量子力学小结
量子力学课程学习总结理解微观世界的量子行为与量子力学理论
量子力学课程学习总结理解微观世界的量子行为与量子力学理论量子力学课程学习总结—理解微观世界的量子行为与量子力学理论量子力学是现代物理学的基石之一，它描述了微观世界的量子行为和规律。
作为一门复杂而深奥的学科，量子力学学习过程中，经历了对传统物理学观念的颠覆与重构，使我对微观世界的认知有了全新的理解。
在这篇文章中，我将总结并分享我在量子力学课程中的学习心得与体会。
1.量子力学的基本概念与数学描述量子力学最基本的概念之一是波粒二象性，即光既可以被看作粒子，也可以被看作波动。
这种新的观念颠覆了我们对光的传统理解，迫使我们放弃牛顿力学的经典观念。
同时，量子力学还引入了概率描述，通过波函数和其对应的Schrodinger方程来描述和预测微观粒子的性质和行为。
2.量子力学的实验现象与解释在学习量子力学的过程中，我了解到了许多令人惊叹的实验现象，比如干涉与衍射实验、量子隧穿效应、量子纠缠等，这些实验现象都无法用传统物理学来解释。
量子力学通过波粒二象性的观念和量子态的概念，成功解释了这些奇特的现象，并提供了预测和理解微观世界的有效工具。
3.量子力学的数学形式与表述量子力学的数学形式主要通过波函数和算符来表述。
波函数描述了粒子的性质和行为，并且可以通过薛定谔方程来求解。
算符则代表了物理量，通过作用于波函数，我们可以获得物理量的平均值和可能的测量结果。
这种数学形式给予了我们预测和解释微观世界的能力，同时也让我惊叹于数学在物理学中的重要性。
4.量子力学的核心原理和定律学习量子力学，我逐渐掌握了一些核心原理和定律。
首先是不确定性原理，它规定了我们不能同时准确地知道一个粒子的位置和动量，这打破了经典物理学中的确定性观念。
其次是量子力学的变分原理和哈密顿量，它们在求解量子系统的能量问题中发挥了重要作用。
这些原理和定律构成了量子力学的基石，深刻影响了我们对微观世界的认知。
5.量子力学的应用与研究前沿量子力学在实际应用和研究领域有着广泛的应用。
量子力学第二章小结.
宽度为a的一维无限深方势阱
势能分布为
0, 0 x a U x ， x 0, x a
体系的能量为
2 2n2 En 2 a 2 (n 1, 2, 3,)
2 n n a sin a x, 0 x a, x 0, x a. 0,
式中
i p r 1 (r ) p e 3/ 2 （ 2）
i p r (r , t )e dxdydz
1 C ( p, t ) （ 2）3 / 2
(r ) * ( r , t )dxdydz p
在一维情况下，
1 ( x, t ) （ 2）1 / 2
1 C ( p, t ) （ 2）1 / 2
C ( p, t ) e
i p x
dp
( x, t )e
i p x
dx
展开系数C(p,t)实际上就是以动量为变量的波函数。
§2.3 薛定谔方程
2 2
2 k3 2E / 2
透射系数
D D0 e
2 2 (U 0 E ) a
透射系数随势垒的加宽（增大a）或加高（增大U0） 而减小。
对于任意形状的势垒：
贯穿势垒U(x)的透射系数应等于所有这些方形 势垒的透射系数之积，即
2
D D0 e
其中
a
b
2 (U ( x ) E )dx
U ( a) U (b) E
2
dxdydz 1
波函数的标准条件：单值、连续、有限。
对于归一化波函数Ψ： 几率密度
量子力学课程总结与反思
量子力学课程总结与反思在量子力学课程中，我学到了许多关于微观世界的新概念和理论。
这门课程不仅带给我新的知识，也让我对物质世界的认识有了更新和深化。
首先，我学到了量子力学的基本原理和数学框架。
量子力学是描述微观粒子行为的理论，它与经典力学有很大的区别。
在量子力学中，粒子的性质和行为是通过波函数来描述的，而波函数的演化则由薛定谔方程决定。
通过学习薛定谔方程和波函数的性质，我对量子力学的基本原理有了更深入的理解。
其次，我学到了量子力学的测量理论。
在量子力学中，测量的结果是概率性的，而且测量会导致波函数的坍缩。
这一概念在初学时可能比较难以理解，但通过学习测量理论的数学形式和实例，我逐渐理解了量子力学的测量过程和测量结果的统计分布。
此外，我还学到了一些重要的量子力学应用，如波粒二象性、不确定性原理和量子力学中的电子结构等。
这些应用不仅扩展了我对量子力学理论的认识，也帮助我理解了一些实际现象的量子本质。
在学习量子力学的过程中，我也遇到了一些困难和挑战。
量子力学的数学语言和抽象概念对初学者来说可能比较难以理解和应用。
我发现通过反复学习和解答习题，以及与同学和教师的讨论，可以逐渐克服这些困难。
此外，我也意识到在学习量子力学时需要有坚实的数学基础，尤其是线性代数和微积分的知识。
在反思自己的学习过程中，我意识到量子力学是一门需要重复学习和实践的课程。
只有通过反复学习和解题，才能真正理解和掌握其中的概念和技巧。
同时，我也认识到量子力学是一门前沿科学，它的理论和应用还有许多未解决的问题和待发展的领域。
因此，我希望在未来的学习中能够继续深入研究量子力学，探索更多有关微观世界的奥秘。
量子力学知识点总结
v
2mx
1.05 1034 2 9.1 1031 1010
0.6106 m/s
按经典力学计算
v2 m
r
k
e2 r2
v
ke2 mr
9109 (1.6 1019 )2 9.11031 0.5 1010
2.2106m/s
速度与其不确定度 同数量级。可见，对原 子内的电子，谈论其速 度没有意义，描述其运 动必须抛弃轨道概念， 代之以电子云图象。
Eˆ i 哈密顿算符 t
pˆ x
i
Hˆ
x
2
xˆ x 2 U
定态薛定谔方程（一维）
条件：U=U(x,y,z)
不随时间变化。
2 2m
2m 2Ψ x2 U( x)Ψ
i Ψ t
一般薛定谔方程（三维） 2 2 U i
2m
5. (1) 用 4 个量子数描述原子中电子的量子态，这 4 个 量子数各称做什么，它们取值范围怎样？
(2) 4 个量子数取值的不同组合表示不同的量子态， 当 n = 2 时，包括几个量子态？
(3) 写出磷 (P) 的电子排布，并求每个电子的轨道角 动量。
答：(1) 4 个量子数包括： ➢ 主量子数 n， n = 1, 2, 3,… ➢ 角量子数 l， l = 0, 1, 2,…, n-1 ➢ 轨道磁量子数 ml， ml = 0, 1, …, l ➢ 自旋磁量子数 ms， ms = 1/2
处单位体积元中发现一个粒子的概率，称为概率密度。
因此波函数 y 又叫概率幅。
六、不确定关系
位置动量不确定关系： xpx / 2 能量时间不确定关系： Et / 2
量子力学》小结
ψ p = (2π ) 3 2 e i pr
正交归一性
ψ * ′ (r )ψ p (r )dτ = δ ( p p ′) ∫ p
7. 角动量 z 分量 . 本征函数
ψ m ( ) =
1
L z = i
2π
e im , m = 0 , ± 1 , ± 2 ,
L z 的本征值
′ L z = m
cn = ∫ φn ( x)ψ ( x)dx
力学量的平均值是: 力学量的平均值是
Fφλ ( x) = cλφλ ( x)
c λ = ∫ φλ ( x)ψ ( x)dx
F = ∫ ψ ( x ) Fψ ( x ) dx
或
F = ∑ λ n c n + ∫ λ c λ dλ
n 2 2
4. 连续谱的本征函数可以归一化为 δ 函数. . 函数. 5.简并:属于算符的某一个本征值的线性无关 .简并: 的本征函数有若干个,这种现象称为简并. 的本征函数有若干个,这种现象称为简并. 简并度: 简并度:F 算符的属于本征值 λn 的线性无关的本 征函数有f个 征函数有 个,我们称 F 的第 个本征值 λn 是f度 度 F 的第n个本征值 简并的. 简并的. 6. 动量算符的本征函数 即自由粒子波函数 即自由粒子波函数) . 动量算符的本征函数(即自由粒子波函数
0 < x < a,0 < y < b , 0 < z < c 其余
2 2 π 2 2 n12 n2 n3 2 + 2 + 2 , n1,n2,n3 = 1 , 2 , 3 , = 2 a b c
可以用分离变量法求解得到
8 nπx nπx n πx sin 1 sin 2 sin 3 , 本征函数 ψ n1n2 n3 ( r ) = abc a b c 0 ,
量子力学基础 知识点
量子物理知识点小结一、普朗克能量子假说1、黑体辐射的实验定律2、普朗克能量子假说2)维恩位移定律：T λm = b1)斯特藩-玻耳兹曼定律： M (T ) = σT 4对频率为ν 的谐振子, 最小能量 ε 为: ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,3,2,εεεεn νh =ε谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量ε 的整数倍，二、爱因斯坦光量子假说1、光量子假说 W m h νm+=221v 2、光电效应方程： 光具有“波粒二象性”光子的动量： λhp =光子的能量： h ν=ε碰撞过程中能量守恒： 2200mc h νc m h ν+=+v m e h e h n +=λλ00碰撞过程中动量守恒：波长的偏移量:)cos 1(0θλλλλ-=-=∆c nm 00243.0m 10432120=⨯⋅≈=-cm h c λ康普顿波长: 三、康普顿效应（X 射线光子与自由电子碰撞）四、玻尔氢原子理论一切实物粒子都具有波粒二象性 2)角动量量子化条件假设； 1)定态假设； 3)频率条件假设h νmc E ==2λh m p ==v ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥∆⋅∆≥∆⋅∆≥∆⋅∆222 z y x p z p y p x 2≥∆⋅∆t Ε五、德布罗意假说六、不确定性关系：七、波函数2、波函数满足的条件1、波函数的统计意义1)归一化条件t 时刻，粒子在空间r 处的单位体积中出现的概率， 与波函数模的平方成正比。
*2),(ΨΨt r ΨdVdW w === 概率密度： 12=⎰⎰⎰dV Ψ粒子在整个空间出现的总概率等于 1 , 即： 2)标准化条件：单值、连续、有限一维情况： 1)(2=⎰+∞∞-dx x Ψ八、定态薛定谔方程1、定态：若粒子的势能 E P (x ) 与 t 无关，仅是坐标的函数， 微观粒子在各处出现的概率与时间无关2、一维定态薛定谔方程： 0)()()(=-+x E E 2m dx x d P 222ψψ九、氢原子,3,2,1,1)8(22204=⋅-=n nh me E n ε1、能量量子化和主量子数n 2、角动量量子化和角量子数l)1(2)1(+=+=l l h l l L π1,,3,2,1,0-=n l 3、角动量空间量子化和磁量子数m ll m m L l l z ±±±==,,2,1,0, 4、自旋角动量和自旋量子数 21,)1(=+=s s s S 21,±==s s z m m S十、原子的电子壳层结构1、原子中电子状态由四个量子数(n 、l 、m l 、 m s )决定用 K , L , M , N , O , P , …. 表示 2、原子的壳层结构主量子数 n 相同的电子属于同一壳层壳层n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , …. 同一壳层中( n 相同)，l 相同的电子组成同一分壳层 支壳层 用 s , p , d , f , … , 表示l = 0， 1 , 2 , 3 , … , n －13、原子的壳层结构中电子的填充原则1) 泡利不相容原理2) 能量最小原理。
量子力学知识点小结
第一章⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。
⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。
⒎普朗克量子假说：表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。
表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=h ν。
表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。
⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。
这种电子称之为光电子。
⒐光电效应有两个突出的特点：①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。
若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。
②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。
光的强度只决定光电子数目的多少。
⒑爱因斯坦光量子假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。
爱因斯坦方程⒒光电效应机理：当光射到金属表面上时，能量为E= hν的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。
⒓解释光电效应的两个典型特点：①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。
②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。
⒔康普顿效应：高频率的X射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。
⒕康普顿效应的实验规律：①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ；②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。
⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性⒘与运动粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。
量子力学总结
2个费米子
A k1k2
q1,q2
12k1
q1k2
q2k1
q2k2
q1
Quantum Mechanics
1 k1 q1 k1 q2 2k2 q1 k2 q2
2个玻色子
s k1k2
q1,q2
cn 2an
A (rv)(rv)drv n cn2
n
对于归一的波函数此项为一。
Quantum Mechanics
矩阵表示
A
a1
c1
b1
d1
A ac11
b1 d1
*
a1 c1
db1112an12
A
n
Quantum Mechanics
解存在的条件
久期方程
a1 an
b 0
c d1 an
给出 a n ，一般是多值。 对应不同本征值 a n 代入本征方程中，在考虑归一化条件，
A B A B 1 [A ,B ] 1[A ,B ]
2
2
Quantum Mechanics
2、量子力学基本原理： （1）状态→数学上用波函数描述，波函数是
(r,t)的函数，
是希尔伯特空间中的矢量。
波函数满足标准化条件：单值、连续、有限（或平方可积）。
波函数|ψ(x,t)|2才有物理意义，解释为概率密度。 在t时刻，在x--x+dx区域发现粒子的概率：dp=|ψ(x,t)|2 dx
a* c* a b b* d* c d
Quantum Mechanics
② AB C C B A
③ 本征值为一些实数， ④ 计算的常用基本公式
也是体系中测量这些力学量得 到的测量值
[xi, pˆj ]iij (i, j 1,2,3)
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n
n
n
也是体系的一个可能状态。
若体系处于 cn n态，我们讲体系部分处于
, , n 态。
n
4．波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出：
i V ( r , t ) t
14． 对易式满足的基本恒等式：
A , B C A , B A , C A , BC B A , B A , B C AB , C A B , C A , C B
A , B , C B , C , A C , A , B
为
:
c ，得到结果在 n
c 。 d
2
范围内的几率为 d
ˆ f ( x) = l f ( x) F n n n
cn n ( x) ( x)dx
ˆ f ( x) = q f ( x) F l l l
c ( x) ( x)dx
力学量的平均值是:
Q un x Qn un x
an t un x
a t a t , an t
* * a* ( t ) , a ( t ) , , a n (t )
Summary of Quantum Mechanics
第一章 绪论（小结）
1、经典物理的困难
黑体辐射，光电效应，原子光谱线系
2、旧量子论
<1>普朗克能量子论 <2>爱因斯坦对光电效应的解释；光的波粒二象性； 光电效应的规律；
1 2 vm h W0 2
光子能量动量关系：
E = hn = w P= h
* F u 算符F对应一个矩阵（方阵），矩阵元是: nm n Fum dx
选定表象后，算符和量子态都用矩阵表示。
平均值公式是： F F
归一化条件是： 本征值方程是：
I
F
2．在量子力学中，两个表象之间的变换是幺正变换
1 满足 S S ；态的变换是 ； b S a 算符的变换是 F S FS 。幺正变换不改变算符的本征值。
n 的线性无关的本 n 是f度
的第 n ˆ 个本征值 F
6． 动量算符的本征函数(即自由粒子波函数)
( ) p
e
i pr
正交归一性
(r ) p (r )d ( p p)
* p
7． 角动量
z 分量
L z i
*
满足连续性方程：
j t
8．一维无限深方势阱
本征值
0 , V ( x) ,
0 xa x 0或 x a
n En , n , , , a
n x sin , n a a , xa x或 xa
本征函数
若
0 , V ( x) ,
x a x a
则本征值
n En a
1 n sin ( x a ) , n 1,2,3,... x a 2a 本征函数 n a 0, x a
9．三维无限深方势阱
0 , V ,
Ennn
0 x a,0 y b , 0 z c 其余
n n n , n、n、n , , , a b c
可以用分离变量法求解得到 本征值
n x n x n x sin sin sin , a b c 本征函数 nnn ( r ) abc ,
5．波函数的归一化条件：
（全）
2
d 1
相对几率分布： ( r ) ~ c ( r )
波函数存在常数因子不定性；相位因子不定性。
6．波函数标准条件：波函数一般应满足三个基本条件：
连续性，有限性，单值性。
i j * *
7．几率流密度
与几率密度
L , L iL
x y
z
,
s , s is
x y
z
,
J , J iJ
x y
z
L , L 0 , s , s 0 , J
2
2
2
, J 0
16．若算符 A、B
对易，即 [ A , B ] 0 ，则
和A
有共同的本征函数系。在 B 或左矢 A 表示
狄拉克符号的最大好处是它可以不依赖于表象来阐述量子力学 理论，而且运算简洁。
基矢的封闭性： n
n
n I,
dx x
x I,
坐标表象
( 1 ) F ( x , t ) ( x , t ) ( 2 ) i ( x , t ) H ( x , t ) t ( 3 ) H un ( x ) E n un ( x )
称
F 为守恒量。
力学量 F 的平均值随时间的变化满足
dF F [F , H ] dt i t
因而力学量 F为守恒量的条件为：
F 0 且 [F , H ] t
12．宇称算符
宇称算符的定义：
ˆ P (r ) (r )
13． 对易式定义：
A , B AB BA
cn n F F
( 7 ) F * ( x )F ( x ) dx ( 8 ) * ( x ) ( x ) dx 1
1
4．粒子占有数表象
以线性谐振子的粒子数算符N或者哈密顿Ｈ的本征态 n 为 基矢的表象。
湮灭算符：
i 2 ˆ ˆ) a p (x 2
（Jacobi恒等式）
15． 一些重要的对易关系：
x , x 0 , p , p 0 , x , p i
x x L , p i p L L
e
e E En , n , , , a n n e Z a 2 e 2 (玻尔半径） 类氢离子 E n n
11． 守恒力学量的定义：
若
dF （即力学量的平均值不随时间变化），则 dt
V ( r ) 当势场 不显含
t ，其解是定态解： 时
i Ent n ( r , t ) n ( r )e
, n ( r )
满足定态薛定谔方程 ： H n 其中
En n
2 2 H V ( r ,t ) 2
定态薛定谔方程即能量算符的本征方程。
选 H , L , Lz 为体系的守恒量完全集，其共同的本征
函数为
nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , )
n 1, 2, 3, l 0,1, 2,, n 1 m 0, 1, 2,,l
10．氢原子
nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , )
第三章 量子力学中的力学量（小结）
1. 量子力学中的力学量用线性厄米算符表示，并且 要求该算符的本征函数构成完备系。
2. 厄米算符A的定义：
* Adr ( A ) dr
*
厄米算符的本征值是实数。厄米算符的属于不同本征值的 本征函数一定正交。 力学量算符的本征函数系满足正交、归一、完备等条件。
和 A 的共同的本征函数 B
，都有确定值。 A、B ，则必有 [ A, B ]0
若算符 A、B 不对易，即
2 2
简记为
1 (A) (B) [ A , B ] 2
1 特别地，A B [ A , B ] 2
xp x 2
第四章 态和力学量的表象（小结）
Q 表象是以Q 的本征函数系 u n x 为基底的表 1． 象，在这个表象中，有
阱内 阱外
10．一维谐振子
V x
本征值 E n n ， n , , ,
本征函数
n ( x) Nne
Nn
1 2 x2 2
H n ( x)
n!
n
,
11、势垒贯穿
隧道效应： 粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯 穿势垒的现象，称为隧道效应。
e im , m , , ,
本征函数 m ( )
Lz 的本征值
m Lz
lm
8．
L , L 有共同的本征函数—球谐函数：Y ,
z
m
Ylm , () m N lm Pl N lm
(cos ) e im m , , , , l
i 2 ˆ ˆ) a p (x 2
1
1
产生算符：
1 1 H a a N 2 2
——>相对论量子力学——>量子场论
第二章 波函数和薛定谔方程（小结）
1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。 2．波函数统计解释： 2 * r , t d 表示在 d t时刻，空 若粒子的状态用 描写， 间 处 体积元内找到粒子的几率（设 是归一化的）。 r d
l
n= k
<3>玻尔的原子理论 量子化条件 ：
pdq nh
| En Em | h