米散射理论基础课件资料
高考物理竞赛量子力学部分第八章 散射理论ppt课件
§8.2 分波法
2020届高考物理竞赛量子力学部分第 八章 散射理论（共69张ppt）
§8.2 分波法
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§8.2 分波法
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§8.3 分波法示例
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§8.3 分波法示例
➢球对称常势阱
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§8.3 分波法示例
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§8.1 散射问题的一般描述
§8.2 分波法
➢关键：
▪ 入射平面波是{p, Lz, H}的共同本征态
▪ 当势场U=U(r)时，p不再守恒，散射波是 {L^2, Lz, H}的共同本征态
▪ 当将平面波按角动量平方L^2的本征态，即球 面波展开后，对每个分波，因为是{L^2, Lz, H}的本征函数，所以在U(r)作用后，每个分 波只是向前或者向后移动
高考物理竞赛量子力学部分第八章 散射理论ppt课件
第八章 散射理论
复旦大学 苏汝铿
高考物理竞赛量子力学部分第八章 散射理论ppt课件
A bird’s eye view of RHIC
A bird’s eye view of LHC(CERN)
散射理论 ppt课件
❖ 如果在均匀介质中掺入一些大小为波长数量级 且杂乱分布的颗粒物质，它们的折射率与周围均匀 介质的折射率不同，如胶体溶液、悬乳液、乳状物 等，原来均匀介质的光学均匀性遭到破坏，次波干 涉的均匀性也受到破坏。这种含有不均匀无规则分 布的颗粒物质的介质引起了光的散射。这时，散射 光的强度分布及偏振规律与散射颗粒的大小、颗粒 相对周围介质的折射率有关。
边界条件：
n ( D1 D2 ) , n ( E1 E2 ) 0 n ( B1 B2 ) 0, n ( H 1 H 2 )
❖ 得亥姆霍兹波动方程：
2Ek2E 0 2H k2H 0
散射理论
❖ 当电导率 0 时, k2 2 ,则波动方程为
2E2 E 0
2H 2 H 0
散射理论
❖ 在研究光散射现象时，常常引入散射光强、散 射截面、吸收截面、消光截面以及相应的散射系数 、吸收系数和消光系数等描述散射现象的物理量。 这些物理量与散射颗粒的大小、折射率以及入射光 的波长等因素存在密切的关系
❖ （1）散射截面
❖ 一个散射颗粒在单位时间内散射的全部光能量E sca 与入射光强 I 0 之比称为散射截面，记作 C sca 。
散射理论
散射理论
❖ 光波是电磁波，光波在介质中的传播与介质的特性 有关，并且服从 Maxwell 电磁场方程。因此，光波 在介质中的传播规律。
❖ Maxwell方程组：
E H , • D t
H J E ， • B 0 t
物质方程：
D E r0E, B H r0H J E
❖ 众所周知，在均匀介质中，光线将沿原有的方向 传播而不发生散射现象。当光线从一均匀介质进入 另一均匀介质时，根据麦克斯韦电磁场理论，它只 能沿着折射光线的方向传播，这是由于均匀介质中 偶极子发出的次波具有与人射光相同的频率，并且 偶极子发出的次波间有一定的位相关系，它们是相 干的，在非折射光的所有方向上相互抵消，所以只 发生折射而不发生散射。
米氏散射理论
米氏散射理论是一种物理学理论，用于描述两个粒子之间的相互作用。
它是由美国物理学家莫里斯·米涅斯（Morris Mitchell）在1949年提出的。
米氏散射理论是一种建立在量子力学基础上的理论，用于解释粒子之间的相互作用。
它建立在粒子间交换虚子的概念上，认为两个粒子之间的相互作用是通过交换虚子来实现的。
米氏散射理论对于解释粒子间的相互作用非常有用，并且在很多物理学领域中都有广泛的应用。
例如，它可以用来解释电子在原子核周围的运动，以及粒子加速器中粒子之间的相互作用等。
米散射理论基础
米散射(Mie scattering);又称粗粒散射”粒子尺度接近或大于入射光波长的粒子散射现象。
德国物理学家米(Gustav Mie,1868—1957)指出,其散射光强在各方向是不对称的，顺入射方向上的前向散射最强。
粒子愈大，前向散射愈强。
米散射当球形粒子的尺度与波长可比拟时，必须考虑散射粒子体内电荷的三维分布。
此散射情况下，散射粒子应考虑为由许多聚集在一起的复杂分子构成，它们在入射电磁场的作用下，形成振荡的多极子，多极子辐射的电磁波相叠加，就构成散射波。
又因为粒子尺度可与波长相比拟，所以入射波的相位在粒子上是不均匀的，造成了各子波在空间和时间上的相位差。
在子波组合产生散射波的地方，将出现相位差造成的干涉。
这些干涉取决于入射光的波长、粒子的大小、折射率及散射角。
当粒子增大时，造成散射强度变化的干涉也增大。
因此，散射光强与这些参数的关系，不象瑞利散射那样简单，而用复杂的级数表达，该级数的收敛相当缓慢。
这个关系首先由德国科学家G.米得出，故称这类散射为米散射。
它具有如下特点：①散射强度比瑞利散射大得多，散射强度随波长的变化不如瑞利散射那样剧烈。
随着尺度参数增大，散射的总能量很快增加，并最后以振动的形式趋于一定值。
②散射光强随角度变化出现许多极大值和极小值，当尺度参数增大时，极值的个数也增加。
③当尺度参数增大时，前向散射与后向散射之比增大，使粒子前半球散射增大。
当尺度参数很小时，米散射结果可以简化为瑞利散射；当尺度参数很大时，它的结果又与几何光学结果一致；而在尺度参数比较适中的范围内，只有用米散射才能得到唯一正确的结果。
所以米散射计算模式能广泛地描述任何尺度参数均匀球状粒子的散射特点。
19世纪末，英国科学家瑞利首先解释了天空的蓝色：在清洁大气中，起主要散射作用的是大气气体分子的密度涨落。
分子散射的光强度和入射波长四次方成反比，因此在发生大气分子散射的日光中，紫、蓝和青色彩光比绿、黄、橙和红色彩光为强，最后综合效果使天穹呈现蓝色。
第七讲-散射-一、散射截面PPT课件
此方程类似一维波动方程，我们知道： 对于一维势垒或势阱的散射情况
kx A ike xBiekx
k xceikx
式中 e ikx 为入射波或透射波， e ikx 为散射波，波只沿一方向散射。 对于三维情形，波可沿各方向散射，三维散射时，在r处的粒子的波函数
应为入射波和散射波之和。
（13）
由此可知，若知道了f (,)，即可求得q(,) ，f (,) 称为散射振幅，所以，
对于给定能量的入射粒子，速率 v给定，于是入射粒子流密度N= v 给定，只要
知道了散射振幅 f (,) ，也就能求出微分散射截面，f (,) 的具体形式通过求
schrödinger方程（5）的解并要求在 r时具有渐近形式（9）而得出。
的正交性
0 P l(c)o P l(sc)o sisd n2 l2 1ll
可以得到
Aei(l1 2l) l
(2l1)ilei1 2l
即 A l (2 l 1 )ileil (2 l 1 )ei(1 2l l) -
（3-13）
11
将此结果代入（3-11）式
(2 l 1 )e i2 lP l(c)o 2 isk ()f (2 l 1 )P l(c)os
第七讲 散射
一、散射截面
散射过程：方向准直的均匀单能粒子由远处沿z轴方向射向靶粒子，由于受到 靶粒子的作用，朝各方向散射开去，此过程称为散射过程。散射 后的粒子可用探测器测量。 靶粒子的处在位置称为散射中心。 ds
θ
Z
散射角：入射粒子受靶粒子势场的作用，其运动方向偏离入射方向的角度。
弹性散射：若在散射过程中，入射粒子和靶粒子的内部状态都不发生变化，则称
即可得到第l个分波的相移，由于每个分波都将产生相移l，所以，必须寻找各个
米散射理论基础
米散射（Mie scattering）; 又称“粗粒散射”。
粒子尺度接近或大于入射光波长的粒子散射现象。
德国物理学家米(Gustav Mie,1868—1957)指出, 其散射光强在各方向是不对称的,顺入射方向上的前向散射最强。
粒子愈大, 前向散射愈强。
米散射当球形粒子的尺度与波长可比拟时，必须考虑散射粒子体内电荷的三维分布。
此散射情况下，散射粒子应考虑为由许多聚集在一起的复杂分子构成，它们在入射电磁场的作用下,形成振荡的多极子,多极子辐射的电磁波相叠加，就构成散射波。
又因为粒子尺度可与波长相比拟，所以入射波的相位在粒子上是不均匀的，造成了各子波在空间和时间上的相位差。
在子波组合产生散射波的地方，将出现相位差造成的干涉。
这些干涉取决于入射光的波长、粒子的大小、折射率及散射角。
当粒子增大时，造成散射强度变化的干涉也增大。
因此，散射光强与这些参数的关系,不象瑞利散射那样简单,而用复杂的级数表达，该级数的收敛相当缓慢。
这个关系首先由德国科学家G.米得出，故称这类散射为米散射。
它具有如下特点：①散射强度比瑞利散射大得多，散射强度随波长的变化不如瑞利散射那样剧烈。
随着尺度参数增大，散射的总能量很快增加，并最后以振动的形式趋于一定值。
②散射光强随角度变化出现许多极大值和极小值，当尺度参数增大时，极值的个数也增加。
③当尺度参数增大时，前向散射与后向散射之比增大，使粒子前半球散射增大。
当尺度参数很小时，米散射结果可以简化为瑞利散射；当尺度参数很大时，它的结果又与几何光学结果一致；而在尺度参数比较适中的范围内，只有用米散射才能得到唯一正确的结果。
所以米散射计算模式能广泛地描述任何尺度参数均匀球状粒子的散射特点。
19世纪末，英国科学家瑞利首先解释了天空的蓝色：在清洁大气中，起主要散射作用的是大气气体分子的密度涨落。
分子散射的光强度和入射波长四次方成反比，因此在发生大气分子散射的日光中，紫、蓝和青色彩光比绿、黄、橙和红色彩光为强，最后综合效果使天穹呈现蓝色。
小粒子mie散射理论及应用(ⅱ)
小粒子mie散射理论及应用(ⅱ)Mie散射是一种物理过程，它指的是电磁波在固体表面上发生反射或折射时，其中调制度可以比周围环境变化得快得多。
基本原理是，电磁波从它发出的地方穿过一个密度不等的介质，其中有一种光集束，即反射光束，会受到介质干涉影响而出现不同的反射程度。
Mie散射受到大量的研究关注。
空中或水中的微小粒子是Mie散射理论的重要研究对象，因为这些粒子的大小介于可见光波长和波阵列介质之间，比较适宜研究Mie散射的理论和应用。
一种常见的场景是，粒子的表面层既可以反射光线，又可以吸收光线，在它们的表面发生 Mie散射。
这种反射度取决于粒子本身的大小和特性，以及不同频率和角度内发生散射的概率。
Mie散射理论还可以用于理解空中微粒子(例如气溶胶颗粒)的外观状态。
这些空气微粒是尺寸小到不可见的流动气体颗粒，介质受它们干扰，会对光照度和视野产生显著影响，甚至会影响拍摄物体的效果。
为了研究空中微粒的各种状态，其发出的光的散射强度，了解其在不同波长及其他条件下的反射度，Mie散射理论有着很重要的意义。
Mie散射也可以应用于太阳能太阳能发电技术。
通过对太阳能发电时，可以采用Mie散射研究其中的微小粒子产生的电磁场，并分析太阳发电装置捕获太阳光的效率。
除了太阳能发电技术外，Mie散射理论还可以用于构建全天空图像和遥感图像，研究不同光谱下的反射系数。
以上就是Mie散射理论及其应用的相关内容，Mie散射理论的应用非常广泛，可以用于研究物理规律，也可以应用于电力和遥感技术，以及更多领域中。
此外，该理论还有助于研究全天空反射、复杂地表反射、全球变暖和地面辐射等气候变化，同样可以用于其他天文学研究领域，帮助人们更好地了解宇宙的未知面貌。
mie散射公式
mie散射公式摘要：1.mie 散射公式的概述2.mie 散射公式的计算方法3.mie 散射公式的应用领域正文：一、mie 散射公式的概述Mie 散射公式，全称Mie 光散射理论，是由德国物理学家Gustav Mie 在1908 年提出的一种光散射现象的理论。
Mie 散射公式主要用于描述非球形颗粒在特定波长光照射下产生的散射现象，是光散射领域中的一个重要理论基础。
二、mie 散射公式的计算方法Mie 散射公式的计算方法较为复杂，主要包括以下几个步骤：1.计算颗粒的电磁响应函数首先需要计算颗粒的电磁响应函数，该函数描述了颗粒对入射光的吸收和散射能力。
电磁响应函数可以通过颗粒的材料、形状和尺寸等因素来确定。
2.计算散射矩阵根据电磁响应函数，可以计算出颗粒的散射矩阵。
散射矩阵是一个复数矩阵，描述了颗粒在不同波长光照射下产生的散射场的分布情况。
3.计算散射场利用散射矩阵，可以计算出颗粒在不同波长光照射下产生的散射场。
散射场是入射光和颗粒相互作用后产生的光学场，可以用来描述颗粒的散射现象。
三、mie 散射公式的应用领域Mie 散射公式在多个领域有广泛的应用，主要包括：1.大气物理学Mie 散射公式可以用来研究大气中的光散射现象，如瑞利散射、米氏散射等。
这些现象对于了解大气的辐射传输特性、气候变化等方面具有重要意义。
2.生物医学Mie 散射公式在生物医学领域中也有广泛应用，例如用于研究细胞和生物组织的光散射特性。
这些研究有助于提高生物医学成像技术的分辨率和成像质量。
3.环境监测Mie 散射公式可以用于研究气溶胶颗粒的散射特性，从而提高环境监测技术的精度和准确性。
这对于了解和预防大气污染具有重要意义。
总之，Mie 散射公式作为一种描述光散射现象的理论，具有广泛的应用前景。
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米散射（Mie scattering）; 又称“粗粒散射”。
粒子尺度接近或大于入射光波长的粒子散射现象。
德国物理学家米(Gustav Mie,1868—1957)指出, 其散射光强在各方向是不对称的,顺入射方向上的前向散射最强。
粒子愈大, 前向散射愈强。
米散射当球形粒子的尺度与波长可比拟时，必须考虑散射粒子体内电荷的三维分布。
此散射情况下，散射粒子应考虑为由许多聚集在一起的复杂分子构成，它们在入射电磁场的作用下,形成振荡的多极子,多极子辐射的电磁波相叠加，就构成散射波。
又因为粒子尺度可与波长相比拟，所以入射波的相位在粒子上是不均匀的，造成了各子波在空间和时间上的相位差。
在子波组合产生散射波的地方，将出现相位差造成的干涉。
这些干涉取决于入射光的波长、粒子的大小、折射率及散射角。
当粒子增大时，造成散射强度变化的干涉也增大。
因此，散射光强与这些参数的关系,不象瑞利散射那样简单,而用复杂的级数表达，该级数的收敛相当缓慢。
这个关系首先由德国科学家G.米得出，故称这类散射为米散射。
它具有如下特点：①散射强度比瑞利散射大得多，散射强度随波长的变化不如瑞利散射那样剧烈。
随着尺度参数增大，散射的总能量很快增加，并最后以振动的形式趋于一定值。
②散射光强随角度变化出现许多极大值和极小值，当尺度参数增大时，极值的个数也增加。
③当尺度参数增大时，前向散射与后向散射之比增大，使粒子前半球散射增大。
当尺度参数很小时，米散射结果可以简化为瑞利散射；当尺度参数很大时，它的结果又与几何光学结果一致；而在尺度参数比较适中的范围内，只有用米散射才能得到唯一正确的结果。
所以米散射计算模式能广泛地描述任何尺度参数均匀球状粒子的散射特点。
19世纪末，英国科学家瑞利首先解释了天空的蓝色：在清洁大气中，起主要散射作用的是大气气体分子的密度涨落。
分子散射的光强度和入射波长四次方成反比，因此在发生大气分子散射的日光中，紫、蓝和青色彩光比绿、黄、橙和红色彩光为强，最后综合效果使天穹呈现蓝色。
从而建立了瑞利散射理论。
20世纪初，德国科学家米从电磁理论出发，进一步解决了均匀球形粒子的散射问题，建立了米散射理论，又称粗粒散射理论。
质点半径与波长 接近时的散射，特点：粗粒散射与波长无关，对各波长的散射能力相同，大气较混浊时，大气中悬浮较多的的尘粒与水滴时，天空呈灰白色。
米散射理论是由麦克斯韦方程组推导出来的均质球形粒子在电磁场中对平面波散射的精确解。
一般把粒子直径与入射光波长相当的微粒子所造成的散射称为米散射。
米散射适合于任何粒子尺度,只是当粒子直径相对于波长而言很小时利用瑞利散射、很大时利用夫琅和费衍射理论就可以很方便的近似解决问题。
米散射理论最早是由G1 Mie 在研究胶体金属粒子的散射时建立的。
1908 年,米氏通过电磁波的麦克斯韦方程,解出了一个关于光散射的严格解,得出了任意直径、任意成分的均匀粒子的散射规律,这就是著名的米氏理论[4 -6 ] 。
根据米散射理论,当入射光强为I0 ,粒子周围介质中波长为λ的自然光平行入射到直径为D 的各向同性真球形粒子上时, 在散射角为θ,距离粒子r 处的散射光和散射系数分别为:从上式中可以看到,因为是各向同性的粒子,散射光强的分布和φ角无关。
同时,上式中:i1 、i2 为散射光的强度函数; s1 、s2 称为散射光的振幅函数; a 为粒子的尺寸参数( a =πD/λ) ; m = m1 +im2 为粒子相对周围介质的折射率,当虚部不为零时,表示粒子有吸收。
对于散射光的振幅函数,有:式中an 、bn 为米散射系数,其表达式为:其中:是半奇阶的第一类贝塞尔函数; 是第二类汉克尔函数; Pn (cosθ) 是第一类勒让德函数; P(1)n (cosθ) 是第一类缔合勒让德函数。
M ie 散射理论M ie 散射理论是麦克斯韦方程对处在均匀介质中的均匀颗粒在平面单色波照射下的严格数学解。
由M ie 散射知道, 距离散射体r处p点的散射光强为式中: λ为光波波长; I 0 为入射光强; I sca为散射光强; θ为散射角; ϕ为偏振光的偏振角。
式中:)(1θS 和)(2θS 是振幅函数; an 和bn 是与贝塞尔函数和汉克尔函数有关的函数; n π和n τ是连带勒让得函数的函数, 仅与散射角θ有关。
其中式中:)(αϕn 和)(αεn 分别是贝塞尔函数和第一类汉克尔函数; )(αϕ'n 和)(αε'n 是)(αϕn 和)(αεn 的导数; α为无因次直径, λπαD =, D 为颗粒的实际直径; λ是入射光的波长; m 是散射颗粒相对于周围介质的折射率, 它是一个复数, 虚部是颗粒对光的吸收的量化。
由以上公式可见,M ie 散射计算的关键是振幅函数)(1θS 和)(2θS , 它们是一个无穷求和的过程,理论上无法计算。
求解振幅函数的关键是计算an 和bn , 所以M ie 散射的计算难点是求解an 和bn 。
M ie 散射理论的数值计算通过以上分析可知, M ie 散射计算的核心是求解an 和bn , 我们编制程序也是围绕它进行编写。
在an 和bn 的表达式中)(αϕn ,)(αϕ'n,)(αεn 和)(αε'n满足下列递推关系:这些函数的初始值为;与散射角有关的)(αϕn 和)(αεn 满足下列递推公式:有了这些递推公式可以很方便地通过计算机程序求解。
但是对于n 的大小, 因为计算机不可能计算无穷个数据, 所以n 在计算之前就要被确定。
散射理论基础与Matlab 实现若散射体为均匀球体,如图1 所示,照射光为线偏振平面波,振幅为E ,光强I0 ,沿z 轴传播,其电场矢量沿x 轴振动。
散射体位于坐标原点O , P 为观测点。
散射光方向( OP 方向) 与照射光方向( z 轴) 所组成的平面称为散射面,照射光方向至散射光方向之间的夹角θ称为散射角,而x 轴至OP 在xy 平面上投影线( OP ′) 之间的夹角φ称为极化角。
观测点与散射体相距r 。
根据经典的Mie 散射理论,散射粒子的尺度参数为α = 2πa/λ,其中a 为球形粒子的半径,散射粒子相对周围介质的折射率为m = m1 +i *m2 。
则散射光垂直于散射面和平行于散射面的两个分量的振幅函数为:以上式中：J n+1/ 2 ( z ) 和Y n+1/ 2 ( z ) 分别为半整数阶的第一类,第二类贝塞尔函数。
P(1)n (cosθ) 为一阶n 次第一类缔合勒让德函数; Pn (cosθ) 为第一类勒让德函数。
在数值模拟过程中选取初始下:微粒子对光的散射和吸收是电磁波与微粒子相互作用的重要特征,而微粒对电磁辐射的吸收与散射与粒子的线度有密切关系,对于不同线度的粒子必须应用不同的散射理论。
Mie 散射理论主要用于从亚微米至微米的尺寸段;在微米以下至纳米的光散射则近似为形式更明晰简单的瑞利散射定律,散射光强烈依赖于光波长λ( I～λ- 4) ;而对大于微米至毫米的大粒子则近似为意义明确的夫朗和费衍射规律了。
Mie散射理论给出了球型粒子在远场条件下的散射场振幅an 、bn 以及粒子内部电磁场振幅cn 、dn 的计算表达式,通常称为Mie 散射系数式中m 表示微粒子外部介质的相对折射率,x =κ a ,a 为球的半径,κ= 2π/λ称为波数,μ为相对磁导率,即球的磁导率与介质磁导率的比值,j n(x)和h (1)n(x)分别为第一类虚宗量球Bessel 函数和Hankell 函数。
散射系数,消光系数及偏振状态下散射相位函数：散射截面σsca(散射率Q sca)、吸收截面σabs (吸收率Q abs)、消光截面σext (消光率Q ext)、后向散射截面σb (后向散射率Q b) 以及辐射压力σpr (辐射压力效率Q pr) 。
其表达式如下:其中i 为sca 、abs、ext 、pr 分别表示散射、吸收、消光、辐射压力。
按照能量守恒定律有:Q pr（辐射压力效率的计算公式）:Q b（后向散射系数）：这些都是无穷级数求和,在实际计算过程中必须取有限项,Bohren 和Huffman 给出了级数项最大值取舍的标准:对于单位振幅入射波经微粒散射后,其散射场振幅的大小与散射角有关,在球坐标系下,远场散射振幅的大小为:其中S1 和S2 为散射辐射电场在垂直及平行于散射面的两个偏振分量。
微球内部场振幅计算公式颗粒内部电场强度为:其中M(1)o1n和N (1)e1n为矢量波球谐函数,在球坐标系中定义如下:吸收截面Q abs具有损耗介质颗粒的吸收截面为：其中ε″是粒子相对介电常数的虚部,经整理可得:式中m n、n n为:实际上由Mie 散射理论可知,上式中的积分项为电场强度的平方对角度θ、φ全空间积分的平均值,即:于是吸收效率为:式中x ′= rk = z/ m 。
当x n 1 时即瑞利散射情况,颗粒的内部平均场强为常数,其值为:Improved Mie scattering algorithms W.J.WiscombeMie 计算存在的问题就是如何最有效地构造Mie 计算，同时保证准确性和避免数值的不稳定性和病态。
Mie 计算以耗时著称，首先无穷项级数N 的求和，例如：100m μ的水滴在0.5m μ的可见光散射情况下，大约需1260项求和。
其次，典型的计算都希望能对一系列半径（如对尺寸分布求积分）、一系列波长（如对太阳光谱求积分）及一系列折射率求和（如通过散射参量反推折射率）。
当折射率虚部m Im 很大时，用向后循环法求An 很不稳定。
而向前递推总是稳定的（但向后递推安全时，总是优先选择，因为其计算速度很快）。
得出允许向后递推的经验标准：用正确的向前地推与相对应的向后地推做比较，当发现对和g 的相对误差超过10-6时，认为计算失败。
对于一对确定的(x,m Re )，我们采用向后递推寻找第一个循环失败的研究表明：对于确定的，，的值随着x 的增加很快趋向于一个确定值。
对如果在任意角度下1S 、2S 的实部和虚部的相对误差超过510-时，认为对1S 和2S 的向后递推失败。
（而此时，sca Q ext Q 并不受影响，因为当1S ，2S 的相对误差达到510-时，sca Q ext Q 的相对误差总维持在1010-以下。
）对1S 和2S对散射强度和偏正度连分式算法总结：Mie 散射计算的核心是计算an 和bn其中ψn (α) =αJ n (α) , ξn (α) =αJ n (α) + iαY n (α) ,J n 和Y n 分别是第一和二类贝塞耳函数,α称为当量直径,α= 2πr/λ, r是球形颗粒的真实半径,λ是入射光的波长, m 为折射率式中ρ为函数任一自变量。
贝塞耳函数递推关系式：Mie 散射计算中J n 、Yn 、Dn 的计算是关键和难点。