量子力学》小结
量子力学第二章小结.
宽度为a的一维无限深方势阱
势能分布为
0, 0 x a U x ， x 0, x a
体系的能量为
2 2n2 En 2 a 2 (n 1, 2, 3,)
2 n n a sin a x, 0 x a, x 0, x a. 0,
式中
i p r 1 (r ) p e 3/ 2 （ 2）
i p r (r , t )e dxdydz
1 C ( p, t ) （ 2）3 / 2
(r ) * ( r , t )dxdydz p
在一维情况下，
1 ( x, t ) （ 2）1 / 2
1 C ( p, t ) （ 2）1 / 2
C ( p, t ) e
i p x
dp
( x, t )e
i p x
dx
展开系数C(p,t)实际上就是以动量为变量的波函数。
§2.3 薛定谔方程
2 2
2 k3 2E / 2
透射系数
D D0 e
2 2 (U 0 E ) a
透射系数随势垒的加宽（增大a）或加高（增大U0） 而减小。
对于任意形状的势垒：
贯穿势垒U(x)的透射系数应等于所有这些方形 势垒的透射系数之积，即
2
D D0 e
其中
a
b
2 (U ( x ) E )dx
U ( a) U (b) E
2
dxdydz 1
波函数的标准条件：单值、连续、有限。
对于归一化波函数Ψ： 几率密度
量子力学课程总结与反思
量子力学课程总结与反思在量子力学课程中，我学到了许多关于微观世界的新概念和理论。
这门课程不仅带给我新的知识，也让我对物质世界的认识有了更新和深化。
首先，我学到了量子力学的基本原理和数学框架。
量子力学是描述微观粒子行为的理论，它与经典力学有很大的区别。
在量子力学中，粒子的性质和行为是通过波函数来描述的，而波函数的演化则由薛定谔方程决定。
通过学习薛定谔方程和波函数的性质，我对量子力学的基本原理有了更深入的理解。
其次，我学到了量子力学的测量理论。
在量子力学中，测量的结果是概率性的，而且测量会导致波函数的坍缩。
这一概念在初学时可能比较难以理解，但通过学习测量理论的数学形式和实例，我逐渐理解了量子力学的测量过程和测量结果的统计分布。
此外，我还学到了一些重要的量子力学应用，如波粒二象性、不确定性原理和量子力学中的电子结构等。
这些应用不仅扩展了我对量子力学理论的认识，也帮助我理解了一些实际现象的量子本质。
在学习量子力学的过程中，我也遇到了一些困难和挑战。
量子力学的数学语言和抽象概念对初学者来说可能比较难以理解和应用。
我发现通过反复学习和解答习题，以及与同学和教师的讨论，可以逐渐克服这些困难。
此外，我也意识到在学习量子力学时需要有坚实的数学基础，尤其是线性代数和微积分的知识。
在反思自己的学习过程中，我意识到量子力学是一门需要重复学习和实践的课程。
只有通过反复学习和解题，才能真正理解和掌握其中的概念和技巧。
同时，我也认识到量子力学是一门前沿科学，它的理论和应用还有许多未解决的问题和待发展的领域。
因此，我希望在未来的学习中能够继续深入研究量子力学，探索更多有关微观世界的奥秘。
量子力学》小结
ψ p = (2π ) 3 2 e i pr
正交归一性
ψ * ′ (r )ψ p (r )dτ = δ ( p p ′) ∫ p
7. 角动量 z 分量 . 本征函数
ψ m ( ) =
1
L z = i
2π
e im , m = 0 , ± 1 , ± 2 ,
L z 的本征值
′ L z = m
cn = ∫ φn ( x)ψ ( x)dx
力学量的平均值是: 力学量的平均值是
Fφλ ( x) = cλφλ ( x)
c λ = ∫ φλ ( x)ψ ( x)dx
F = ∫ ψ ( x ) Fψ ( x ) dx
或
F = ∑ λ n c n + ∫ λ c λ dλ
n 2 2
4. 连续谱的本征函数可以归一化为 δ 函数. . 函数. 5.简并:属于算符的某一个本征值的线性无关 .简并: 的本征函数有若干个,这种现象称为简并. 的本征函数有若干个,这种现象称为简并. 简并度: 简并度:F 算符的属于本征值 λn 的线性无关的本 征函数有f个 征函数有 个,我们称 F 的第 个本征值 λn 是f度 度 F 的第n个本征值 简并的. 简并的. 6. 动量算符的本征函数 即自由粒子波函数 即自由粒子波函数) . 动量算符的本征函数(即自由粒子波函数
0 < x < a,0 < y < b , 0 < z < c 其余
2 2 π 2 2 n12 n2 n3 2 + 2 + 2 , n1,n2,n3 = 1 , 2 , 3 , = 2 a b c
可以用分离变量法求解得到
8 nπx nπx n πx sin 1 sin 2 sin 3 , 本征函数 ψ n1n2 n3 ( r ) = abc a b c 0 ,
量子力学知识点小结
第一章⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。
⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。
⒎普朗克量子假说：表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。
表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=h ν。
表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。
⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。
这种电子称之为光电子。
⒐光电效应有两个突出的特点：①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。
若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。
②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。
光的强度只决定光电子数目的多少。
⒑爱因斯坦光量子假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。
爱因斯坦方程⒒光电效应机理：当光射到金属表面上时，能量为E= hν的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。
⒓解释光电效应的两个典型特点：①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。
②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。
⒔康普顿效应：高频率的X射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。
⒕康普顿效应的实验规律：①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ；②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。
⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性⒘与运动粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。
量子力学总结
2个费米子
A k1k2
q1,q2
12k1
q1k2
q2k1
q2k2
q1
Quantum Mechanics
1 k1 q1 k1 q2 2k2 q1 k2 q2
2个玻色子
s k1k2
q1,q2
cn 2an
A (rv)(rv)drv n cn2
n
对于归一的波函数此项为一。
Quantum Mechanics
矩阵表示
A
a1
c1
b1
d1
A ac11
b1 d1
*
a1 c1
db1112an12
A
n
Quantum Mechanics
解存在的条件
久期方程
a1 an
b 0
c d1 an
给出 a n ，一般是多值。 对应不同本征值 a n 代入本征方程中，在考虑归一化条件，
A B A B 1 [A ,B ] 1[A ,B ]
2
2
Quantum Mechanics
2、量子力学基本原理： （1）状态→数学上用波函数描述，波函数是
(r,t)的函数，
是希尔伯特空间中的矢量。
波函数满足标准化条件：单值、连续、有限（或平方可积）。
波函数|ψ(x,t)|2才有物理意义，解释为概率密度。 在t时刻，在x--x+dx区域发现粒子的概率：dp=|ψ(x,t)|2 dx
a* c* a b b* d* c d
Quantum Mechanics
② AB C C B A
③ 本征值为一些实数， ④ 计算的常用基本公式
也是体系中测量这些力学量得 到的测量值
[xi, pˆj ]iij (i, j 1,2,3)
量子力学知识点小结
量子力学知识总结认真、努力、坚持、反思、总结…量子力学知识点小结一、绪论1.光的粒子性是由黑体辐射、光电效应和康普顿效应（散射）三个实验最终确定的。
2.德布罗意假设是任何物质都具有波粒二象性，其德布罗意关系为E h ν=和h p n κλ==3.波尔的三个基本假设是定态条件假设、n mE E h ν-=频率条件假设、化条件）（索末菲等推广的量子21或量子化条件假设⎰⎰+==h n pdq nh pdq ）（4.自由粒子的波函数()ip r Et Aeψ⋅-=5.戴维孙革末的电子在晶体上衍射实验证明了电子具有波动性。
二、波函数及薛定谔方程（一）波函数的统计解释（物理意义）A.波函数(,)r t ψ的统计解释2(,)r t d t r ψτ表示时刻在点位置处单位体积内找2sin d r drd d τθϕθ=到粒子的几率（注：）。
B. 波函数(,,,)x y z t ψ的统计解释2(,,,),,x y z t dxdydz t x y z ψ表示时刻在点（）位置处单位体积没找到粒子的几率。
例：已知体系处于波函数(,,)x y z ψ所描写的状态，则在区间[,]x x dx +内找到粒子的概率是2(,,)x y z dydz dx ψ+∞+∞-∞-∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰.已知体系处于波函数(,,)r ψθϕ所描写的状态，则在球壳r r dr →+内找到粒子的概率是22200(,,)sin r d d r dr ππψθϕθϕθ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰，在立体角d Ω内找到粒子的概率是220(,,)r r dr d ψθϕ∞⎡⎤Ω⎢⎥⎣⎦⎰.（注：sin d d d θϕθΩ=） （二）态叠加原理：如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加1122c c ψψψ=+（12c c 、为复数）也是这个体系可能的状态。
含义：当体系处于1ψ和2ψ的线性叠加态1122c c ψψψ=+（12c c 、为复数） 时，体系既处于1ψ态又处于态2ψ，对应的概率为21c 和22c .（三）概率密度（分布）函数2()()x x x ψωψ=若波函数为，则其概率密度函数为（）（四）薛定谔方程：22()2i U r t m∂ψ=-∇ψ+ψ∂ 22222222222222222()21cos 1 ()sin sin x y zr r r r r θθθθθϕ∂∂∂∇=+∂∂∂⎛⎫∂∂∂∂∂∇=+++ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭拉普拉斯算符直角坐标球坐标问题：1.描写粒子（如电子）运动状态的波函数对粒子（如电子）的描述是统计性的.2. 薛定谔方程是量子力学的一个基本假设，不是通过严格的数学推导而来的（五）连续性方程：()**0( )2J tiJ mω∂+∇⋅=∂≡ψ∇ψ-ψ∇ψ注：问题：波函数的标准条件单值、连续、有界。
量子力学课程总结
量子力学课程总结简介量子力学作为现代物理学的基石，对于理解微观世界中的粒子行为起着至关重要的作用。
本文将对量子力学课程进行总结，深入探讨量子力学的基本原理、数学形式以及一些经典实验与现象的量子解释。
通过这门课程的学习，我对量子世界有了更深入的了解，并且对于量子力学的应用也有了一定的认识。
量子力学基本原理波粒二象性量子力学的基本原理之一是波粒二象性。
根据量子力学理论，微观物体既可以表现出波的性质，又可以表现出粒子的性质。
这一观念颠覆了我们对自然界的认识，代表性实验是双缝干涉实验，通过对电子或光子的干涉实验观察到的干涉条纹，验证了物质或能量的波动性质。
不确定性原理量子力学的另一个基本原理是不确定性原理，由海森堡提出。
不确定性原理表明，在测量某个粒子的某个物理量时，无论采用什么样的实验手段，都无法同时准确测量出粒子的位置和动量，或者能量和时间的值。
这一原理对于我们认识到微观世界的局限性有着重要的意义。
波函数和量子态波函数是量子力学的核心概念，它用来描述微观粒子的量子态。
根据波函数的演化方程——薛定谔方程，我们可以确定一个粒子在任意时刻的量子态。
波函数通过对位置、动量、角动量等物理量的测量，给出了相应的概率密度分布，从而揭示了微观粒子的统计规律。
叠加原理和量子叠加态叠加原理是量子力学的重要原理之一。
它表明，当一个系统处于两个或多个互不干扰的状态时，该系统的总量子态是这些状态的叠加。
这一概念被广泛应用于量子计算、量子通信和量子模拟等领域。
量子叠加态的表达方式是态矢量，它可以用一个复数向量表示。
数学形式希尔伯特空间和算符希尔伯特空间是量子力学中描述量子态和物理量的数学框架。
它是一个无穷维度的线性向量空间，量子态用希尔伯特空间中的向量表示。
算符是希尔伯特空间中的线性算子，用来描述量子系统的物理量以及其演化。
常用的算符有位置算符、动量算符、角动量算符等。
薛定谔方程和定态解薛定谔方程是量子力学中描述物体运动的基本方程。
量子力学小结_35104493
量子物理 h 经典物理 0, n
几何光学
d
四. 不同观点的论战
哥本哈根学派: 玻尔、海森伯、波恩、 泡利、狄拉克等。 反对哥本哈根学派：爱因斯坦、德布罗 意、薛定谔等。
哥本哈根学派的观点是： ① 波粒二象性是互补的（互补原理）， 波动性、粒子性不会出现在同一时空中。 ②量子力学是统计的理论。不确定关系是 粒子波动性的表现，原则上不可避免。
③量子力学现有体系并不完备，应进一步 探索波、粒统一的本质。 到目前为止，争论仍在进行。
费曼在他的讲义中写到：“目前只能讨论 概率。虽然是‘目前’，但非常可能永远如 此，非常可能永远无法解决这个疑难，非常 可能自然界就是如此。”
狄拉克在1972年的一次关于量子力学发展 的会议上作的闭幕词中这样说道： “在我看来，很显然，我们还没有量子力学 的基本定律。我们现在正在使用的定律需要作 重要的修改，只有这样，才能使我们具有相对 论性的理论。 非常可能，从现在的量子力学到 将来的相对论性量子力学的修改，会象从玻尔 理论到目前的量子力学的那种修改一样剧烈。 当我们作出这样剧烈的修改之后，当然我们用 统计计算对理论作出物理解释的观念可能会被 彻底修改。”
3.描写物理系统的每一个力学量，都对应 于一个线性厄米算符 。 (1)力学量算符通过对相应的经典力学量 算符化得到。 算符化规则：
ˆ ˆ ˆ E E i p p i rr r t ˆ 任一力学量 F (r , p) F (r ,i)
4, 体系的任何一个状态的波函数，都可以用 力学量算符的本征函数系，或一组力学量完全 集的共同本征函数系来展开。
c
n
n
n
当体系处于波函数所描述的状态时，测量力 学量A所得的数值，必定是算符的本证值之一， 测得An的概率是Cn2 。
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,
xa x 或 x a
若
V
(
x)
0
,
,
x a x a
则本征值
En
n a
本征函数
n
1 sin n (x a) ,
a 2a
0
,
n 1,2,3,... x a x a
9．三维无限深方势阱
V
0 , ,
《量子力学》小结
第一章 绪论（小结） 第二章 波函数和薛定谔方程（小结） 第三章 量子力学中的力学量（小结） 第四章 态和力学量的表象（小结） 第五章 微扰理论（小结） 第七章 自旋与全同粒子
第一章 绪论（小结）
1、经典物理的困难
黑体辐射，光电效应，原子光谱线系
2、旧量子论
<1>普朗克能量子论
<2>爱因斯坦对光电效应的解释；光的波粒二象性；
(A)2 (B)2 1 [ A, B ] 2
简记为 A B 1 [ A, B ] 2
特别地， xpx 2
第四章 态和力学量的表象小结
• 1．Q表象是以Q 的本征函数系un x 为基底的 表象，在这个表象中，有 Q un x Qn un x
学理论，而且运算简洁。
基矢的封闭性： n n I , dx x x I ,
n
坐标表象
狄拉克符号
(1) F ( x , t ) ( x , t )
F
( 2 ) i ( x , t ) H ( x , t )
t
i H
t
( 3 ) H un ( x ) En un ( x )
F F
( 8 ) * ( x ) ( x ) dx 1
1
4．粒子占有数表象
以线性谐振子的粒子数算符N或者哈密顿Ｈ的本征态 n 为
基矢的表象。
1
湮灭算符：
a
2
2
(xˆ
i
pˆ )
1
产生算符：a
2
2
(xˆ
i
平均值公式是： F F
归一化条件是： I
本征值方程是： F
2． 在量子力学中，两个表象之间的变换是幺正变换，
满足 S S 1；态的变换是 b S a ；算符的变换
是 F S FS 。幺正变换不改变算符的本征值。
3． 量子态可用狄拉克符号右矢 A 或左矢 A 表示。狄 拉克符号的最大好处是它可以不依赖于表象来阐述量子力
d2
d 2
能量本征态 m ()
eim ,
m , , ,
能量本征值
Em
m I
9．L , Lz 有共同的本征函数—球谐函数：Ylm ,
Ylm , ()m Nlm Pl m (cos ) eim
Nlm
an t un x
a t a t
an t
,
a* ( t ) , a* ( t ) , , an* ( t )
算符F对应一个矩阵（方阵），矩阵元是: Fnm un*Fumdx
选定表象后，算符和量子态都用矩阵表示。
i
V ( r,t )
t
当势场V ( r )不显含 t 时 ，其解是定态解：
n ( r,t ) n ( r )eiEnt , n ( r )
满足定态薛定谔方程 ： H n En n
其中
H
2
2
2
V ( r,t )
*p (r) p (r)d
( p
p )
7． 角动量 z分量
本征函数 m ()
Lz
i
eim , m , , ,
Lz 的本征值
Lz m
8． 平面转子（设绕z 轴旋转）
哈密顿量
H
L2z 2I
2
2I
( 4 ) um* ( x )un ( x ) dx mn ( 5 ) ( x ) cnun ( x )
n
( 6 ) cn un* ( x ) ( x )dx
H n En n
m n mn
cn n
n
cn n
( 7 ) F * ( x )F ( x )dx
第三章 量子力学中的力学量（小结）
• 1．量子力学中的力学量用线性厄米算符表 示并且要求该算符的本征函数构成完备系。
• 2.厄米算符A的定义： * Adr ( A )* dr
•
厄米算符的本征值是实数。厄米算符
的属于不同本征值的本征函数一定正交。
• 力学量算符的本征函数系满足正交、归一、 完备、封闭等条件。
定态薛定谔方程即能量算符的本征方程。
2
5．波函数的归一化条件： d 1 （全） 相对几率分布： ( r ) ~ c ( r )
波函数存在常数因子不定性；相位因子不定性。
6．波函数标准条件：波函数一般应满足三个基本
条件：连续性，有限性，单值性。
ห้องสมุดไป่ตู้
7．几率流密度
x p
L
L
Lx, Ly iLz , sx, s y isz , J x, J y iJ z
L2, L 0 , s2, s 0 , J 2, J 0
17．若算符 A、B 对易，即 [A, B ] 0 ，则 A和B有 共同的本征函数系。在 A 和 B 的共同的本征函数表 示的态中测量 A、B，都有确定值。 若算符 A、B 不对易，即 [A, B ] 0 ，则必有
戴维孙,革末等人的电子衍射实验验证了德布罗意关系。
4、量子力学的建立
物质波——>薛定谔方程——>非相对论量子力学 ——>相对论量子力学——>量子场论
第二章 波函数和薛定谔方程（小结）
• 1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
• 2．波函数统计解释：
若间粒r子处的d状体态积用元内r找, t到描粒写子，的*几d率 （ 设
c d 。
Fˆn (x) nn (x)
Fˆ (x) c (x)
cn n(x) (x)dx
c (x) (x)dx
力学量的平均值是:
F (x) Fˆ (x)dx
或
F n cn c d
n
4． 连续谱的本征函数可以归一化为 函数。
A, B , C B , C , A C , A, B
（Jacobi恒等式）
16． 一些重要的对易关系：
x, x 0 , p, p 0 , x, p i
L
,
x p
i
j
i
* *
与几率密度 * 满足连续性方程：
j
t
8．一维无限深方势阱
V
(x)
0 , ,
0 xa x 0或 x a
本征值
En
n a
,
n , , ,
本征函数
n
sin n x ,
3．力学量的测量值： 在力学量F的本征态中测量F，有确定值，即它的 本征值； 在非的本征态 中测量F，可能值是F的本征值。 将 (x)用算符F的正交归一的本征函数 n (x)展开：
(x) cnn (x) c (x)dx n
则在 (x)态中测量力学量F得到结果为n的几率 为 cn 2，得到结果在 d范围内的几率为:
abc a
b
c
,
阱内 阱外
10．一维谐振子 V x
本征值
En
n
， n ,, ,
本征函数
n
N e x n
Hn ( x)
Nn
,
n n!
11、可以用分离变量法求解得到（在笛卡尔坐标中） 三维各向同性谐振子的能级和波函数。
光电效应的规律；爱因斯坦公式 ：
1 2
vm2
h
W0
光子能量动量关系 ： E h , p h n k
<3>玻尔的原子理论
量子化条件 ： pdq nh
定态的假设、频率条件 ： | En Em |
h
3、微观粒子的波粒二象性,德布罗意关系
E h , p h n k
l ,, ,, m l , l ,, l
11．氢原子
E
En
e
n
e a
n
,
n , ,,
a 2 e2 (玻尔半径）
nlm (r, ,) Rnl (r)Ylm ( ,)
类氢离子
En
e
Enxnynz
nx
ny
nz
3
2
nx , ny , nz 0,1,2,