44幺正变换.
4.4么正变换
§4.4么正变换一． 基矢量的表象变换设算符A ˆ的正交归一本征函数系为()(),,,21 x x ψψ算符B ˆ的正交归一本征函数系为()(),,,21 x x ϕϕ算符Fˆ在A ˆ表象中的矩阵元为 ()()()1.4.4,,2,1,,ˆ ==⎰∙n m dx x F x F nm mn ψψ 算符Fˆ在B ˆ表象中的矩阵元为 ()()()2.4.4,,2,1,,ˆ =='⎰∙βαϕϕβααβdx x F x F 将()x ϕ按()(),,,21 x x ψψ展开()()()())3.4.4( ⎪⎭⎪⎬⎫==∑∑∙∙∙m m m n n n S x x x S x ααββψϕψϕ写成军阵形式()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ t t t S S S S S S S S S x x x n n n n ψψψϕϕϕββββ2121222121211121 ()()()[]()()()[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ ααααψψψϕϕϕm m m m S S S S S S S S S x x x t t t 2122221112112121,,,,,,,简记为∙++ψ=Φψ=ΦSS ,~ 式中S ~为S 的转置矩阵。
展开系数βn S 和∙αm S 由下式给出()()()())4.4.4( ⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰*∙∙dx x x S dx x x S m m n n ααββϕψϕψ 矩阵S 称为变换矩阵，也叫么正矩阵。
二． 么正矩阵S 和么正变换()()()()()()()()αββαβαβαβαβααβδψψψψϕϕδS S S S S S dx x x S S dxS x S x dx x x mnm m mn mn n m mnn m n m mnn n m m ++∙∙∙∙∙∙======∑∑∑⎰⎰∑⎰所以()5.4.4 I S S =++S 是S 的共轭矩阵。
量子力学教程第二版 4.4幺正变换
a1 于是 a 2 就是 ( x , t ) 在 Q 表象中的矩阵表示。
a n (t ) u (x, tdx ) n
以上是这两种简单情况，本节讨论的是一般情况，即态和力
B 学量从A 表象到 表象的变换。
下面用大家熟悉的解析几何中的坐标变换作为类比，以引入 量子力学中表象变换的概念。 平面直角坐标系 xoy 的基矢为 e 1 和 e2 ，且长度为1 ，显然二
(8)
a n ( t ) u ( x, t ) dx ； n
而 ( x ) (x )S
m
m
b (t) u ( x, t ) dx
S u(x, tdx ) mm
m
m
则：b (t ) u(x, t )dx
现取另一个平面坐标系 o ， 它由坐 标系 xoy 逆时针转动 角而得到， 基矢分别 用 b1 和 b 2 表示，则：
b i b j ＝ ij
i ( ,j ＝1,2）(正交归一性)(1)
且矢量A 在坐标系o 中表示为
' A 1 A ＝ 1 b
' 1 ' 2
2.变换矩阵 S 的性质
S 应满足一定的条件，即要求当{ n (x) }为正交归一完全系 时，通过 S 将{ n (x) }变化得到的{ ( x ) }也应为正交归一完全
( x )dx 系，即：
Sm 而 ( x ) ＝ n ( x )S n ； ( x ) ( x ) m
展开系数为：
m
Sn ( x ) (x) dx n
S m ( x ) (x) dx m
21幺正变换
L a1
L
a2
M M M M M M M M M
或简记为
b S a S 1a （矩阵表示）
这就是态矢量 u(x,由t) 表A象到 表象B的变换公式。
四、幺正变换的重要性质
1．幺正变换不改变算符的本征值。
证明： 设算符 Fˆ在 表A 象和 表B象中的本征值方程分别为
因为
FAa a
Sm*mnSn Sn* Sn SnSn (SS)
n,m
n
n
即
SS I
同理，可以证明
SS I
因此S S SS IS Nhomakorabea S 1
所以，变换矩阵为幺正矩阵，它所表示的变换为幺正变换。
二、力学量算符Fˆ 由 A表象到 B表象的变换
在 表A象和 表B象中，力学量 的矩Fˆ 阵元公式分别为
FBb b
FBb (S 1FAS )(S 1a) S 1FASS 1a S 1FAa
S 1a S1a b
所以
2．幺正变换不改变矩阵的迹
证明：
矩阵 F (F的mn迹)
SpF TrF Fnn
n
SpF Sp(S 1FS ) (S 1FS )
Sm1 FmnSn
m,n
§4-3 幺正变换
一、A表象与B表象的变换关系（基矢变换） 二、力学量算符Fˆ 由A表象到B表象的变换 三、态矢量u(x,t)由A表象到B表象的变换 四、幺正变换的重要性质
§4-3 幺正变换
用大家熟悉的解析几何中的坐标变换作为类比，来引入量子力学 中表象变换的概念。
如图，两个平面直角坐标系的基矢满足
a1
a
a2
M
b1
b
b2
M
第五章量子力学的表象与表示§51幺正变换和反幺正变换
第五章 量子力学的表象与表示§5.1 幺正变换和反幺正变换1, 幺正算符定义对任意两个波函数)(r ϕ、)(rψ，定义内积r d r r)()(),(ψϕψϕ*⎰=(5.1)按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()rψ时，找到粒子处在状态()rϕ的概率幅。
依据内积概念，可以定义幺正算符如下：“对任意两个波函数ϕ、ψ，如果算符 U恒使下式成立 ),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U (5.2)而且有逆算符1ˆ-U存在，使得I U U U U ==--11ˆˆˆˆ1，称这个算符U ˆ为幺正算符。
”任一算符Aˆ的厄米算符+A ˆ定义为：+A ˆ在任意ϕ、ψ中的矩阵元恒由下式右方决定ˆˆ(,)(,)A A ϕψϕψ+= (5.3)由此，幺正算符Uˆ有另一个等价的定义： “算符Uˆ为幺正算符的充要条件是 I U U U U==++ˆˆˆˆ (5.4a) 或者说1ˆˆ-+=U U 。
” (5.4b)证明：若),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U成立，则按+U ˆ定义， ),ˆˆ()ˆ,ˆ(),(ψϕψϕψϕU U U U+== 由于ϕ、ψ任意，所以I U U=+ˆˆ 又因为Uˆ有唯一的逆算符1ˆ-U 存在，对上式右乘以1ˆU -，即得 1ˆˆUU +-= 这就从第一种定义导出了第二种定义。
类似，也能从第二种定义导出第一种定义。
从而，幺正算符的这两种定义是等价的。
2, 幺正算符的性质幺正算符有如下几条性质：i, 幺正算符的逆算符是幺正算符证明：设 1-+=U U ， 则()()(),111--+++-===U U U U 所以1-U 也是幺正1这里强调了 U-1既是对 U右乘的逆又是对 U 左乘的逆。
和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符 U有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为 U-1。
幺正变换
幺正变换摘要：从一个表象到另一个表象的变换为幺正变换，本文介绍了幺正变换的定义，推导了不同表象之间的变换关系，讨论了幺正变换下算符、波函数的变化以及幺正变换的性质，并举例应用幺正变换不改变本征值的性质，求算符的本征值。
对学习幺正变换以及加深对幺正变换的理解有重要作用。
关键词：表象；算符；波函数；幺正变换一、引言：和一个矢量可在不同坐标系中表示相似，同一个量子态或者同一个算符也可以在不同表象中表示。
在高等数学中，这些不同坐标系的表示可通过同一个坐标变换把它们联系起来。
在量子力学中，这些态或算符的不同表示也可以用表象变换把它们联系起来。
在表象变换中，算符的本征值不变，与在高等数学中选用适当的坐标系可以大大简化计算过程相似，在量子力学中，选用适当表象，或通过表象变换到适当的表象，也可以使计算过程大大简化，甚至直接得出所求结果。
二、A 表象与B 表象的变换关系（基矢变换）设力学量算符Aˆ、B ˆ的本征方程分别为其中()}{x n ψ和()}{x ϕβ均为正交归一完备系。
将()}{x ϕβ按()}{x n ψ展开展开系数为()S n S β=就是变换矩阵。
通过它可以把B 表象的基矢用A 表象的基矢表示出来。
展开式的矩阵表示为ˆ()()n n nA x x ψλψ=ˆ()()B x x βββϕμϕ=(,1,2,)n β= ()()n n nx S x ββϕψ=∑,2,1=β***()()m m mx x S ααϕψ=∑,2,1=α*()()n n S x x dxββψϕ=⎰**()()m m S x x dxααψϕ=⎰，利用基矢组()}{x ϕβ的正交归一性，得，即I S S =+，同理，可以证明I SS =+， 因此-+=S S 。
满足上式得矩阵称为幺正矩阵。
由幺正矩阵所表示的变换称为幺正变换。
所以，从一个表象到另一个表象的变换为幺正变换.三、幺正变换下算符和波函数的变化。
1、算符的变换在 B 表象中，算符F ˆ的矩阵元是αβF '，在A 表象中，算符F ˆ的矩阵元是mnF ，它们两者之间的关系是= =******m m n n mnm m n n mnm mn n m mn n mnmnF F dx S FS dxS F dxS S F S S F S αβαβαβαβαβαβϕϕψψψψ+'===∑⎰⎰∑⎰∑∑上式写成矩阵形式是1F S FS S FS +-'==或1F SF S -'=波函数的变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ )()()()(212212211121x x S S S S x x ψψϕϕ()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*22*21*12*11*2*1*2*1)()()()(S S S S x x x x ψψϕϕ*dx αβαβδϕϕ=⎰**,m m n n n mS S dxαβψψ=∑⎰**,m m n n n mS dx S αβψψ⎡⎤=⎣⎦∑⎰*n n nS S αβ=∑n n nS S αβ+=∑()S S αβ+=*,m mn n n mS S αβδ=∑考察波函数()t x ,ψ从A 表象到B 表象的变化。
幺正变换例题
幺正变换例题在开始幺正变换前，还是先把狄拉克符号的内容扩充一下。
“单位算符”用右矢的写法，态叠加原理可以写作：（波函数按某一完备基展开）|\psi\rangle=\sum_na_n|Q_n\rangle那么 \langle Q_m|\psi\rangle=\sum_na_n\langleQ_m|Q_n\rangle=\sum_na_n\delta_{mn}=a_m将上式代入 |\psi\rangle=\sum_n|Q_n\rangle a_n 即可得到|\psi\rangle=\sum_n|Q_n\rangle\langle Q_n|\psi\rangle观察这个式子的形式，不难发现 \sum_n|Q_n\rangle\langleQ_n|=1 。
投影算符我们来观察一下算符 |Q_n\rangle\langle Q_n| 的形式。
当它作用于一个波函数 \psi 的时候，我们发现得到的是|Q_n\rangle\langle Q_n|\psi\rangle ，而 \langle Q_n|\psi\rangle 表示一个常数，它的值是波函数 \psi 在 |Q_n\rangle 上的投影大小；因此， |Q_n\rangle\langle Q_n|\psi\rangle ，或者说 \langle Q_n|\psi\rangle\cdot|Q_n\rangle 表示的正是波函数 |\psi\rangle 在 |Q_n\rangle 上投影的波函数。
作为对比，，向量 \overrightarrow {OA}=(x_a,y_a) 在x轴上的投影向量为 \overrightarrow {OB}=(x_a,0) ，此时基底向量是一组（在2维平面内）正交归一的，即 (1,0)、(0,1) 。
再次作为对比，以图中[1]的函数为例，灰色线条的函数可以由正弦和余弦的线性组合 a_{\cos}*\cos(x)+a_{\sin}*sin(x) （这里叠加系数分别为3和4）来构成[2]，因此，将该函数投影到余弦函数就得到了3，也就是说余弦部分为 3\cos(x) 。
表象与变换
第四章 表象与变换内容简介：本章讨论各种不同的表象以及它们之间的变换关系。
这就如同，在数学中给定坐标系后，应该讨论坐标系之间的坐标变换一样。
另外，我们还曾指出，一个量子态，相当于一个态“矢量”。
在数学中，一个矢量，在选定坐标系后，可以用它在该坐标系中的一组分量来表示。
但是，一个矢量，也可以用一个矢量符号表示。
这种表示并不依赖于坐标系的选取，但同样可以进行各种矢量运算。
同样，在量子力学中，一个态矢量也可用类似的方法表示，这就是狄拉克符号。
在本章将介绍这种表示法以及运算规则。
除表象外，本章还要介绍一些有关绘景的知识。
§ 4.1 矢量空间§ 4.2 态和算符的表象表示§ 4.3 量子力学公式的矩阵表示§ 4.4 幺正变换§ 4.5 狄拉克符号§ 4.6 线性谐振子粒子数表象§ 4.7 绘景的分类1.线性矢量空间定义：无穷多个抽象的数学元素的集合，规定了下列两种运算，则称这个集合为一个线性矢量空间。
运算一：集合内任意两个矢量 和 ，总有一个确定的 与 之对应，记作 这种对应法称为加法。
加法运算满足下列条件：① 交换律 ② 结合律存在唯一零矢量 ，对任意矢量 都有 ④ 对集合中的任意矢量 ，都有唯一的逆矢量 存 在，满足运算二：规定一种确定的对应方法，使得 中的任意矢量 和数域中任意数 ，在集合中总有一个矢量 与之对应，这种对应法则叫数乘，记作 数乘满足下列条件： ② ③2.线性相关与线性无关线性无关：对于线性矢量空间 个矢量集合 ，若线性组合 ，只有当所有系数 时才成立，则称 个矢量线性无关，否则 个矢量称线性相关。
一个线性矢量空间中可以找到的线性无关矢量个数的最大值 ，称为该线性矢量空间的维数。
3.内积运算 规定一种确定的对应方法，对于线性矢量空间中的任意两个矢量 和 ，总有一个复数 与之对应，且满足下列条件，则称为矢量的内积： 4.标准正交基作为标准正交基，必须满足下列条件：① 是线性无关的; ②③ 具有完备性：内积空间的任意矢量 可以表示为4.2 态和算符的表象表示 在量子力学中，态和力学量的具体表达方式称为表象。
幺正变换
m
ˆ | m m F n n
n
ˆ | | m m F n n m | Fmn n |
* mn mn
mn mn
S
* m
Fmn Sn
(4.4-9)
S mF mn S n
k
Tr ( F )
F' 的迹等于 F 的迹，也就是说：么正变 换不改变矩阵的迹。
* k
计算出全部矩阵元即可得到 S 矩阵。
方法 II ：
由表达式
| Sk | k
k
可知，
S 矩阵元S kβ, n = 1, 2, 3, ... 即是 基矢 |φβ > 在A表象中的表 示，
在 A 表象中，B 的本征基矢可表示为：
S11 1 S 21 S 31 S12 2 S 22 S 32 S13 3 S 23 S 33
将三列矩阵元按原列次序组成一个新矩阵：
S11 S S 21 S 21 S12 S 22 S 32 S13 S 23 S 33
就是由 A 表象到 B 表象的么正变换矩阵。
波函数的变换关系
（1）波函数变换关系
对任一态矢 |u >
u ( x, t ) an (t ) n ( x)
么正变换矩阵
（一）不同表象之间的变换和么正 变换矩阵 （二）波函数和算符的变换关系
（三）么正变换的性质
设 算符A的本征函数系为：
1 x , 2 x
设 算符B的本征函数系为：
1 x ,2 x
则算符F在A表象中的矩阵元
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† † S S nk Snm Smk n | m m | k m m
n | k nk
即S+ S 为单位矩阵 同理S S+ 也为单位矩阵
如何求么正变换矩阵
方法 1：
由 S 矩阵元的定义式：
Sk ( x ) ( x )dx
则可得出
b | u
k | * k | u
S ak
* k
k
k
k
S k ak
(4.4-13)
b = S+ a = S-1 a
b 与 a 之间 的变换关系
么正变换的性质
（1）么正变换不改变算符的本征值 设 F 在 A 表象中的本征方程为： F a = λa 在B 表象，
F' = F S b = S-1 a S-1 F' b = S-1 F S S-1 a = S-1 F a
= S-1 λ a
= λ S-1 a
=λ b
可见，不同表象中，力学量算符 F 对应同一状态（a 和 b 描写同一状态） 的的本征值不变。基于这一性质，解 F的 本征值问题就是把该力学量从某一表象 变到自身表象，使F矩阵对角化。
则算符F在B表象中的矩阵元 (4.4-1)
ˆ ( x)dx *( x) F F
(4.4-2)
算符 F 的变换关系
A 表象：
B 表象：
ˆ | Fmn m | F n
ˆ | F | F
那么这两个不同矩阵之间有什么关系
可以证明
ˆ | | F | F
么正变换矩阵
（一）不同表象之间的变换和么正 变换矩阵 （二）波函数和算符的变换关系
（三）么正变换的性质
设 算符A的本征函数系为：
1 x , 2 x
设 算符B的本征函数系为：
1 x ,2 x
则算符F在A表象中的矩阵元
ˆ ( x)dx Fmn m *( x) F n
a1 a2 u ak a
同理：
| u | | u
| b
其中
b | u
则 |u > 在 B 表象中的表示：
b1 b2 u b b
Sn n | ( x) ( x)dx
* n
(4.4-4)
S F m Fmn Sn mn
以F`表示算符在B表象中的矩阵, F表示算符在 A表象中的矩阵,则有
F' = S+ F S = S-1 F S
(4.4-10)
可以证明 S+
S = S S+ =I
将三列矩阵元按原列次序组成一个新矩阵：
S11 S S 21 S 21 S12 S 22 S 32 S13 S 23 S 33
就是由 A 表象到 B 表象的么正变换矩阵。
波函数的变换关系
（1）波函数变换关系
对任一态矢 |u >
u ( x, t ) an (t ) n ( x)
（2）么正变换不改变矩阵的迹
矩阵的迹定义为该矩阵对角元素之和，即
TrF Fkk
k
Tr ( F ) F
( S 1 FS )
1 S j F jk S k
jk
jk
jk
1 S j Sk F jk
jk F jk Fkk
m
ˆ | m m F n n
n
ˆ | | m m F n n m | Fmn n |
* mn mn Fra bibliotekmn mn
S
* m
Fmn Sn
(4.4-9)
S mF mn S n
n
an (t ) n * ( x)u ( x.t )dx
(4.4-11)
有
| u | k k | u
k
| k ak
k
| u | k k | u | k ak
k
k
其中
ak k | u
于是 |u > 在 A 表象中的表示为：
* k
计算出全部矩阵元即可得到 S 矩阵。
方法 II ：
由表达式
| Sk | k
k
可知，
S 矩阵元S kβ, n = 1, 2, 3, ... 即是 基矢 |φβ > 在A表象中的表 示，
在 A 表象中，B 的本征基矢可表示为：
S11 1 S 21 S 31 S12 2 S 22 S 32 S13 3 S 23 S 33
k
Tr ( F )
F' 的迹等于 F 的迹，也就是说：么正变 换不改变矩阵的迹。