量子力学-束缚态和散射态概念比较

)()(x x V γδ-=束缚态和散射态量子力学的主要研究对象有两类：束缚态 散射态束缚态：在势阱中E <V 0情况下，束缚态能量是分立的，是束缚态边界条件下求解定态波动方程的必然结果。

由前面的讨论可知，在一定的边界条件下，只有某些本征值所对应的解才是有物理意义的。

散射态：是能量连续的态，此时能量间隔趋于 0，态函数是自由粒子平面波的叠加。

对势垒散射问题和部分势阱问题，一般要考虑散射态的存在在通常的教材中，束缚态问题和散射问题一般是不同边界条件分别处理的。

实际上二者有极其密切的联系。

下面将予以讨论2、δ势阱中的束缚态 对δ势阱，有)()(x x V γδ-=，)0(>γ见右图。

在0≠x 处，0)(=x V 。

0>∴E 为游离态（自由态），E 可取任何连续值。

0<E 时则可能存在束缚态，此时E 取分立值。

以下讨论0<E 的情况。

定态Schrodinger 方程为，0)]([2d d 222=++ψγδψx E mx积分⎰-→+εεεx d lim 0 可得出δ势阱跃变条件，)0(2)0(')0('2ψγψψ m -=--+ 与δ势垒跃变条件比较：)0(2)0(')0('2ψγψψm =--+在0≠x 区域，Schrodinger 方程可以写成为0)(''2=-ψβψx其中02>-=mEβ，)0(<E 解为x e β±，可写为x x Be Ae ββ-+，利用边界条件可以知道以上两结论是一致的。

考虑到)()(x V x V =-，要求束缚定态有确定宇称（不简并，因为是一维），(a)偶宇称态⎩⎨⎧<>=-0)(x cex ce x xxββψ 或写成||)(x ce x βψ-=c 为归一化因子。

现在根据跃变条件求解。

按'ψ的跃变条件，c m c c ⋅-=--2/2 γββ2/ γβm =∴因此可得出粒子能量的本征值2222022γβm m E E -=-==由归一化条件⎰∞∞-==1/||d ||22βψc x ，可得出L m c /1/2=== γβ，γm L /2 =是势的特征长度。

这样归一化的束缚定态波函数可写为Lx e Lx /||1)(-=ψ这是δ势阱中的唯一束缚态。

属于能量2202γm E -=。

在L x ≥||中找到粒子的几率为1353.0d |)(|222==-∞⎰e x x Lψ(b)奇宇称态 波函数可表为⎩⎨⎧<->=-0)(x Aex Ae x xxββψ 由0=x 点波函数连续性条件可得0=A ，所以不可能存在奇宇称束缚定态。

从物理上考虑，奇宇称态在波函数0=x 点必为0。

而δ势阱又恰在点0=x 起作用。

所以δ势阱对奇宇称态没有影响，故而不能形成束缚态（参见P60思考题）。

2、δ势与方势的关系，'ψ跃变的条件δ势是一种短程相互作用的理想模型，可堪称方位势的一种特殊情况，原则上，它可以从方势的解取极限而得到。

从δ势求解更为方便。

'ψ不连续，但粒子流密度x j 连续。

以下仅讨论'ψ的跃变条件。

考虑粒子对方势垒的散射。

⎩⎨⎧><=εε||0||)(0x x V x V在其内部，Schrodinger 方程为0)(2d d 2022=--ψψ E V m x 考虑粒子能量0V E <情况，在势垒内部（ε<||x ），波函数可表为x x Be Ae x κκψ-+=)(其中 /)(20E V m -=κ。

显然B A +=)0(ψ，而且)('x x Be Ae κκκψ--=。

现在让∞→0V ，0→ε，而对δ势垒，⎰⎰--==εεεεγγδx x x x V d )(d )(（？）若保持γε=02V （常数），则方势垒将趋于一个δ势垒)(x γδ。

利用)()('κεκεκεψ--=Be Ae ，)()('κεκεκεψBe Ae -=--得，)()()(')('κεκεκεκεκκεψεψe e B e e A ---=----当+→0ε，∞→0V （保持γε=02V ）时，0/20→→ mV εκε但2202//2 γεεκm mV →→且当0→ε时，κεκε±→±1e代入)()()(')('κεκεκεκεκκεψεψe e B e e A ---=----， 由)()()(')('κεκεκεκεκκεψεψe e B e e A ---=----得[][])0(2)(2lim )2()2(lim )(')('lim 2200ψγεκκεκκεκεψεψεεεm B A B A =+=+=--+++→→→即)0(2)0(')0('2ψγψψ m =--+ 此恰为前述'ψ的跃变条件。

2、束缚能级与透射振幅极点的关系束缚能级与散射问题有着密切的关系。

下面以一维势阱为例进行分析。

散射问题中我们取0>E ，而在势阱束缚态的0<E 。

对0>E 的透射振幅，121-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=k im S γ 如把0>E 的透射振幅解析延拓到0<E 时，我们来研究束缚能级与透射振幅极点的关系。

先讨论δ函数势阱，)()(x x V γδ-=，)0(>γ此时透射振幅由121-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=k im S γ→121-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k im S γ 其中 /2mE k =，)0(>E 。

（注意已将势垒透射振幅表达式中的γγ-→）如解析延拓到E <0能阈（k 为虚），由121-⎪⎭⎫⎝⎛-=k im S γ，则S 有单极点（一阶极点2γim k =）。

此时，222222γm m k E -== 由前可知，此恰为δ势阱的唯一束缚能级。

对于方势阱，其解析延拓情况可参阅教材相关内容。

作业：p82 13 §3.5 一维谐振子经典物理的谐振子模型：分子的振动、晶格的振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等量子物理的谐振子模型：黑体辐射 场量子化 等， 把场中的粒子看作谐振子一维谐振子的本征值问题是处理量子力学问题的最基本的范例。

一、势函数选线性谐振子的平衡位置为坐标原点，以坐标原点为零势能点，则一维线性谐振子的势能为：2222121)(x m kx x V ω==m 是粒子的质量 k 是谐振子的劲度系数mk=ω是谐振子的角频率 二、薛定谔方程及解0)]([2222=-+ψψx V E mxd d 或0]21[222222=-+ψωψx m E m x d d理想的谐振子是一个无限深势阱。

因为∞→||x 时，∞→)(x V ，0)(→x ψ为束缚态。

为化简上述方程，便于求解，引进无量纲参数，x αξ=， /ωαm =，ωλ /2E =上述方程可化为0)()()(d d 222=-+ξψξλξψξ这是个变系数常微分方程。

（1）先讨论±∞→ξ行为，求渐进解（此时λ可略去）对方程0)()(d d 222=-ξψξξψξ其解显然可以写为221~)(ξξψ±e，因为)()('ξξψξψ±=，)()()(''2ξψξψξξψ±=)(2ξψξ≈根据束缚态边界条件，有221~)(ξξψ-e ，（2）求实际解利用)()(2/2ξξψξu e -=，有，2/2/2/222d d )(d d )(d d ξξξξξξξξξξψ---⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-=e u u ue u e2/222222d d )(d d 2)(d d ξξξξξξξξψ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=e u u u u 代入方程（4）得所满足的方程，0)()1(d d 2d d 22=-+-ξλξξξu uu 这就是所谓的Hermite 方程。

0=ξ为方程的常点。

可在0=ξ邻域用幂级数展开。

计算表明，一般情况下解为无穷级数。

当∞→||ξ时，2~)(ξξψe ，不能满足有界条件。

为得到有界解，幂级数要求中断为一多项式。

可以证明，当12+=n λ时可以得出一多项式解)()(ξξn n H u =此时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+=+==-22d d)1()()()21()21(ξξξξξνωe e H u h n n E E nnn n n n ， n = 0, 1, 2, … 第二项称为n 界厄米多项式，宇称为n (-1)（？） 满足下列递推关系，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-0)(2)(2)()(2d )(d 111ξξξξξξξn n n n n nH H H nH H )(ξn H 是ξ的n 次多项式。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=== 24)(2)(1)(2210ξξξξξH H H 归一化波函数为)()(2221x H Ae x n x n αψα-=，是一个实函数其中2/1!2⎪⎭⎫⎝⎛=παn A n 。

在求归一化系数A 时，要用到厄米多项式的正交关系，mn n m n n H H eδπξξξξ!2d )()(2=⎰∞∞--所以归一化波函数为2222)(d d )1(!2)(n 2/2/1x nx n n n e x e n x αααπαψ--⎪⎭⎫ ⎝⎛= 最常用的几个态，0=n ，基态，ω 210=E ，22212/10)(x ex απαψ-⎪⎭⎫ ⎝⎛=（偶宇称） 1=n ，第一激发态，ω 231=E ，22212/11)(x xe x ααπαψ-⎪⎭⎫⎝⎛-=（奇宇称） 2=n ，第二激发态，ω 252=E ，2221222/12)12(2)(x e x x ααπαψ--⎪⎭⎫ ⎝⎛=（偶宇称）线性谐振子波函数 线性谐振子位置概率密度线性谐振子 n =11 时的概率密度分布虚线代表经典结果： 经典谐振子在原点速度最大，停留时间短 粒子出现的概率小； 在两端速度为零，出现的概率最大。

讨论：①微观一维谐振子能量量子化ω )21(+=n E n ， ,2,1,0=n能量特点：(1)量子化，等间距 νh E =∆ (2)有零点能 210ω =E 符合不确定关系概率分布特点: E < V 区有隧道效应②基态的性质 零点能ω 210=E这是束缚态的一个典型特征，是测不准原理的一个直接结果。

基态位置概率分布2220|)(|xe x απαψρ-==是个Gauss 分布量子：在x = 0 处概率最大22π)()(200xe x x W αα-=Φ=在其它范围也能找到粒子。

经典：在0=x 处的粒子速率最大，概率最小。

基态谐振子只允许在1||-≤αx （1||≤ξ）的区域中运动，而1||-≥αx 为经典禁区。