四章 量子力学中的力学量的算符表示
量子力学中的量子力学力学运算符与本征态
量子力学中的量子力学力学运算符与本征态量子力学是物理学中的一个重要分支，用于描述微观领域中粒子的行为。
在量子力学中，运算符是极为关键的概念，它们用于描述物理量的测量与演化。
本文将介绍量子力学中的力学运算符以及与之相关的本征态。
一、力学运算符的定义与性质力学运算符是用于描述物理量的数学对象，它们作用于波函数上，从而得到对应物理量的值。
常见的力学运算符包括位置运算符、动量运算符和能量运算符等。
1. 位置运算符在一维情况下，位置运算符x的定义为：xψ(x)=x⋅ψ(x)其中x是位置算子，ψ(x)是波函数。
位置运算符的本征态即为位置本征态，记作|x⟩，满足：x⋅|x⟩=x⋅|x⟩2. 动量运算符动量运算符p的定义为：pψ(x)=−iℏ∂ψ(x)∂x其中p是动量算子，ψ(x)是波函数，ℏ是约化普朗克常数。
动量运算符的本征态即为动量本征态，记作|p⟩，满足：p⋅|p⟩=p⋅|p⟩3. 能量运算符能量运算符H的定义为：Ĥψ(x)=Eψ(x)其中H是能量算子，E是对应的能量本征值，ψ(x)是波函数。
能量运算符的本征态即为能量本征态，记作|E⟩，满足：Ĥ⋅|E⟩=E⋅|E⟩二、力学运算符与本征态的性质力学运算符与其对应的本征态有一些重要性质。
1. 完备性对于任意一个在相应希尔伯特空间中可归一化的波函数ψ(x)，可以表示为本征态的线性组合：ψ(x)=∫c(p)⋅|p⟩dp其中c(p)是系数函数，p是动量变量。
这表明本征态构成了一个完备的基组，可以用来展开任意波函数。
2. 正交性不同本征态之间是正交的，即：⟨p|q⟩=δ(p−q)⟨E′|E⟩=δ(E′−E)这意味着不同本征态表示的物理态之间是正交的。
3. 物理量的测量在量子力学中，物理量的测量结果为其对应本征值。
测量位置时，结果为本征态|x⟩对应的位置本征值x。
测量动量时，结果为本征态|p⟩对应的动量本征值p。
测量能量时，结果为本征态|E⟩对应的能量本征值E。
三、例子与应用量子力学中的力学运算符与本征态在各个物理学领域中都有广泛的应用。
量子力学中力学量
位置期望值与测量
误差
位置期望值的测量误差取决于粒 子所处的量子态，对于某些特殊 量子态，位置期望值的测量误差 可能非常大。
03 动量算符与动量期望值
动量算符的定义与性质
动量算符
在量子力学中，动量算符是用来描述粒子动量的算符，其定义为-iℏ∂/∂x，其中ℏ是 约化普朗克常数，∂/∂x是偏导数算子。
自旋算符在量子力学中具有重要 的意义，因为粒子的自旋是一种 内禀自由度，与粒子的其他自由
度一样重要。
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02 位置算符与位置期望值
位置算符的定义与性质
位置算符
在量子力学中，位置算符是一个线性算子，用于描述粒子在空间中的位置状态。
位置算符的性质
位置算符具有连续性和对称性，其本征值和本征函数分别表示粒子的位置和概 率幅。
位置期望值的计算与意义
位置期望值
在量子力学中，位置期望值是指粒子在某个时刻 处于空间某点的概率幅的平均值。
04 角动量算符与角动量期望 值
角动量算符的定义与性质
定义
角动量算符是描述粒子角动量的物理量，通常用L表示。
性质
角动量算符具有旋转不变性，即系统绕某轴旋转时，角动量算符的值不会改变。此外，角动量算符还 具有对易关系，即L_x、L_y、L_z三个分量之间相互独立且不对易。
角动量期望值的计算与意义
性质
动量算符是线性算符，具有可对易性、连续性和时间演化等性质，这些性质在量 子力学中具有重要意义。
动量期望值的计算与意义
计算
动量期望值是描述粒子动量的统计平均值，可以通过将粒子态函数代入动量算符进行计算。
意义
动量期望值可以反映粒子在某一时刻的平均动量，对于理解量子力学中的波粒二象性以及测量问题具有重要意义。
量子力学中的量子力学力学量的表示
量子力学中的量子力学力学量的表示量子力学是描述微观世界的物理学理论，它提供了一种描述粒子性质的数学框架。
在量子力学中，力学量是描述系统状态的物理量。
本文将探讨在量子力学中，如何表示力学量以及不同力学量的物理意义。
一、力学量的表示在经典物理学中，力学量通常可以用数值来表示，例如质量、速度、位移等。
然而，量子力学中的力学量不能简单地用数值表示，而是需要用算符表示。
力学量的算符通常用大写字母表示，比如位置算符X，动量算符P等。
对于某个具体的力学量，它的算符作用在波函数上，得到的结果是该力学量对应的本征值乘以波函数。
这可以用数学表达式表示为：AΨ = aΨ其中A是力学量的算符，Ψ是波函数，a是力学量的本征值。
这个方程称为力学量的本征值方程。
二、不同力学量的表示1. 位置算符在量子力学中，粒子的位置可以用位置算符X来表示。
位置算符的本征态是位置本征态，它表示粒子在某个确定的位置。
对于一维情况，位置本征态的波函数可以写为：Ψ(x) = δ(x - x0)其中x0是位置本征态对应的位置。
2. 动量算符动量算符P描述粒子的运动状态。
动量算符的本征态是动量本征态，它表示粒子具有某个确定的动量。
对于一维情况，动量本征态的波函数可以写为：Ψ(p) = e^(ipx/ħ)其中p为动量本征态对应的动量，ħ为普朗克常数除以2π。
3. 能量算符能量是量子力学中的另一个重要的力学量。
能量算符H描述粒子的能量状态。
能量算符的本征态是能量本征态，它表示粒子具有某个确定的能量。
能量本征态的波函数可以写为：Ψ(E) = e^(-iEt/ħ)其中E为能量本征态对应的能量，t为时间。
三、力学量的测量和物理意义在量子力学中，力学量的测量是通过对算符的作用得到的本征值来实现的。
当对某个力学量进行测量时，系统将处于该力学量的某个本征态上，从而得到相应的本征值。
力学量的本征值对应着可能的测量结果。
例如，对位置算符进行测量，可以得到粒子的位置值；对动量算符进行测量，可以得到粒子的动量值。
量子力学试题含答案
一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。
2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。
3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。
4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。
5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。
7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。
8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。
9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。
10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。
二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。
力学的算符表示和表象
(18)
对于 p y ， p z 也有同样的等式。如果 G px 是 p x 的解析函数，且可展成 p x 的幂级数 G p x Cn p x n (19)
n
则有
n ˆx G px G px Cn * r , t p r , t dr n
(1)
等均代表对 的运算。概括起来讲，设某种运算将函数 变为函数 u，记作
ˆ u Fv
ˆ 称作算符。若算符 F ˆ 满足 则表示这种运算的符号 F
(2)
ˆ c v c v c F ˆ ˆ F 1 1 2 2 1 v1 c2 Fv2
(3)
ˆ 为线性算符。动量算符， 其中 v1 和 v2 是任意函数， c1 和 c2 是常数（一般为复数） ，则称 F
(3)
（二）再论(归一化的) r , t 和 C r , t 的物理意义
2 2
与波函数相联系的粒子，一般既不具有精确的位置，有不具有精确的动量。一般 地，对于 ψ 表示的单个粒子系统，要对该粒子的动力学变量中的这个或者那个做测量 时，我们不能对测量结果做确定的预言，但是对于 N 个大量数目、彼此独立的等价系统 （每个系统都由同一波函数 ψ 描述） ，如果我们对它们中的每一个做位置测量，则 给
（一）统计平均值的意义
如果通过一系列的实验测定系统的一个状态参量 ξ，得到相应的值为 A1,A2……AS，在 总的试验次数 N 中，得到这些值的次数分别是 N1,N2,……NS，则 ξ 的（算数）平均值为
AN
i 1 s i
s
i
N
i 1
Ai
i 1
s
Ni N
(1)
i
当总的试验次数 N 时，量 ξ 的平均值的极限便是ξ的统计平均值
关于量子力学中的算符
关于量子力学中的算符1对微观粒子的力学量不能用经典的方法来描述，而引入了一种新的数学手段——力学量用算符来表示，这实际上是量子力学的基本假设之一。
2在物理学中，只有其平均值为实数的算符才能表示量子力学中的力学量。
厄米算符的平均值是实数，因此，表示力学量的算符必须是厄米算符。
3由于量子力学中的态满足迭加原理，所以表示力学量的算符还应当是线性的。
4线性厄米算符作用在波函数上，其物理意义为：在波函数所描述的状态下，对微观粒子的某个力学量F进行测量，在测量过程中可能会出现不同的结果，但对同一状态进行多次测量，力学量F的平均值将趋于一个确定的值A。
而每一次测量结果相对于平均值都有一个误差∆F-=FFˆ来表示力学量的偏差，故力学量均方偏差的平均值为在量子力学中，引入算符F∆ˆFF-=由力学量算符的厄米性，上式可写成5在对微观粒子的不同力学量同时进行测量时，一般是不可能使每个力学量都获得准确的值的，即使是从理论上也是如此。
这与所用实验仪器的精度或实验者的能力无关，而是微观粒子的二象性所带来的必然结果，这就是量子力学中的不确定关系。
不确定关系指出了用经典方法描述微观粒子所产生误差的极限，以精炼的数学形式反映了微观粒子的二象性，是量子力学中的一个十分重要的原理。
算符理论对此关系给出了严格的证明，并以其独特的表达方式给出了不同力学量和其算符间的联系：6 所谓“力学量用算符表示”这一量子力学假设，包含着如下物理意义：（1） 力学量的平均值与算符的关系为：r d r F r F )(ˆ)(*ψψ⎰=（2） 力学量的测量值与该力学量算符之间的关系：实验中测得的力学量的值，就是该力学量所对应算符的一系列本征值；（3） 力学量之间的关系也可以通过算符之间的关系反映出来：相互对易的算符，它们对应的力学量同时具有确定的测量值。
7 力学量在一般情况下不能同时确定，若系统处于某力学量的本征态中，这个力学量就有确定值。
对两个或多个力学量同时进行测量，只要系统同时处于每个力学量共同的本征态时，它们就同时具有确定值。
《量子力学》考试知识点
《量⼦⼒学》考试知识点《量⼦⼒学》考试知识点第⼀章：绪论―经典物理学的困难考核知识点：（⼀）、经典物理学困难的实例（⼆）、微观粒⼦波－粒⼆象性考核要求：（⼀）、经典物理困难的实例1.识记：紫外灾难、能量⼦、光电效应、康普顿效应。
2.领会：微观粒⼦的波－粒⼆象性、德布罗意波。
第⼆章：波函数和薛定谔⽅程考核知识点：（⼀）、波函数及波函数的统计解释（⼆）、含时薛定谔⽅程（三）、不含时薛定谔⽅程考核要求：（⼀）、波函数及波函数的统计解释1.识记：波函数、波函数的⾃然条件、⾃由粒⼦平⾯波2.领会：微观粒⼦状态的描述、Born⼏率解释、⼏率波、态叠加原理（⼆）、含时薛定谔⽅程1.领会：薛定谔⽅程的建⽴、⼏率流密度，粒⼦数守恒定理2.简明应⽤：量⼦⼒学的初值问题（三）、不含时薛定谔⽅程1. 领会：定态、定态性质2. 简明应⽤：定态薛定谔⽅程第三章：⼀维定态问题⼀、考核知识点：（⼀）、⼀维定态的⼀般性质（⼆）、实例⼆、考核要求：1.领会：⼀维定态问题的⼀般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振2.简明应⽤：定态薛定谔⽅程的求解、第四章量⼦⼒学中的⼒学量⼀、考核知识点：（⼀）、表⽰⼒学量算符的性质（⼆）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“归⼀化”（四）、算符的共同本征函数（五）、⼒学量的平均值随时间的变化⼆、考核要求：（⼀）、表⽰⼒学量算符的性质1.识记：算符、⼒学量算符、对易关系2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本⼒学量算符的对易关系（⼆）、厄密算符的本征值和本征函数1.识记：本征⽅程、本征值、本征函数、正交归⼀完备性2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、⼒学量可取值及测量⼏率、⼏率振幅。
（三）、连续谱本征函数“归⼀化”1.领会：连续谱的归⼀化、箱归⼀化、本征函数的封闭性关系（四）、⼒学量的平均值随时间的变化（⼀）、表象变换，⼳正变换（⼆）、平均值，本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式（三）、量⼦态的不同描述⼆、考核要求：（⼀）、表象变换，⼳正变换1.领会：⼳正变换及其性质2.简明应⽤：表象变换（⼆）、平均值，本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式1.简明应⽤：平均值、本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式2.综合应⽤：利⽤算符矩阵表⽰求本征值和本征函数（三）、量⼦态的不同描述第六章：微扰理论⼀、考核知识点:（⼀）、定态微扰论（⼆）、变分法（三）、量⼦跃迁⼆、考核要求:（⼀）、定态微扰论1.识记：微扰2.领会：微扰论的思想3.简明应⽤：简并态能级的⼀级，⼆级修正及零级近似波函数4.综合应⽤：⾮简并定态能级的⼀级，⼆级修正、波函数的⼀级修正。
第四章 力学量用厄米算符表达
ˆ ˆ ˆ Fψ = Aψ + Bψ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 称算符 F 等于 A 与 B 之和。写作 F = A + B
。
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 例3：哈密顿算符 H = T + V 就是动能算符 T 与势能算符 V
之和。算符求和满足交换律与结合律，
ˆ ˆ ˆ ˆ A+ B = B + A
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A + ( B + C ) = ( A + B) + C
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ l = r × p = r × (−i ∇) = −i r × ∇
如果没有经典力学表达式的量子力学力学量，比如电子的自旋， 它的算符由量子力学独立建立。
Atomic physics and quantum mechanics
9
三
算符运算的基本性质
定义1：线性算符
由于态叠加原理，在量子力学中的力学量算符应是线性算符， 所谓线性算符，即是具有如下性质
式中c1、c2为任意常数。
Atomic physics and quantum mechanics
20
定义9：转置算符
ˆ ˆ 算符 A 的转置算符 AT 定义为
ˆ Tφ = dτφ Aψ ∗ ˆ dτψ ∗ A ∫ ∫ ˆ ˆ (ψ , ATφ ) = (φ ∗, Aψ ∗)
式中 ψ 与 例5：证明
∫
+∞ −∞
⎡⎛ ∂ ⎞ T ∂ ⎤ dxψ ∗ ⎢⎜ ⎟ + ⎥ φ = 0 ∂x ⎥ ⎢ ⎝ ∂x ⎠ ⎣ ⎦
ψ ∗, φ 任意
∂ ⎛ ∂ ⎞ + =0 ⎜ ⎟ ∂x ⎝ ∂x ⎠
21
T
Atomic physics and quantum mechanics
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4.1-3 Bra and Ket Notation(左矢和右矢符号)
A scalar product of the square-integrable function can be expressed
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- zy p x p z + z p y p y + yx p z p z + x( p z z ) p y xz p z p y
2
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= ihy p x + ihx p y = ih ( x p y y p x ) = ih L z
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+∞
∞
ψ 1ψ 2 dV = ψ 1 ψ 2 ∫
ψ 1 is called a " bra" (左矢), 2 is called a " ket" (右矢) ψ
ψ
= ψ
The orthonormality relation of two wave functions
+∞ ψ mψ n dV= ψ m ψ n =δ mn ∫
Chapter 4 Mathematics Foundations of Quantum Mechanics I
(量子力学中的数学基础)
4.1 Properties of Operaotors
What is operator? Operator in quantum mechanics denotes an operation of wave function, such as
x p x ψ = ihx ψ x
∧
p x xψ = ih ( xψ ) = ihψ ihx ψ x x
∧
So
( x p x p x x ) = ih ≠ 0
∧
∧
We can similarly obtain
( y p y p y y ) = ih
But
∧
∧
( z p z p z z ) = ih ( x p z p z x) = 0
Linear operator is self-adjoint (自共轭) or Hermitian (厄密的)
ψ Lψ 2dV = ∫ ( Lψ 1 )ψ 2dV ∫
1
∧
∧
In quantum mechanics, all operates are Hermitian operators
L = ∫ψ Lψ dV = ∫ (ψ L) ψ dV = [ ∫ψ ( Lψ )dV ] = L
∧ ∧ ∧
[ L, H ] = 0
[H , L ] = 0
∧
∧2
4.2 Eigenvalue and Eigenfunction (本征值和本征函数 本征值和本征函数)
If L is a constant value, its deviation L=0, so we can find the corresponding wave function ψL
∧ ∧
∧
∧
( x p y p y x) = 0
In summary
∧ ∧
∧
∧
( xα p β p β xα ) = ihδ αβ , α , β = x,y,z
if AB - BA = 0, A and B are commuting, we mark it
AB - BA = [A, B] , or [A, B]
∞
The mean value of L
L = ψ L ψ = ∫ψ ψ dV
∧
4.1- 4 Operator in quantum mechanics
(1) position and momentum operators (P73) Position operator
r=r
Its components
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧2
∧2 ∧
∧
∧2
∧
∧
∧
∧
∧2
∧
∧
∧
∧
∧
∧2
The second term
( L z L x - L x L z ) = L z ( L z L x ) - L x L z = L z (ih L y + L x L z ) - L x L z = ih L z L y + ( L z L x ) L z - L x L z
∧
∧
(2) Angular-momentum operators (角动量算符) P75
L = r× p = ih(r × )
It components
∧
∧
∧
L x = y p z z p y = ih( y z ) z y ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ L y = z p x x p z = ih( z x ) x z ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ L z = x p y y p x = ih( x y ) y x
The first term becomes
∧2 ∧ ∧ ∧2 ∧2 ∧ ∧ ∧2
∧2
∧
∧2
∧
( L y L x - L x L y ) = L y ( L y L x ) - L x L y ) = L y (-ih Lz + L x L y ) - L x L y ) = -ih L y Lz + ( ih Lz + L x L y ) L y L x L y = -ih( L y Lz + Lz L y )
[ Li , x j ] = ihε ijk xk [ Li , p j ] = ihε ijk pk
The square of the angular momentum operator
L = Lx + L y + L z
∧2 ∧ ∧2 ∧2 ∧2 ∧
∧2
∧ 2
∧2
∧2
[L , L x ] = [L x + L y + L z , L x ] = [L y , L x ] + [L z , L x ] = (L y L x - L x L y ) + (L z L x - L x L z )
if AB + BA = 0, A and B are anticommuting (反对易) .
AB + BA = [A, B]+
operator commutator satisfy
[ A, B ] = [ B, A] [ A, B + C ] = [ A, B ] + [ A, C ] [ A, B C ] = B[ A, C ] + [ A, B ] C [ A B, C ] = A[ B, C ] + [ A, C ] B [A, [B, C]] + [B, [A, C]] + [C, [A, B]] = 0 (Jacobi恒等式)
∧2 ∧2 ∧2
(3) Kinetic operator
In Cartesian coordinate
∧ 2
h2 2 2 h2 p 2 = T= ( 2 + 2 + 2)= y 2m 2m x z 2m
∧
In polar coordinate
1 h2 1 2 h2 1 2 h2 [ 2 (r ) + 2 θ , ] = (r ) T = θ , 2 2 2m r r r r 2m r r r 2mr
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
[ x , p y ] = [ x , p z ] = [ y , p x ] = [ y , p z ] = [ z , p x ] = [ z , p y ] = 0
( xα p β p β xα ) = ihδ αβ , α , β = x,y,z
d , dx
∧
ψ ,
Lu = w
Linear operator
L(α1u1 + α 2u2 ) = α1 L u1 + α L u2
∧
∧
∧
x = x,
∧
p x = ih x
∧
linear operator nonlinear operator
α1u1 + α 2u2 ≠ α1 u1 + α 2 u2
∧ ∧ ∧ ∧ ∧
L x L y L y L x = ( y p z z p y )( z p x x p z ) ( z p x x p z )( y p z z p y ) = y ( p z z ) p x + zx p z p x yx p z p z z p y p z
2 ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
∧
x = x, y = y , z = z
∧
∧
∧
∧
Momentum operator
p = ih
Its components
∧ ∧ p x = ih , p y = ih , p z = ih x y z
∧
Commutator of x and p
[ x , p x ] = [ y , p y ] = [ z , p z ] = ih