A
于是(5.44a)式成为
∑∑'
'''
'''
'''
'''''='''Ω
m l n m l n m l n m l n m l n B
nlm m l n ?A
nlm
也即
m l n m l n m l n m l n B
m l n nlm A
m l n ?nlm '
'''
'''
'''
''∑∑'''=
'''Ω
下面为书写简明，脚标的一组量子数(nlm )用一个符号 i 表示，记Ω
?矩阵元为ij ω，得
∑=j
i j ij B A ω， 这里 j ?i ij Ω
=ω 于是（5.44a ）式便成了如下矩阵形式
????
???
??=??????? ????????? ??
212122211211B B A A ........................................,......,,......,ωωωω (5.44b) 这里矩阵()ij ω、矢量??????? ?? 21A A 和??????
? ?? 21B B 分别表示能量表象中的算符 Ω、态矢A 和B 。当然，也可以将（5.44a ）式向坐标表象或动量表象投影，
得出相应的表达式。
注意，如果物理图象是算符Ω
?扰动使原子能级由j i →跃迁，则在含时框架下，能量表象的基矢均有一个含时相因子 /iEt e -，所以矩阵元
()i j ij E E t exp i
??-??
ω∝??
???
?
，时间因子中的频率j i j i E E ωω-=- 体现了光谱学中的里兹组合定则。实际上，这正是矩阵力学创始人Heisenberg 思考
的出发点之一。
上面讨论表明，如果取坐标表象描述一个量子体系，由于坐标算符的本征值是连续变化的，状态便用坐标的连续函数——波函数表示，而（作用在波函数上并改变它们的）力学量算符便一般地表现为微分算符——除了只含坐标的力学量，由于是在自身的表象中，所以表现
为普通坐标函数。坐标表象最先由dinger o
Schr 提出，所以这一表象也常称为dinger o
Schr 表象。在这种表述下的量子力学常被称为波动力学。另一方面，如果取能量表象来描述这个量子体系，由于基矢通常是分立的，状态便用一组可数的复常数作成列矢量来描述，而力学量算符
便相应地变成厄米矩阵。一般地说，这些矩阵是无限维的。如果问题只涉及某个给定能量数值下状态的子空间（即部分状态），设此时独立状态总数为n 个，则任一状态便可表示为一个n 分量的列矢量，而（作用在这些列矢量上并改变它们的）任一力学量算符也就成了n ×n 阶的厄米矩阵。能量表象最先由Heisenberg 提出，所以这一表象也常称作Heisenberg 表象。在这种表述下的量子力学常被称为矩阵力学。
作为采用各种表象作计算的一个比较，举一个计算 p 在态A 中平均值的例子，设A 为归一的。在具体计算这个平均值时，可以选取任何
表象进行。例如，可取坐标表象来表述这个平均值，办法如同上面做的那样，在适当地方插入坐标基矢的完备条件。即
??
'''''''''==r d r d A r r p r r A A p A p ??? ??'''''???
????'''''???'=*r d r d r r r r i r A A )()(ψψ
这里使用了(5.31)式。接着
??'''''-''''''=*r d r d r r r i r r p
A A
)]()[()(?δ??ψψ ??''''''
'-''-''=*r d r d r r i r r r A A )]()[()(ψ??δψ 这里作了分部积分，为了将分部积分积出的边界项弃去，用了态A ψ为束缚态的边条件。于是得到
?'''
-'=*r d r r i r p A A
)]()[(?ψ??ψ 这就是在坐标表象里动量算符平均值的表示式，正是以前的结果。也可以采用动量表象进行计算，这就要插入动量基矢的完备条件转入动量表象来表述。于是有
?'''=p d A p p p
A p
?? ?
'''=p d )p (p A 2ψ
显然，此权重平均表达式正是动量表象中这个平均值的含义。总括起
来，对于p ? 在态A 中的平均值可以有许多种表达方式，这里给出三种，
以作对照比较。即
坐标表象 ： ??-=*r d r i r p A A
)())((?ψψ 动量表象： ?*=p d p p p p A A
)()(?ψψ 无表象——抽象的Dirac 符号表示：
A p A p
?? =。 对于A r
A ?
的计算，可以利用(5.33)式作类似的计算，这里不再赘述。对于其它力学量算符平均值、各种内积和矢量方程都不难参照（5.37）式和此处进行。
4，Dirac 符号下的表象变换。 比如，第一节中从坐标表象向动量表象的变换 —— 傅立叶积分变换(5.10a)和(5.10b)式，现在就可以表示为
?
U =dr p r (5.45a)
''?
-1U =dp r p (5.45b)
注意变换矩阵U 的行标p
和列标r 均为连续变化,1-U 也类似。于是，波
函数)(r A ψ→)(p A
ψ以及)()(r p A A ψψ→的两个变换过程可分别表示为
?=A r r p r d A p ?'''=A p p r p d A r
简单计算可以验证，1-U 和U 相乘是个恒等变换：得到(5.12)式或用坐标表示的类似形式。
举个表象变换的例子。利用Dirac 符号，容易将（5.41）式(动能算符在动量表象中的矩阵元)转换到（5.36）式(动能算符在坐标表象中的矩阵元)。用(5.45b)和(5.45a)两式对（5.41）式的左方作表象变换
r m
p r r p p d p m p p p d p r p m p p '''=''''''?'''?'''→'''?? 2?2?2?222 后一步的等号是由于用了动量表象基矢完备性条件。由此看出，采用
Dirac 符号能十分简明地实现表象变换。与此相应，（5.41）式的右边也将变为（5.36）式的右边，
??''''''?''-'''?'''→''-'''r p p d p p m
p p d p r p p m p )(2)(222δδ ?''=''?'-'?'p d e m p e r p i r p i
/2/32)
2(1π ?'??'-=''-'?'p d e m r r p i /)(32)
2(12π )(22r r m
''-'?'-=
δ 这里附带指出，算符
A A A =π
(5.46)
是向态矢A 的投影算符。它的功能是：作用在后面态矢上时将它向A 态投影，即
A B A B A =π 说明算符A π将B 态向A 态投影，给出在B 中含有A 的概率幅。而它的平均值
2
A B B B A =π 则是在B 态中找到A 态的几率（反过来理解亦可）。由此，不难理解
前面所用的各类基矢的完备性条件：如果基矢是完备的，则向所有基矢投影的投影算符总和是个单位算符。因为，这只不过是重申任一归一化态矢的归一化条件而已，
∑∑∑====i
i i
i i
i i b B B B B B 2
2)(1ξξ
※§5.4 Wigner 定理1
1, Wigner 定理
“如果一个使体系在物理上保持不变的变换将体系的每个态矢ψ变为ψ'，则总可以调节相位，使得对所有ψ
不是ψψU ='，就是ψπψ='
这里U 、π分别是某个幺正或反幺正算符。”
证明：设有一变换使正交归一基{{}n
n αα'→，并保证对任意两个态矢均有
b a b a ''= 于是取?和ψ如下，
m αα?+=1
，∑=n
n n c αψ
变换后成为
m αα?'+'='1
，∑''='n
n n c αψ 按规定应有
ψ?ψ?''=
这导致
m m c c c c '+'=+1
1 在不影响物理内容情况下，可以选ψ'的相位，使得11
c c ='。接着，展开这个绝对值等式，可得
m
m m m c c c c c c c c '+'=+*
***1111 乘以m
c '，并注意2
2m m c c ='，得 0)(2
11121=++'-'*
**m m m m m c c c c c c c c c
解此二次方程，得
???
??='**m m
m
c c c c c 1
1 不影响物理内容，还可以进一步选定ψ的相位，使c 1为实数，于是得
1
参见Gottfried ，P.226；J.R.Taylor ，P.91；Encyclopedia of Math. & its Appli.，Vol.9.，P.160。
到
???='*m
m m
c c c 若为前者，变换是幺正的；若为后者，
∑'='*
n
n
n c αψ 变换是反幺正的。
这可以进一步证明，每一个变换只能是二者之一。这里不再赘述。 2, 讨论
i, “使体系在物理上保持不变”的变换均称为体系的对称变换。其含义是这样一种变换，它保持体系的全部可观测概率、全部力学量的期望值不变。一句话，凡有物理意义的、可在实验上观测到的量都不变。
ii, Wigner 定理也可以换一种说法：
“微观力学体系之间如果是物理上完全等价的，充要条件是在它们之间以一个幺正(反幺正)变换相联系”。
也可以叙述成为态矢Hilbert 空间的一条定理，参见文献1。
iii, 要补充指出，在幺正变换下，原先表象的任何代数关系形式都不变；而在反幺正变换下，原先表象的任何代数关系中的常数均应代以相应复数共轭数。特别地，基本对易规则中的 i 应代以 i -。
※§5.6 Fock 空间与相干态及相干态表象
1, 谐振子的Fock 空间表示
对坐标算符x 和动量算符p 进行算符变换，按下式引入两个新的无量纲算符a 和+a ，
(5.62)
反解出来就是
(5.63)
由于x 和p 都是厄米的，a 和+a 互为厄米共轭，即()++=a a 和()a a =+
+。
根据a 和+a
(5.64)
1
P.Roman ，Advanced Quantum Theory ，P.634。
量子力学课程人学考试主要内容
843量子力学考试大纲 适用于物理学所有学科 Ⅰ考查目标 理论物理、粒子物理与原子核物理、凝聚态物理等专业研究生入学考试《量子力学》课程，重点考查考生掌握量子力学基本概念、基本原理以及运用量子力学基本理论解决具体相关物理问题的能力，为进一步学习其它专业课程或从事科研和教学工作奠定坚实的基础。 Ⅱ考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试。 三、试卷内容结构 波粒二象性、波函数和薛定谔方程 45分 量子力学的力学量及其表象 30分 微扰理论、自旋与全同粒子、粒子在电磁场中的运动 75分 四、试卷题型结构 简答题 2小题，每小题10分，共20分 证明题 2小题，每小题15分，共30分 计算题 4小题，每小题25分，共100分 Ⅲ考查范围 一、波粒二象性、波函数和薛定谔方程 考查主要内容： （1）光的波粒二象性的实验事实及其解释。 （2）原子结构的玻尔理论和索末菲的量子化条件。 （3）德布罗意关于微观粒子的波粒二象性的假设。 （4）德布罗意波的实验验证。 （5）波函数的统计假设和量子态的表示形式。 （6）态叠加原理的内容及其物理意义。 （7）薛定谔方程和定态薛定谔方程的一般形式。
（8）粒子流密度的概念及粒子数守恒的物理内容。 （9）一维薛定谔方程求解的基本步骤和方法。 （10）几个典型的一维定态问题： a.一维无限深势阱； b.一维谐振子； c.一维方势垒； d.一维有限方势阱； e. 势。 二、量子力学的力学量及其表象 考查主要内容： （1）动量算符的表示形式及其与坐标算符间的对易关系，动量算符本征函数的归一化。 （2）角动量算符的表示形式及其有关的对易关系，角动量算符2?L和z L?的共同本征函数及所对应的本征值。 （3）电子在固定的正点电荷库仑场中运动的定态薛定谔方程及其求解的基本步骤；定态波函数的表示形式；束缚态的能级及其简并度；并由此讨论氢原子的能级、光谱线的规律、电子在核外的概率分布和电离能等。 （4）量子力学中的力学量与厄米算符相对应；厄米算符的本征函数组成正交完备集。 （5）力学量可能值、平均值的计算方法，两个力学量同时具有确定值的条件。 （6）不确定关系及其应用，守恒量的判断方法。 （7）矩阵的运算。 （8）态的矩阵表示。 （9）算符的矩阵表示。 （10）量子力学公式的矩阵表示。 （11）不同表象间的变换。 三、微扰理论、自旋与全同粒子、粒子在电磁场中的运动 考查主要内容： （1）非简并定态微扰理论。 （2）简并情况下的定态微扰理论。 （3）电子自旋的实验事实。 （4）电子自旋算符和自旋波函数。 （5）全同粒子的不可区分性原理，玻色子和费米子概念。 （6）全同粒子体系的波函数和泡利不相容原理。 （7）两自旋体系的波函数。 （8）电磁场中荷电粒子的运动，两类动量。 （9）正常塞曼效应。 （10）定域电子（考虑自旋）在均匀磁场中的运动。
量子力学中几种表象及其之间的关系
量子力学中几种表象及其之间的关系 摘要 体系的态可以用以坐标为变量的波函数ψ(x,t)来描写，力学量则以作用在这种波函数上的算符（量子力学中的算符代表对波函数的一种运算）来表示，这是量子力学中态和力学量的一种具体表述方式。态还可以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状态。 微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示形式称为表象。 常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。 而研究量子力学规律的各种表示形式以及这些不同形式之间的变换的理论，则称为表象理论。 关键词 态的表象 坐标表象 动量表象 Q 表象 算符表象 角动量表象 正文 体系的态既可用以x （表示全部坐标变量）为变量的波函数ψ(x,t)来描写，也可用以动量p 为变量的波函数c(p,t)来描写。ψ(x,t)和c(p,t)之间的变换关系是 式中 是动量的本征函数， dx x t x t p c dp x t p c t x p p )(),(),()(),(),(*ψ?=?=ψψψ /2 /1)2(1)(ipx p e x -=πψ
称ψ(x,t)是在坐标表象中的波函数，而c(p,t)是同一态在动量表象中的波函数。 由ψ(x,t)可知，粒子坐标在x 到x+dx 之间的概率 c 由(p,t ）可知，粒子动量在p 到p+dp 之间的概率 如果ψ(x,t)所描写的状态是具有动量p ’的自由粒子的状态，即ψ(x,t)=ψp ’(x,t),则 在动量表象中，粒子具有确定动量p ’的波函数是以动量p 为变量的δ函数。 那么，态在任意力学量Q 的表象中的描写方式又是什么样呢？ 设力学量Q 具有分立的本征值Q1,Q2,…Qn …，对应的本征函数为u1(x),u2(x),…,un(x),…,并组成正交归一的完全系。将态在坐标表象中的波函数ψ(x,t)按{un(x)}展开成 dx t x dx t x w 2 ),(),(ψ=dp t p c dp t p w 2 ),(),(=dx e x x dx x t x t p c t iEp p p p p /''')()()(),(),(-**?=ψ?=ψψψ /')'(t iEp e p p --=δ) ()(),(x u t a t x n n n ∑=ψ
量子力学期末考试题解答题
1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即：
浅谈量子力学与量子思维
量子力学：不平凡的诞生预示了不平凡的神奇 ——浅谈量子力学与量子思维 理学院物理系林功伟 量子力学自诞生以来，极大地推动了现代科学和技术的发展，已经深刻地改变了我们的生活方式。从电脑、电视、手机到核能、航天、生物技术，处处它都在大显身手，它已经把人类社会带入量子时代。但量子理论究竟带给了我们什么？这个问题，至今带给我们的仍只是无尽的想象。近年来，校长钱旭红院士，从改变思维的角度出发，在多种场合呼吁全社会要重视量子思维方式并加以运用，不久前又在“文汇科技沙龙”上，提议让“量子思维”尽早走入中小学课堂。那么，量子力学究竟是什么？ 量子力学的诞生是一段波澜壮阔的传奇。它的发展史是物理学乃至整个科学史上最为动人心魄的篇章之一。不平凡的诞生预示了不平凡的神奇。在量子世界中，处事原则处处与我们熟悉的牛顿力学主宰的世界截然不同。在我们熟悉的世界，要么是波，要么是粒子。在量子世界，既是波也是粒子，既不是波也不是粒子，兼具波和粒子的特质，即波粒二象性。从而引申出量子叠加、测量塌缩、量子纠缠等种种神奇的现象。 量子叠加：鱼和熊掌亦可得兼 在经典的牛顿力学体系中，把粒子的运动都归结为确定轨道的机械运动。知道粒子某个时刻的运动状态与力的作用，就可以推断粒子的过去，也可以预知粒子的未来。就像一个算命先生，你告诉他生辰八字，他掐指一算就知道你的前世来生。在这种机械观下，仿佛一切都是注定的、唯一确定的。然而，在量子世界，一切都变得不一样。比如，有一天要从上海去北京，异想天开的你既想乘坐京沪高铁体验沿途的风光，又想搭乘飞机享受鸟瞰大地的感觉。我们习惯的方式是同
一时间我们只能选择其一，必须割爱其一。但在量子世界中你可以在火车上和飞机里共存量子叠加态上，鱼和熊掌亦可得兼。 这种量子叠加状态非常奇特。同一时刻，你既体验着高铁沿途的风光，也享受着飞机上鸟瞰大地的感觉，如果说同一时刻有两件事，但分别要求在火车上和在飞机里完成，量子叠加态的你完全可以神奇地一一照做。就像《西游记》中的孙悟空有分身术，同时一个上天一个入地。现在科学家们正利用这一原理来研制未来的量子计算机。量子计算机中的量子比特可以在无数的空间中量子叠加。它们并行地操作完成复杂的计算。已有研究表明这种量子并行计算确实可以在某些特定的复杂计算问题上大大提高效率。例如：一个400位的阿拉伯数字进行质数因子分解，目前即使最快的超级计算机也要耗时上百亿年，这几乎等于宇宙的整个寿命；而具有相同时钟脉冲速度的量子计算机可能只需要几分钟。还有利用量子快速搜索算法，可能很快从一个大森林里找到一片叶子，或者在一个沙滩上找到一颗沙子。在量子世界，“大海捞针”已不再是没有可能的事，简直“易如反掌”。 量子叠加不仅可以是同一个物质在它不同状态的叠加，还允许不同物质的叠加，哪怕这两个物质是迥然不同类的。比如光和原子，前者是宇宙中最快的，一眨眼可以绕地球好几周；后者可以慢悠悠地停留在某处。如果让它们量子叠加一起会怎么样呢？有种叫电磁诱导透明的技术就可以让光和原子相干叠加。叠加后我们称之为暗态极子，它是半光半原子的混合体，就像希腊神话中半人半神的帕尔修斯，既具备人的情感，也具备神的能力。人们发现这种半光半原子混合体的速度是介于之间的，它既不像光速那么快，也不像原子慢悠悠停留在某处，它的速度取决于光在其中叠加的比重。人们通过调节这个比重就可以让光乖乖地慢下来，需要的时候还可以让光再飞奔起来。在运用上，光子相互作用很小，而原子之间容易产生大的相互作用。有趣的是：最近，我们研究小组通过合理设计可以利用原子的优点来弥补光子的缺点，设计出强的单光子相互作用。如果把这个过程提升到量子思维的话，不就是我们生活中的“取长补短”“协同合作”吗？而这个思维能力正是当代社会所迫切需要的。
《量子力学》课程教学大纲
《量子力学》课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称、所属专业、课程性质、学分； 课程名称：量子力学 所属专业：物理学专业 课程性质：专业基础课 学分：4 （二）课程简介、目标与任务； 课程简介： 量子理论是20世纪物理学取得的两个（相对论和量子理论）最伟大的进展之一，以研究微观物质运动规律为基本出发点建立的量子理论开辟了人 类认识客观世界运动规律的新途径，开创了物理学的新时代。 本课程着重介绍《量子力学》（非相对论）的基本概念、基本原理和基本方法。课程分为两大部分：第一部分主要是讲述量子力学的基本原理（公 设）及表述形式。在此基础上，逐步深入地让学生认识表述原理的数学结构， 如薛定谔波动力学、海森堡矩阵力学以及抽象表述的希尔伯特空间的代数结 构。本部分的主要内容包括：量子状态的描述、力学量的算符、量子力学中 的测量、运动方程和守恒律、量子力学的表述形式、多粒子体系的全同性原 理。第二部分主要是讲述量子力学的基本方法及其应用。在分析清楚各类基 本应用问题的物理内容基础上，掌握量子力学对一些基本问题的处理方法。 本篇主要内容包括：一维定态问题、氢原子问题、微扰方法对外场中的定态 问题和量子跃迁的处理以及弹性散射问题。 课程目标与任务： 1. 掌握微观粒子运动规律、量子力学的基本假设、基本原理和基本方 法。 2．掌握量子力学的基本近似方法及其对相关物理问题的处理。 3．了解量子力学所揭示的互补性认识论及其对人类认识论的贡献。
（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 本课程需要学生先修《电磁学》、《光学》、《原子物理》、《数学物理方法》和《线性代数》等课程。《电磁学》和《光学》中的麦克斯韦理论最终统一 了光学和电磁学；揭示了任意温度物体都向外辐射电磁波的机制，它是19 世纪末人们研究黑体辐射的基本出发点，对理解本课程中的黑体辐射实验及 紫外灾难由于一定的帮助。《原子物理》中所学习的关于原子结构的经典与 半经典理论及其解释相关实验的困难是导致量子力学发展的主要动机之一。 《数学物理方法》中所学习的复变函数论和微分方程的解法都在量子力学中 有广泛的应用。《线性代数》中的线性空间结构的概念是量子力学希尔伯特 空间的理论基础，对理解本课程中的矩阵力学和表象变换都很有助益。 （四）教材与主要参考书。 [1] 钱伯初, 《理论力学教程》, 高等教育出版社; （教材） [2] 苏汝铿, 《量子力学》, 高等教育出版社; [3] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Non-relativistic Quantum Mechanics; [4] P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press 1958; 二、课程内容与安排 第一章微观粒子状态的描述 第一节光的波粒二象性 第二节原子结构的玻尔理论 第三节微观粒子的波粒二象性 第四节量子力学的第一公设：波函数 （一）教学方法与学时分配：课堂讲授；6学时 （二）内容及基本要求 主要内容：主要介绍量子力学的实验基础、研究对象和微观粒子的基本特性及其状态描述。 【重点掌握】： 1.量子力学的实验基础：黑体辐射；光电效应；康普顿散射实验；电子晶体衍射
量子力学的矩阵形式和表象变换.
§4.5 量子力学的矩阵形式和表象变换 态和力学量算符的不同表示形式称为表象。 态有时称为态矢量。力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换，因此可与代数中线性变换进行类比。 1、量子态的不同表象 幺正变换 （1）直角坐标系中的类比 取平面直角坐标系21X OX 其基矢（我们过去称之为单位矢）可表示为21,e e ,见图 其标积可写成下面的形式 )2,1,(),(==j i e e ij j i δ 我们将其称之为基矢的正交归一关系。 平面上的任一矢量A 可以写为 2211e A e A A += 其中),(11A e A =，),(22A e A =称为投影分量。 而),(21A A A = 称为A 在坐标系21X OX 中的表示。 现在将坐标系21X OX 沿垂直于自身面的轴顺时针转θ角度，则单位基矢变为','21e e ，且同样有 )2,1,()','(==j i e e ij j i δ 而平面上的任一矢量A 此时可以写为 ''''2211e A e A A += 其中投影分量是),'('11A e A =，),'('22A e A =。 而)','(21A A A = 称为A 在坐标系'X 'OX 21中的表示。 现在的问题是：这两个表示有何关系？ 显然，22112211''''e A e A e A e A A +=+=。
用'1e 、'2e 分别与上式中的后一等式点积（即作标积），有 ),'(),'('2121111e e A e e A A += ),'(),'('2221212e e A e e A A += 表成矩阵的形式为 ??? ? ?????? ??=???? ??212212211121),'(),'(),'(),'(''A A e e e e e e e e A A 由于'1e 、1e 及'2e 、2e 的夹角为θ，显然有 ??? ? ?????? ??-=??? ? ?????? ??=???? ??21212212211121cos sin sin cos ),'(),'(),'(),'(''A A A A e e e e e e e e A A θθθθ 或记为 ??? ? ??=???? ??2121)(''A A R A A θ 其中 ??? ? ? ?-=θθ θθθcos sin sin cos )(R 是把A 在两坐标中的表示???? ??''21A A 和??? ? ??21A A 联系起来的变换矩阵。 变换矩阵的矩阵元正是两坐标系基矢间的标积，它表示基矢之间的关系。故R 给定，任何矢量在两坐标系间的关系也确定。 很容易证明，R 具有下述性质： I R R R R ==~ ~ 由于1)(det )~ det(2==R R R , 其中 321321)1()det(p p p t R R R R -∑=， 故称这种矩阵为正交矩阵。 但1det =R （对应于真转动（proper rotation ））且R R =* （实矩阵）
量子力学原理及其应用
量子力学原理及其应用 师燕光电8班2012059080029 量子力学是近代自然科学的最重要的成就之一.在量子力学的世界里，一个 量子微观体系的状态是由一个波函数来描述的,而非由粒子的位置和动量描述， 这就是它与经典力学最根本的区别。这是被爱因斯坦和玻尔用“上帝跟宇宙玩掷骰子”来形容的学科，也是研究“极度微观领域物质”的物理学分支，它带来了许许多多令人震惊不已的结论——例如科学家们发现，电子的行为同时带有波和粒子的双重特征（波粒二象性），但仅仅是加入了人类的观察活动，就足以立刻改变它们的特性；此外还有相隔千里的粒子可以瞬间联系（量子纠缠）：不确定的光子可以同时去向两个方向（海森堡测不准原理）；更别提那只理论假设的猫既死了又活着（薛定谔的猫）?? 诸如以上，这些研究结果往往是颠覆性的，因为它们基本与人们习惯的逻辑思维相违背。以至于爱因斯坦不得不感叹道：“量子力学越是取得成功，它自身就越显得荒诞。” 直到现在，与一个世纪之前人类刚刚涉足量子领域的时候相比，爱因斯坦的观点似乎得到了更为广泛的共鸣。量子力学越是在数理上不断得到完美评分，就越显得我们的本能直觉竟是如此粗陋不堪。人们不得不承认，虽然它依然看起来奇异而陌生，但量子力学在过去的一百年里，已经为人类带来了太多革命性的发明创造。正像詹姆斯·卡卡廖斯在《量子力学的奇妙故事》一书引言中的所述：“量子力学在哪？你不正沉浸于其中吗。” 一、量子计算机 量子力学的海森堡测不准原理决定了粒子的位置和动量是不能同时确定的( )。当计算机芯片的密度很大时（即很小）将导致很大, 电子不再被束缚, 产生 量子干涉效应，而这种干涉效应会完全破坏芯片的功能。为了克服量子力学对计算机发展的限制,计算机的发展方向必然和量子力学相结合，这样不仅可以越过 量子力学的障碍,而且可以开辟新的方向。量子计算机就是以量子力学原理直接 进行计算的计算机.保罗·贝尼奥夫在1981 年第一次提出了制造量子计算机的理论。量子计算机的存储和读写头都以量子态存在的，这意味着存储符号可以是0、1 以及它们的叠加。 近年来的种种试验表明，量子计算机的计算和分析能力都超越了经典计算机。它具有如此优越的性质正在于它的存储读取方式量子化。对量子计算机的原理分析可知，以下两个个特性是令量子计算机优越性的根源所在：存储量大，速度高；可以实现量子平行态。 随着现代科学技术的发展，量子计算机也会逐渐走向现实研制和现实运用。量子计算机不但于未来的计算机产业的发展紧密相关,更重要的是它与国家的保密、电子银行、军事和通讯等重要领域密切相关。实现量子计算机是21 世纪科学技术的最重要的目标之一。 二、晶体管 美国《探索》杂志在线版给出的真实世界中量子力学的一大应用，就是人们早已不陌生的晶体管。1945 年的秋天，美国军方成功地制造出世界上第一台真空管计算机ENIAC。据当时的记载，这台庞然大物总重量超过30 吨，占地面积接近一个小型住宅，总花费高达100 万美元。如此巨额的投入，注定了真空管这种
量子力学教学大纲
《量子力学》课程教学大纲 课程代码：090631011 课程英文名称：Quantum Mechanics 课程总学时：48 讲课：48 实验：0 上机：0 适用专业：光电信息科学与工程专业 大纲编写（修订）时间：2017.10 一、大纲使用说明 （一）课程的地位及教学目标 量子力学是近代物理的两大科学之一，是描述微观运动世界的基本理论，是近代光学技术的重要基础，是光信息科学与工程专业一门重要的专业必修基础课。本课程主要讲授量子力学的基本概念，基本原理和数学方法。为后续的专业课程学习打下夯实的量子力学基础。 通过本课程的学习，学生将达到以下要求： 1.掌握量子理论的物理图像，基本概念； 2.获得描述微观物理规律的理论工具--量子力学的基本原理和框架结构，能用这些原理解决常见的，简单的微观物理现象； 3.加深对现代科学理论的形式、特点的认识，提高科学方法论水平； 4.了解量子力学有关的科学发展。 （二）知识、能力及技能方面的基本要求 1.基本知识：掌握量子力学的基本原理和总的理论框架 2.基本理论和方法：掌握用波函数描述微观粒子的状态，用算符描述相应的力学量，以及波函数的演化规律——薛定谔方程。会解简单的一维定态薛定谔方程。掌握用矩阵描述态和算符的方法。掌握简并和非简并的微扰理论，以及含时微扰理论，能用含时微扰理论解释原子的跃迁和发光。掌握电子自旋的基本理论，全同粒子的特性及其描述方法。 3.基本技能: 利用数学手段解决具体物理问题的能力。 （三）实施说明 1.大纲中的重点内容是学习量子力学基本理论所必需掌握的内容，教学中如果学生接受的较好，可适当增加一些在实际中有很广泛应用的问题作为重点内容。 2.教学方法，课堂讲授中要重点对基本概念、基本原理和基本方法进行讲解；要站在学生的角度进行讲解，以使学生能较自然的接受以前没有接触到的新的概念，新的理论框架和思想方法。并在讲解中使学生深入理解现代科学理论的建立过程，反过来促进学生对所学内容的理解和掌握。 3.教学手段，本课程属于理论课，在教学中对基本原理，基本方法的讲解主要采用板书形式；对于具体应用并且数学推导较繁琐的问题可采用课件形式，既能使学生看清解题的思路、过程、特点，又能节省时间。 （四）对先修课的要求 本课程的教学必须在完成先修课程之后进行。本课程的先修课程是《线性代数》，《数学物理方法》，《原子物理》 （五）对习题课、实践环节的要求 1．对重点、难点章节（如：一维问题的计算，力学量平均值和幺正变换的计算，微扰问题的计
量子力学基础简答题(经典)【精选】
量子力学基础简答题 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。 6、何为束缚态？ 7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在 ψ(,) r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为ψ(,) r t 有何 不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。 10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？ 14、在简并定态微扰论中，如 () H 0的某一能级) 0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…， f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ1 2 ()s z 中， S x 和 S y 的测不准关系( )( )??S S x y 22?是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量 对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？ 17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。 20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？ 21、叙述量子力学的态迭加原理。 22、厄米算符是如何定义的？ 23、据[a ?，+ a ?]=1，a a N ???+=，n n n N =?，证明：1 ?-=n n n a 。 24、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。
量子力学简明教程
量子力学教案 主讲周宙安 《量子力学》课程主要教材及参考书 1、教材： 周世勋，《量子力学教程》，高教出版社，1979 2、主要参考书： [1] 钱伯初，《量子力学》，电子工业出版社，1993 [2] 曾谨言，《量子力学》卷I，第三版，科学出版社，2000 [3] 曾谨言，《量子力学导论》，科学出版社，2003 [4] 钱伯初，《量子力学基本原理及计算方法》，甘肃人民出版社，1984 [5] 咯兴林，《高等量子力学》，高教出版社，1999 [6] L. I.希夫，《量子力学》，人民教育出版社 [7] 钱伯初、曾谨言，《量子力学习题精选与剖析》，上、下册，第二版，科学出版社，1999 [8] 曾谨言、钱伯初，《量子力学专题分析（上）》，高教出版社，1990 [9] 曾谨言，《量子力学专题分析（下）》，高教出版社，1999 [10] P.A.M.Dirac,The Principles of Quantum Mechanics (4th edition), Oxford University Press (Clarendon),Oxford,England,1958；（《量子力学原理》，科学出版社中译本，1979） [11]https://www.360docs.net/doc/479122896.html,ndau and E.M.Lifshitz, Quantum Mechanics (Nonrelativistic Theory) (2nd edition),Addison-Wesley,Reading,Mass,1965；（《非相对论量子力学》，人民教育出版社中译本，1980）
第一章绪论 量子力学的研究对象： 量子力学是研究微观粒子运动规律的一种基本理论。它是上个世纪二十年代在总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。它不仅在进到物理学中占有及其重要的位置，而且还被广泛地应用到化学、电子学、计算机、天体物理等其他资料。 §1.1经典物理学的困难 一、经典物理学是“最终理论”吗？ 十九世纪末期，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。那时，一般物理现象都可以从相应的理论中得到说明： 机械运动（v< 第五章 量子力学的表象与表示 §5.1 幺正变换和反幺正变换 1, 幺正算符定义 对任意两个波函数)(r ?、)(r ψ，定义内积 r d r r )()(),(ψ?ψ?*?= (5.1) 按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()r ψ时，找 到粒子处在状态()r ?的概率幅。 依据内积概念，可以定义幺正算符如下： “对任意两个波函数?、ψ，如果算符 U 恒使下式成立 ),()?,?(ψ?ψ?=U U (5.2) 而且有逆算符1?-U 存在，使得I U U U U ==--11????1，称这个算符U ?为幺正算符。” 任一算符A ?的厄米算符+A ?定义为：+A ?在任意?、ψ中的矩阵元恒由下式右方决定 ??(,)(,)A A ?ψ?ψ+= (5.3) 由此，幺正算符U ?有另一个等价的定义： “算符U ?为幺正算符的充要条件是 I U U U U ==++???? (5.4a) 或者说 1??-+=U U 。” (5.4b) 证明：若),()?,?(ψ?ψ?=U U 成立，则按+U ?定义， ),??()?,?(),(ψ?ψ?ψ?U U U U +== 由于?、ψ任意，所以 I U U =+?? 又因为U ?有唯一的逆算符1?-U 存在，对上式右乘以1?U -，即得 1??U U +-= 这就从第一种定义导出了第二种定义。类似，也能从第二种定义导出第一种定义。从而，幺正算符的这两种定义是等价的。 2, 幺正算符的性质 幺正算符有如下几条性质： i, 幺正算符的逆算符是幺正算符 证明：设 1-+=U U ， 则()()(),1 11--+++-===U U U U 所以1-U 也是幺正 1 这里强调了 U -1 既是对 U 右乘的逆又是对 U 左乘的逆。和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符 U 有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为 U -1 。 第20卷 第2期太原教育学院学报V o l.20N o.2 2002年6月JOURNAL OF TA I YUAN INSTITUTE OF EDUCATI ON Jun.2002如何看待《原子物理学》中的 玻尔理论与量子力学 赵秀琴1, 贺兴建2 (1.太原师范学院,山西太原030031;2.太原市教育学院,山西太原030001) 摘 要:《原子物理学》在物理学的教育和学习中有着特殊的地位,特别是量子论建立初期的知识体系,是物理学获得知识、组织知识和运用知识的典范,通过量子论建立过程的物 理定律、公式后面的思想和方法的教学,使学生在原子物理的学习过程中掌握物理学的思想 和方法。 关键词:原子物理学;玻尔理论;量子力学 中图分类号:O562 文献标识码:A 文章编号:100828601(2002)022******* 《原子物理学》在物理学的教育和学习中有着特殊的地位,特别是量子论建立的初期知识体系,是物理学获得知识、组织知识和运用知识的典范,通过不断地提出经典物理无法解决的问题,提出假设、建立模型来解释并提出新的结论和预言,再用新的实验检验、修改或推翻,让学生掌握这种常规物理学的发展模式和过程。通过量子论的建立过程的物理定律、公式后面的思想和方法的教学,使学生在原子物理的学习过程中掌握物理学(特别是近代物理学)的思想和方法。 一、玻尔理论的创立 19世纪末到20世纪初,物理学的观察和实验已开始深入到物质的微观领域。在解释某些物理现象,如黑体辐射、光电效应、原子光谱、固体比热等时,经典物理概念遇到了困难,出现了危机。为了克服经典概念的局限性,人们被迫在经典概念的基础上引入与经典概念完全不同的量子化概念,从而部分地解决了所面临的困难。最先是由普朗克引入了对连续的经典力学量进行特设量子化假设。玻尔引入了原子定态概念与角动量量子化规则取得了很大的成果,预言了未激发原子的大小,对它的数量级作出了正确的预言。它给出了氢原子辐射的已知全部谱线的公式,它与概括了发射谱线实验事实的经验公式完全一致。同时,它还包括那些在建立理论时尚未知的谱线,它用几个物理量解释了里德伯经验常数。它向我们提供了一个形象化的系统(尽管有点冒险),并且对与发射有关的事件建立了一种物理秩序。玻尔模型把量子理论推广到原子上,一方面给普朗克的原子能量量子化的思想提供了物理根据,另一方面也解决了经典物理学回答不了的电子轨道的稳定性问题。 收稿日期:2001206212 作者简介:赵秀琴(1966-),女,山西太原人,太原师范学院讲师,教育学硕士。 量子力学和经典力学的区别与联系 量子力学和经典力学在的区别与联系 摘要 量子力学是反映微观粒子结构及其运动规律的科学。它的出现使物理学发生了巨大变革，一方面使人们对物质的运动有了进一步的认识，另一方面使人们认识到物理理论不是绝对的，而是相对的，有一定局限性。经典力学描述宏观物质形态的运动规律，而量子力学则描述微观物质形态的运动规律，他们之间有质的区别，又有密切联系。本文试图通过解释、比较，找出它们之间的不同，进一步深入了解量子力学，更好的理解和掌握量子力学的概念和原理。 经过量子力学与经典力学的对比我们可以发现，量子世界真正的基本特性：如果系统真的从状态A跳跃到B的话，那么我们对着其中的过程一无所知。当我们进行观察的时候，我们所获得的结果是有限的，而当我们没有观察的时候系统正在做什么，我们都不知道。量子理论可以说是一门反映微观运动客观规律的学说。经典物理与量子物理的最根本区别就是：在经典物理中，运动状态描述的特点为状态量都是一些实验可以测量得的，即在理论上这些量是描述运动状态的工具，实际上它们又是实验直接可测量的量，并可以通过测量这些状态量来直接验证理论。在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数描述，一切都是不确定的。但是当微观粒子积累到一定量是，它们又显现出经典力学的规律。 关键字：量子力学及经典力学基本内容及理论量子力学及经典力学的区别与联系 三、目录 摘要............................................................ ............ ... ... ...... (1) 关键字.................................................................. ...... ... ... ...... (1) 正文..................................................................... ...... ... ... ...... (3) 一、量子力学及经典力学基本内容及理论...... ............ ... ............ ...... ... (3) 经典力学基本内容及理论........................... ...... ......... ...... (3) 量子力学的基本内容及相关理论.................................... ...... (3) 二、量子力学及经典力学在表述上的区别与联系.................. ...... ... ...... (4) 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 — 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 A （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释 各项的几率意义。 二（20分）设一粒子在一维势场c bx ax x U ++=2)(中运动（0>a ）。求其定态能级和波函数。 三（20分）设某时刻，粒子处在状态)cos (sin )(212kx kx B x +=ψ，求此时粒子的平均动量和平均动能。 四（20分）某体系存在一个三度简并能级，即E E E E ===)0(3)0(2 )0(1。在不含时微扰H '?作用下，总哈密顿算符H ?在)0(?H 表象下为????? ? ?=**2110 0E E E H βαβα。求 受微扰后的能量至一级。 五（20分）对电子，求在x S ?表象下的x S ?、y S ?、z S ?的矩阵表示。 A —1—1 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 — 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 B （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共20分，每小题4分） 第三章一维定态问题 第三章 目 录 §3.1一般性质 (2) （1）定理1：一维运动的分立能级（束缚态），一般是不简 并的 ...................................... 2 （2）不同的分立能级的波函数是正交的。 .......... 4 （3）振荡定理 .................................. 4 （4）在无穷大位势处的边条件 .................... 5 §3.2阶梯位势 ....................................... 6 §3.3位垒穿透 (8) （1） E 量子力学习题（三年级用） 北京大学物理学院 二O O三年 第一章 绪论 1、计算下列情况的Broglie d e -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量 可能值。 第二章 波函数与波动力学 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结 论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?<>=?λ-0 00x x Axe x x 的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 0=?? 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 ()()x ,x δ=?0 求： ?)t ,x (=?2 第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ??? ?≥?=V x V x V 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 ?? ???>∞≤≤<∞=0 000x a x x V ) x ( 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= ().n a x x ?? ? ??π-=-2222 6112 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+= 这即“出射”波和“入射”波之间的关系，量子力学的表象与表示
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量子力学习题
量子力学的矩阵形式及表象理论
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