量子力学中的守恒量
量子力学中的对称性与守恒定律
量子力学中的对称性与守恒定律量子力学是现代物理学的一大支柱，它描述了微观世界的行为规律。
在量子力学中，对称性与守恒定律是两个非常重要的概念。
本文将深入探讨量子力学中的对称性与守恒定律，并分析它们在物理学中的应用。
首先，让我们来了解一下对称性在量子力学中的意义。
对称性是指某个系统在某种变换下保持不变的性质。
在量子力学中，对称性扮演着非常重要的角色，它不仅能够帮助我们理解物理现象，还能够简化问题的求解过程。
量子力学中常见的对称性包括平移对称性、旋转对称性和时间平移对称性等。
平移对称性是指系统在空间中的平移下保持不变。
在量子力学中，平移对称性导致了动量的守恒定律。
根据量子力学的基本原理，一个粒子的动量是与其波函数的相位相关的。
如果系统具有平移对称性，那么它的波函数在空间平移下不发生变化，从而导致动量守恒。
这一定律在许多物理现象中都得到了验证，如粒子在势场中的运动以及粒子的碰撞等。
旋转对称性是指系统在空间中的旋转下保持不变。
在量子力学中，旋转对称性导致了角动量的守恒定律。
角动量是描述物体旋转状态的物理量，它与系统的对称性密切相关。
如果系统具有旋转对称性，那么它的波函数在空间旋转下不发生变化，从而导致角动量守恒。
这一定律在原子物理学中得到了广泛应用，如电子在原子轨道中的运动以及原子核的自旋等。
时间平移对称性是指系统在时间平移下保持不变。
在量子力学中，时间平移对称性导致了能量的守恒定律。
能量是系统的重要属性，它与系统的稳定性和演化规律密切相关。
如果系统具有时间平移对称性，那么它的波函数在时间平移下不发生变化，从而导致能量守恒。
这一定律在许多物理过程中得到了验证，如粒子的衰变过程以及能量传递等。
除了上述常见的对称性与守恒定律外，量子力学中还存在一些特殊的对称性与守恒定律。
例如，粒子统计对称性与粒子数守恒定律是量子力学中的重要概念之一。
根据粒子的统计性质，量子力学将粒子分为玻色子和费米子两类。
玻色子遵循玻色-爱因斯坦统计，而费米子遵循费米-狄拉克统计。
《量子力学》(专升本)练习题
《量子力学》练习题一一、基本概念及简答1. 简述2|(,)|x t ψ的物理意义及其实验基础。
2．简述迭加原理。
若nnnc ψψ=∑，^nnnf Fψψ=，n c 的物理意义是什么？3．三维空间中运动的粒子,其波函数的方位角(ϕ)部分 ()ϕΦ=ϕ3cos ,求zL ˆ的平均值。
4．设^^F F +=，^^G G+=A.若^^[]0,F G =，是否^F 的本征态一定是^G 的本征态，举例说明。
B.若^^[]0,F G ≠，^^,G F 是否就一定无共同本征态，举例。
C.若^^[],iC F G =，C 是常数，^^,G F 是否能有共同本征态，证明你的结论。
5、判定^x p x及^x p i 是否厄迷算符。
6、^^^[,]0G C F =≠，^^F F+=，^^G G+=，试问^F ，^G 是否必然没有共同本征态，举例说明7、已知 ，ˆˆ,B C 为厄米算符，ˆˆˆAiBC ≡也为厄米算符的条件是什么？ 8、能否把,,x y z σσσ看作自旋角动量算符的矩阵表示？9、哪个实验证实了电子具有自旋，怎样证实的；为什么不能把电子自旋看成电子的机械转动？ 10、对于全同性粒子说来要满足那些基本方程？全同粒子的交换算符是可以对易的吗？它们能否有共同的本征态？11. 波函数的导数是否一定要连续？举例说明。
12. 如果ˆˆAA +=，ˆˆBB +=且ˆˆˆˆ,C i A B C +⎡⎤==⎣⎦，ˆˆ,,Aa a a Bb b b == a b 和都是束缚态，则ˆˆ0.a Ca b C b == 13．什么是量子力学中的守恒量？其主要特征是什么？什么定态？定态主要特征是什么？14．已知ˆˆ[,]1αβ=，求证 1ˆˆˆˆˆn n n n αββαβ--= 15．已知 ，ˆˆ,B C 为厄米算符，则ˆˆˆAiBC ≡也为厄米算符的条件是什么？ 16．若一个算符与角动量算符J ˆ的两个分量对易，则其必与J ˆ 的另一个分量对易；17.设 22,0,1,0,2x V m x x ω∞≤⎧⎪=⎨>⎪⎩当当 且已知以一维线性谐振子的能量本征值n E ，本征函数()n x ψ，及()n x ψ的宇称为()1n-。
量子力学_第三章3.8力学量期望值随时间的变化__守恒定律
2. 例子（运动恒量举例）
<1>自由粒子的动量
ˆ2 p ˆ 当粒子不受外力，即 H 时 2 ˆ p ˆ, H ˆ ] i [p ˆ ] j[p ˆ ] k[p ˆ]0 ˆ x,H ˆ y,H ˆ z,H 如果 0 ， [p t
dp 0 ，即为量子力学中的动量守恒定律。 则有 dt
ˆ 的本征值 C 1 。 所以 P
Байду номын сангаас
ˆ (x, t) (x, t) ； P ˆ (x, t) (x, t) 即： P 1 1 2 2
ˆ 的本征函数中本征值为 1 的 为有偶宇称态，本征值为 1 称P 1
的 2 为有奇宇称态。
ˆ 在空间反演不变时的宇称守恒： c. H
2 2 ˆ L 2 ˆ 2 , H] ˆ [L ˆ2 , ˆ2 , ˆ 2 , U(r)] 0 [L (r )] [L ] [L 2r 2 r r 2r 2 ˆ ,H ˆ ] 0； ˆ2 ,L ˆ ] 0 , [L ˆ ,H ˆ ] [L ˆ2 , L ˆ ]0， ˆ ,H ˆ ] [L ˆ2 , L ˆ ]0 [L [ L [L z x z
化。因 完全描写态，知道 ( r , t ) 后，即可求得每一个时刻 t 各 dinger 方 程 ， 故 o 力 学 量 的 变 化 。 而 态 ( r , t ) 的 变 化 遵 从 Schr
2 dinger 方程不仅可以直接描写 ( r , t ) 的变化，而且还能间 Schr o
二、守恒定律
ˆ 1 d F F ˆ 不显含时间 t ，即 ˆ,H ˆ ] 中，如果 F 1. 在运动方程 [F dt t i ˆ dF F ˆ ˆ ＝0，即 F 平均值不随 0 ，并且 [F, H] 0 (即对易)，则有 dt t
折合质量柯尼希定理
折合质量柯尼希定理（也称为折合质量守恒定律）是原子物理学中的一个基本原理，它指出在量子力学中，一个封闭系统的总折合质量（即所有粒子质量的代数和）是一个守恒量。
这意味着在粒子间的相互作用过程中，折合质量不会发生变化，因此可以用来验证理论的正确性和预测实验结果。
折合质量的概念是指粒子所具有的质量与其运动状态无关，只与其静止质量有关。
在相对论中，静止质量是一个粒子的固有属性，而折合质量则表示粒子在运动时的惯性质量。
折合质量守恒定律表明，在一个封闭系统中，粒子的静止质量和折合质量之间的关系是守恒的。
这个原理在许多物理过程中都得到了验证，包括粒子加速器中的粒子碰撞、原子核的衰变和核聚变等。
通过实验测量和理论计算，科学家们可以验证这个原理的正确性，并进一步探索物质的本质和基本相互作用。
总之，折合质量柯尼希定理是原子物理学中的一个基本原理，它表明在一个封闭系统中，折合质量是一个守恒量。
这个原理对于验证理论正确性和探索物质本质具有重要意义。
清华大学高等量子力学-Lecture-16
第五章 对称性对称性是一个体系最重要的性质。
前面求解一维Schroedinger 方程时，我们看到，利用体系相互作用的左右对称性，导致态有确定的宇称，可以大大简化方程的求解。
1.守恒量若力学量的平均值不随时间变化0d Fdt=， 则称力学量为守恒量。
F 由 ˆF F ψψ= 和Schrodinger 方程 ˆi H tψψ∂=∂ ， 有ˆˆˆˆ1ˆˆ,d FF F Fdt t t tF F H t i ψψψψψψ∂∂∂=++∂∂∂∂⎡⎤=+⎣⎦∂若不显含时间， ˆFt 1ˆˆ,d F F H dt i ⎡⎤=⎣⎦ 若与ˆFˆH 对易，则为守恒量。
ˆF 例如：a ）对于自由粒子体系，2ˆˆ2p H m =，动量不显含时间t ，且ˆp ˆˆ,p H ⎡⎤0=⎣⎦，有动量守恒； b ）对于一般体系，()2ˆˆ2p H V x m=+ˆˆ,0p H ⎡⎤，≠⎣⎦，动量不守恒； c ）对于中心场体系，()()22222ˆˆˆ222p L H V r r V m mr r r mr∂∂⎛⎞=+=−++⎜⎟∂∂⎝⎠2r ，轨道角动量算符2ˆL ，均不显含时间，且，有轨道角动量及其任意分量守恒； ˆi L t 2ˆˆˆˆ,,i L H L H ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎣⎦0=d ）若ˆH 不显含时间，，有能量守恒。
t ˆˆ,H H ⎡⎤=⎣⎦0故一个力学量是否为守恒量，由体系的性质，即ˆH的性质来决定。
守恒量的性质：a ）在任意态的平均值与时间无关（定义）；b ）在任意态的取值几率与时间无关 证明：，，ˆˆ,0F H ⎡⎤=⎣⎦ˆF ˆH 有共同完备本征矢n ， ˆn F n F n =，ˆnH n E n = 对于任一态 ()()n nt C t ψ=∑n ， ()()n C t n t ψ=，ˆF 取值为的几率为 n F 2()nC t 。
因为1ˆ()()()()()n n n nE E d C t n t n H t n t C t dt t i i i ψψψ∂====∂， 故 ()(0)n i E t n n C t C e−=，2()(0)n n C t C =2与时间无关。
量子力学复习题
量⼦⼒学复习题量⼦⼒学复习题(2013)⼀、填空题1. 在空间发现粒⼦的概率密度为_________；概率流密度为_______________。
2. 波尔的量⼦化条件为。
3. 坐标和动量的测不准关系是___________________________。
4. 德布罗意关系为。
5. 对氢原⼦，不考虑电⼦的⾃旋，能级的简并度为________________，考虑⾃旋但不考虑⾃旋与轨道⾓动量的耦合时，能级的简并度为________________，如再考虑⾃旋与轨道⾓动量的耦合，能级的简并度为__________________。
6. ⽤来解释光电效应的爱因斯坦公式为。
7.σ为泡利算符，2σ= ，2,z σσ??=?? ，,x y σσ?= 。
8. 波函数的统计解释为。
9. 隧道效应是指__________________________________。
10. 波函数的标准化条件为。
11. ()(,)nlm nl lm R r Y ψθ?=为氢原⼦波函数，,,n l m 的取值范围为。
12. 表⽰⼒学量的算符应满⾜的两个性质是。
13. 乌伦贝克和哥德斯密脱关于⾃旋的两个基本假设是 _____________________。
14. 厄⽶算符的本征函数具有，其本征值为，不同本征值对应的本征函数。
15.[],x x p = ，,y x L L ??=?? ，[],x L y = 。
16. 在z σ表象中，x σ的矩阵表⽰为，x σ的本征值为，对应的本征⽮为。
17. 若两⼒学量,A B 有共同本征函数完全集，则[],A B = 。
18. ⾃旋⾓动量与⾃旋磁矩的关系为。
19. 在定态的条件下，守恒的⼒学量是。
20. 原⼦电偶极跃迁的选择定则为。
21. 设体系处在|ψ?态，在该态下测量F 有确定值λ，则表⽰该⼒学量的算符?F与态⽮量|ψ?的关系为。
22. 轨道磁矩与轨道⾓动量的关系为，⾃旋磁矩与⾃旋⾓动量的关系为。
量子力学(第1-4章)考试试题
第一至四章 例题一、单项选择题1、普朗克在解决黑体辐射时提出了 【 】A 、能量子假设B 、光量子假设C 、定态假设D 、自旋假设2、若nn n a A ψψ=ˆ，则常数n a 称为算符A ˆ的 【 】 A 、本征方程 B 、本征值 C 、本征函数 D 、守恒量3、证实电子具有波动性的实验是 【 】A 、 戴维孙——革末实验B 、 黑体辐射C 、 光电效应D 、 斯特恩—盖拉赫实验4、波函数应满足的标准条件是 【 】A 、 单值、正交、连续B 、 归一、正交、完全性C 、 连续、有限、完全性D 、 单值、连续、有限 5、已知波函数 )exp()()exp()(1Et ir Et i rϕϕψ+-=, )exp()()exp()(22112t E i r t E i rϕϕψ+-=,)exp()()exp()(213Et ir Et i r-+-=ϕϕψ,)exp()()exp()(22114t E ir t E i r-+-=ϕϕψ其中定态波函数是 【 】 A 、ψ2 B 、ψ1和ψ2 C 、ψ3 D 、3ψ和ψ46、在一维无限深势阱⎩⎨⎧≥∞<=a x ax x U ,,0)(中运动的质量为μ的粒子的能级为 【 】A. πμ22222 n a B. πμ22224 n a C. πμ22228 n a D. πμ222216 n a. 7、量子力学中用来表示力学量的算符是 【 】 A 、线性算符 B 、厄米算符 C 、幺正算符 D 、线性厄米算符8、]ˆ ,ˆ[x p x= 【 】 A 、0 B 、 i C 、 i - D 、29、守恒量是 【 】A 、处于定态中的力学量B 、处于本征态中的力学量C 、与体系哈密顿量对易的力学量D 、其几率分布不随时间变化的力学量10、某体系的能量只有两个值1E 和2E ，则该体系的能量算符在能量表象中的表示为【 】A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡1221E E E E B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100E E C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡0021E E D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2211E E E E 11、)(r nlmψ为氢原子归一化的能量本征函数，则=''⎰τψψd m l n nlm 【 】A 、0B 、1C 、m m l l ''δδD 、m l lm ''δδ 二、填空题 1、19世纪末20世纪初，经典物理遇到的困难有（举三个例子） 。
量子力学期末考试题解答题
量子力学期末考试题解答题[标签:标题]篇一：量子力学期末考试题解答题1. 你认为Bohr的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。
(简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？)答：Bohr理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。
首先，Bohr的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。
2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率?0，当照射光频率0时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻?10?9s观测到光电子。
爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完成的。
(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。
(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。
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2
连续对称变换
上面讨论的对称变换Q 可以为连续变换(如 空间平移) ,也可以为分立变换(如空间反演) . 有 限的连续变换可通过一系列无穷小变换实现, 因 而只需讨论无穷小变换. 对于无穷小对称变换Q, 为满足对称变换,总可以选择一个参数δε使 Q(δε) δε →0 I. (7) 其中I 为单位矩阵.
• 对于无穷小变换,若准确到δε • 的一阶小量,则可设 • Q(δε) = 1 + i^Fδε. (8) • 按式(2) 易有 • Q+ Q = (1 - i^F+ δε) (1 + i^Fδε) = • 1 + i ( ^F - ^F+ )δε+ O(δε2 ) = 1. •即 • ^F = ^F+ . (9) • 按式(6) 要求 • [ ^F , ^H ] = 0. (10)
4. 3
►
空间旋转不变性与角动量守恒
►
► ► ► ► ► ► ► ► ► ► ►
为简单起见, 先考虑绕Z 轴的定轴转动. 对 于φ→φ- ε的无穷小对称变换Q (δε) ,δφ=δε= ε,代入式(11) 有
[ ^F ,φ] = i.
在球坐标系下, ^L z = - iÜ 5 5φ,且[φ, ^L z ] = iÜ,所以 为满足[ ^F ,φ] = i , 可取^F = - i Ü^L z , 则绕Z 轴的 无穷小对称变换为 Q(δε) = 1 -
4
应用举例
Nhomakorabea4. 1 空间平移不变性与动量守恒 为简单起见, 只考虑沿X 轴方向的平移变 换,设该平移变换为Q(δε) , 该变换使: x →x - ε, 显然:δx =δε= - ε,代入式(11) 有: [ ^F , x ] = i. (12) 为满足该式可取^F = ^Px Ü (因为: [ ^Px , x ] = - iÜ) ,代入式(8) 即得坐标平移对称变换为 Q(δε) = 1 i Ü^P xδε. (13)
i
Ü^L zδε,
与其对应的力学量为^L z ,对中心力场中运动的粒 子[ ^L z , ^H ] = 0 , 即^L z 为守恒量, 该变换要求
[φ, ^L z ] = iÜ. 即当^L z 确定时,φ是不可测的, 表明空 间各向同性导致角动量守恒. 推广到三维情况,空间转动的无穷小变换为 Q(δφn) = 1 i Üδφn · , L 其中n 为空间任意转轴方向的单位矢量. 与该空 间旋转对称变换对应的力学量为角动量L , 对中 心力场[ ^L , ^H ] = 0 ,角动量守恒.
3
与对称变换相关的守恒量的确定
按式(2) 对称变换Q(δε) 为幺正变换,由表象 变换理论知,在该对称变换Q(δε) 下,力学量^A 经 变换后应满足 ^A′= ^A +δ^A = Q+ ^AQ[2 ] = (1 - i^F+ δε) ^A (1 + i^Fδε) ≈ ^A - iδε( ^F^A - ^A ^F) = ^A - iδε[ ^F , ^A ] , 即 δ^A = - iδε[ ^F , ^A ] , [ ^F , ^A ] = i δ^A δε. (11) 对于一个给定的对称变换Q(δε) ,δ^A/δε是已 知的,所以可由式(11) 确定与对称变换对应的力 学量^F.
量子力学中的守恒量
1 量子力学中对称变换的条件
所谓对称变换是指在该变换下量子体系具有 不变性. 若设某种对称变换为Q,在该变换下波函 数Ψ变为:Ψ′= QΨ. 按对称变换要求及量子力学 的统计诠释,变换后在空间任意位置找到粒子的 几率不变,即变换前后的波函数应满足 (Ψ,Ψ) = (Ψ′,Ψ′) . (1) (Ψ′,Ψ′) = (QΨ, QΨ) = (Ψ, Q+ QΨ) = (Ψ,Ψ) , 易得 Q+ Q = QQ+ = 1. (2) 即变换不变性要求Q 变换为幺正变换.
4. 2
时间的平移不变性与能量守 恒
设与t →t - ε时间平移对应的对称变换为Q (δε) ,则δt =δε= - ε ,代入式(11) 有 [ ^F , t ] = i , 要满足该式则 ^F = 1 Ü^E , (其中^E = iÜ 5 5t ,且易证[ ^E , t ] = iÜ) .
由SchrÊdinger 方程iÜ 5ψ 5t = ^Hψ知, ^E 和^H 等效, 因此时间平移的无穷小对称变换为 Q(δε) = 1 +
i
Ü^Hδε, 与该对称变换对应的力学量为系统的Hamilton 与该对称变换对应的力学量为系统的Hamilton 算符,显然[ ^H , ^H ] = 0 ,所以在时间平移对称变换 下系统的能量守恒, 该变换要求[ ^E , t ] = iÜ. 即当 能量确定时,时间是不可测的,表明时间的均匀性 导致能量守恒.
另一方 面,体系对此种变换的不变性表现在变换前后的 波函数应满足同一形式的SchrÊdinger 方程 iÜ 5Ψ 5t = ^HΨ. (3) iÜ 5QΨ 5t = ^HQΨ. (4)
若Q 与时间无关,由式(2) 可知对变换Q 必有Q + = Q- 1 , QQ- 1 = 1. 式(4) 两端左乘Q- 1 得 iÜ 5 5t Ψ = Q- 1 ^HQΨ. (5) 式(3) 、式(5) 比较可得 Q- 1 ^HQ = ^H , 即 [ Q, ^H ] = 0. (6) 式(2) 、式(6) 即为量子力学中对称变换所满足 的 条件.