量子力学的态空间

这里，我们得到的结果是：三维 Euclidian 空间的基矢可由 3 3 矩阵（或称为算符） Rz ( ) 的本征值方程决定，Rz ( ) 的不同本征值数目的最大值正好是空间维数的值， 而属于不同本 征值的本征矢相互正交，可归一化，从而构成整个空间的一组基矢。
刘觉平，量子力学讲义
电子的自旋空间 描述电子自旋的可观察量可用三个自旋算符 S x 、 S y 和 S z 来描述，它们作用于电子的自旋 空间（Hilbert 空间） ，由下述本征值方程定义
i j
n
ห้องสมุดไป่ตู้


n
（1.3.12）
:
n
i
i
b
i
i
（1.3.13）
这说明：如果

i 1
bi 0 ， 则 所 有 的 组 合 系 数 bi 都 等 于 零 ； 因 而 ， n 个 线 性 映 射
n

i
, i 1, 2, , n 是两两相互线性独立的。所有形如 i bi 的线性映射构成一矢
* *
X † † X
如果有 A A ，则称 A 为 Hermitian 算符。
†
（1.3.33）
（1.3.25）
有，A B
C
( AB ) AB A( B )
上述手续也可以对左矢空间施行。例如，我们有
（1.3.26）
AB ( A) B ( AB)
（1.3.27）
一般而言，算符之间的乘法不满足交换律，即 AB BA 。但自然满足结合律
它们的任意线性组合
n

j
i j i j , j 1, 2, , n
（1.3.9）
i bi
i 1
（1.3.10）
将 H 中的任一 ket
ai i
i 1
n
（1.3.11）
映射到复数空间
:
特别地



i j bi ai bi a j i 1 i , j 1
刘觉平，量子力学讲义
§1-3. 量子力学的态空间（Hilbert 空间）与可观察量 1. 右矢空间（ket space）及其表象 Stern－Gerlach 实验（和其它相关实验）告诉我们： a) 存在复矢量空间（ Hilbert 空间） ，量子力学中的物理状态由 Hilbert 空间 H ( 字体： Monotype Corsiva)中的一个态矢量如 ） ；当 c 0 时， 和 c 表示（称为右矢（ket）
1,
0,
0,
1 , 2 1 Sy; i , 2 Sx ;
Sx ;
1 , 2 1 Sy; i . 2
（1.3.3）
右矢空间（ket space）的表象 一般而言，任何作用在 Hilbert 空间 H 中的可观察量或线性算符 A，都是从 H 到 H 自 身的线性映射
1 Sx Sx , Sx , , 2 1 （1.3.1） Sy Sy , Sy , , 2 1 Sz , Sz , 2 这个本征值方程的含义是：如果电子处于 S z 的本征态 即其自旋朝上，则在测量 S z （例 ˆ 装置）后，它的自旋仍然朝上，仍处于态 ，余类推。本征值方程是线性方程： 如通过 SGz
c1 e i , c2 ei , c3 1
相应的本征矢（零矢不是本征矢）分别为
1/ 2 1/ 2 0 1 1 ˆ ˆ1 i / 2 ˆx ie ˆy ), v ˆ2 i / 2 ˆx ie ˆy ), v ˆ3 0 e v (e (e z 2 2 1 0 0 ˆi 相互正交且归一（是单位矢量） ˆi 是坐标系 S-xyz 的 3 个坐标轴方向（基矢） 式中， e 。v ˆi v ˆ j ij , i, j 1, 2,3 v
1
其中，
（1.3.24）
1

被称为
的归一化常数。
3. 算符的运算 若
H 有 A B ，则两算符 A 和 B 被称为相等， A B 。如果 H 有
ˆ。 A 0， 则 A 是零算符，A 0 可用态矢之间的加法来定义算符之间的加法。 若对于 H
ABC A( BC ) ( AB)C
（1.3.28）
刘觉平，量子力学讲义
对于任意的态矢
和 以及任意的复数 c 和 c ，若
A c c
c

A c A
* A c A
（1.3.29）
则算符 A 被称为是线性的；若
A c c
乘以任一非零复数都是方程 S z
1 的解。因此，可限制 的模为 1，而本征 2
值不同的本征矢 是互斥（相互正交）的，按照 Dirac 记号法（见下文） ，可写为 （1.3.2） 1 对照三维 Euclidian 空间基矢的正交归一关系，可推知， 可视为具有自旋 1/2 系统 Hilbert 空间 H 的正交归一基矢（这一组基矢习惯上被称为 S z 表象） 。事实上，同一自旋 1/2 系统 Hilbert 空间 H 的任一态矢都可以表示为 的线性组合，例如
cos Rz ( ) sin 0
容易验证
sin cos 0
0 0 1
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 0 0 i i Rz ( ) i / 2 e i / 2 , Rz ( ) i / 2 e i / 2 , Rz ( ) 0 0 1 1 0 0 0 0 ˆi ci v ˆi 有三个不同的本征值 可见，本征值方程 Rz ( )v
代表相同的物理状态，只有这个矢量的方向是有意义的。我们处理的其实是只有方向、而 不能计其长短的射线（或称为 ray 矢量） ，而不是既有方向、又有长度的矢量。之所以如此， 是因为在量子力学中不考虑粒子束的强度， 即不考虑一个个单粒子 （假定它们之间没有相互 作用）依次作用的纯粹的累加效应。 b) 任何可观测量 A ，例如自旋角动量或动量，都可以用一个作用于 Hilbert 空间的（线性） 算符表示；可观测量 A 某次的测量值是其本征值。 三维 Euclidian 空间的基矢 在三维 Euclidian 空间取一右旋正交坐标系 S-xyz。考虑绕 z-轴沿逆时针方向转 角的一个转 动 Rz ( ) ，它在三维 Euclidian 空间可表示为
都成立。因而

i 1
n
i
i 1
（1.3.17）
式右端的 1 是作用在 Hilbert 空间 H 上的单位算符。 （1.3.18）式也称为完备性关系或完全性 关系（completeness relation 或 closure） 。 对偶变换 变换
H ci i ci* i H *
N
（1.3.19）
＝ i
i 1
N
1 i ( 1 , 2 ,) 2
N
可见
＝ i
*
i 1
N
*
i i i
* i 1
（1.3.20）
任一态矢与自身的内积为


2
（1.3.22）
和 满足 0 ，则这两个矢量相互正交。对于任何不为零矢量的
： ，可以如下构造归一化矢量 1


（1.3.23）
它满足归一化条件（注意：这里限于考虑分离谱情形，即算符的本征值只取分立值，不取连 续值）
i 1 i 1
N
N
（1.3.18）
被称为对偶变换。 由于存在复数共轭， 对偶变换不是线性变换。 任意两个 kets
ci i
i 1
N
和
di i 的内积被定义为 的对偶 和 的内积
i 1
N

它可表示为


dici
i 1
c

*
（1.3.30）
则算符 A 被称为是反线性的。时间反演算符就是反线性的。以后除非特别声明，我们一般 只讨论线性算符。对于算符
，有
（1.3.31）
( )
定义：在对偶变换（DC）下
X X†
†
（1.3.32）
*
式中， X 被称为算符 X 的 Hermitian 共轭。由于 H 与 H 是互对偶的（即 H 的对偶空间 是 H ， H 的对偶空间是 H ） ，我们有
（1.3.6）
i
必定存在 n 个相互正交的归一本征矢
i j ij , i, j 1, 2, , n
这一组正交归一本征矢
i
可视为 Hilbert 空间的一组基矢，这一组基矢为 被称为
都可以按这组基矢展开
A-表象。在 A-表象中，Hilbert 空间中的任一矢量
A:
H H
A , H
在量子力学中，起重要作用的是算符 A 的不动点方程，即本征值方程
（1.3.4）
A i i i
式中，数 i 是本征值，态矢
（1.3.5）
i 0 ，被称为本征值为 i 的本征矢。按照线性代数的理论 i ，它们满足正交归一关系
ci 0
2 i 1
N
（1.3.21）
刘觉平，量子力学讲义
式中，当且仅当