第十四章 量子力学基础
第十四章量子物理基础11
n
波长范围
2，3，4，… 紫外区 91～121.5nm
3，4，5，… 可见光区 364.5～656.3nm
4，5，6，… 近红外区 0.820～1.875μm
5，6，7，… 中红外区 1.46～4.05μm
6，7，8，… 中红外区 2.28～7.46μm
第一节 初始的量子理论
五、玻尔的氢原子理论 玻尔理论的基本假设
转的自旋运动。根据量子力学的计算，电子的自旋角动
量Ls为：
Ls
s(s 1)，
s1 2
它在外磁场方向（z轴的方向）的分量Lsz为：
Lsz ms，
1 ms 2
s称为自旋量子数，ms叫做自旋磁量子数。
L l(l 1) h l(l 1) 2π
第二节 四个量子数
五、四个量子数
量子数
可能的取值
(
1 22
1 n2 )
n 3,4,5
里德伯公式
f
c
R
c
(
1 k2
1 n2
)
式中k取1，2，3，…； n是从k＋1开始取值的正整数。 这里整数k决定谱线系，n则决定谱线系中的各条谱线。
第一节 初始的量子理论
五、玻尔的氢原子理论
氢原子光谱的各谱线系
谱线系 k 赖曼系 1 巴耳末系 2 帕邢系 3 布喇开系 4 普芬德系 5
为了使薛定谔方程有合理的解，电子绕核运动的角动量L 在外磁场方向（一般取为z轴方向）的分量Lz必须满足以 下量子化条件：
Lz ml
ml=0，±1，±2，…±l 。ml 称为磁量子数
L l(l 1) h l(l 1) 2π
第二节 四个量子数
四、电子自旋与自旋磁量子数
量子力学基础
量子力学基础
量子力学是描述微观粒子行为的物理学理论。
它基于几个重要的基
本概念：
1. 粒子的波粒二象性：根据量子力学，微观粒子（如电子、光子等）既具有波动特性也具有粒子特性。
这意味着粒子的运动和行为可以通
过波动的方式来描述。
2. 不确定性原理：由于波粒二象性，确定粒子的位置和动量同时存
在的精确值是不可能的。
不确定性原理表明，我们无法同时准确测量
粒子的位置和动量，只能得到它们的概率分布。
3. 波函数：波函数是描述量子系统状态的数学函数。
它包含了粒子
的所有可能位置和动量的信息。
根据波函数，可以得出粒子的概率分布。
4. 算符和观测量：在量子力学中，物理量（如位置、动量、能量等）被表示为算符，而不是直接的数值。
物理系统的状态和性质可以通过
算符的作用来描述和测量。
5. 薛定谔方程：薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了量子系
统的时间演化。
它通过波函数的时间导数和能量算符之间的关系来表示。
量子力学的基础原理提供了一种独特而全面的方式来理解微观世界
的行为。
它已经在许多领域获得了成功应用，如原子物理、核物理、
量子化学和量子计算等。
量子力学的基础知识
量子力学的基础知识
量子力学是物理学中一种重要的理论，是对微观世界运动规律的
研究。
它不仅推动了物理学的发展，而且深刻影响了化学、生物学和
其他学科的发展。
量子力学以爱因斯坦的能量等离子体模型为基础，
以普朗克的统计力学和波动力学为补充，建立了一个用来描述微型物
体（尤其是粒子）的完整理论。
量子力学的核心思想是对微观世界物体运动规律的研究和解释，
即“量子”这个词。
量子是用来描述它们的最小基本单位，其大小只
有原子的尺寸。
量子力学认为，量子不仅能描述物体的性质，而且也
能描述它们的运动。
量子力学的基本原理有四个：第一，物体的运动
是概率性的；第二，波函数能完整地描述物体的性质；第三，能量的
变化是离散的；第四，波粒二象性原理。
量子力学看似简单，但它提供了许多有用的工具，帮助人们更好
地理解微观世界。
例如，它可以用来解释和解释自然界中复杂的现象，比如电磁现象、原子特性、原子结构、以及化学反应。
此外，它有助
于揭开古老的谜题，如结晶结构的形成，量子调控效应的作用，原子
核的物理性质，以及费米子的发现。
量子力学提供了一套全新的手段来探索物质的结构，特性和行为。
它不仅改变了物理学，而且也深刻影响了其他学科，比如化学、生物学、工程学和信息科学。
今天，量子力学已经发展成为一门独立的学科，它可以用来描述和研究微观世界中令人惊讶的现象，并有助于发
展各种新技术，有助于深入了解物质的结构和行为。
量子力学基础
1第十四章 量子力学基础1．应用定态薛定谔方程求波函数和能量。
2．求归一化波函数、位置概率、概率密度及最大概率对应的位置等。
3．利用驻波条件计算无限深势阱中粒子的能量和动量。
4．与四个量子数相关的一些计算。
例１４－１ 粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其归一化的波函数为()sin()(0)n n xx x a aπψ<<2若粒子处在n=1和n =2的状态，求发现粒子几率最大的位置各是多少？ ［解］ 在一维无限深方势阱中，粒子处在()n x ψ状态，在x 处发现粒子的概率密度为将w 对x 求导得 *2222()()()sin ()22sin cos22sin n n n x w x x x a adw n n x n xdx a aa n n x aa πψψπππππ==== （1）当n=1时，22sin0,x x k a aπππ==（k =0，1，2，），概率极值位置在2kax =处，选择k 值使x 满足0x a <<，则1,2ak x ==为极值处。
又 22223322424|cos()|cos 0a a x x d w x a dx a a ππππ====<所以， 2ax =处概率有极大值。
（2）当n =2时，44sin 0,x xk a aπππ==（k =0，1，2，3，）4kax =（k =0，1，2，3，）选择k 使x 满足0x a <<，则k =1，2，3，即3,,424a a ax =处概率有极值又 2223164cos()d w xadx a ππ=对2a x =，上式大于零，其他3,44a x a =上式小于零。
所以在3,44a ax =处概率有极大值。
例１４－２ 质量为m 的微观粒子在宽度为a 的刚性盒子里作一维运动（沿宽度方向），那么此粒子的动量、能量如何？ ［解］ 粒子封闭在一个宽度为a 的盒子里作一维运动，则与粒子对应的德布罗意波穿不出盒子的壁，因此在x =0和x =a 这两点永远是波节，即描述粒子运动的波函数()x ψ在这两点为零：(0)()0a ψψ==。
大学物理理论：量子力学基础
大学物理理论：量子力学基础1. 介绍量子力学是现代物理学的重要分支，它描述了微观粒子的行为和性质。
本文将介绍一些关于量子力学的基本概念和原理。
2. 原子结构和波粒二象性2.1 光电效应光电效应实验证明了光具有粒子性。
解释光电效应需要引入光量子（光子）概念，并讨论能量、动量和波长之间的关系。
2.2 德布罗意假设德布罗意假设认为微观粒子也具有波动性。
通过计算微观粒子的德布罗意波长，可以得出与经典物理不同的结果。
3. 波函数和不确定性原理3.1 波函数及其统计解释波函数描述了一个系统的状态，并包含了关于该状态各个可观测量的信息。
通过波函数，可以计算出一系列平均值，用来描述系统的特征。
3.2 不确定性原理不确定性原理指出，在某些情况下，无法同时准确地确定一个粒子的位置和动量。
这涉及到测量的本质和粒子与波的性质之间的关系。
4. 玻尔模型和量子力学4.1 玻尔模型玻尔模型是描述氢原子中电子运动的经典物理学模型。
它通过量子化角动量来解释氢原子光谱，并提供了首个对原子结构和能级分布的定性解释。
4.2 泡利不相容原理泡利不相容原理说明电子在同一能级上必须具有不同的状态。
这为填充多电子原子如何达到稳态提供了解释。
5. 薛定谔方程及其解析方法5.1 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中最基本的方程。
它描述了波函数随时间演化的规律，以及如何通过波函数求得可观测量的平均值。
5.2 解析方法介绍几种求解薛定谔方程的解析方法，如分离变量法、变换法等，并通过示例问题演示其使用过程和计算结果。
6. 哈密顿算符与算符方法6.1 哈密顿算符哈密顿算符是用于描述系统总能量的数量。
介绍哈密顿算符的概念和性质，并讨论如何通过其本征值和本征函数求解问题。
6.2 算符方法算符是量子力学中描述可观测量的数学工具，介绍常见的一些算符，如位置算符、动量算符等，并讨论它们之间的对易关系。
结论量子力学作为现代物理学的基石，为我们理解微观世界提供了全新的视角。
量子力学基础
量子力学基础
1 量子力学
量子力学是20世纪初在物理学中提出的理论，它是研究微观物理
现象的科学理论。
它可以描述元子、原子和分子的一般特性，还可以
用于解释多种物质的晶体结构及其他物理性质。
它的基本概念是微观世界中的物理量不再遵循经典物理学。
量子
力学认为，物质的基本特性不再是经典物理学中的连续性和可压缩性，而是量子概念体现的离散性和不可分割性。
2 基本原理
量子力学的基本原理是基本物质粒子是和弦性，也就是物质具有
波和粒子双重性，不同物质之间及物质量之间都有联系，这种联系实
际上在量子力学中被形象描述为薛定谔方程。
此外，量子力学还涉及光子、原子、电子和晶体之间的相互作用，以及晶体结构的形成。
例如，量子理论可以用来解释晶体中的空间结构，特性的微观原因，以及晶体的光学性质，磁性，热力学性质等。
3 应用
量子力学存在了很长时间，但是真正开始发挥作用一直到20世纪
初才开始，因为它为研究微观物理现象提供了一种新的和不同的视角，甚至可以被用来解释一些在经典物理学无法解释的现象。
现在，量子力学的基本理论已经被广泛应用于化学、物理学、凝聚态物理学、核物理学和天体物理学。
量子力学的基本原理也被用于一些新的和先进的技术，比如超导电子学、量子计算机等。
量子力学基础
量子力学基础量子力学是一门研究微观世界的物理学科，其研究对象是原子，分子以及更小的粒子。
相比经典力学而言，量子力学更加深奥、多变，虽然被数学化的描述形式非常精致，但仍然存在着一些难以理解的问题。
1. 粒子的波粒二象性：偏振实验回归到物理学的起点，我们会想到牛顿第一定律、摩擦力等经典概念，这些概念结合起来就可以很好地解释力学现象，却无法解释一些现象如光学实验中的偏振现象，也就是说，光具有波动性质，这丝毫不起眼的光子却颠覆了科学家们对物质的认识。
波粒二象性既是一种直观表现，又是一种对量子粒子行为的描述。
最著名的实验就是二十世纪初由英国科学家Thomas Young首次提出的杨氏双缝干涉实验，这个实验在光学和其他领域都被广泛用于解释量子力学基础概念，它不仅欧洲牛津大学的量子力学教材中出现，而且出现在了《生活大爆炸》等大众文化中。
这项实验能够说明光实际上是由一系列能够相互干扰的波构成的，而同样可以得出这一结论的实验不仅仅局限于光学，例如，Young实验也在微观粒子的电子双缝干涉实验中被重复实现，这一实验表明了量子粒子行为上的奇异性质。
2. 物理量的不确定性：海森堡测不准原理在粒子的量子状态下，物理特征指标可以发生变化，并且量子比经典物理学更复杂得多。
海森堡测不准原理是量子力学中的一个基本概念，它断言在某些物理实验中，同时测量粒子的两个或更多个性质（例如，位置和动量）是不可能获得一个完全准确的结果的。
例如，我们试图通过测量粒子的位置来确定其精确的动量，我们需要测量粒子位置的变化，这样粒子就不能在特定时间的某个位置上。
这种粒子位置和动量之间的不确定性，是一种基本的量子现象，可以在许多实验中观察到。
3. 量子纠缠：特别的量子机制量子纠缠也是量子力学基础领域的一个重要现象，可以帮助我们更好地理解量子领域中的基本概念。
粒子的量子状态能够纠缠，这意味着，当两个或更多粒子在某种特定的方式下存在时，它们的抽象量子状态将是相互依存的。
量子力学基础
量子力学基础量子力学是现代物理学的基石之一，它描述了微观世界中粒子的行为和性质。
本文将介绍量子力学的基础知识，包括波粒二象性、波函数、测量和不确定性原理等内容。
一、波粒二象性量子力学的核心观念之一是波粒二象性，即物质既可以表现出粒子的离散性质，又可以表现出波的波动性质。
这一观念由德布罗意提出，他认为任何物体都具有波函数。
二、波函数与波动方程波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学函数。
它可以用来计算粒子的位置、动量和能量等物理量。
根据薛定谔方程，波函数满足定态和非定态的波动方程。
三、量子力学中的测量在量子力学中，测量是指对粒子某个物理量进行观测并得到相应的结果。
与经典物理学不同的是，量子物理学中的测量结果是随机的，只能得到概率分布。
四、不确定性原理不确定性原理是量子力学中的重要概念，由海森堡提出。
不确定性原理指出，在给定的时刻，不能同时准确测量一个粒子的位置和动量。
精确测量其中一个物理量，将会导致对另一个物理量的测量结果存在不确定性。
五、量子力学中的算符在量子力学中，算符是用来描述物理量的操作。
比如，位置算符、动量算符和能量算符等。
根据算符的性质，可以求得粒子的期望值和本征态等信息。
六、量子纠缠和超导量子纠缠是量子力学中的一个重要现象，它描述了两个或多个粒子之间的紧密联系。
超导是一种物质在低温条件下具有零电阻和完全抗磁的特性。
七、量子力学的应用量子力学在许多领域都有广泛的应用，尤其是在量子计算、量子通信和量子传感器等前沿科技领域。
量子力学的发展为人类带来了许多革命性的技术和突破。
八、总结量子力学作为现代物理学的重要理论基础，对我们理解微观世界具有重要意义。
本文介绍了量子力学的基础知识，包括波粒二象性、波函数、测量和不确定性原理等内容。
希望读者通过阅读本文，对量子力学有更深入的了解，并能进一步探索其在科学和技术中的应用前景。
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1.波函数必须是复数波函数形式 2.波函数的统计解释 例：分析光的双缝衍射实验，并说明玻恩统计解释
的基本观点 A.当光的强度很强时，干涉条纹应该理解为大量等能
量光子在屏幕上出现位置的统计结果
B.当光的强度很弱时(弱到光子一个一个地通过双
缝)，干涉条纹应理解为单个光子通过双缝后在屏
v3=5107m/s的德布罗意波长
解：
1
h m1v1
6.63 1034 1 1015 102
6.63 1017 m
2
h m2v2
6.63 1034 1 103 101
6.63 1030 m
1
h m3v3
6.63 1034 9.11 1031 5 107
U
p2 2m
U
同时考虑到非相对论自由粒子
E
Ek
p2 2m
p2
2mE k
2mE
于是
h2 d 2 ih
2m dx2
t
2.非相对论的薛定谔方程的一般形式及讨论
对于一般的在势能场中的粒子，其薛定谔方程只需要
将上述步骤中的能量由自由粒子的动能推广为粒子的
总能量，就可得到一般粒子的薛定谔方程
p1 c
E2
m02c4
1 c
E2 k
2m0c2
Ek
h
ch
p
E2 k
2m0c 2 Ek
当 v c 时
ch
2m0 Ek
(3).量子体系与经典体系的界限
作用量：称与mrv有相同量纲的物理量为系统作用量
由量子条件 2mrv nh
当微观粒子的作用量与h可相比拟时，微观粒子有
D.几率密度
( x, y, z,t) dW ( x, y, z,t) ( x, y, z,t) 2
dxdydz
3.量子力学中波函数应该满足标准条件 波函数的标准条件是：单值、连续、有限 4.量子力学中波函数应当满足态叠加原理 态叠加原理：(1).如果1、2分别是粒子存在的一个 可能状态，那么，它们的线性叠加1＋2——也是 粒子的一个可能状态；(2).当粒子处于1和2的线性 叠加态时，微观粒子同时处于1和2态
某点出现的几率 (2).几率波的数学表述
dW ( x, y, z,t) *dxdydz ( x, y, z,t) 2 dxdydz dW ( x, y, z,t) C ( x, y, z,t) 2 dV
说明：A. 给波函数乘上一个常数后，并不影响波函 数代表离子在空间出现几率相对强弱的分布
求：(1).氢原子中电子的作用量；(2).测量电子速度时 的不确定度
解：(1).作用量
p q 9.1 1031 106 1010 9.1 1034 ~ h
(2).由
px
x
可得 2
vx
2mex
0.6 106 m
s 1
说明：作用量与h相当的量子系统，不确定关系将 起很重要作用，此时，不能再用经典理论讨论物理 系统的运动规律 例：显象管中电子运动速度为107m/s数量级，电子束
x
可得 2
px 5.28 1029 kg m s1 vx 5.28 1026 m s1 说明：对作用量远大于h的经典物理系统，广义动量
与广义坐标是可以被同时精确测定
例：原子中电子的质量me=9.110-31kg，氢原子的半径 为10-10m数量级
将上式代入能量表达式
E
Ek
Ep
2 2m0r 2
e2
4 0r
求极值
dE dr
0
2
m0r 3
e2
4 0r 2
0
rmin
0.529 1010 m
Emin
2 2m0
(
e 2m0
4
0
2
)2
e2
4 0
e
m 2 0
4
0
2
e4m0
8
2 0
h2
13.6eV
例：利用不确定关系估算谱线的自然宽度，取t~10-8s
解：能级宽度：原子中电子的能级有一个宽度
电子寿命：电子在每一个能级上停留的时间宽度
谱线的自然宽度：电子在能级间跃迁时的频率宽度
E E
t
h
h
t
~
1
2t
1.59 107 Hz
(2).物质波数学定义式中能量的含义 •物质微粒的能量是指其总能量，而不是粒子的动能 •只有粒子低速运动情况下，可以用粒子动能近似代替
粒子总能量 例：设电子的总能量可写为 E Ek m0c2 推算：物质波波长计算公式；并得到粒子低速运动情
况下的近似计算公式
解：由狭义相对论 E 2 c2 p2 m02c4
p 2eme U
U
对镍单晶，d=0.91 Å
实验时，=65，U=54V
理论波长：1.67Å
实验波长：1.65Å
§17.2. 不确定关系
一 不确定关系与波粒二象性的关系
•描述粒子运动的理论都离不开位移、速度、加速度、 动量、角动量等这几个物理量，要全部抛开这些物
理量建立新理论是困难的
•描述粒子波动形时，继续采
幕上出现在某一点的几率。
C.在机械波中，振幅的平方代表波动的强度，因此，
量子力学中的波函数模之平方应当代表光子出现在
屏幕上某点的几率
D.如果双缝衍射的不是
光子，而是其它量子
S
S1
微观粒子，上述分析S2 Nhomakorabea也成立
(1).波恩的统计解释 量子力学中波函数不代表任何实在形式的物质波； 有物理意义只是波函数的模之平方代表粒子在空间
明显的波动现象。该系统称为量子系统
反之，称为经典系统
例：对氢原子，由上一章讨论可知，其作用量为h的 整数倍，具有与h相比拟的作用量，因而氢原子中的 电子能显示出明显的波动特性或量子特性
例：分别计算微尘：m1=10-15kg，v1=10-2m/s；小球：
m2=10-3kg，v2=10-1m/s；电子： m3=9.1110-31kg，
4.通过氢原子的量子理论，对原子中电子存在状况有 一个清晰认识。
§17.1. 微观粒子的波粒二象性 预备知识 1.物理对象具备波动性或粒子性的判据 2.光本质的发展简史 •牛顿的——光的“微粒学说” •惠更斯——“光的微粒学说” 一 德布罗意物质波观念
目标：物质微粒的粒子特性(能量、动量)与波动特性 (波长、频率)用数学函数联系起来 1.德布罗意物质波观念的内涵
用上述物理量，但这些物理
t+t
量不再具有经典物理中的轨
道物理含义
t
二 不确定关系的内涵
1.不确定关系的特例说明
忽略次极大时，电子在x方向动量范围
0 px p sin1 电子在x方向动量不确定度 px psin1
考虑次极大时，电
子在x方向动量不
p
x
px
确定度
x
1
px p sin1
ih
h2
d 2
(
d 2
d 2 ) U (r )
t 2m dx2 dy2 dz2
引入符号
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
Hˆ
h2 2m
2
U
则薛定谔方程可以写为
ih
Hˆ
t
这便是一般形式下的薛定谔方程
讨论 (1).薛定谔方程反映量子微观粒子体系的运动规律 (2). 如果量子微观粒子体系的势函数不含时间变量t，
三 不确定关系的应用举例
1.不确定关系适用的条件
例：设小球质量m=10-3kg，速度v=0.1m/s，位置的不 确定度为x=10-6m
求：(1).小球的作用量；(2).小球动量、速度不确定度
解：(1).作用量 p q 103 101 106 1010 h
(2).由
px
对应的薛定谔方程可以写为定态薛定谔方程
1.46 109 m
0.146
二 德布罗意波的实验验证
1.戴维逊－革末实验
阴极电压
实验现象：集电器电流强度随电压单调增加而作周
期性变化，且呈现的周期变化满足布拉格公式
2d sin n
理论分析 eU 1 mv2 p mv 2meU 2
h h 1 12.2
)
ei
0
h(
Et
px )
对时间求一次导数
t
( x, t )
(
i h
E ) 0ei
h( Et px )
i h
E
对空间求二次导数
2 x 2
(
x
,
t
)
(
1 h2
p2 ) 0ei
h( Et px )
1 h2
p2
再由非相对论动量、能量关系式
E
Ek
A.借助爱因斯坦光量子理论，得到能量与频率的普
遍关系函数 E mc 2 h
B.得到动量与波长的关系