第七讲散射理论
微观粒子的散射理论
微观粒子的散射理论微观粒子的散射理论是量子力学中的重要研究领域之一。
散射是指当微观粒子与其他粒子或势场相互作用时，其运动状态发生改变的过程。
通过研究散射过程，我们可以了解粒子之间的相互作用以及粒子的性质。
1. 散射理论的基本原理散射理论的基本原理是基于量子力学的波粒二象性。
根据波粒二象性，微观粒子既可以被看作粒子，也可以被看作波动。
在散射过程中，我们可以将微观粒子的运动状态用波函数描述。
2. 散射截面散射截面是描述散射过程中粒子与目标之间相互作用的一个重要物理量。
散射截面越大，表示粒子与目标之间的相互作用越强。
散射截面的计算可以通过量子力学的散射理论进行。
3. 散射振幅散射振幅是描述散射过程中粒子的波函数发生变化的一个重要物理量。
散射振幅可以通过散射理论的计算得到。
散射振幅的大小和相位可以反映粒子与目标之间的相互作用。
4. Born近似Born近似是散射理论中常用的一种近似方法。
Born近似假设散射过程中粒子与目标之间的相互作用很小，可以忽略。
在Born近似下，散射振幅可以通过目标的散射势场和粒子的波函数计算得到。
5. 散射实验散射实验是研究散射理论的重要手段。
通过散射实验，我们可以测量散射截面和散射振幅，从而验证散射理论的准确性。
散射实验可以使用不同的粒子和目标，例如电子和原子核的散射实验。
6. 散射理论的应用散射理论在物理学的各个领域都有广泛的应用。
例如，在核物理中，散射理论可以用于研究原子核的结构和性质；在凝聚态物理中，散射理论可以用于研究电子在晶体中的散射行为。
总结：微观粒子的散射理论是量子力学中的重要研究领域，通过研究散射过程，我们可以了解粒子之间的相互作用以及粒子的性质。
散射理论的基本原理是基于量子力学的波粒二象性，散射截面和散射振幅是描述散射过程的重要物理量。
Born近似是散射理论中常用的一种近似方法，散射实验是验证散射理论的重要手段。
散射理论在物理学的各个领域都有广泛的应用。
通过深入研究微观粒子的散射理论，我们可以更好地理解微观世界的奥秘。
散射理论 ppt课件
❖ 如果在均匀介质中掺入一些大小为波长数量级 且杂乱分布的颗粒物质，它们的折射率与周围均匀 介质的折射率不同，如胶体溶液、悬乳液、乳状物 等，原来均匀介质的光学均匀性遭到破坏，次波干 涉的均匀性也受到破坏。这种含有不均匀无规则分 布的颗粒物质的介质引起了光的散射。这时，散射 光的强度分布及偏振规律与散射颗粒的大小、颗粒 相对周围介质的折射率有关。
边界条件：
n ( D1 D2 ) , n ( E1 E2 ) 0 n ( B1 B2 ) 0, n ( H 1 H 2 )
❖ 得亥姆霍兹波动方程：
2Ek2E 0 2H k2H 0
散射理论
❖ 当电导率 0 时, k2 2 ,则波动方程为
2E2 E 0
2H 2 H 0
散射理论
❖ 在研究光散射现象时，常常引入散射光强、散 射截面、吸收截面、消光截面以及相应的散射系数 、吸收系数和消光系数等描述散射现象的物理量。 这些物理量与散射颗粒的大小、折射率以及入射光 的波长等因素存在密切的关系
❖ （1）散射截面
❖ 一个散射颗粒在单位时间内散射的全部光能量E sca 与入射光强 I 0 之比称为散射截面，记作 C sca 。
散射理论
散射理论
❖ 光波是电磁波，光波在介质中的传播与介质的特性 有关，并且服从 Maxwell 电磁场方程。因此，光波 在介质中的传播规律。
❖ Maxwell方程组：
E H , • D t
H J E ， • B 0 t
物质方程：
D E r0E, B H r0H J E
❖ 众所周知，在均匀介质中，光线将沿原有的方向 传播而不发生散射现象。当光线从一均匀介质进入 另一均匀介质时，根据麦克斯韦电磁场理论，它只 能沿着折射光线的方向传播，这是由于均匀介质中 偶极子发出的次波具有与人射光相同的频率，并且 偶极子发出的次波间有一定的位相关系，它们是相 干的，在非折射光的所有方向上相互抵消，所以只 发生折射而不发生散射。
第七章 量子散射理论
A + B → A* + B
( A ——粒子 A 的某种内部激发态)
*
A + B → C + D （+ ┄）
▲“弹性散射”过程中，不存在粒子种类的改变，而且不发生机械能（ A 、 B 粒子总动 能和相互作用势能之和）和粒子内能之间的转化，因此弹性散射中机械能守恒； ▲“非弹性散射”。存在机械能与粒子内能之间的转化。比如，电子在原子上的散射造 成靶原子内部状态的激发（或退激发）； ▲“碰撞过程”。这是纯粹由于入射复合粒子 A 、 B 之间的组分粒子交换导致新复合粒 子 C 、 D 出射，即（重新）组合反应。它们属于一般的形式散射理论处理的范围。比如，电 子使靶原子电离放出束缚电子，或是各种原子核反应。这时没有新粒子产生和旧粒子湮灭， 只是复合粒子在碰撞下的分解或重新组合，所以参与反应的粒子守恒。
dn = σ (θ ,ϕ ) J d Ω
σ (θ ,ϕ ) =
dn Jd Ω
具有面积的量纲，故称 σ (θ , ϕ ) 为微分散射截面。将它对整个立体角 d Ω 积分，得到总散射截 面（积分散射截面）
σt = ∫
2π
0
∫
π
0
σ (θ ,ϕ )sin θ dθ dϕ
从而量子力学研究散射问题的中心课题是计算微分截面。 2、散射问题的边界条件 散射振幅
这是一个二体运动方程，它可化为两个运动方程，一个描述质心的运动，另一个描述粒子之 间的相对运动。若选用质心坐标系，则只需讨论粒子之间的相对运动方程：
−
2
2µ
∇ 2 Ψ + V (r )Ψ = E Ψ
上式中 µ 是折合质量， r 是散射粒子相对靶粒子的位置矢径， E 是相对运动的能量。在实验 上 E 是通过加速入射粒子而确定的，计算中作为已知条件应用。 （2） 、 r → ∞ 时波函数的渐进形式 在远离散射中心观察，粒子作自由运动。于是，当 r → ∞ 时，波函数应由两部分组成， 一部分是描述沿 z 方向运动的入射粒子的平面波 Ψ1 = A exp(ikz ) ；另一部分是描述粒子被散射 后从散射中心向外发散的球面出射波，即 Ψ 2 = B(θ ,ϕ ) exp(ik r ) / r 其中 k 为波矢。 对于弹性散射，粒子散射后能量不变，而且散射前后都假定了粒子在自由状态，因而散 射前后，波矢 k 的大小不变。 球面波的振幅 B 与 θ , ϕ 有关，是因为粒子被散射到不同方向的几率不一样。于是 当 r → ∞ 时，波函数的一般渐进形式为 Ψ → A ei k z + B (θ ,ϕ ) r →∞
理论声学第07章散射
介质之间的传播行为。
02
边界条件包括反射和透
射两种情况，其中反射
系数和透射系数分别表
示声波在散射体表面反
射和透射的能力。
03
边界条件是确定散射波
场分布的重要因素，也
是求解散射问题的重要
条件。
散射的格林函数
01
02
03
格林函数是描述散射问题的另一重要数学工具，它表示的是在给定源点处单位
和方向。
02
散射的基本理论
弹性散射
01
02
03
弹性散射是指散射过程中，入射波的频率不发生改变，只发生
波前的方向变化。
在弹性散射中，散射体的性质决定了散射的强度和方向，而与
入射波的频率无关。
弹性散射的微观机制主要包括分子振动、晶格振动等。
非弹性散射
非弹性散射是指散射过程中，入射波的频率发生
变化，同时波前的方向也会发生改变。
有限元法
定义
有限元法是一种将连续的求解域离散化为有限个小的互连
子域（即有限元），对每个子域进行求解，最后将所有子
域的结果汇总得到原问题的近似解。
应用
有限元法广泛应用于结构力学、流体力学等领域，在声学
散射问题中，可以用于模拟声波在复杂形状物体上的散射。
优点
适应性强，可以处理复杂的几何形状和边界条件。
03
散射的数学模型
散射的波动方程
描述散射问题的波动方程是线
性偏微分方程，其形式为：
▽²p + ω²p = 0，其中p表示
声压，ω表示角频率。
该方程描述了声波在介质中
的传播行为，包括散射体的
散射效应。
求解该方程可以得到散射波的
散射理论
3. 刚势球散射：势垒
U 0 → ∞; k 02 =
2 µU 0
→ ∞ ，则
2
thk 0 a =
e k0 a − e − k0 a e k0 a + e − k0 a
解得：ψ nlm ( r , θ , ϕ ) = Rnl ( r ) Ylm (θ , ϕ )
2 ∇ 2ψ ( r , θ ) + ⎡ ⎣k − V ( r )⎤ ⎦ψ ( r , θ ) = 0 ，
n固定 ψ ( r ,θ ) ⎯⎯⎯⎯⎯ → R r P cos θ ) ， 所以，每一项（ l 的一个值）称为ψ ( r , θ ) 的 一个分波。 m=0（与ϕ 无关） ∑ l ( ) l ( l
, k
'2
=
2 µ (U 0 − E )
2
.
' ' ⎧ ⎪U ( r ) = A sin k r，r ≤ a ⎞ ⎛k ⎛ thka ⎞ ∴ kctg (ka + δ 0 ) = k ' ctgk ' a ， δ 0 = tg −1 ⎜ ' thk ' a ⎟ − ka ，∴ Q = 4πa 2 ⎜ − 1⎟ ⎨ ka k δ U r A sin( kr ) r a = + ， > ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ( ) ⎪ 0 ⎩
3〉微分截面计算公式 入射波的几率流密度： J z =
散射波： 又 dn = qNd Ω
Jr =
2 2 ds dn i ⎛ ∂ψ 2∗ ∂ψ 2 ⎞ V ∴ dn = J r ids = N f (θ , ϕ ) 2 −ψ 1∗ ⎜ψ 2 ⎟ = 2 f (θ , ϕ ) = ds r ∂r ∂r ⎠ r 2µ ⎝ 2 ds ） ∴ q (θ , ϕ ) = f (θ , ϕ ) 2 r
散射理论PPT
有关散射的几个物理量
在研究光散射现象时，常常引入散射光强、散 射截面、吸收截面、消光截面以及相应的散射系 数、吸收系数和消光系数等描述散射现象的物理 量。这些物理量与散射颗粒的大小、折射率以及 入射光的波长等因素存在密切的关系
（1）散射截面
一个散射颗粒在单位时间内散射的全部光能量
入射光强 之I0比称为散射截面，记作
适。用米。氏粒 散子 射线 不度 同大于于瑞1利0 散的射较呈大对微称粒状散分射布称，为常米被氏用散于射
大气中滴粒分布的研究。 一、Mie 散射公式：
不考虑光波的偏振性，将光波作为标量波处理， 取散射颗粒处为坐标原点，入射光沿z 轴正方向传 播，在远离散射体处的散射光波为球面波，
其波源就是散射体。图中,r为散射光观察点与散射体 的距离，散射角为θ，观察点与Z轴组成的平面即为
众所周知，在均匀介质中，光线将沿原有的方向 传播而不发生散射现象。当光线从一均匀介质进入 另一均匀介质时，根据麦克斯韦电磁场理论，它只 能沿着折射光线的方向传播，这是由于均匀介质中 偶极子发出的次波具有与人射光相同的频率，并且 偶极子发出的次波间有一定的位相关系，它们是相 干的，在非折射光的所有方向上相互抵消，所以只 发生折射而不发生散射。
非耗散介质。波的能流为S =E×H，其传播方向即波
矢k 的方向。
当电导率
0时，
k2
2 (
i
), k
kR
ikI
为简单起见，考虑沿X轴方向传播的平面波。
波动方程为
d 2E dx2
2 (
i
)E
0
d 2H dx2
2 (
i
)H
0
其解为
E E0 exp(kI x) exp[i(kR x t)] H H0 exp(kI x) exp[i(kR x t)]
光的散射与散射理论
光的散射与散射理论光的散射是指当光线与物体表面相互作用时，光线发生方向的变化，从而在各个方向上扩散的现象。
散射理论则是用于解释光在散射过程中的物理现象和行为的理论框架。
本文将探讨光的散射原理以及相关的散射理论。
1. 光的散射原理光的散射是由于光线与物体表面发生碰撞或遇到不均匀介质时，其传播方向发生改变的现象。
散射可以分为弹性散射和非弹性散射两种类型。
1.1 弹性散射弹性散射是指在光与物体碰撞后，光的能量和频率不发生改变，但传播方向发生偏转的现象。
这种散射发生在比较小的颗粒或分子上，如气体的分子、悬浮在空气中的微粒等。
弹性散射的角度与入射角度相等，这符合反射定律。
1.2 非弹性散射非弹性散射是指在光与物体碰撞后，光的能量和频率发生变化的现象。
这种散射通常发生在光线经过较大分子或表面粗糙的物体时。
非弹性散射会导致光的频率发生变化，产生色散的效应，使光具有不同的波长和颜色。
2. 散射理论散射理论是用于解释光散射现象的理论框架，其中最重要的是散射方程和散射截面。
2.1 散射方程散射方程描述了光在与物体相互作用时传播方向的变化。
根据散射方程，可以计算出光在某一方向上的散射强度。
最常用的散射方程是著名的光的散射方程-拉德方程（Rayleigh Equation），适用于小尺寸比较小的颗粒的弹性散射。
2.2 散射截面散射截面是描述光与物体散射相互作用的物理量，表示单位面积上散射的光子数。
散射截面与散射器的大小、形状、材料以及光的波长等因素有关。
根据散射截面的大小，可以推断出物体对光的散射强度及方向分布的信息。
3. 应用与意义散射理论在多个领域中得到了广泛的应用，具有重要的科学研究价值和工程应用价值。
3.1 大气散射大气中的气体分子和悬浮微粒对太阳光的散射是引起蓝天和彩虹的重要原因。
通过研究大气散射，可以了解大气中的颗粒分布、浓度和物理特性等，对气象学和环境科学具有重要意义。
3.2 光学材料设计光的散射性质对于光学材料的设计和应用具有决定性的影响。
量子力学 散射理论
相比，知
对高能入射粒子，相应条件为：
（比较容易满足）
二、高阶波恩近似
定义算符T为： 有
据 可见 其中：
(=- 1
4
2m
2
(2
)3
k ' |V | ()
)
二阶波恩近似
作业：
一、6.2(a)
二、求一阶波恩近似下，方势阱(V(r)=V0θ(a-r))产生的 微分散射截面。
对坐标基（也可以采用其他表象）：
该积分方程对|Φ>=|p>，有：
计算
= =
（记
(E 2k 2 / 2m)
于是形式解为： 对局域势： 得：
考虑观察点远离势中心
可以得到： 其中出射球面波振幅为：
微分散射截面（单位立体角内的跃迁速率除以流量）
平面波~尺度远大于 势作用范围的波包
§7.2 波恩近似
一、将 得一阶波恩近似： 记 则对球心势有
代入散射振幅公式
二、应用举例
对Yakawa势
即一阶波恩近似下 对库仑势（µ0,V0/µZZ’e2）
与经典卢瑟夫散射截面公式相同：
一阶球心势散射特点
1）
f（（1） ）
-
2m 2q
0
rV
(r
)
sin
qrdr
仅依赖于q，且为实数
2）dd f ( ) 2 F(q2) 2 F(k2(1 cos )) 2 与V的符号无关
第七章 散射理论
散射是探测物质结构如质量、电荷和势场分布的主 要实验途径。因此，散射理论具有众多重要的应用。
散射问题常可用含时微扰的方法，也可以用定态微扰 的方法处理。
§7.1 Lippmann-Schwinger 方程
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第七讲散射理论一、散射现象的一般描述1、什么是散射？简单地说，散射就是指粒子与粒子之间或粒子与力场之间的碰撞（相互作用）过程，是一种具有重要实际意义的现象，所以散射现象也称碰撞现象，其可以示意为：粒子流散射中心如：原子物理中的α粒子散射实验。
2、散射的分类：弹性散射：一粒子与另一粒子碰撞的过程中，只有动能的交换，粒子内部状态并无改变。
非弹性散射：两粒子碰撞中粒子的内部状态有所改变（例如原子被激发或电离）。
在这里我们只讨论弹性散射，即假设碰撞过程中粒子的内部状态未变，并假设散射中心质量很大、碰撞对其运动没有影响。
3、散射的经典力学描述从经典力学来看，在散射过程中，每个入射粒子都以一个确定的碰撞参数（瞄准距离）b 和方位角0ϕ射向靶子，由于靶子的作用，入射粒子的轨道将发生偏转，沿某方向(,)θϕ出射。
例如在α粒子的散射实验中，有22cot 422M b Ze θυπε= （偏转角θ与瞄准距离之间的关系） 那些瞄准距离在b b db -和之间的α粒子，散射后，必定向着d θθθ+和之间的角度射出，如下图所示：凡通过图中所示环形面积d σ的α粒子，必定散射到角度在d θθθ+和之间的一个空心圆锥体之中。
环形面积d σ称为有效散射截面，又称微分截面。
且2222401()()4sin 2Ze d d M σθπευΩ= 然而，在散射实验中，人们并不对每个粒子的轨道感兴趣，而是研究入射粒子束经过散射后沿不同方向出射的分布。
设一束粒子流以稳定的入射流强度沿Z 轴方向射向靶粒子A ，由于靶粒子的作用，设在单位时间内有dn 个粒子沿(,)θϕ方向的立体角d Ω中射出，显然，,(,)dn Nd dn q Nd θϕ∝Ω=Ω令，即1(,)()dn q N d θϕ=Ω显然，(,)q θϕ具有面积的量纲，称为微分散射截面。
微分散射截面),(ϕθq 表示单位时间内散射到单位立体角Ωd （面积/距离平方）的粒子数占总粒子数比率，即Ω=Nd q dn ),(ϕθ。
将(,)q d θϕΩ对所有方向积分，得20(,)(,)sin Q q d q d d ππθϕθϕθθϕ=Ω=⎰⎰⎰Q 称为总散射截面。
4、散射的量子力学描述上面关于微分散射截面和总散射截面的定义，在量子力学中同样适用。
下面我们来讨论量子力学中如何通过解薛定谔方程来定散射截面。
取散射中心为坐标原点，用()U r表示入射粒子与散射中心之间的相互作用势能，则体系的薛定谔方程可写为：222U E mψψψ-∇+= 式中m 是入射粒子的质量，E 是它的能量，为简单起见，令222222(4)(5)2()()(6)mE p k p km m m V r U r υ=====则（3）式改写为：22[()]0k V r ψψ∇+-=（7）通常我们观察被散射的粒子都是在离开散射中心很远的地方，所以只需讨论r →∞时ψ的行为就够了，假设r →∞时，()0U r →，即在粒子远离散射中心时，两者之间的相互作用趋于零。
这样，在无穷远的地方，波函数应由两部分组成：一部分是描写入射粒子的平面波1ikx Ae ψ=；另一部分是描写散射粒子的球面散射波：2(,),ikxe f rψθϕ=这个波是由散射中心向外传播的。
12(,),ikrikzr e Ae f rψψψθϕ→∞−−−→+=+ （8） 这里考虑的是弹性散射，所以散射波的能量没有改变，即波矢k 的数值不变，上式中的),(ϕθf 仅是θϕ和的函数，而与r 无关，可以证明，（8）式在r →∞时满足方程（7）。
在（8）式中取1A =，则21ψ=，这表明每单位体积只有一个入射粒子，入射波的几率流密度是11111111[][]22z i i J ik ik m z z mψψψψψψψψυ****∂∂=-=--=∂∂（9）其实，这就是入射粒子流强度N ,散射波的几率流密度是：222222222[](,)[](,)22r i i ik ik J f f m r r m r r rψψυψψθϕθϕ**∂∂=-=--=∂∂ （10）它表示单位时间内穿过球面上单位面积的粒子数，故单位时间穿过面积dS 的粒子数是 222(,)(,)r dn J dS f dS f d r υθϕυθϕ===Ω （11）因为N υ=，比较（11）与（1）两式，可知微分散射截面是2),(),(ϕθϕθf q = （12）所以知道了),(ϕθf ，就可求得(,)q θϕ，),(ϕθf 称为散射振幅。
),(ϕθf 的具体形式通过求薛定谔方程（7）的解并要求在r →∞时解具有（8）的形式而得出。
后面几节将具体讨论如何求方程（7）的解。
二、中心力场中的弹性散射（分波法）下面将给出在中心力场作用下，粒子的散射截面的一个普遍的计算方法——分波法。
1、散射粒子所满足的薛定谔方程在中心力场的情况下，势能()U r 只与粒子到散射中心的距离r 有关，与r的方向无关，所以方程（7）可写为：22[()]0k V r ψψ∇+-= （13） 取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴，这个轴是我们讨论问题中的旋转对称轴，波函数ψ和散射振幅f 都与ϕ角无关。
由3.3节的讨论我们知道方程（13）的一般解可写为： (,,)()(,)l lm lmr R r Y ψθϕθϕ=∑现在ψ既与ϕ无关，所以0m =，因而（13）的一般解为：(,,)()(cos )l l lr R r P ψθϕθ=∑ （14）这个展开式中的每一项称为一个分波，()(cos )l l R r P θ是第l 个分波，每一个分波都是方程（13）的解，通常称0,1,2,3l = 的分波分别为,,,s p d f 分波。
(cos )l P θ是勒让德多项式，径向波函数()l R r 满足下列方程：[同(3.3.8)式]2222()1(1)()[()]()0l l dR r d l l r k V r R r r dr dr r++--= (15) ()l R r 的求解参见P158-160页。
我们只给出相关结论：2221()()=(21)(cos )sin lilll q f l P e kδθθθδ∞==+∑220004()2()sin (21)sin l l l l Q q d q d l Q k ππθπθθθδ∞∞===Ω==+=∑∑⎰⎰式中： 224(21)sin l l Q l kπδ=+ 是第l 个分波的散射截面。
2、光学定理因为(1)1l P =，所以(0)f 的虚部是：201Im (0)(21)sin l l f l k δ∞==+∑因而： 4Im (0)Q f kπ=上式称为光学定理，它表明向前(0)θ=散射振幅的虚部与总散射截面成正比，反映了散射中几率流守恒的物理意义。
3、分波法适用的条件：（参见《量子力学导论》P351-352）l ka ≤ (a 为势场作用范围)，即入射粒子的能量222k m很小。
4、散射问题（分波法）小结：（1） 散射就是入射粒子与靶核的弹性碰撞过程。
（2） 散射截面1(,)dnq N d θϕ=Ω反映了入射粒子束经过散射后沿不同方向出射的分布情况。
(即表示单位时间内散射到单位立体角Ωd （面积/距离平方）的粒子数占总粒子数比率，) （3） 运用分波法求散射截面的思想(,)(,)l Q q f θϕθϕδ→→→其中：2),(),(ϕθϕθf q =，(,)f θϕ通过解薛定谔方程并于：渐进解12(,),ikrikzr e Ae f rψψψθϕ→∞−−−→+=+比较而得到。
往往由相移l δ决定(,)f θϕ。
（4） 分波法适用的条件：l ka ≤ (a 为势场作用范围)，即入射粒子的能量222k m很小。
（,l m b υ 而max max ,,m ab a l m a l ka υυ∴→=） 练习：6.1；6.2；6.3三、方形势阱与势垒所产生的散射作为应用分波法的一个例子，我们讨论低能粒子受球对称方形势阱的散射，入射粒子能量很小，它的德布罗意波长比势场作用范围大得多，质子和中子的低能散射可以近似的归结为这种情况。
以a 表示方形势阱的范围，于是粒子的势能可写为：()0Ur a U r r a≤⎧=⎨⎩在势阱的情况下00U ≤，因为1,1,a ka k即所以只需讨论s 波散射(0)l =就够了，在方程： 2222(1)[()]0l l d u l l k V r u dr r ++--= 中令0l =得22222200(1)00(2)l l l l d u k u r dr d u k u r dr'+=≤+=式中22202222,mU mE k k k '==- ， 方程（1）、（2）的解是：00()sin(),(3)()sin(),u r A k r r a u r A kr r a δδ''=+≤⎫⎬=+⎭由波函数的标准条件，()0u r R r r==在处为有限，所以00,r a δ'==在处1()du u r dr 为连续，得： 0cot()cot k ka k k a δ''+= （4） 由此得到相移0arctan[tan ]kk a ka k δ'=-'（5） 由公式（6.2.16），总散射截面为22002244sin sin [arctan(tan )]k Q Q k a ka k k k ππδ'===-'（6） 在粒子能量很低0k →的情况下，因为0x →时arctan x x ≈，所以（5）式可简化为000tan [1]1k aka k aδ≈- 式中0k k '=≈（6）式化为2222000220tan 44sin 4(1)k a Q a k k k aππδδπ≈≈≈- （7） 如果散射场不是势阱而是方形势垒，即00U ，那么在（7）式中将0k 换成0,0ik k →时总截面为22004(1)thk aQ a k aπ≈- （8） 当0U →∞时，0k →∞，于是000001k a k ak a k a e e thk a e e---=→+代入（8）式得24Q a π≈在这种情况下，总散射截面等于半径为a 的球面面积，它与经典情况不同，在经典情况下，总散射截面就是作为散射中心的硬球的最大截面面积，即为2a π，所以在量子力学中计算得到的截面是经典值的4倍。
四、玻恩近似。