量子力学主要知识点复习全资料
量子力学基础知识
一个吸收全部入射线的表面称为黑体表面。 一个带小孔的空腔可视为黑体表面。它几乎完全 吸收入射幅射。通过小孔进去的光线碰到内表面 时部分吸收，部分漫反射，反射光线再次被部分 吸收和部分漫反射……，只有很小部分入射光有 机会再从小孔中出来。如图1－1所示
图 1－ 2表 示在四种不同 的温度下，黑 体单位面积单 位波长间隔上 发射的功率曲 线。十九世纪 末，科学家们 对黑体辐射实 验进行了仔细 测量，发现辐 射强度对腔壁 温度 T的依赖 关系。
玻尔
Bohr
他获得了 1922年的 诺贝尔物 理学奖。
玻尔
Bohr(older)
1.1.3
--- 德布罗意物质波
Einstein为了解释光电效应提出了光子说， 即光子是具有波粒二象性的微粒，这一观点在科 学界引起很大震动。1924年，年轻的法国物理学 家德布罗意（de Broglie）从这种思想出发,提 出了实物微粒也有波性,他认为：“在光学上,比 起波动的研究方法，是过于忽略了粒子的研究方 法；在实物微粒上，是否发生了相反的错误？是 不是把粒子的图像想得太多，而过于忽略了波的 图像？” 他提出实物微粒也有波性，即德布罗意波。
为了解释以上结果，玻尔综合了普朗克的量子论， 爱因斯坦的光子说以及卢瑟福的原子有核模型，提出著 名的玻尔理论： （1）原子中有一些确定能量的稳定态，原子处于定态 不辐射能量。 （2）原子从一定态过渡到另一定态，才发射或吸收能量。
E E2 E
1
h
（3）各态能量一定，角动量也一定( M=nh/2π ) 并且是量子化的，大小为 h/2π 的整数倍。
E =
h v , p = h / λ
1927年，戴维逊（Davisson）与革末 （Germer）利用单晶体电子衍射实验，汤姆逊 （Thomson）利用多晶体电子衍射实验证实了德 布罗意的假设。 光（各种波长的电磁辐射）和微观实物粒 子（静止质量不为0的电子、原子和分子等）都 有波动性（波性）和微粒性（粒性）的两重性 质，称为波粒二象性。 戴维逊(Davisson)等估算了电子的运动速度， 若将电子加压到1000V,电子波长应为几十个pm， 这样波长一般光栅无法检验出它的波动性。他 们联想到这一尺寸恰是晶体中原子间距，所以 选择了金属的单晶为衍射光栅。
《量子力学》复习资料提纲
)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。
第一章量子力学基础知识总结
第一章量子力学基础知识总结微观粒子的运动特征1.黑体辐射和能量量子化●黑体是一种能全部吸收照射到它上面的各种波长辐射的物体。
●黑体辐射的能量量子化公式:●普朗克常数(h=6.626×10-34 J·s)2.光电效应和光子学说●只有当照射光的频率超过某个最小频率（即临阈频率）时，金属才能发射光电子。
●不同金属的临阈频率不同。
●随着光强的增加，发射的电子数也增加，但不影响光电子的动能。
●增加光的频率，光电子的动能也随之增加●式中h为Planck常数，ν为光子的频率●m = h ／c2所以不同频率的光子有不同的质量。
●光子具有一定的动量(p)P = mc = h /c = h／λ●光的强度取决于单位体积内光子的数目，即光子密度。
Ek = h －W3.实物微粒的波力二项性● E = h v , p = h / λ●光（各种波长的电磁辐射）和微观实物粒子（静止质量不为0的电子、原子和分子等）都有波动性（波性）和微粒性（粒性）的两重性质，称为波粒二象性4.不确定度关系●具有波动性的粒子其位置偏差(△x )和动量偏差(△p )的积恒定.，有以下关系:量子力学基本假设1、波函数和微观粒子的状态●波函数ψ和微观粒子的状态●合格波函数的条件2、物理量和算符●算符：对某一函数进行运算,规定运算操作性质的符号。
如：sin，log等。
线性算符：Â( 1＋ 2)＝Â 1＋Â 2自轭算符：∫ 1*Â 1 d ＝∫ 1(Â 1 )*d 或∫ 1*Â 2 d ＝∫2(Â 1 )*d3、本征态、本征值和Schrödinger方程●A的本征方程Aψ= aψa 称为力学量算符 A 的本征值，ψ称为A的本征态或本征波函数，4、态叠加原理●若 1， 2… n为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合所得的 也是该体系可能的状态。
5、Pauli(泡利)原理●在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个自旋相反的电子。
量子力学基础 知识点
量子物理知识点小结一、普朗克能量子假说1、黑体辐射的实验定律2、普朗克能量子假说2)维恩位移定律：T λm = b1)斯特藩-玻耳兹曼定律： M (T ) = σT 4对频率为ν 的谐振子, 最小能量 ε 为: ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,3,2,εεεεn νh =ε谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量ε 的整数倍，二、爱因斯坦光量子假说1、光量子假说 W m h νm+=221v 2、光电效应方程： 光具有“波粒二象性”光子的动量： λhp =光子的能量： h ν=ε碰撞过程中能量守恒： 2200mc h νc m h ν+=+v m e h e h n +=λλ00碰撞过程中动量守恒：波长的偏移量:)cos 1(0θλλλλ-=-=∆c nm 00243.0m 10432120=⨯⋅≈=-cm h c λ康普顿波长: 三、康普顿效应（X 射线光子与自由电子碰撞）四、玻尔氢原子理论一切实物粒子都具有波粒二象性 2)角动量量子化条件假设； 1)定态假设； 3)频率条件假设h νmc E ==2λh m p ==v ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥∆⋅∆≥∆⋅∆≥∆⋅∆222 z y x p z p y p x 2≥∆⋅∆t Ε五、德布罗意假说六、不确定性关系：七、波函数2、波函数满足的条件1、波函数的统计意义1)归一化条件t 时刻，粒子在空间r 处的单位体积中出现的概率， 与波函数模的平方成正比。
*2),(ΨΨt r ΨdVdW w === 概率密度： 12=⎰⎰⎰dV Ψ粒子在整个空间出现的总概率等于 1 , 即： 2)标准化条件：单值、连续、有限一维情况： 1)(2=⎰+∞∞-dx x Ψ八、定态薛定谔方程1、定态：若粒子的势能 E P (x ) 与 t 无关，仅是坐标的函数， 微观粒子在各处出现的概率与时间无关2、一维定态薛定谔方程： 0)()()(=-+x E E 2m dx x d P 222ψψ九、氢原子,3,2,1,1)8(22204=⋅-=n nh me E n ε1、能量量子化和主量子数n 2、角动量量子化和角量子数l)1(2)1(+=+=l l h l l L π1,,3,2,1,0-=n l 3、角动量空间量子化和磁量子数m ll m m L l l z ±±±==,,2,1,0, 4、自旋角动量和自旋量子数 21,)1(=+=s s s S 21,±==s s z m m S十、原子的电子壳层结构1、原子中电子状态由四个量子数(n 、l 、m l 、 m s )决定用 K , L , M , N , O , P , …. 表示 2、原子的壳层结构主量子数 n 相同的电子属于同一壳层壳层n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , …. 同一壳层中( n 相同)，l 相同的电子组成同一分壳层 支壳层 用 s , p , d , f , … , 表示l = 0， 1 , 2 , 3 , … , n －13、原子的壳层结构中电子的填充原则1) 泡利不相容原理2) 能量最小原理。
量子力学复习资料
《量子力学》复习资料第一章 绪论1、经典物理学的困难：①黑体辐射；②光电效应；③氢原子线性光谱；④固体在低温下的比热。
2、★★★普朗克提出能量子假说：黑体只能以νh E =为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，⋯⋯==,3,2,1 n nh E n ν，能量的最小单元νh 称为能量子。
意义：解决了黑体辐射问题。
3、★★★（末考选择）爱因斯坦提出光量子假说：电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量νh 的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速c 传播，这种粒子叫做光量子，也叫光子。
意义：解释了光电效应。
【注】光电效应方程为0221W hv v m m e -= 4、★★★玻尔的三个基本假设：①定态假设：原子核外电子处在一些不连续的定常状态上，称为定态，而且这些定态相应的能量是分立的。
②跃迁假设：原子在与能级m E 和n E 相对应的两个定态之间跃迁时，将吸收或辐射频率为ν的光子，而且有m n E E hv -=.③角动量量子化假设：角动量必须是 的整数倍，即 ,3,2,1,==n n L意义：解决了氢原子光谱问题。
（末考选择）5、★★★玻尔理论后来也遇到了困难，为解决这些困难，德布罗意提出了微观粒子也具有波粒二象性的假说。
6、德布罗意公式：⇒⎪⎩⎪⎨⎧===k n h p h Eλν意义：将光的波动性和粒子性联系起来，两式的左端描述的是粒子性（能量和动量），右端描述的是波动性（频率和波长）。
7、（填空）德布罗意波长的计算：meUhmE h p h 22===λ 8、★★★康普顿散射实验的意义：证明了光具有粒子性。
（末考填空）同时也证实了普朗克和爱因斯坦理论的正确性。
9、★★★证实了电子具有波动性的典型实验：戴维孙-革末的电子衍射实验（也证实了德布罗意假说的正确性）、电子双缝衍射实验。
10、微观粒子的运动状态和经典粒子的运动状态的区别：（1）描述方式不同：微观粒子的运动状态用波函数描述，经典粒子的运动状态用坐标和动量描述；（2）遵循规律不同：微观粒子的运动遵循薛定谔方程，经典粒子的运动遵循牛顿第二定律。
第一章量子力学基础知识.doc
第一章 量子力学基础知识1.1 微观粒子的运动特征基本内容一、微观子的能量量子化1. 黑体辐射黑体:是理想的吸收体和发射体.Plank 假设:黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动,它只能发射或吸收频率为ν,数值为ε=hν整数倍的电磁波,及频率为ν的振子发射的能量可以等于:0hν,1 hν,2 hν,3 hν,…..,n hν.由此可见，黑体辐射的频率为ν的能量，其数值是不连续的，只能为hν的倍数，称为能量量子化。
2. 光电效应和光子光电效应:是光照射在金属样品表面上,使金属发射出电子的现象。
金属中的电子从光获得足够的能量而逸出金属，称为光电子。
光电效应的实验结果:(1) 只有当照射光的频率超过某个最小频率ν时金属才能发射光电子，不同金属的ν值也不同。
(2) 随着光强的增加，发射的电子数也增加，但不影响光电子的动能。
(3) 增加光的频率，光电子的动能也随之增加。
光子学说的内容如下：(1) 光是一束光子流，每一种频率的光的能量都有一个最小单位称为光子，光子的能量与光子的频率成正比即：νεh =0(2) 光子不但有能量，还有质量（m ），但光子的静止质量为零。
按相对论质能联系定律，20mc =ε,光子的质量为:c h c m νε==2，所以不同频率的光子有不同的质量。
(3) 光子具有一定的动量(p) p=mc=c h ν=λh(4) 光子的强度取决于单位体积内光子的数目即光子密度:ττρτd dNN =∆∆=→∆0lim将频率为ν的光照射到金属上,当金属中的一个电子受到一个光子撞击时,产生光电效应,并把能量hν转移给电子。
电子吸收的能量，一部分用于克服金属对它的束缚力，其余部分则表现为光电子动能。
2021mv h E w h k +=+=νν 当νh <w 时,光子没有足够的能量,使电子逸出金属,不发生光电效应,当νh =w 时,这时的频率时产生光电效应的临阈频率0ν,当νh >w 时从金属中发射的电子具有一定的动能,它随ν的增加而增加,阈光强无关。
量子力学复习资料
量子力学复习资料一、基本概念1、波粒二象性这是量子力学的核心概念之一。
它表明微观粒子既具有粒子的特性，如位置和动量，又具有波动的特性，如波长和频率。
例如，电子在某些实验中表现出粒子的行为，如碰撞和散射；而在另一些实验中，如双缝干涉实验，又表现出波动的行为。
2、量子态量子态是描述微观粒子状态的方式。
与经典物理学中可以精确确定粒子的位置和动量不同，在量子力学中，粒子的状态通常用波函数来描述。
波函数的平方表示在某个位置找到粒子的概率密度。
3、不确定性原理由海森堡提出，指出对于一个微观粒子，不能同时精确地确定其位置和动量，或者能量和时间。
即：＼（＼Delta x ＼cdot ＼Delta p ＼geq ＼frac{＼hbar}｛2}＼），＼（＼Delta E ＼cdot ＼Delta t ＼geq ＼frac{＼hbar}｛2}＼），其中＼（＼hbar\）是约化普朗克常数。
二、数学工具1、薛定谔方程这是量子力学中的基本方程，类似于经典力学中的牛顿运动方程。
对于一个质量为＼（m\）、势能为＼（V(x)＼）的粒子，其薛定谔方程为：＼（i\hbar\frac{＼partial ＼Psi(x,t)｝｛＼partial t} ＝＼frac{＼hbar^2}｛2m}＼frac{＼partial^2 ＼Psi(x,t)｝｛＼partial x^2} ＋ V(x)＼Psi(x,t)＼）。
2、算符在量子力学中，物理量通常用算符来表示。
例如，位置算符＼（＼hat{x}＼）、动量算符＼（＼hat{p}＼）等。
算符作用在波函数上，得到相应物理量的可能取值。
三、常见量子力学系统1、一维无限深势阱粒子被限制在一个宽度为＼（a\）的区域内，势能在区域内为零，在区域外为无穷大。
其能量本征值为＼（E_n ＝＼frac{n^2\pi^2\hbar^2}｛2ma^2}＼），对应的本征函数为＼（＼Psi_n(x) ＝＼sqrt{＼frac{2}｛a}｝＼sin(＼frac{n\pi x}｛a}）＼）。
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1光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。
这种电子称之为光电子。
2光电效应有两个突出的特点：①存在临界频率ν0 ：只有当光的频率大于一定值v 0 时，才有光电子发射出来。
若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。
②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。
光的强度只决定光电子数目的多少。
3爱因斯坦光量子假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子4康普顿效应：高频率的X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。
⒕康普顿效应的实验规律：射光中，除了原来X 光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X 光，且λ' >λ；波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大5戴维逊-革末实验证明了德布罗意波的存在6波函数的物理意义：某时刻t 在空间某一点(x,y,z)波函数模的平方与该时刻t 该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的几率密度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。
按照这种解释，描写粒子的波是几率波7波函数的归一化条件1),,,( 2⎰∞=ψτd t z y x 8定态：微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。
定态波函数：描述定态的波函数称为定态波函定态的性质：⑴由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。
⑵粒子几率流密度不随时间改变。
⑶任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变9算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。
10厄密算符的定义：如果算符满足下列等式Fˆ，则称为厄密算符。
式中ψ和φ为任意() ˆ ˆdx F dx F φψφψ**⎰⎰=F ˆ波函数，x 代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。
推论：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。
11厄密算符的性质：厄密算符的本征值必是实数。
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大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分1能量量子化辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。
这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量ε 的整数倍εεεεεn ,,4,3,2,⋅⋅⋅ 对频率为ν 的谐振子, 最小能量ε为: νh =ε2.波粒二象性波粒二象性（wave-particle duality ）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。
波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。
在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。
前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。
1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。
1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。
根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。
德布罗意公式h νmc E ==2λhm p ==v3.波函数及其物理意义在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具有的波粒二象性。
波函数满足薛定格波动方程0),()](2[),(22=-∇+∂∂t r r V mt r t i ψψ 粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅表示波动在空间一点(x ,y,z )上的强弱。
所以，应该表示 粒子出现在点(x,y,z )附件的概率大小的一个量。
从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。
自由粒子的波函数)](exp[Et r p i A k -⋅=ψ=ψ波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性 4. 波函数的归一化及其物理意义常数因子不确定性设C 是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的。
相位不定性如果常数 ，则 和 对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的。
表示粒子出现在点(x,y,z )附近的概率。
表示点(x,y,z )处的体积元 中找到粒子的概率。
这就是波函数的统计诠释。
自然要求该粒子在空间各点概率之总和为1必然有以下归一化条件 5. 力学量的平均值2|(,,)|x y z ψ2|(,,)|x y z x y z ψ∆∆∆x y z τ∆=∆∆∆2|(,,)|1x y z dxdydz ψ∞=⎰(,,)x y z ψ(,,)c x y z ψαi e C =(,,)i e x y z αψ(,,)x y z ψ既然 表示 粒子出现在点附件的概率，那么粒子坐标的平均值，例如x 的平均值x __，由概率论，有 又如，势能V 是 r 的函数：)(r V，其平均值由概率论，可表示为⎰+∞∞-=r d r r V r V 3*)()()(ψψ⎰+∞∞-=rd r r V r V 3*)()()(ψψ再如，动量 的平均值为： 为什么不能写成 因为x 完全确定时p 完全不确定，x 点处的动量没有意义。
能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值？可以，但需要表示为p __r d r pr ⎰+∞∞-=3*)(ˆ)(ψψ其中 为动量 的算符 6.算符量子力学中的算符表示对波函数（量子态）的一种运算如动量算符∇-≡i pˆ 能量算符Eti E ˆ≡∂∂=动能算符222ˆ∇-=mT动能平均值r d r T r T ⎰+∞∞-=3*)(ˆ)(ψψ 角动量算符pr l ˆˆ⨯= 角动量平均值r d r l r l ⎰+∞∞-=3*)(ˆ)( ψψ薛定谔方程),()],(2[),(22t r t r V mt r t i ψψ+∇-=∂∂算符 ，被称为哈密顿算符， 7.定态数学中，形如 的方程，称为本征方程。
其中 方程 称为能量本征方程，被称为能量本征函数， E 被称为能量本征值。
当E 为确定值，),(t r ψ=)(r E ψ)exp(Et i-拨函数所描述的状态称为定态，处于22|()||(,,)|r x y z ψψ=),,(z y x r =23*3|()|()(),x r xd r r x r d r ψψψ+∞+∞-∞-∞==⎰⎰3d r dxdydz=*3()(),p p p p d p ϕϕ+∞-∞=⎰⎰+∞∞-=r d r r p r p 3*)()()( ψψ∇-≡ i p ˆpˆAf af =ˆA →算符,f →本征函数,a →本征值22ˆ()2H V r m =-∇+22ˆ[()]()()()()2E E E E V r r E r H r E r m ψψψψ-∇+=→=)(r E ψ定态下的粒子有以下特征：粒子的空间概率密度不随时间改变，任何不显含t 的力学量的平均值不随时间改变，他们的测值概率分布也不随时间改变。
8.量子态叠加原理但一般情况下，粒子并不只是完全处于其中的某一本征态，而是以某种概率处于其中的某一本征态。
换句话说，粒子的状态是所有这些分立状态的叠加，即)()(x c x n nn ψψ∑=，具有),(中发现粒子处于态)(表示在态||2x x c n n ψψ的概率能量n E9. 宇称若势函数V （x ）=V （-x ），若)(x ψ是能量本征方程对于能量本征值E 的解，则)(x -ψ也是能量本征方程对于能量本征值E 的解具有确定的宇称。
无简并，则若的解，如果能量本征值是能量本征方程对应于设)()(),()()(x x x V x V Ex ψψψ-=10.束缚态通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态 11. 一维谐振子的能量本征值 12. 隧穿效应量子隧穿效应为一种量子特性，是如电子等微观粒子能够穿过比它们能量大的势垒的现象。
这是因为根据量子力学，微观粒子具有波的性质，而有不为零的概率穿过位势障壁。
又称隧穿效应，势垒贯穿。
按照经典理论，总能量低于势垒是不能实现反应的。
但依量子力学观点，无论粒子能量是否高于势垒，都不能肯定粒子是否能越过势垒，只能说出粒子越过势垒概率的大小。
它取决于势垒高度、宽度及粒子本身的能量。
能量高于势垒的、运动方向适宜的未必一定反应，只能说反应概率较大。
而能量低于势垒的仍有一定概率实现反应，即可能有一部分粒子(代表点)穿越势垒(也称势垒穿透barrier penetration)，好像从大山隧道通过一般。
这就是隧道效应。
例如H+H2低温下反应，其隧道效应就较突出。
13. 算符对易式一般说来，算符之积不满足交换律，即 ，由此导致量子力学中的一个基本:()()()()()()()()()cos()cos()cos()sin()sin()sin()P P x x P x x x P x x x x P x x x P x x x ψψψψψψψψψ=-=-==-=-→=-=→=-=-定义空间反演算符为如果或，称具有确定的偶宇称或奇宇称，如偶宇称奇宇称注意：一般的函数没有确定的宇称.,2,1,0,)2/1(⋅⋅⋅=+==n n E E n ω A BB A ˆˆˆˆ≠ˆˆˆˆˆˆˆˆ问题：对易关系对易式 ，通常 坐标对易关系角动量的对易式,0]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[,0],ˆ[,],ˆ[,],ˆ[,],ˆ[,0],ˆ[,],ˆ[,],ˆ[,],ˆ[,0],ˆ[=-====-=-====-====-=-===z yx y z y x z x z y y y z x y y z x z y x x x y z z y y y x x x p l p i p l p i p l p i p l p l p i p l p i p l p i p l p l z l x i y l y i x l x i z l y l z i x l y i z l z i y l x lyx z x z y z y x zz y y x x l i l l l i l l l i l l l l l l l l ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[ ======14.厄密算符平均值的性质,ˆ~ˆˆ,ˆ*的厄密共轭算符称为的共轭转置算符则A A A A ∀。
＝即记为*~ˆˆ,ˆA A A ++先转置，再共轭。
**ˆ~ˆψτϕϕτψA d A d ⎰⎰= 体系的任何状态下，其厄密算符的平均值必为实数，在任何状态下平均值为实的算符必为厄米算符，实验上可观测量相应的算符必须是厄米算符。
厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。
15. 量子力学关于算符的基本假设1、微观粒子的状态由波函数 描写。
2、波函数的模方 表示 t 时刻粒子出现在空间点(x,y,z )的概率。
3、力学量用算符表示。
4、波函数的运动满足薛定格方程0]ˆ,ˆ[≠B A⎩⎨⎧≠===βαβαδααββ,0,]ˆ,[ i i p z y x ,,,=βα0]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[,ˆˆˆˆ2222222===++=z y x zy x l l l l l l l l l l 有令),(t r ψψ=2|),(|t r ψ2222ˆ(,)()(,)(,),2ˆi r t V r t H r t t mψψψ∂=-∇+=∂16.算符的本征方程，本征值与本征函数数学中，形如的方程，称为本征方程。
其中3*其中，,)(均可展开如下：状态完备态矢，系统的任何能构成一组正交归一都是不简并的，则,果的本征态与本征值，如ˆ是算符和draaxAAAnnnnnnnnn⎰∑==∀ψψψψψψψ17.不确定度关系的严格表达18.两个算符有共同本征态的条件两个算符对易，即0]ˆ,ˆ[=BA19.力学量完全集若算符的本征值是简并的，仅由其本征值无法惟一地确定其本征态。
若要惟一地确定其本征态，必须再加上另一些与之对易的算符的本征值才可。
例如，仅由的本征值不能确定体系状态，必再加上的本征值才能确定体系状态。
这样，为了完全确定一个体系的状态，我们定义力学量完全集。
定义：如果有一组彼此独立而且相互对易的厄米算符，它们只有一组共同完备本征函数集，记为，可以表示一组量子数，给定一组量子数后，就完全确定了体系的一个可能状态，则称为体系的一组力学量完全集。
20.力学量完全集共同本征态的性质ˆAf af=ˆA→算符,f→本征函数,a→本征值ˆ,ˆˆˆn n nnnA A An A AA A AAψψψψψψ==满足的和不止一组可能有组，因此此式称为的本征方程，称为的一个本征值，称为的一个本征态。
若能级简并21. 守恒量对于Hamilton 量H 不含时的量子体系，如果力学量A 与H 对易，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A 的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变，所以把A 称为量子体系的一个守恒量。