2019版高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入课时达标28数列的概念与简单表示法
2019届高考数学一轮复习第4单元平面向量数系的扩充与复数的引入测评理
第四单元平面向量、数系的扩充与复数的引入小题必刷卷(七)平面向量、数系的扩充与复数的引入题组一真题集训1.[2016·全国卷Ⅲ]已知向量=,,=,,则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°2.[2016·全国卷Ⅱ]已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=()A.-8B.-6C.6D.83.[2016·全国卷Ⅰ]设(1+i)x=1+y i,其中x,y是实数,则|x+y i|=()A.1B.C.D.24.[2016·全国卷Ⅱ]已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是()A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3)5.[2016·北京卷]设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.[2017·全国卷Ⅱ]设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 ()A.a⊥bB.|a|=|b|C.a∥bD.|a|>|b|7.[2017·全国卷Ⅰ]设有下面四个命题p1:若复数z满足∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;p4:若复数z∈R,则∈R.其中的真命题为()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p48.[2017·浙江卷]如图X7-1所示,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=·,I2=·,I3=·,则()图X7-1A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I39.[2017·天津卷]在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为.10.[2017·全国卷Ⅰ]已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .11.[2015·全国卷Ⅱ]设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.12.[2017·浙江卷]已知a,b∈R,(a+b i)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2= ,ab= .题组二模拟强化13.[2017·郑州质检]已知四边形ABCD中,G为CD的中点,则+(+)= ()A.B.C.D.14.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量e=()A.B.C.D.15.[2017·上饶重点中学联考]设复数z满足z2=3-4i,则|z|=()A.B.5C.D.116.[2017·柳州模拟]已知向量a=(1,2),b=(-3,2),若(ka+b)∥(a-3b),则实数k的值为()A.-B.C.-3D.317.[2017·宁夏石嘴山三模]设i为虚数单位,若z=(a∈R)是纯虚数,则a=()A.-1B.0C.1D.218.[2017·武汉调研]在平面直角坐标系中,点M(,),P是以原点O为圆心的单位圆上的动点,则|+|的最大值为()A.1B.2C.3D.419.[2017·池州联考]设i是虚数单位,是复数z的共轭复数,若z·=2(+i),则z=()A.-1-iB.-1+iC.1+iD.1-i20.[2017·北京西城区二模]设a,b是平面上的两个单位向量,a·b=,若m∈R,则|a+mb|的最小值为()A.B.C.D.21.[2017·湖州、衢州、丽水三市联考]已知O是△ABC的外心,∠C=45°,=m+n(m,n ∈R),则m+n的取值范围是 ()A.B.[-,1)C.D.22.[2017·黄山二模]已知复数z=(a+i)(-3+a i)(a∈R),若z<0,则a= .23.[2017·常德一模]已知单位向量a,b满足|a+3b|=,则a与b的夹角为.24.[2017·渭南质检]已知向量a=(2,m),b=(-1,2),若a⊥b,c=a+b,则a在向量c方向上的投影为.25.[2017·长郡中学模拟]已知△ABC中,BA⊥AC,且∠ACB=60°,AC=2,=,若P是BC边上的动点,则·的取值范围为.小题必刷卷(七)1.A[解析] cos∠ABC==×+×=,又∠ABC∈[0°,180°],∴∠ABC=30°.2.D[解析] a+b=(4,m-2),∵(a+b)⊥b,∴(a+b)·b=12-2(m-2)=0,解得m=8.3.B[解析] 由已知得x+x i=1+y i,根据两复数相等的条件可得x=y=1,所以|x+y i|=|1+i|=.4.A[解析] 由题易知m+3>0,m-1<0,解得-3<m<1.5.D[解析] 若|a|=|b|成立,则以a,b为邻边组成的平行四边形为菱形,a+b,a-b表示的是该菱形的对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以|a+b|=|a-b|不一定成立,从而不是充分条件;反之,若|a+b|=|a-b|成立,则以a,b为邻边组成的平行四边形为矩形,矩形的邻边不一定相等,所以|a|=|b|不一定成立,从而不是必要条件.故选D.6.A[解析] 将|a+b|=|a-b|两边平方,得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,于是有a·b=0,所以a⊥b.7.B[解析] 设z=a+b i(a,b∈R).=,若∈R,则b=0,此时z∈R,故命题p1为真命题;若z∈R,则b=0,此时=a-b i∈R,命题p4为真命题;z2=a2-b2+2ab i,z2∈R时,a=0或b=0,此时z为实数或纯虚数,命题p2为假命题.设z1=i,z2=4i,则z1z2∈R,但z1≠,命题p3为假命题.故选B.8.C[解析] 显然∠BOC为锐角,所以I1=·<0,I2=·>0,I3=·<0,如图所示,过点B作BM⊥AC于M,过点A作AN⊥BD于N.三角形ABD与三角形ABC均为等腰三角形,所以BN=ND,AM=MC,所以<,<,∠AOB=∠COD>,所以I1>I3.所以I3<I1<I2.因此选C.9.[解析] ∵·=3×2×cos60°=3,=+,∴·=+·(λ-)=×3+×4-×9-×3=-4,解得λ=.10.2[解析] |a+2b|===2.11.[解析] 因为λa+b与a+2b平行,所以存在唯一实数t,使得λa+b=t(a+2b),所以解得λ=t=.12.52[解析] 由(a+b i)2=3+4i,得a2+2ab i+b2i2=3+4i,即a2-b2+2ab i=3+4i,又a,b∈R,所以由复数相等的充要条件,得解得ab=2,a2=4,b2=1,因此a2+b2=5.13.A[解析] +(+)=+=,故选A.14.B[解析] 由题得=(3,-4),所以=5,所以与同方向的单位向量e==,-,故选B.15.A[解析] ==|3-4i|==5,所以=,故选A.16.A[解析] ∵(ka+b)∥(a-3b),∴10(2k+2)=-4(k-3),∴k=-,故选A.17.C[解析] z===-i,因为z是纯虚数,所以故a=1.18.C[解析] ∵|+|≤||+||,当且仅当与方向相同时取等号,∴|+|的最大值为||+||=2+1=3,故选C.19.C[解析] 设z=a+b i(a,b∈R),由z·=2(+i)得(a+b i)(a-b i)=2(a-b i+i),解得a=b=1,所以z=1+i.故选C.20.C[解析] ∵a·b=,∴|a+mb|2=a2+2ma·b+m2b2=m2+m+1=m+2+,则|a+mb|的最小值为,故选C.21.B[解析] 由题意可得∠AOB=90°,以OA,OB所在直线分别为x轴,y轴建立直角坐标系,如图所示,设A(1,0),B(0,1),则点C在优弧AB上.设C(cos α,sin α),则α∈,2π,显然=cos α+sin α,则m=cos α,n=sin α,则m+n=cos α+sin α=sinα+.由于α∈,2π,所以α+∈,,所以sinα+∈-1,,所以m+n∈[-,1),故选B.22.[解析] ∵z<0,∴z∈R,又∵z=(a+i)(-3+a i)=-4a+(a2-3)i,∴a2-3=0,解得a=±.当a=-时,z>0,不符合题意,∴a=.23.[解析] 由|a+3b|=,得|a+3b|2=a2+6a·b+9b2=13.因为a,b是单位向量,所以6a·b=3⇒a·b=,所以cos<a,b>==,又因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=.24.[解析] 向量a=(2,m),b=(-1,2),若a⊥b,则a·b=-2+2m=0,解得m=1,则c=a+b=(1,3),所以a在向量c方向上的投影为==.25.[2,6][解析] 建立平面直角坐标系,如图所示.由BA⊥AC,且∠ACB=60°,AC=2,=,得A(0,0),B(2,0),C(0,2),E(,1).设P(x,y),则·=x+y,又直线BC的方程为y=-x+2,所以·=x+y=x+2,又0≤x≤2,所以·的取值范围为[2,6].。
2019版高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入课时达标28数列的概念与简单表示法20
第28讲 数列的概念与简单表示法[解密考纲]本考点考查数列的概念、性质、通项公式与递推公式，近几年对由递推公式求项、求和加大了考查力度，而对由递推公式求通项减小了考查力度，一般以选择题、填空题的形式出现．一、选择题1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－3n ，若它的第k 项满足2<a k <5，则k ＝( C ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－3n .令n ＝1，可得S 1＝a 1＝1－3＝－2.a n ＝S n －S n －1＝n 2－3n －[(n －1)2－3(n －1)]＝2n －4，n ≥2.n ＝1时满足a n 与n 的关系式，∴a n ＝2n－4，n ∈N *.它的第k 项满足2<a k <5，即2<2k －4<5，解得3<k <4.5. ∵n ∈N *，∴k ＝4，故选C ．2．若数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝4－a n (n ∈N *)，则a 5＝( D ) A ．16 B ．116 C ．8D ．18解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4－a 1，∴a 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a n －1－a n ，∴2a n＝a n －1，∴数列{a n }是以2为首项，以12为公比的等比数列，∴a 5＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝18，故选D ．3．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n (n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝( D ) A ．10 B ．15 C ．－5D ．20解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－3n －[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5；当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1也符合，∴a n ＝4n －5，∴a p －a q ＝4(p －q )＝20.4．数列{a n }中，a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( B ) A ．76 B ．78 C ．80D ．82解析 由已知a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，① 得a n ＋2＋(－1)n ＋1a n ＋1＝2n ＋1，②由①②得a n ＋2＋a n ＝(－1)n(2n －1)＋(2n ＋1)，取n ＝1,5,9及n ＝2,6,10，结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78，故选B ．5．把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为表示这些数的黑点可以排成一个正三角形(如图所示)．则第七个三角形数是( B ) A ．27 B ．28 C ．29D ．30解析 观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可．根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.6．在数列{a n }中，a 1＝2，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2(n ∈N *)，则a 10＝( C ) A ．34 B ．36 C ．38D ．40解析 ∵na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2，∴a n ＋1n ＋1－a n n ＝2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴a 1010＝a 1010－a 99＋a 99－a 88＋…＋a 22－a 11＋a 1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫19－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫18－19＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋2＝3810.∴a 10＝38，故选C ． 二、填空题7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3－3×2n (n ∈N *)，则a n ＝__－3×2n －1(n ∈N *)__.解析 分情况讨论：①当n ＝1时，a 1＝S 1＝3－3×21＝－3；②当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3－3×2n)－(3－3×2n －1)＝－3×2n －1.综合①②，得a n ＝－3×2n －1(n ∈N *)．8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝__⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2__.解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.9．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 1＝1，a n a n ＋1＝3n(n ∈N *)，则S 2 018＝__2×31_009－2__.解析 由a n a n ＋1＝3n知，当n ≥2时，a n a n －1＝3n －1.所以a n ＋1a n －1＝3，所以数列{a n }所有的奇数项构成以3为公比的等比数列，所有的偶数项也构成以3为公比的等比数列．又因为a 1＝1，所以a 2＝3，a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝3n.所以S 2 018＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 018)＝1×1－31 0091－3＋31－31 0091－3＝2×31 009－2.三、解答题10．已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ；(2)若S n ＝3n＋2n ＋1，求a n .解析 (1)因为a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1)＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)]＝(－1)n ＋1·(2n －1)，又a 1也适合此式，所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)．(2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2×3n －1＋2，由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2×3n －1＋2，n ≥2.11．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式． 解析 (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2，同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝a n 2＋12a 2n ，①当n ≥2时，S n －1＝a n －12＋12a 2n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n . 12．根据下列条件，求数列{a n }的通项公式．(1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n； (2)在数列{a n }中，a 1＝4，a n ＋1＝n ＋2na n ； (3)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1.解析 (1)由a n ＋1－a n ＝2n，把n ＝1,2,3，…，n －1(n ≥2)代入，得(n －1)个式子，累加即可得(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋22＋23＋…＋2n －1，∴a n －a 1＝21－2n －11－2＝2n －2，∴a n ＝2n －2＋a 1＝2n－1.当n ＝1时，a 1＝1也符合，∴a n ＝2n－1(n ∈N *)． (2)由递推关系a n ＋1＝n ＋2n a n ，a 1＝4，有a n ＋1a n ＝n ＋2n. 于是有a 2a 1＝3，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n －1a n －2＝n n －2，a n a n －1＝n ＋1n －1，将这(n －1)个式子累乘，得a n a 1＝n n ＋12.∴当n ≥2时，a n ＝n n ＋12a 1＝2n (n ＋1)．当n ＝1时，a 1＝4符合上式，∴a n ＝2n (n ＋1)(n ∈N *)． (3)由a n ＋1＝2a n ＋1，得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)． 令b n ＝a n ＋1，∴{b n }是以2为公比的等比数列． ∴b n ＝b 1·2n －1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n ＋1.∴a n ＝b n －1＝2n ＋1－1(n ∈N *)．。
2019版高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与
2．下列四个命题中真命题的个数为( C ) ①若 a· b＝0， 则 a⊥b； ②若 a· b＝b· c， 且 b≠0， 则 a＝c； ③(a· b)· c＝a· (b· c)； ④(a· b)2 ＝a2· b2. A．4 C．0 B．2 D．3
解析 a· b＝0 时，a⊥b，或 a＝0，或 b＝0.故①命题错． ∵a· b＝b· c， ∴b· (a－c)＝0.又∵b≠0， ∴a＝c， 或 b⊥(a－c)． 故②命题错误． ∵a· b 与 b· c 都是实数，故(a· b)· c 是与 c 共线的向量，a· (b· c)是与 a 共线的向量， ∴(a· b)· c 不一定与 a· (b· c)相等．故③命题不正确． ∵(a· b)2＝(|a||b|cos θ)2＝|a|2|b|2cos2θ≤|a|2· |b|2＝a2· b2.故④命题不正确．
5．平面向量数量积性质的坐标表示
x1x2＋y1y2 ； 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝____________ 由此得到：
2 2 2＋y2 2 x ＋ y x (1)若a＝(x，y)，则|a| ＝____________，或|a|＝____________；
2 2 → x － x ＋ y － y 1 2 1 2 ； (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 A， B 两点间的距离|AB|＝|AB|＝__________________
4．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ＝( A．－1 C．－2 B．1 D．2
) A
解析 λa＋b＝(λ＋4，－3λ－2)．∵λa＋b与a垂直， ∴(λa＋b)·a＝10λ＋10＝0，∴λ＝－1.
第 四 章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
2019年高考数学一轮复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第2节 平面向量的基本定理及坐
第二节 平面向量的基本定理及坐标表示[考纲传真] (教师用书独具)1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(对应学生用书第71页)[基础知识填充]1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， 3a ≠0，b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 1λ＝μ＝0.2x 2≠0，y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)在△ABC 中，设AB →＝a ，BC →＝b ，则向量a 与b 的夹角为∠ABC ．( ) (3)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) (4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( )(5)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( ) (6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)√2．已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,3)，那么|a ＋b |等于 ( )A ．5B ．13C ．17D ．13B [因为a ＋b ＝(2，－1)＋(1,3)＝(3,2)，所以|a ＋b |＝32＋223．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝0 [假设λ1≠0，由λ1e 1＋λ2e 2＝0，得e 1＝－λ2λ1e 2，∴e 1与e 22是平面内一组基底矛盾，故λ1＝0，同理，λ2＝0，∴λ1＋λ2＝0.]4．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.－6 [∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ， ∴－2m －4×3＝0，∴m ＝－6.]5．(教材改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．(1,5) [设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎨⎪⎧4＝5－x ，解得⎨⎪⎧x ＝1，]图421A ．12a ＋12b B ．12a ＋13bC ．14a ＋12bD ．12a ＋14b (2)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.(1)D (2)43 [(1)∵在三角形ABC 中，BE 是AC 边上的中线，∴AE →＝12AC →.∵O 是BE 边的中点，∴AO →＝12(AB →＋AE →)＝12AB →＋14AC →＝12a ＋14b .(2)选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μAD →，于是得⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.]应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决 [跟踪训练] 如图422，以向量OA ＝a ，OB ＝b 为邻边作▱OADB ，BM ＝3BC ，CN ＝3CD ，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.图422[解] ∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .∵OD →＝a ＋b ，∴ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ， ∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b .已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC ＝b ，CA ＝c ，且CM ＝3c ，CN ＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标.【导学号：79140151】[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点．∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N (9,2)，∴MN →＝(9，－18)． 利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程组进行求解.[跟踪训练] (1)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12 C ．(3,2)D ．(1,3)(2)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝( ) A ．(－2,7) B ．(－6,21) C ．(2，－7)D ．(6，－21)(1)A (2)B [(1)设D (x ，y )，AD →＝(x ，y －2)，BC →＝(4,3)，又BC →＝2AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2(y －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72，故选A ．(2)∵BP →＝2PC →，∴BC →＝3PC →＝3(PA →＋AC →)．∵Q 是AC 的中点，∴AC →＝2AQ →，又AQ →＝AP →＋PQ →，∴BC →＝3[PA →＋2(AP →＋PQ →)]＝(－6,21)．]已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． [解] (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0， ∴k ＝－12.(2)AB →＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC →＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )．∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →∥BC →，a ∥b ；a ∥2y 1＝其中x 1，，b x 2，y 2当涉及向量或点的坐标问题时一般利用比较方便.2.与向量共线有关的题型与解法证三点共线：可先证明相关的两向量共线，再说明两向量有公共点；已知向量共线，求参数：可利用向量共线的充要条件列方程组求解[跟踪训练b ＝(1，－2b )，则B ．1 D ．－2(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则实【导学号：79140152】－4)，由a ∥(a ＋2b )，得2(m －4)＝4m ，m ＝－4，故选A ．(2)AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.]。
2019版高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第27讲数系的扩充与复数的引入学案
第27讲数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的__实部__和__虚部__.若__b＝0__，则a＋b i为实数；若b≠0，则a＋b i为虚数；若__a＝0，且b≠0__，则a＋b i为纯虚数．(2)复数相等：a＋b i＝c＋d i⇔__a＝c且b＝d__(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋b i与c＋d i共轭⇔__a＝c且b＝－d__(a，b，c，d∈R)．(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．__x轴__叫做实轴，__y 轴除去原点__叫做虚轴．实轴上的点都表示__实数__；除原点外，虚轴上的点都表示__纯虚数__；各象限内的点都表示__非纯虚数__.复数集用C表示．(5)复数的模：向量OZ →的模r 做复数z ＝a ＋b i 的模，记作__|z |__或__|a ＋b i|__，即|z |＝|a ＋b i|＝2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i ――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )． (2)复数z ＝a ＋b i ――→一一对应__平面向量OZ →__(a ，b ∈R )． 3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则：①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝__(a ＋c )＋(b ＋d )i__； ②减法：z 1－z 2 ＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝__(a －c )＋(b －d )i__； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝__(ac －bd )＋(ad ＋bc )i__； ④除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝__(ac ＋bd )＋(bc －ad )ic ＋d __(c ＋d i≠0)．(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝__z 2＋z 1__，(z 1＋z 2)＋z 3＝__z 1＋(z 2＋z 3)__.4．i 乘方的周期性 i n＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝4k ，i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3，其中k∈Z .5．共轭复数与模的关系z ·z ＝|z |2＝|z |2.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)若a ∈C ，则a 2≥0.( × )(2)在实数范围内的两个数能比较大小，因而在复数范围内的两个数也能比较大小．( × )(3)一个复数的实部为0，则此复数必为纯虚数．( × ) (4)复数的模就是复数在复平面内对应向量的模．( √ ) 解析 (1)错误．若a ＝i ，则a 2＝－1<0, 因而(1)错误．(2)错误．若两个复数为虚数，或一个为实数，一个为虚数，则它们不能比较大小． (3)错误．当虚部也为0时，则此复数为实数0.(4)正确．由复数的几何意义可知该结论正确．2．已知a ∈R ，i 为虚数单位，若(1－2i)(a ＋i)为纯虚数，则a 的值为( B ) A ．－6 B ．－2 C ．2D ．6解析 由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝0，1－2a ≠0，由此解得a ＝－2.3．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( D ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－1解析 由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋a i ＝b ＋i ，根据两复数相等条件得a ＝1，b ＝－1. 4．若复数z 满足z1＋i＝2i ，则z 对应的点位于第__二__象限．解析 z ＝2i(1＋i)＝－2＋2i ，因此z 对应的点为(－2,2)，在第二象限内．5．若复数z 满足z ＋i ＝3＋ii ，则|z |＝解析 因为z ＝3＋ii－i ＝1－3i －i ＝1－4i ，则|z |＝17.一 复数的有关概念(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．【例1】 (1)(2017·天津卷)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为__－2__.(2)(2016·江苏卷)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是__5__.(3)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为解析 (1)由a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )5＝2a －15－2＋a5i 是实数，得－2＋a5＝0，所以a ＝－2.(2)(1＋2i)(3－i)＝3＋5i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部为5.(3)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，从而|z |＝a 2＋b 2＝ 5.二 复数的几何意义(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．【例2】 (1)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( A ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋iD ．－4－i(2)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( B )A ．AB ．BC ．CD ．D(3)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为A ，B ，C ，O 为坐标原点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的值是__5__.解析 (1)由题意可知z 2＝－2＋i ，所以z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.(2)设z ＝－a ＋b i(a >0，b >0)，则z 的共轭复数z ＝－a －b i.它对应的点为(－a ，－b )，是第三象限的点，即图中的B 点．(3)由已知得A (－1,2)，B (1，－1)，C (3，－2)，∵OC →＝xOA →＋yOB →， ∴(3，－2)＝x (－1,2)＋y (1，－1)＝(－x ＋y,2x －y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，故x ＋y ＝5.三 复数的代数形式运算(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．【例3】 (1)(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( B )A ．1B ． 2C ． 3D ．2 (2)(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( C )A ．1B ．－1C ．iD ．－i (3)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( B ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析 (1)∵x ，y ∈R ，(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝ 2.故选B ．(2)∵z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴4iz z －1＝4i4＝i.故选C ．(3)∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，即4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4，解得a ＝0.1．(2017·北京卷)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( B )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析 因为z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，所以它在复平面内对应的点为(a ＋1,1－a )，又此点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0， 解得a <－1，故选B ．2．若复数z 满足(1＋2i)z ＝(1－i)，则|z |＝( C ) A ．25 B ．35 C ．105D ．10解析 z ＝1－i 1＋2i ＝－1－3i 5⇒|z |＝105.3．已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z 2的共轭复数是( B )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．1－3iD ．－1－3i解析 2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝2(1－i )(1＋i )(1－i )－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i ，故选B ．4．复数11－i (i 是虚数单位)的虚部是( C )A ．1B ．iC ．12D ．12i 解析 因为11－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＝12＋12i ，所以该复数的虚部为12，故选C ．易错点 复数的基本概念认识不清晰错因分析：①弄错虚部的概念，忽略虚部是实数，不包含虚数单位i.②忽略纯虚数中，a ＝0且b ≠0.③虚数之间不可以比较大小，如果两个复数之间可以比较大小，则一定均为实数．【例1】 若z ＝(1＋i)i(i 为虚数单位)，则z 的虚部是( ) A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i解析 ∵z ＝(1＋i)i ＝i ＋i 2＝－1＋i ，∴z 的虚部为1. 答案 A【例2】 实数m 分别取何值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i ， (1)是实数；(2)是纯虚数；(3)对应点在x 轴上方．解析 (1)由z 为实数，得m 2－2m －15＝0，解得m ＝5或m ＝－3.(2)由z 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m 2－2m －15≠0，解得m ＝－2.(3)由z 的对应点在x 轴上方，得m 2－2m －15>0，解得m <－3或m >5.【跟踪训练1】 使不等式(m 2－4m ＋3)i ＋10>m 2－(m 2－3m )i 成立的实数m ＝__3__. 解析 ∵(m 2－4m ＋3)i ＋10>m 2－(m 2－3m )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m ＋3＝0，m 2－3m ＝0，10>m 2，解得m ＝3.课时达标 第27讲[解密考纲]复数的计算以选择题或填空题的形式出现，主要考查复数的概念和复数代数形式的四则运算．一、选择题1．(2017·全国卷Ⅱ)3＋i 1＋i ＝( D )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析 3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i ，故选D ．2．(2017·全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( C ) A ．12 B ．22C ． 2D ．2解析 z ＝2i 1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i(1－i)＝1＋i ，所以|z |＝ 2.3．i 是虚数单位，若2＋i1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则lg(a ＋b )的值是( C )A ．－2B ．－1C ．0D ．12解析 ∵(2＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－i 2＝32－12i ＝a ＋b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12，∴lg(a ＋b )＝lg 1＝0，故选C ．4．(2018·甘肃兰州模拟)已知复数z ＝(a 2－1)＋(a －1)i(a ∈R )是纯虚数，则a ＝( C )A ．0B ．1C ．－1D ．±1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a －1≠0，解得a ＝－1.5．满足z ＋iz＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( B ) A ．12＋12i B ．12－12i C ．－12＋12iD ．－12－12i解析 去掉分母，得z ＋i ＝z i ，所以(1－i)z ＝－i ， 解得z ＝－i 1－i ＝12－12i ，故选B ．6．已知复数z ＝1＋a i(a ∈R )(i 是虚数单位)，zz ＝－35＋45i ，则a ＝( B ) A ．2 B ．－2 C ．±2D ．－12解析 由题意可得1－a i 1＋a i ＝－35＋45i ，即(1－a i )21＋a 2＝1－a 2－2a i 1＋a 2＝－35＋45i ，∴1－a 21＋a 2＝－35，－2a 1＋a 2＝45，∴a ＝－2，故选B ． 二、填空题7．(2017·浙江卷)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝__5__，ab ＝__2__.解析 ∵(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，∴a 2＋b 2＝5，ab ＝2.8．在复平面上，复数3(2－i )2对应的点到原点的距离为__35__. 解析 由题意可知⎪⎪⎪⎪⎪⎪3(2－i )2＝3|2－i|2＝35. 9．若复数z 满足(1＋2i)z ＝|3＋4i|(i 为虚数单位)，则复数z ＝__1－2i__. 解析 ∵(1＋2i)z ＝|3＋4i|＝5，∴z ＝51＋2i ＝5(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝1－2i. 三、解答题10．计算：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3； (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i；(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2； (4)1－3i (3＋i )2. 解析 (1)(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i －i ＝(－3＋i )i－i·i ＝－1－3i. (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i.(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i2＝－1. (4)1－3i (3＋i )2＝(3＋i )(－i )(3＋i )2＝－i 3＋i ＝－i (3－i )(3＋i )(3－i )＝－1－3i 4＝－14－34i. 11．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.∴(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i. 由于(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．12．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．解析 z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13(a ＋5)(a －1)＋(a 2＋2a －15)i.∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. ∵a ＋5≠0，∴a ≠－5，故a ＝3.。
2019届高考数学一轮复习第4单元平面向量数系的扩充与复数的引入听课学案理
第四单元平面向量、数系的扩充与复数的引入第24讲平面向量的概念及其线性运算课前双击巩固1.向量的有关概念及表示名称定义表示向量在平面中,既有又有的量用a,b,c,…或,,…表示向量的模向量a的,也就是表示向量a的有向线段的(或称模)或零向量长度为的向量用表示单位向量长度等于个单位的向量用e表示,|e|=平行向量方向或相反的非零向量(或称共线向量)a∥b相等向量相等且方向的向量a=b相反向量相等,方向的向量向量a的相反向量是说明:零向量的方向是、.规定:零向量与任一向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量的运算法则(1)加法交换律:a+b= ;(2)加法结合律:(a+b)+c=法则减法减去一个向量相当于加上这个向量的法则a-b=数乘实数λ与向量a的积是一个,这种运算叫作向量的,记作(1)|λa|=.(2)当λ>0时,λa与a的方向;当λ<0时,λa与a的方向;当λ=0时,λa=(1)对向量加法的分配律:λ(a+b)= ;(2)对实数加法的分配律:(λ1+λ2)a=3.向量的共线定理向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一的实数λ,使.常用结论1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,即+++…+=.特别地,一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.2.若P为线段AB的中点,O为平面内任意一点,则=(+).3.若A,B,C是平面内不共线的三点,则++=0⇔P为△ABC的重心.4.在△ABC中,AD,BE,CF分别为三角形三边上的中线,它们交于点G(如图4-24-1所示),易知G为△ABC的重心,则有如下结论:(1)++=0;(2)=(+);(3)=(+),=(+).图4-24-15.若=λ+μ(λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1.题组一常识题1.[教材改编]-+-+++= .2.[教材改编]如图4-24-2,D,E,F分别是△ABC各边的中点,给出下列结论:(1)=;(2)与共线;(3)与是相反向量;(4)=||.其中错误结论的序号是.图4-24-23.[教材改编]M是△ABC的边BC的中点,=a,=b,则= .4.[教材改编]向量e1与e2不共线,若a=e1-e2与b=-2e1+λe2共线,则λ=.题组二常错题◆索引:向量概念不清致误;向量相等的隐含条件挖掘不全致误.5.给出下列结论:①+=2;②已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向与向量a的方向相同;③设a0为单位向量,则平面内向量a=|a|·a0.其中正确结论的序号是.6.若四边形ABCD满足=且||=||,则四边形ABCD的形状是.7.已知向量a,b,若|a|=2,|b|=4,则|a-b|的取值范围为.课堂考点探究探究点一平面向量的基本概念1 (1)设a,b都是非零向量,下列条件中一定能使+=0成立的是()A.a=2bB.a∥bC.a=--bD.a⊥b(2)给出下列说法:①若|a|=|b|,则a=b;②若a∥b,b∥c,则a∥c;③a与b是非零向量,若a与b同向,则a与-b反向;④若与共线,则A,B,C三点在同一条直线上.其中错误说法的序号是.[总结反思] 对于平面向量的有关概念应注意以下几点:(1)平行向量就是共线向量,二者是等价的,它们均与起点无关;非零向量的平行具有传递性;相等向量一定是平行向量,而平行向量则未必是相等向量;相等向量具有传递性.(2)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负数,可以比较大小.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图像的移动混为一谈.(4)非零向量a与的关系:是与a同方向的单位向量.式题 (1)如图4-24-3,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在AD,BC 上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式中成立的是()A.=B.=C.=D.=图4-24-3(2)给出下列说法:①若A,B,C,D是不共线的四个点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量与相等;④若a=b,b=c,则a=c.其中正确说法的序号是()A.①④B.③④C.②③D.①②探究点二平面向量的线性运算考向1平面向量加减法的几何意义2 (1)[2017·南昌重点学校模拟]已知O为△ABC内一点,满足4=+2,则△AOB与△AOC的面积之比为()A.1∶1B.1∶2C.1∶3D.2∶1(2)已知△ABC,若|+|=|-|,则△ABC的形状为.[总结反思] 利用向量加减法的几何意义解决问题通常有两种方法:(1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形,再结合其他知识求解相关问题;(2)平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形的问题,可考虑利用向量知识来求解.考向2平面向量的线性运算3 (1)[2017·西宁一模]如图4-24-4所示,图4-24-4在△ABC中,点D在BC边上,且CD=2DB,点E在AD上,且AD=3AE,则=()A.+B.-C.+D.-(2)[2017·长春二模]在△ABC中,D为△ABC所在平面内一点,且=+,则=()A.B.C.D.[总结反思] 向量线性运算的解题策略:(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则.(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果.考向3利用向量的线性运算求参数4 [2017·运城三模]在△ABC中,=,P是直线BN上一点,且=m+,则实数m 的值为()A.-2B.-4C.1D.4[总结反思] 与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算,然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.强化演练1.【考向1】设D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,则+=()A.B.C.D.2.【考向1】[2017·长沙长郡中学三模]已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2++=0,则()A.=B.=2C.=3D.2=3.【考向2】在△ABC中,点D是BC的中点,点E是AC的中点,点F在线段AD上,且AF=2DF,设=a,=b,则=()A.a-bB.a-bC.a-bD.a-b4.【考向1】已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且|a-b|=,则|a+b|= .5.【考向3】[2017·山东滨州二模]如图4-24-5所示,在△ABC中,O为BC的中点,过点O 的直线分别交AB,AC所在直线于点M,N.若=m,=n,则m+n= .图4-24-5探究点三共线向量定理及应用考向1向量共线的问题5 已知e1,e2是两个不共线的向量,若a=2e1-e2与b=e1+λe2共线,则λ= ()A.-B.-2C.D.2[总结反思] 两个向量共线是指两个向量的方向相同或相反,因此共线包含两种情况:同向共线或反向共线.一般地,若a=λb(a≠0),则a与b共线:(1)当λ>0时,a与b同向;(2)当λ<0时,a与b反向.考向2三点共线的问题6 (1)已知a,b是不共线的向量,=a+5b,=-3a+6b,=4a-b,则()A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线(2)已知a,b是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则λ=()A.-1B.2C.-2或1D.-1或2[总结反思] (1)三点共线问题可转化为向量共线问题来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.根据A,B,C三点共线求参数问题,只需将问题转化为=λ,再利用对应系数相等列出方程组,进而解出系数.(2)三点共线的一个常用结论:A,B,C三点共线⇔存在实数λ,μ,对平面内任意一点O(O不在直线BC上)满足=λ+μ(λ+μ=1).强化演练1.【考向1】已知e1,e2是不共线的向量,则下列各组向量中是共线向量的有()①a=5e1,b=3e1;②a=3e1-2e2,b=-e1+e2;③a=e1+e2,b=-2e1+2e2.A.①②B.①③C.②③D.①②③2.【考向1】[2017·景德镇模拟]已知O,A,B三点不共线,P为该平面内一点,且=+,则()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的延长线上C.点P在线段AB的反向延长线上D.点P在射线AB上3.【考向1】[2017·哈尔滨三中四模]设e1,e2是不共线的向量,a=e1+ke2,b=ke1+e2,若a与b 共线,则实数k=()A.0B.-1C.-2D.±14.【考向2】已知O为△ABC内一点,且=(+),=t,若B,O,D三点共线,则t=()A.B.C.D.第25讲平面向量基本定理及坐标表示课前双击巩固1.平面向量的基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任意向量a,一对实数λ1,λ2使.其中,不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组.2.平面向量的坐标运算(1)平面向量的坐标运算向a b a+b a-bλa量坐(x1,y1) (x2,y2)标(2)向量的坐标求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则= ,||= .3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔a=λb(λ∈R)⇔.常用结论1.若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0.2.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则P点坐标为,;已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为,.题组一常识题1.[教材改编]已知向量=(-5,2),点P(2,3),则点Q的坐标为.2.[教材改编]如图4-25-1,已知向量e1,e2,a的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量a用基底e1,e2表示为.图4-25-13.[教材改编]在平面直角坐标系中,A(-1,2),B(3,1),且=3,则向量= .4.[教材改编]已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(x-y)e1+(2x+y)e2=6e1+3e2,则x+y= .题组二常错题◆索引:平面向量基本定理的前提是基底不能共线;由点的坐标求向量坐标时忽视起点与终点致误;两个向量共线的坐标表示公式掌握不牢.5.给出下列三个向量:a=(-2,3),b=1,-,c=(-1,1).在这三个向量中任意取两个作为一组,能构成基底的组数为.6.已知A(-5,8),B(7,3),则与向量共线的单位向量为.7.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则m= .课堂考点探究探究点一平面向量的基本定理1 (1)已知向量a=(3,4),若存在实数x,y,使得a=xe1+ye2,则e1,e2可以是()A.e1=(0,0),e2=(-1,2)B.e1=(-1,3),e2=(-2,6)C.e1=(-1,2),e2=(3,-1)D.e1=,e2=(1,-2)(2)[2017·珠海二模]已知D为△ABC所在平面内一点,且=3+4,若点E为直线BC 上一点,且=λ,则λ的值为()A.4B.5C.6D.7[总结反思] (1)应用平面向量基本定理表示向量,实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决问题.式题在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,BC的中点,若=λ+μ其中λ,μ∈R,则λ+μ=()A.B.2 C.D.1探究点二平面向量的坐标运算2 (1)[2017·鹰潭一中期中]已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则a-b=()A.(-2,-1)B.(-1,2)C.(-1,0)D.(-2,1)(2)已知M(-2,7),N(10,-2),点P是线段MN上的点,且=-2,则点P的坐标为()A.(-14,16)B.(22,-11)C.(6,1)D.(2,4)[总结反思] (1)利用向量的坐标运算解题,首先利用加、减、数乘运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)进行求解.(2)向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.式题 (1)[2018·石家庄二中模拟]已知向量a=(3,t),b=(-1,2),若存在非零实数λ,使得a=λ(a+b),则t=()A.6B.-6C.-D.(2)已知向量a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若a-2b+3c=0,则c=()A.B.C.D.探究点三平面向量共线的坐标表示3 (1)设k∈R,已知平面向量a=(-3,1),b=(-7,3),则下列向量中与2a-b一定不共线的向量是()A.c=(k,k)B.c=(-k,-k)C.c=(k2+1,k2+1)D.c=(k2-1,k2-1)(2)[2017·日照二模]已知点P(-3,5),Q(2,1),向量m=(2λ-1,λ+1),若∥m,则实数λ等于()A. B.-C.D.-[总结反思] (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式:①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b 的充要条件是x1y2-x2y1=0;②已知b≠0,则a∥b的充要条件是a=λb(λ∈R).(2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均为非零实数时,也可以利用坐标对应成比例来求解.式题 (1)若A(-2,3),B(3,-2),C,m三点共线,则m=()A.B.-C.-2 D.2(2)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若μa+b与a-2b平行,则μ=()A.-2B.2C.-D.第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例课前双击巩固1.平面向量的数量积(1)概念已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把数量叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b= ,并规定零向量与任一向量的数量积为,即.(2)几何意义①向量的投影:叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.②向量数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与的乘积.(3)向量的夹角已知两个向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b 的夹角.如果向量a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作.2.平面向量数量积的运算律已知向量a,b,c和实数λ.①交换律:;②数乘结合律:(λa)·b= = (λ∈R);③分配律:(a+b)·c= .3.平面向量数量积的性质设a,b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量,θ是a与e的夹角.①e·a=a·e= .②a⊥b⇔.③当a与b同向时,a·b= ;当a与b反向时,a·b= .特别地,a·a= 或|a|= .④cos θ= .⑤|a·b| |a||b|.4.平面向量数量积的有关结论已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).向量表示坐标表示向量a的|a|=|a|=模a,b的数a·b=|a||b|cos θa·b=量积a与b垂直a⊥b⇔a·b=0a⊥b⇔a,b的夹cos θ=cos θ=角常用结论1.平面向量数量积运算的常用公式:(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.2.有关向量夹角的两个结论:(1)两个向量a与b的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立(因为a与b夹角为0时不成立);(2)两个向量a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(因为a与b夹角为π时不成立).题组一常识题1.[教材改编]已知向量a=(1,-2),b=(3,-4),则a·(a-b)= .2.[教材改编]已知|a|=,|b|=,a·b=,则向量a与b的夹角为.3.[教材改编]已知=1,=2,且向量a与b的夹角为120°,则|2a-b|= .4.[教材改编]已知两个单位向量e1,e2的夹角为45°,且满足e1⊥(λe2-e1),则λ=.5.[教材改编]在长江南岸渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度为25 km/h.若渡船要垂直渡过长江,则渡船的航向应为.题组二常错题◆索引:向量的夹角没有找准导致出错;向量的数量积的几何意义不理解致误;向量的数量积的有关性质应用不熟练.6.在边长为1的等边三角形ABC中,设=a,=b,=c,则a·b+b·c+c·a= .7.已知=(2,1),点C(-1,0),D(4,5),则向量在方向上的投影为.8.若四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是.课堂考点探究探究点一平面向量的数量积的运算1 (1)[2017·长沙模拟]已知向量a=(2,-1),b=(3,x),若a·b=3,则x= .(2)[2017·江西重点中学联考]在边长为1的正三角形ABC中,设=2,=2,则·= .[总结反思] 向量数量积的运算问题可从三个方面考虑:(1)直接使用定义(已知两个向量的模与夹角)或利用数量积的坐标公式求解;(2)把两个向量各自使用已知的向量表示,再按照法则计算;(3)建立平面直角坐标系,把求解的两个向量使用坐标表示,再按照坐标法计算.式题 (1)[2017·资阳期末]已知菱形ABCD的边长为2,∠B=,点P满足=λ,λ∈R.若·=-3,则λ=()A.B.-C.D.-(2)[2017·襄阳四中月考]已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,|a-b|=7,则a·b= . 探究点二向量的夹角与向量的模考向1平面向量的模2 (1)[2017·芜湖、马鞍山联考]已知向量a=(1,-3),b=(2,m),若a∥b,则|a-2b|=()A.45B.90C.3D.3(2)[2017·河南新乡三模]已知向量,满足||=||=2,·=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),且λ+μ=1,则||的最小值为()A.1B.C.D.[总结反思] (1)利用数量积求解向量模的问题常用的公式:①a2=a·a=|a|2或|a|=;②|a±b|==;③若a=(x,y),则|a|=.(2)最值问题是在变化中求得一个特殊情况,在此情况下求解目标达到最值,因此函数方法是最基本的方法之一.考向2平面向量的垂直3 (1)已知向量a=(2,-1),b=(1,7),则下列结论正确的是()A.a⊥bB.a∥bC.a⊥(a+b)D.a⊥(a-b)(2)[2017·重庆外国语学校月考]已知向量a=(5,m),b=(2,-2),(a+b)⊥b,则m=()A.-9B.9C.6D.-6(3)如图4-26-1所示,等腰梯形ABCD中,AB=4,BC=CD=2,若E,F分别是BC,AB上的点,且满足==λ,当·=0时,则λ的值为.图4-26-1[总结反思] (1)当向量a与b是坐标形式时,若证明a⊥b,则只需证明a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.(2)当向量a,b是非坐标形式时, 要把a,b用已知的不共线向量作为基底来表示,且不共线的向量要知道其模与夹角,进行运算证明a·b=0.(3)数量积的运算a·b=0⇔a⊥b是对非零向量而言的,若a=0,虽然有a·b=0,但不能说a⊥b.考向3平面向量的夹角4 (1)[2017·北京朝阳区期末]已知平面向量a=(1,0),b=-,,则a与a+b的夹角为()A. B.C.D.(2)已知向量a=(m,3),b=(,1),若向量a,b的夹角为30°,则实数m= .(3)[2017·四川绵阳中学模拟]平面向量a=(1,2),b=(6,3),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角与c与b的夹角相等,则m= .[总结反思] (1)研究向量的夹角应注意“共起点”;两个非零共线向量的夹角分别是0°与180°;求角时,注意向量夹角的取值范围是[0,π];若题目给出向量的坐标表示,可直接利用公式cos θ=求解.(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角.强化演练1.【考向1】已知向量a,b满足=2,=3,向量a与b的夹角为60°,则|a-b|=()A.B.19C.D.72.【考向3】已知向量a=,,b=(,-1),则a与b的夹角为()A. B.C. D.3.【考向3】[2018·益阳调研]已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a+b=(1,),记向量a,b 的夹角为θ,则tan θ=.4.【考向2】[2018·德州期中]已知向量与的夹角为60°,且||=2,||=1,若=λ+,且⊥,则实数λ的值是.5.【考向1】已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为.6.【考向3】△ABC的外接圆的半径为1,圆心为O,且2++=0,||=||,则·= .探究点三平面向量与三角函数的综合5 [2018·洛阳期中]已知向量a=(sin x,-),b=(1,cos x).(1)若a⊥b,求tan 2x的值;(2)令f(x)=a·b,把函数f(x)的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半(纵坐标不变),再把所得的图像沿x轴向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)的单调递增区间及其图像的对称中心.[总结反思] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路:(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立的条件,得到三角函数的关系式,然后求解;(2)给出用三角函数表示的向量坐标,求解的是向量的模或者其他向量的表达式,经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性求得值域等.式题已知向量a=(sin x,cos x),b=(-1,1),c=(1,1),其中x∈[0,π].(1)若(a+b)∥c,求x的值;(2)若a·b=,求sin x+的值.第27讲数系的扩充与复数的引入课前双击巩固1.复数的有关概念(1)复数的概念形如a+b i(a,b∈R)的数叫作复数,其中a,b分别是它的和.若,则a+b i为实数;若,则a+b i为虚数;若,则a+b i为纯虚数.(2)复数相等:a+b i=c+d i⇔ (a,b,c,d∈R).(3)共轭复数:a+b i与c+d i共轭⇔(a,b,c,d∈R).(4)复数的模:向量=(a,b)的模r叫作复数z=a+b i(a,b∈R)的模,记作或,即|z|=|a+b i|= .2.复数的几何意义(1)复数z=a+b i←复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).(2)复数z=a+b i(a,b∈R)←平面向量.3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+b i,z2=c+d i(a,b,c,d∈R),则①加法:z1+z2=(a+b i)+(c+d i)= ;②减法:z1-z2=(a+b i)-(c+d i)= ;③乘法:z1·z2=(a+b i)·(c+d i)= ;④除法:=== (c+d i≠0).(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2= ,(z1+z2)+z3= .常用结论1.(1±i)2=±2i,=i,=-i.2.i4n=1, i4n+1=i, i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*);i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).3.z·=|z|2=||2,|z1·z2|=|z1|·|z2|,=,|z n|=|z|n.4.复数加法的几何意义:若复数z1,z2对应的向量,不共线,则复数z1+z2是以,为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.5.复数减法的几何意义:复数z1-z2是-=所对应的复数.题组一常识题1.[教材改编]若复数z=a2-a-2+(a+1)i为纯虚数,则实数a的值为.2.[教材改编]复数z=(x+1)+(x-2)i(x∈R)在复平面内所对应的点在第四象限,则x的取值范围为.3.[教材改编]已知i是虚数单位,则复数= .题组二常错题◆索引:将复数a+b i(a,b∈R)的虚部误认为是b i;将复数在复平面内所对应的点的位置弄错;错用虚数单位i的幂的性质.4.已知复数z=,则z的共轭复数的虚部为.5.已知复数z在复平面内对应的点落在虚轴上,且满足|z-1|=3,则z= .6.若复数z满足=i2018+i2019(i为虚数单位),则z= .课堂考点探究探究点一复数的有关概念1 (1)[2017·河南六校联考]设复数z=(i为虚数单位),则z的虚部是 ()A.-1B.1C.-iD.i(2)若复数(b∈R,i为虚数单位)的实部和虚部互为相反数,则b= .[总结反思] 复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等,在解题中要注意辨析概念的不同,灵活使用条件得出符合要求的解.式题 (1)[2017·烟台一模]设i是虚数单位,若复数a+(a∈R)是纯虚数,则a=()A.-1B.1C.-2D.2(2)已知复数z=是纯虚数(其中i为虚数单位,a∈R),则z的虚部为()A.1B.-1C.iD.-i探究点二复数的几何意义2 (1)在复平面内,复数对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)[2017·保定一模]在复平面内,若O(0,0),A(2,-1),B(0,3),则在▱OACB中,点C所对应的复数为()A.2+2iB.2-2iC.1+iD.1-i[总结反思] (1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系,即z=a+b i(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔.(2)复数的几何意义:复数z在复平面内对应的点的坐标就是向量的坐标,对于复数z=a+b i(a,b∈R),其在复平面内对应的点的坐标是(a,b).复数的模即为其对应向量的模.式题 (1)[2017·赣州二模]已知复数z满足(1-i)2·z=1+2i,则复数在复平面内对应的点为()A.B.C.D.(2)[2017·南宁二模]复数(a∈R)在复平面内对应的点在第一象限,则a的取值范围为()A.a<0B.0<a<1C.a>1D.a<-1探究点三复数的代数运算3 (1)[2017·全国卷Ⅱ] (1+i)(2+i)= ()A.1-iB.1+3iC.3+iD.3+3i(2)若复数(1+m i)(3+i)(i是虚数单位,m∈R)是纯虚数,则=()A.1B.2C.3D.4[总结反思] (1)把i看作一个字母,复数的代数形式的四则运算类似于多项式的四则运算;(2)在只含有z的方程中,z类似于代数方程中的x,可直接求解;(3)在含有z,,|z|中至少两个的复数方程中,可设z=a+b i,a,b∈R,变换方程,利用两复数相等的充要条件得出关于a,b的方程组,求出a,b,从而得出复数z.式题 (1)[2017·合肥质检]已知i为虚数单位,则=()A. B.C.D.(2)[2017·全国卷Ⅲ]设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()A.B.C.D.2第四单元平面向量、数系的扩充与复数的引入1.编写意图本单元内容是高中数学中的工具性知识,在近几年高考中主要考查三个方面:一是平面向量本身知识的基础题,多以选择题、填空题的形式出现,难度不大;二是以向量作为工具,考查与其他知识点的交汇与整合,以解答题为主;三是复数的概念及其运算,大多为选择题,较为简单.因此,编写时主要考虑以下几方面:(1)每课时的例题、习题以巩固基础知识为主,重点是引导学生用向量知识解决有关长度、夹角、垂直等问题,掌握应用向量知识解决这类问题的方法;(2)适当配备平面向量综合问题的“新热点”题型,其形式为向量与其他知识的综合,但严格控制难度,用于加强学生对各个知识点之间联系的渗透,构建知识网络,提高综合应用能力;(3)复数考查基本运算,要掌握常规方法和常规运算.2.教学建议本单元的内容着重体现其应用性、工具性,复习中应注意下面几点:(1)向量的运算在高考中一定会有考查,并且难度较大,在复习中要注意对该部分知识进行拓展和提升;(2)向量的数量积在高考中一般会考查一道选择题或者填空题,在大题中也有涉及,但是考查难度不大,注意常规方法和常规运算的训练;(3)复数在高考中一般位于前几道题的位置,难度不大,注意基本概念的理解和基本运算的训练.3.课时安排本单元共4讲和一个小题必刷卷(七),每讲建议1课时完成,小题必刷卷(七)课外完成,共需4课时.第24讲平面向量的概念及其线性运算考试说明 1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.2.理解向量的几何意义.3.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.4.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.5.了解向量线性运算的性质及其几何意义.考情分析考点考查方向考例考查热度平面向量的概念概念辨析、应用等★☆☆平面向量的线性运算加、减、数乘运算及其应用2016全国卷Ⅱ3,2015全国卷Ⅰ7★★☆共线向量根据向量共线确定参数值、应用等2015全国卷Ⅱ13 ★☆☆真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2015·全国卷Ⅰ]设D为△ABC所在平面内一点,=3,则()A.=-+B.=-C.=+D.=-[解析] A由题意知=+=+=+(-)=-+.2.[2015·全国卷Ⅱ]设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=. [答案][解析] 因为λa+b与a+2b平行,所以存在唯一实数t,使得λa+b=t(a+2b),所以解得λ=t=.■ [2016-2015]其他省份类似高考真题[2016·北京卷]设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[解析] D若|a|=|b|成立,则以a,b为邻边组成的平行四边形为菱形,a+b,a-b表示的是该菱形的对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以|a+b|=|a-b|不一定成立,从而不是充分条件;反之,若|a+b|=|a-b|成立,则以a,b为邻边组成的平行四边形为矩形,矩形的邻边不一定相等,所以|a|=|b|不一定成立,从而不是必要条件.故选D.【课前双基巩固】知识聚焦1.大小方向大小长度|a| || 001 1相同长度相同长度相反-a 不确定的任意的平行2.和三角形平行四边形b+a a+(b+c)相反向量三角形a+(-b)向量数乘λa|λ||a|相同相反0λa+λbλ1a+λ2a3.b=λa对点演练1.[解析] -+-+++=(++++)-(+)=.2.(4)[解析] 根据向量的概念可知(4)错误.3.(a+b)[解析] ∵+=,+=,=-,∴=(+)=(a+b).4.2[解析] 因为e1与e2不共线,且a=e1-e2与b=-2e1+λe2共线,所以存在μ∈R,使e1-e2=μ(-2e1+λe2)=-2μe1+μλe2,得所以λ=2.5.②[解析] 对于①,由于与是相反向量,所以+=0,①错误;对于②,由于a∥b且|a|>|b|>0,所以当a,b同向时,a+b的方向与a的方向相同,当a,b反向时,a+b的方向仍与a的方向相同,②正确;对于③,因为不确定a0的方向与a的方向是否相同,所以③错误.6.等腰梯形[解析] =表示与共线,但||≠||,所以四边形ABCD是梯形,又||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形.7.[2,6][解析] 当a与b方向相同时,|a-b|=2,当a与b方向相反时,|a-b|=6,当a与b不共线时,2<|a-b|<6,所以|a-b|的取值范围为[2,6].此题易忽视a与b方向相同和a与b方向相反两种情况.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)将已知等式整理成a=λb的形式,再根据向量共线定理判断;(2)利用平面向量的有关概念判断.(1)C(2)①②[解析] (1)由+=0得=-≠0,即a=-·|a|≠0,则a与b共线且方向相反,因此当向量a与b共线且方向相反时,能使+=0成立.选项A中向量a与b的方向相同,选项B中向量a与b共线,方向相同或相反,选项C中向量a与b的方向相反,选项D中向量a与b互相垂直,故选C.(2)①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.②不正确.当b=0时,a∥b,b∥c,但a与c不一定平行.③正确.a与b是非零向量,b与-b反向,若a与b同向,则a与-b反向.④正确.因为与共线,且与有公共点B,所以A,B,C三点在同一条直线上.变式题(1)D(2)A[解析] (1)A中,与的长度相等,但方向不同,所以A错误;B中,与的长度相等,但方向不同,所以B错误;C中,与的长度相等,但方向相反,所以C错误;D中,与的长度相等,方向也相同,即=.故选D.(2)对于①,因为=,所以||=||且与共线,又因为A,B,C,D是不共线的四个点,所以四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则与共线且||=||,所以=,故①正确.根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误.向量与互为相反向量,故③错误.对于④,因为a=b,所以a,b的长度相等且方向相同,又b=c,所以b,c的长度相等且方向相同,所以a,c的长度相等且方向相同,即a=c,故④正确.故选A.。
2019届高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与
第4讲 数系的扩充与复数的引入
1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中 a，b 分别是它的实部和虚部．若 b＝0，则 a＋bi 为实数；若 b≠0， 则 a＋bi 为虚数；若 a＝0 且 b≠0，则 a＋bi 为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c， d∈R)．
(4)复数的模：向量O→Z的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的 模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2. 2．复数的几何意义 (1)复数 z＝a＋bi―→复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)―→平面向量O→Z.
3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：zz21＝ac＋＋dbii＝（（ac＋＋dbii））（（cc－－ddii））＝acc2＋＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i(c ＋di≠0)．
3．已知复数 z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平 面上对应的点分别为 A，B，C，若O→C＝λO→A＋μO→B(λ，μ∈R)， 则 λ＋μ 的值是____1____．
[解析] 由条件得O→C＝(3，－4)，O→A＝(－1，2)，
2019届高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与
内容
要求
A
B
C
平面向量的概念
√
平面向量的加法、减法 √
及数乘运算
1．平面向量 平面向量的坐标表示 平面向量的数量积
√ √
平面向量的平行与垂直
√
平面向量的应用
√
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
内容 复数的概念 2．复 数 复数的四则运算 复数的几何意义
则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|，因此，A→B＝D→C. ③正确．因为 a＝b，所以 a，b 的长度相等且方向相同， 又 b＝c，所以 b，c 的长度相等且方向相同， 所以 a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a＝b，故|a|＝|b|且 a∥b 不是 a＝b 的充要条件，而是必要不 充分条件． ⑤不正确．未考虑 b＝0 这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是②③.
－1＝μλ 所以 λ＝2.
1．必明辨的 2 个易错点 (1)在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则 λ 可能不 存在，也可能有无数个． (2)注意向量共线与三点共线的区别与联系.
2．常用的 2 个结论 (1)向量的中线公式 若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内一点，则O→P＝12(O→A＋ O→B)． (2)三点共线等价关系 A，P，B 三点共线⇔A→P＝λA→B(λ≠0)⇔O→P＝(1－t)·O→A＋tO→B(O 为平面内异于 A，P，B 的任一点，⇔O→P＝xO→A＋yO→B(O 为 平面内异于 A，P，B 的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．
准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对 相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行 否定也是行之有效的方法．
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第28讲数列的概念与简单表示法[解密考纲]本考点考查数列的概念、性质、通项公式与递推公式，近几年对由递推公式求项、求和加大了考查力度，而对由递推公式求通项减小了考查力度，一般以选择题、填空题的形式出现．一、选择题1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－3n ，若它的第k 项满足2<a k <5，则k ＝( C ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－3n .令n ＝1，可得S 1＝a 1＝1－3＝－2.a n ＝S n －S n －1＝n 2－3n －[(n －1)2－3(n －1)]＝2n －4，n ≥2.n ＝1时满足a n 与n 的关系式，∴a n ＝2n－4，n ∈N *.它的第k 项满足2<a k <5，即2<2k －4<5，解得3<k <4.5. ∵n ∈N *，∴k ＝4，故选C ．2．若数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝4－a n (n ∈N *)，则a 5＝( D ) A ．16 B ．116 C ．8D ．18解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4－a 1，∴a 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a n －1－a n ，∴2a n＝a n －1，∴数列{a n }是以2为首项，以12为公比的等比数列，∴a 5＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝18，故选D ．3．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n (n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝( D ) A ．10 B ．15 C ．－5D ．20解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－3n －[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5；当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1也符合，∴a n ＝4n －5，∴a p －a q ＝4(p －q )＝20.4．数列{a n }中，a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( B ) A ．76 B ．78 C ．80D ．82解析 由已知a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，① 得a n ＋2＋(－1)n ＋1a n ＋1＝2n ＋1，②由①②得a n ＋2＋a n ＝(－1)n(2n －1)＋(2n ＋1)，取n ＝1,5,9及n ＝2,6,10，结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78，故选B ．5．把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为表示这些数的黑点可以排成一个正三角形(如图所示)．则第七个三角形数是( B ) A ．27 B ．28 C ．29D ．30解析 观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可．根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.6．在数列{a n }中，a 1＝2，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2(n ∈N *)，则a 10＝( C ) A ．34 B ．36 C ．38D ．40解析 ∵na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2，∴a n ＋1n ＋1－a n n ＝2n n ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴a 1010＝a 1010－a 99＋a 99－a 88＋…＋a 22－a 11＋a 1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫19－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫18－19＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋2＝3810.∴a 10＝38，故选C ． 二、填空题7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3－3×2n (n ∈N *)，则a n ＝__－3×2n －1(n ∈N *)__.解析 分情况讨论：①当n ＝1时，a 1＝S 1＝3－3×21＝－3；②当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3－3×2n)－(3－3×2n －1)＝－3×2n －1.综合①②，得a n ＝－3×2n －1(n ∈N *)．8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝__⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2__.解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.9．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 1＝1，a n a n ＋1＝3n(n ∈N *)，则S 2 018＝__2×31_009－2__.解析 由a n a n ＋1＝3n知，当n ≥2时，a n a n －1＝3n －1.所以a n ＋1a n －1＝3，所以数列{a n }所有的奇数项构成以3为公比的等比数列，所有的偶数项也构成以3为公比的等比数列．又因为a 1＝1，所以a 2＝3，a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝3n.所以S 2 018＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 018)＝1×－31 0091－3＋－31 0091－3＝2×31 009－2.三、解答题10．已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ；(2)若S n ＝3n＋2n ＋1，求a n .解析 (1)因为a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1)＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)]＝(－1)n ＋1·(2n －1)，又a 1也适合此式，所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)．(2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2×3n －1＋2，由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2×3n －1＋2，n ≥2.11．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式． 解析 (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2，同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝a n 2＋12a 2n ，①当n ≥2时，S n －1＝a n －12＋12a 2n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n . 12．根据下列条件，求数列{a n }的通项公式．(1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n； (2)在数列{a n }中，a 1＝4，a n ＋1＝n ＋2na n ； (3)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1.解析 (1)由a n ＋1－a n ＝2n，把n ＝1,2,3，…，n －1(n ≥2)代入，得(n －1)个式子，累加即可得(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋22＋23＋…＋2n －1，∴a n －a 1＝－2n －11－2＝2n －2，∴a n ＝2n －2＋a 1＝2n－1.当n ＝1时，a 1＝1也符合，∴a n ＝2n－1(n ∈N *)． (2)由递推关系a n ＋1＝n ＋2n a n ，a 1＝4，有a n ＋1a n ＝n ＋2n. 于是有a 2a 1＝3，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n －1a n －2＝n n －2，a n a n －1＝n ＋1n －1，将这(n －1)个式子累乘，得a n a 1＝n n ＋2.∴当n ≥2时，a n ＝n n ＋2a 1＝2n (n ＋1)．当n ＝1时，a 1＝4符合上式，∴a n ＝2n (n ＋1)(n ∈N *)． (3)由a n ＋1＝2a n ＋1，得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)． 令b n ＝a n ＋1，∴{b n }是以2为公比的等比数列． ∴b n ＝b 1·2n －1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n ＋1.∴a n ＝b n －1＝2n ＋1－1(n ∈N *)．。