量子力学-第十章 散射
量子力学作业习题
第一章量子力学作业习题[1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明：( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅；( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率；( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m2时的窗子所衍射．[2] 用h,e,c,m（电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计：( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ）经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂[3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内，( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命．[4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由．( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；散射．[5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释．( 1 ) A 缝开启，B缝关闭；( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭；( 3 ）两缝均开启．[6]验算三个系数数值：（12；（3）hc第二章 波函数与Schr ödinger 方程[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221)(x m x V ω=][2] 一维运动的粒子处在⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x Axe x x 当当λψ的状态，其中0>λ，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。
《大学基础物理学》农科用教材自作ppt课件-10量子力学基础2
第十章 量子力学基础(Quantum mechanics)
当前量子力学的重要应用
海 纳 百 川
量子生物学 量子生命科学 量子神经网络 量子化学 量子材料科学 量子信息科学 量子计算机科学 BEC器件、原子器件
大
目前，它正在向材料科学、化学、生物 学、信息科学、计算机科学大规模渗透。 预计不久的将来它将会成为： 整个近代科 学共同的理论基础
致 远
海 南 大 学
第十章 量子力学基础(Quantum mechanics)
测量黑体辐射出射度实验装置
海 纳
大 道
小孔
百 川
T
空腔
s
L1
平行光管
L2 会聚透镜
致
c
棱镜 热电偶
海 南 大 学
远
二、热辐射的基本定律 第十章 量子力学基础(Quantum mechanics)
黑体辐射的实验曲线
M (T ) /(1014 W m3 )
例1 （1）温度为室温 (20 C)的黑体，其单色辐 出度的峰值所对应的波长是多少？（2）若使一黑体 单色辐出度的峰值所对应的波长在红色谱线范围内， 海 其温度应为多少？（3）以上两辐出度之比为多少？ 纳 解 （1）由维恩位移定律
大 道
论.
五 了解德布罗意假设及电子衍射实验. 了解实 纳 物粒子的波粒二象性. 理解描述物质波动性的物理量 （波长、频率）和描述粒子性的物理量（动量、能 百 量）之间的关系.
川
致 远
六
了解一维坐标动量不确定关系 .
七 了解波函数及其统计解释 . 了解一维定态的 薛定谔方程， 以及量子力学中用薛定谔方程处理一 维无限深势阱等微观物理问题的方法 .
施罗德散射体的频率计算
施罗德散射体的频率计算
施罗德散射体（Schrödinger Scatterer）通常指的是在量子力学中描述散射现象的模型。
散射是粒子（例如电子、光子或其他粒子）在与物质相互作用时改变其方向的过程。
施罗德散射体是一个理论模型，用于研究这些散射现象。
在施罗德散射体中，散射的频率或概率通常取决于几个关键因素，包括入射粒子的能量、散射体的性质（如大小、形状和内部势场），以及散射体与目标粒子之间的相互作用。
频率计算通常涉及量子力学的散射理论，特别是使用施罗德方程（Schrödinger Equation）来描述粒子行为。
施罗德方程是一个描述粒子如何随时间演化的偏微分方程。
在散射问题中，这个方程通常用于求解散射态和相应的散射振幅。
散射频率可以通过散射振幅计算得出，散射振幅是入射波和出射波之间的比例系数。
散射振幅可以通过求解施罗德方程的散射态得到，这通常涉及到复杂的数学和物理计算。
为了具体计算施罗德散射体的散射频率，需要知道散射体的具体性质（如势函数）以及入射粒子的能量和动量。
然后，可以使用量子力学中的散射理论和方法来求解施罗德方程，得到散射振幅和相应的散射概率或频率。
请注意，这里提供的信息是一种概括性的描述，并不包含具体的数学细节或计算步骤。
实际的频率计算需要更深入的专业知识和具体的物理模型。
曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-微扰论(圣才出品)
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其中 与 ａ分别表示两个谐振子的坐标，最后一项是刻画两个谐振子相互作用的耦合 项 表示耦合的强度，设 比较小，把 H 中的
看成微扰，而 取为
它表示两个彼此独立的谐振子，它的本征函数及本征能量可分别表为
令
则能量表示式可改为
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二、散射态微扰论 1．散射态的描述 （1）散射（微分）截面、散射总截面和散射振幅的定义
图 10.1 设一束粒子以稳定的入射流密度 （单位时间穿过单位截面的粒子数）入射．由于靶 粒子的作用，设在单位时间内有 个粒子沿 方‘向的立体角 中出射．显然，
即
3 / 30
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（3）必然有 个实根，记为
.这一系列值即一级修正能量，它相应的
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准确到一级微扰修正的能量为
.
（根 代人方程（36），即可求得相应的解，记为
于
是得出新的零级波函数
如 个根 无重根，则原来的 重简并能级 将完全解除简并，分裂为 条．但如 有部分重根．则能级简尚未完全解除．凡未完全解除简并的能量本征值，相 应的零级波函数仍是不确定的．
由式（6）可以看出，对于 情况，能级是简并的，简并度为（N＋1）．（为什么?） 以 N=1 为例，能级为二重简并，能量本征值为
相应的本征函数为 记
与
（或者它们的线性叠加）．为表示方便，
并选 与 为基矢，利用谐振子的坐标的矩阵元公式，可以求得微扰 W= 元如下：
的矩阵
可得出能量的一级修正为
电磁波的散射和散射波理论
电磁波的散射和散射波理论电磁波的散射是物理学中一个重要的研究领域，它涉及到光学、电磁学、量子力学等多个学科的知识。
本文将从理论的角度来介绍电磁波的散射和散射波理论。
首先，我们来了解一下电磁波的散射现象。
当一束电磁波遇到物体时，部分波的能量会被物体吸收，而剩下的波则会被物体散射出去。
这个过程可以简单理解为光线在物体表面的反射，但实际上，散射是一个更加复杂的现象。
散射波理论是研究散射现象的一种理论框架。
根据这个理论，散射波的强度可以用散射截面来描述。
所谓散射截面，是指单位面积内被散射波所占据的空间。
通过计算散射截面，我们可以得到散射波的强度分布和散射强度。
要计算散射截面，我们需要考虑一些因素，比如物体的形状、大小、电磁波的频率和入射角度等。
这些因素的变化都会影响到散射截面的大小和形状。
一种经典的散射波理论是Mie散射理论。
该理论适用于球形物体散射的情况。
根据Mie散射理论，当电磁波的波长和物体大小相当时，散射截面的大小和形状会发生显著变化。
此时，我们可以观察到一些有趣的现象，比如物体呈现出不同颜色的光晕。
除了球形物体的散射，还有其他形状的物体，比如棱柱、棱台等，它们的散射现象也可以用不同的理论来解释。
当物体的形状变得复杂时，散射的计算变得更加困难，需要借助数值计算和模拟来进行。
近年来，随着计算机技术的快速发展，数值模拟方法在散射波理论中得到了广泛应用。
通过建立散射波的数值模型，我们可以模拟不同条件下的散射强度和散射截面，从而更好地理解和解释实验结果。
此外，散射波的理论研究还延伸到了量子力学领域。
在量子力学中，散射波是指粒子在势能场中的散射现象。
根据量子力学的原理，我们可以通过波函数来描述散射波的行为，计算出不同能量下的散射截面和强度分布。
总结起来，电磁波的散射是一个复杂而有趣的现象，需要借助散射波理论来解释和理解。
不同形状的物体的散射现象可以用不同的理论方法来描述，并通过数值模拟和量子力学计算得到更加精确的结果。
散射理论[1]
![散射理论[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/3f86de31b90d6c85ec3ac69d.png)
Q q( )2 sin d 2bdb b 2
0 0
b
在量子力学中，确定在远离散射区粒子的波函数，即 只有通过解定态薛定谔方程才能得到散射截面。 方法不同，计算的结果也有差异。
3、散射截面的求解（重点） 2 2 取散射中心为坐标原点， 2 U (r ) E 是入射粒子质量，E是它的能量，令
2 dn L3 U (r )e
3
i ( k k ) r
dr
2
L3 k d 3 2 8
2
k vL U ( r )e 2 4 v
i ( k k ) r
dr d
该式与 dn vL3q( , )d 比较得：
0 0
2
q(θ, φ)决定于散射过程的物理机制，它与入射粒子 和散射中心的性质及其相互作用、相对能量相关联。研究 散射截面的意义正在于此。
2、经典与量子散射的差异 在经典散射中，用轨道进行计算： 立体角dΩ=sin θd θd φ 内的粒子必为入射环面 b|db | d φ 所通过的入射粒子 q(θ） sin θ=b|db | /d θ
k
2 1
4 k2
(2 1)sin
2
Q
其中
4 Q 2 (2 1) sin 2 k
是第 分波的散射截面。
2、分波法的适用范围 用分波法求散射截面归结为计算相移。 分波法是解决散射问题的普遍方法，但由于要求许多 相移 ,使得实际应用受到很大限制。 从准经典轨道角动量L=pr考虑
j (kr)是球面贝塞尔函数： (kr) j
2kr J
《量子〉自学辅导之十散射(2024)
Chapter
2024/1/29
23
材料科学中散射技术应用
晶体结构分析
通过X射线或中子散射技术，可以 研究晶体材料的内部结构，如原 子排列、晶格常数等，为材料设 计和性能优化提供重要依据。
2024/1/29
薄膜材料研究
利用散射技术可以分析薄膜材料的 厚度、粗糙度、成分等信息，有助 于了解薄膜的生长机制和性能特点 。
27
放射治疗
利用中子散射技术，可以精确地定位肿瘤位置并对其进行放射治疗，提高治疗效果并减 少副作用。
2024/1/29
药物研发
散射技术可用于研究药物与生物大分子（如蛋白质、DNA等）的相互作用，为药物设 计和优化提供重要信息。
25
其他领域应用前景展望
环境科学
散射技术可用于大气、水体等环境样品的分析，了解污染物的分布 、迁移和转化规律，为环境保护和治理提供科学依据。
6
02
粒子间相互作用与散射截面
Chapter
2024/1/29
7
粒子间相互作用类型
存在于原子核内的核子（质子和 中子）之间的相互作用力，属于 短程力，作用范围在原子核尺度 内。
存在于夸克之间的一种相互作用 力，是四种基本相互作用中最强 的一种。
2024/1/29
库仑相互作用 核力相互作用 弱相互作用 强相互作用
分波法的应用
在原子物理、核物理和分子物理等领域中广泛应用，如电子-原子、中子-原子核、分子分子等散射问题的研究。
21
其他近似方法简介
2024/1/29
畸变波恩近似（DWBA）
在波恩近似的基础上，考虑入射粒子和靶粒子之间的相互作用对波函数的影响，从而得到更精确的散射结果 。该方法适用于处理弱相互作用体系。
康普顿散射现象
康普顿散射现象康普顿散射现象是物理学中的一个重要现象，它是指入射光子与物质原子相互作用时，光子的能量部分转移给原子中的自由电子，导致光子的散射。
康普顿散射现象最早是由美国物理学家康普顿在20世纪20年代发现的。
他利用X射线对物质进行研究时，发现X射线的散射角度与入射角度不同，而且散射光子的能量也有所改变。
通过对散射光子的能量和角度的测量，康普顿成功地解释了这一现象。
他提出了一个简单的公式来描述康普顿散射的能量转移，这个公式成为了现代物理学中的基本公式之一。
康普顿散射的机制非常复杂，它涉及到光子与原子中的自由电子发生相互作用的过程。
当一个光子进入物质时，它会与物质中的原子相互作用。
光子的电磁波场会激发原子中的自由电子，导致电子发生振动。
这个过程会导致光子的能量部分转移给电子，使得光子的波长增加，频率降低。
最终，散射光子的能量和波长会与入射光子不同。
康普顿散射现象在物理学中有着广泛的应用。
它可以用来研究物质的结构和组成，也可以用来测量物质的密度和厚度。
康普顿散射还可以用来研究宇宙射线和天体物理学中的一些问题。
此外，康普顿散射还被用于医学影像学中，例如X射线断层扫描（CT）和正电子发射断层扫描（PET）等技术中。
康普顿散射现象的研究也带来了一些重要的物理学理论。
例如，康普顿散射的能量转移过程是量子力学中的重要问题之一。
量子力学中的康普顿效应理论可以用来描述光子与物质相互作用的量子力学过程。
此外，康普顿散射现象也与相对论物理学有关。
康普顿效应的解释需要引入相对论量子力学的概念，例如质量能量关系和动量守恒等。
总之，康普顿散射现象是物理学中的一个重要现象，它不仅带来了重要的物理学理论，还有着广泛的应用价值。
未来，随着科学技术的不断发展，康普顿散射现象的研究将会更加深入，为我们认识世界带来更多的启示。
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e
i
(
1 2
l
l
)
Pl
(c
os
)
，
（2－12）
l 0
l 0
在（2－12）式两边乘以 Pl' (cos ) 并对 从 0 到 积分，且利用勒
让德多项式正交性
0 Pl (cos )Pl' (cos ) sind
2 2l
1
ll
'
得到：
(2l
1)i l
目的是求 Al , f ( ) 。
利用公式 sin (ei ei ) / 2i ，即
sin(kr 1 l )
1
i(kr 1 l )
[e 2
e
i
(k
r
1 2
l
)
]
，
2
2i
sin(kr
1 l
2
l )
1 [ei
(
kr
1 2
l
l
)
2i
， e ] i
粒子数 dn 应与 d 成正比，还与入射粒子流强度（密度）N
成正比。
3.定义 N：在垂直入射粒子流前进的方向取一单位面积 S0 ，单 位时间内穿过 S0 的粒子数就是入射粒子流强度 N。
即： dn q(,)Nd ， q( ,) 是一个比例系数。 （1）
4.微分散射截面：q( ,) dn 是一个入射粒子散射到 , 方
f ( , ) eikr
r
，因体系的
波函数与 无关，即
r eikz
f
( ) eikr
r
，
（*）
把（2－8）式写成上式的形式并进行比较就可求得到 f ( ) 。
利用数学知识将平面波 eikz 按球面波展开（公式见梁昆淼
P410）
eikz eikr cos (2l 1)il jl (kr)Pl (cos ) ， l 0
（2－9）
其中 jl (kr) 是球贝塞尔函数，它与贝塞尔函数 J l1/ 2 (kr) 的关系以
及它的渐近形式是：
jl (kr)
2kr
J l1/ 2
(k r)
r
1 kr
s in(k r
l
/
2)
，
（2－10）
则把
e ik z
eikr cos
r (2l
z
* 1
1
z
i
2
eikz (ik )eikz
eikzikeikz
k 11
k
(5)
v
N
，
2
几率流密度=入射粒子流密度，这是因为每单位体积内只有一 个粒子。
散射粒子的几率流密度：
Jr
i
2
2
* 2
r
* 2
2
r
代入（2－11）式并利用 il
l 0
l 0
方程两边 eikr 和 eikr 前面的系数应分别相等，即有
i2kf ( )
(2l
1)i
l
e
i 1l 2
Pl
(cos
)
＝
Al
e
i
(
1 2
l
l
)
Pl
(c
os
)
，（2－11）
l 0
l 0
(2l
1)i
l
i
e
1 2
l
Pl
(c
os
)
＝
Al
用趋于零。则波函数 (r ) 在 r 时的渐近形式为：
r 1
2
eikz
f
( ,) eikr
r
（8）
其中1 eikz 为入射粒子的平面单色波，这个形式用的是单位
体积的( L 1)箱归一化（ 2 1），它描写的入射束是每单位
体积内只有一个粒子。 2
在 §3.3 讨 论 过 该 方 程 ， 方 程 的 一 般 解 为 ：
(r, , ) Rl (r)Ylm ( , ) （没有 n ，因为 E 已知且连续），因
lm
为势场与 , 无关，且入射粒子束与 无关，故波函数与 无
关。即 Lz
(r
p) z
0 ，即 m 0 ，角动量垂直
一、薛定谔方程在 r 时的渐近解
具有能量为
E
的粒子在靶粒子的势场 U
(r )
中运动，U
(r )
只
与
r
的大小有关（奏力场的特点），其定态
Schrodinger
方程为
（6.1－7）
2 [k 2 V (r)] 0
（2－1）
Lˆ2 , Lˆz 与 Hˆ 可对易，在它们的共同本征态中，三者可同时具有确 定值。取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴，这个 轴是旋转对称轴。
(
kr
1 2
l
l
)
则： (2l 1)il
l 0
1
[eikr
e
i
1 2
l
2ikr
eikr ei
1 l 2
]Pl
(cos
)
f ( ) eikr
r
=
l 0
Al
[e e ikr
i
(
1 2
l
l
)
2ikr
e e ]P ikr
i
(
1 2
l
l
)
l
(cos ) ，
V (r)
l(l 1) r 2 ]ul
(r)
0
，
（2－5）
当 r 时，上式的渐近形式为（因为U(r) 未知，做一般讨论，
但知U (r) r 0 ）
d
2ul dr
(r
2
)
k
2ul
(r)
0
，其解为
ul
(r)
Al'
s in(k r
' l
)
。（2－6）
为讨论方便我们引入 Al
二.散射截面 1.散射中心：设靶粒子 A 的质量远大于入射粒子的质量，形成
所谓固定的散射中心，A 称为散射中心。
2.散射角：粒子被散射后的运动方向与入射方向之间的夹角为
，称为散射角。
单位时间内散射到面积元 dS 上的粒子数 dn dS ，而
dn
1 r2
，故 dn
dS r2
d ，即：单位时间内散射到 d 内的
v r2
f ( ,) 2 dS v f ( , 2 d N
f ( , 2 d （9）
与 q( ,) 的定义（1）式比较得 q(,) f (,) 2 ，即微分散射截
面等于散射振幅绝对值的平方。
总之，在具体问题中，如能求解得 (r ) 解，并得到在 r 处的渐近形式，即求得 f ( ,) ，可得 q( , ) 和 Q 。散射理论的 任务就是在给定 E 和U (r ) 后求 q 和 Q 。
形象解释：在靶粒子处，垂直入射束有 q( ,) 大小的面积， 凡通过这个面积的粒子就应该散射到, 方向单位立体角
内；如又取 Q 大小的面积，则通过这个面积的粒子全部被散 射，靶粒子的作用相当于这样一个靶面，截面单位用“巴 （barn）”表示，1 巴＝1024 cm2 。
三.波函数在 r 处的渐进形式及其与 q( ,) 的关系
i
e
1 l 2
0 Pl' (cos )Pl (cos )sind
l 0
＝
A ei
(
1 2
l
l
)
l
0
Pl '
(cos
)Pl
(cos
)
sind
，
l 0
(2l
1)i
l
i
e
l 2
2 2l 1
A ei
(
l
l 2
)
l
2 2l 1
，
（2－13）
则得 Al (2l 1)i l eil
i
2
f
(
,
)
2
ikr
1
ikr
1
1 r3
2k
2r2
f ( ,) 2 k
f ( ,) 2
r2
v r2
f ( ,) 2
又是散射波的粒子流密度，它表示单位时间内穿过垂直 径向的单位球面面积粒子数，所以单位时间穿过球面积 dS 的 粒子数是：
dn
J r dS
U
(r )
（决定
了靶粒子的性质和结构）有关。通常总是对
U
(r )
作出假设，
解定态薛定谔方程求角分布，再与实验结果比较，从而了解
U
(r )
，并进而了解靶粒子的性质与结构。
2．弹性碰撞和非弹性碰撞 弹性碰撞：入射粒子与靶粒子只有动能交换，内部结构状态 并无变化（此时体系的机械能守恒，本书只讲此 种情况）。 非弹性碰撞：粒子内部状态有所改变（如原子的电离或激发， 核与粒子的激发），系统的机械能部分地变成粒 子的内能。