人教A版高中数学选修4-4 1-1-1 平面直角坐标系 课件 (共13张PPT)
高二数学人教A版选修4-4第一讲第一节《平面直角坐标系》课件(共65张PPT)
x
y
2x 3y
后的图形.
(2)x2＋y2＝1.
(1)变成直线x′＋y′＝0.
【例3】在平面直角坐标系中，求下列方程
所对应的图形经过伸缩变换 (1)2x＋3y＝0；
x
y
2x 3y
后的图形.
(2)x2＋y2＝1.
(1)变成直线x′＋y′＝0.
(2)变成椭圆 x2 y2 1. 49
【例4】求伸缩变换φ，使得曲线4x2＋9y2＝36 变成曲线x′2＋y′2＝4.
平面直角坐标系中任意一点，将横坐标缩短到原来的 1 ，
2
纵坐标伸长到原来的3倍，得到点P′(x′，y′)，那么x与x′，y
与y′的关系如何？
思考5：根据图象变换原理，怎样由正弦曲线y＝sinx
得到曲线y＝3sin2x？ 图象上各点的横坐标缩短到原来的
1
倍，纵坐标伸长
到原来的3倍.
2
思考6：这是一种伸缩变换，一般地，设点P(x，y)为
P的位置更方便？
P(680 5，680 5)
y
北
PC 东
B ГO l A x
位置：西北方向距离中心 680 10m 处.
思考5：一般地，用坐标法解决几何问题的基本 思路是什么？
思考5：一般地，用坐标法解决几何问题的基本 思路是什么？
建立直角坐标系
思考5：一般地，用坐标法解决几何问题的基本 思路是什么？
思考8：在伸缩变换φ中，若λ，μ不同时为1， 则共可产生多少种不同的伸缩变换类型？
λ＞1，u＞1； λ＞1，u＝1； λ＞1，u＜1；
λ＜1，u＞1； λ＜1，u＝1； λ＜1，u＜1；
思考8：在伸缩变换φ中，若λ，μ不同时为1， 则共可产生多少种不同的伸缩变换类型？
高二数学选修4-44.1.21极坐标系课堂PPT.ppt
（x , y , z）的集合建立一一对应；
授课：XX
1
复习回顾
4.1.1 直角坐标系
数
平面直角
轴
坐标系
空间直角 坐标系
R
（x , y)
（x , y , z)
授课：XX
2
复习回顾
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系 中，应满足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐 标就能确定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。
OM= 3
M
给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的 射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描 点。
授课：XX
19
5、负极径的实质
从比较来看，负极径比 正极径多了一个操作，将射
M
线OP“反向延长”。
而反向延长也可以看成是旋转 O
，因此，所谓“负极径”实
质是针对方向的。这与数学中
[1]作射线OP，使XOP=
P
[2]在OP的反向延长
线上取一点M，使OM= ;
O
X
如图示：
M
授课：XX
15
新课讲解
2、负极径的实例
在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置
[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一
P = /4
点M，使OM= 3;
O
X
如图示： M（－3，/4）
[3]一点的极坐标是否有统一的表达式？
有.（ ，2k ） 或（- ，2k π）
授课：XX
27
课堂小结
1、极坐标 （ρ，2kπ+θ） 和（-ρ，2kπ+θ+π）k其Z
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)
，即将圆 x2＋y2＝1 上所有点横坐标变为原
x′2 y′2 来的 3 倍，纵坐标变为原来的 2 倍，可得椭圆 ＋ ＝1. 9 4
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坐标伸缩变换
x′＝λx φ： y′＝μy
λ＞0 注意变换中的系 μ＞0
数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变， 即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标 伸缩变换 φ 可以求变换前和变换后的曲线方程． 已知前换 前后曲线方程也可求伸缩变换 φ.
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因为 m∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以 当 0<m<1 时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－ 1－m2，0)，( 1－m2，0)； 当 m>1 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－ m2－1)，(0， m2－1)．
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求轨迹的常用方法 (1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者
x′＝2x ∴ y′＝y
x2 y2 ，即将椭圆 ＋ ＝1 上所有点横坐标变为原来 4 9
x′2 y′2 的 2 倍，纵坐标不变，可得椭圆 ＋ ＝1. 16 9
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6．求 4x －9y ＝1 方程．
2
2
x′＝2x 经过伸缩变换 y′＝3y
后的图形所对应的
1 x′＝2x， x＝2x′， 解：由伸缩变换 得： y′＝3y y＝1y′， 3 将其代入 4x2－9y2＝1， 1 1 2 得 4· x′) －9· y′)2＝1. ( ( 2 3 整理得：x′2－y′2＝1. ∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为 x′2－y′2＝1.
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可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直
高中数学人教A版选修4-4第一讲 一 平面直角坐标系 课件
方程是 5x′＋3y′＝0，表示一条直线．
(2)将①代入 x2＋y2＝1，得到2＋y′1 2＝1，表示焦点在 x 轴上的椭圆． 49
9．已知△ABC 是直角三角形，斜边 BC 的中点为 M，建立适
当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝12|BC|.
证明：以 Rt△ABC 的直角边 AB，AC 所在直线为坐标轴，
2 ＝100×(5－ 2－ 6)≈113.6＞100. 所以，埋设地下管线 m 的计划可以不修改．
直角坐标系中的伸缩变换
[例 3] 求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线 x2＋y2 ＝1 变成曲线x′9 2＋y′4 2＝1.
[思路点拨] 设出变换公式，代入方程，比较系数，得出 伸缩变换．
[解] 设变换为xy′′＝＝μλxy，，λμ>>00 ， 代入方程x′9 2＋y′4 2＝1， 得λ29x2＋μ24y2＝1.与 x2＋y2＝1 比较，将其变形为 λ92x2＋μ42y2＝1，比较系数得 λ＝3，μ＝2. ∴xy′′＝＝23yx ，即将圆 x2＋y2＝1 上所有点横坐标变为原来的 3 倍，纵坐标变为原来的 2 倍，可得椭圆x′9 2＋y′4 2＝1.
程．
解：由伸缩变换xy′′＝＝32yx，
得：x＝12x′， y＝13y′，
将其代入 4x2－9y2＝1，
得 4·(12x′)2－9·(13y′)2＝1. 整理得：x′2－y′2＝1. ∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为 x′2－y′2＝1.
5．在同一直角坐标系下经过伸缩变换xy′′＝＝y3x， 后，曲线 C 变为 x′2－9y′2＝9，求曲线 C 的方程． 解：将xy′′＝＝y3x， 代入 x′2－9y′2＝9，得 9x2－9y2＝9， 即 x2－y2＝1.
春人教A版高二数学选修4--4课件：1.1平面直角坐标系(共36张PPT)
解答
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反思与感悟 (1)平面直角坐标系中的方程表示图形，则平面图形的伸缩 变换就可归结为坐标的伸缩变换，这就是用代数的方法研究几何变换． (2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中 的任意一点，在变换 φ：xy′ ′＝ ＝λμxyλμ>>00， 的作用下，点 P(x，y) 对应到点 P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
解答
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2.若圆x2＋y2＝1经过变换φ后得到曲线C′：2x52 ＋1y62 ＝1，求φ的坐标变换公式．
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跟踪训练1 在▱ABCD中，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2).
证明 如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为 x轴，建立平面直角坐标系. 设 B(a，0)，C(b，c)，则 AC 的中心 Eb2，2c， 由对称性知D(b－a，c)， 所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2， |AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2， |AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)， |AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab， 所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2).
高中数学人教A版选修4-4课件：1-1平面直角坐标系
目标导航
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO IANLITOUXI
D典例透析
2.平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换:设点 P(x,y)是平面直角坐 ������’= ������������( ������ > 0) , 标系中的任意一点,在变换 φ : 的作用下, 点������ ������, ������ ������’ = ������������( ������ > 0) 对应到点 ������ ′ ������ ′ , ������ ′ , 称������为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称 伸缩变换 .
C.y'=2cos ������′D. ������′ = cos 3������′
������ = ������' = 2������, 解析 :由 得 ������' = 3������, ������ = 得
������' 3 1 3
2x,
= cos x'.所以 y'=cos x'.
答案:A
目标导航
D典例透析
【做一做 2-2】 将曲线 y= cos 2������作如下变换 : 到的曲线方程为(
A.y'=cos x'
1 3
1 3
������’ = 2������, 则得 ������’ = 3������,
)
1 2 1 2
B.y'=3cos ������′
������' , 1 2 将其代入 y = cos ������' 3 . 3
Z 知识梳理 Z重难聚焦
人教A版高中数学选修4-4课件 1.1.1平面直角坐标系课件1
B.
x
y
2 x， 1y 3
C.
x 2， y 3y
D.
x 2x， y 3y
3．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换
x y
5x, 3y
后，
曲线 C 变为曲线 x′2+y′2=0，则曲线 C 的方程为( A )
A．25x2+9y2=0
B．9x2+25y2=0
C．25x+9y=0
x2 y2 D. + =0
=
y 2
，即
x1+x2=4+x，
y1+y2=y，代入④得 x2+y2=56.
7．求函数g(x)＝| x2 2x 5 － x2 4x 13 |的最大值． 解析：g(x)=| x 12 22 - x 22 32 |，求函数的最大 值，就是求点 P(x,0)与点 A(1,2)、B(2,3)或与点 A′(1，-2)、 B(2,3)距离差的最大值，即||PA|-|PB||或||PA′|-|PB||的最大值(P 点为 A、B 或 A′、B 的连线与 x 轴的交点)．其最大值显然为 |AB|= 1 22 2 32 = 2 .
即
x
x 2
,
y 3y,
y 3y.
所以将曲线 x2-36y2-8x+12=0 上所有点的横坐标变为原来
的 1 ，纵坐标变为原来的 3 倍，就可得到曲线 x′2-y′2 -4x′ 2
+3=0 的图象．
9．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经
过伸缩变换
x
y
1 3 1
x, y
后的图形是什么形状？
∴
x12 x22
y12 y22
2018-2019学年高二数学人教A版选修4-4讲义：第一讲 一 平面直角坐标系.ppt
一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现数与形的结合．(2)坐标法解决几何问题的三步骤：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题； 第三步：把代数运算结果翻译成几何结论． 2．平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换．(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义：设点P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ＞0)y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．[例1] |2)．[思路点拨] 首先在平行四边形ABCD 所在的平面内建立平面直角坐标系，设出点A ，B ，C ，D 的坐标，再依据两点间的距离公式即可证得结论．[证明] 如图，以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设B (a,0)，C (b ，c )，则AC 的中点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫b 2，c 2，由对称性知D (b －a ，c )， 所以|AB |2＝a 2，|AD |2＝(b －a )2＋c 2， |AC |2＝b 2＋c 2，|BD |2＝(b －2a )2＋c 2，|AC |2＋|BD |2＝4a 2＋2b 2＋2c 2－4ab ＝2(2a 2＋b 2＋c 2－2ab )， |AB |2＋|AD |2＝2a 2＋b 2＋c 2－2ab ， 所以|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2)．根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的规则 (1)如果图形有对称中心，选对称中心为原点； (2)如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．1．已知在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，求证：|AC |＝|BD |.证明：取BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴， 建立如图所示的直角坐标系． 设A (－a ，h )，B (－b,0)， 则D (a ，h )，C (b,0)． ∴|AC |＝(b ＋a )2＋h 2， |BD |＝(a ＋b )2＋h 2.∴|AC |＝|BD |，即等腰梯形ABCD 中，|AC |＝|BD |.2．在△ABC 中，D 是BC 边上的任意一点(D 与B ，C 不重合)，且|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |， 求证：△ABC 为等腰三角形．证明：作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在的直线为x 轴，OA 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)， 因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，所以由距离公式得b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(c －d )， 即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )．因为d －b ≠0，所以－b －d ＝c －d ，即－b ＝c ， 所以O 为线段BC 的中点． 又因为OA ⊥BC ，所以|AB |＝|AC |. 所以△ABC 为等腰三角形．[例2] AB 为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少；(2)该荒漠上有一条水沟l 恰好经过点A ，且与AB 成30°的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问暂不加固的部分有多长．[解] (1)设平行四边形的另两个顶点为C ，D ，由围墙总长为8 km ，得|CA |＋|CB |＝4>|AB |＝2，由椭圆的定义知，点C 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长2a ＝4，焦距2c ＝2的椭圆(去除落在直线AB 上的两点)．以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)，则点C 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．易知点D 也在此椭圆上，要使平行四边形ACBD 的面积最大，则C ，D 为此椭圆短轴的端点，此时，面积S ＝12×23×2＝2 3 km 2.(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆x 24＋y 23＝1(y ≠0)内，故暂不需要加固水沟的长就是直线l ：y ＝33(x ＋1)被椭圆截得的弦长，如图所示． 由⎩⎨⎧y ＝33(x ＋1)，x 24＋y 23＝1得13x 2＋8x －32＝0，则x 1＋x 2＝－813，x 1x 2＝－3213，那么弦长L ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋⎝⎛⎭⎫332·⎝⎛⎭⎫－8132－4×⎝⎛⎭⎫－3213＝4813，故暂不加固的部分长为4813km.运用解析法解决实际问题的步骤(1)建系——建立平面直角坐标系．建系原则是利于运用已知条件，使表达式简明，运算简便．因此，要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴．(2)设点——选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程． (3)运算——通过运算，得到所需要的结果．3．已知B 村位于A 村的正西方向1 km 处，原计划经过B 村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线l ，但在A 村的西北方向400 m 处，发现一古代文物遗址W .根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W 周围100 m 范围划为禁区．试问：埋设地下管线l 的计划需要修改吗？解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (－1 000,0)，由W 位于A 的西北方向及 |AW |＝400，得W (－2002，2002)．由直线l 过B 点且倾斜角为90°－60°＝30°，得直线l 的方程是x －3y ＋1 000＝0. 于是点W 到直线l 的距离为 |－2002－3×2002＋1 000|2＝100×(5－2－6)≈113.6＞100. 所以埋设地下管线l 的计划可以不修改．4.如图所示，A ，B ，C 是三个观察站，A 在B 的正东，两地相距6 km ，C 在B 的北偏西30°，两地相距4 km ，在某一时刻，A 观察站发现某种信号，并知道该信号的传播速度为1 km/s,4 s 后B ，C 两个观察站同时发现这种信号，在以过A ，B 两点的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的P 的坐标．解：设点P 的坐标为(x ，y )， 则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)．因为|PB |＝|PC |，所以点P 在BC 的中垂线上． 因为k BC ＝－3，BC 的中点D (－4，3)， 所以直线PD 的方程为y －3＝13(x ＋4)．① 又因为|PB |－|PA |＝4，所以点P 必在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上， 双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．②联立①②，解得x ＝8或x ＝－3211(舍去)，所以y ＝5 3.所以点P 的坐标为(8,53)．[例3] 伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y ，曲线C 在此变换下变为椭圆x ′2＋y ′216＝1，求曲线C 的方程．[解] 设P (x ，y )为曲线C 上的任意一点．把⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y代入x ′2＋y ′216＝1，得x 2＋y 2＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1.坐标伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)，y ′＝μy (μ＞0)注意变换中的系数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标伸缩变换φ可以求变换前和变换后的曲线方程．已知前换前后曲线方程也可求伸缩变换φ.5．求4x 2－9y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后的图形所对应的方程．解：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎨⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′，将其代入4x 2－9y 2＝1，得4·⎝⎛⎭⎫12x ′2－9·⎝⎛⎭⎫13y ′2＝1. 整理得x ′2－y ′2＝1.∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为x ′2－y ′2＝1.6．若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期． 解：由题意，把变换公式代入方程y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6得3y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，整理得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.所以y ＝f (x )的最小正周期为2π2＝π.一、选择题1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A ．椭圆 B ．比原来大的圆 C ．比原来小的圆D ．双曲线解析：选D 由伸缩变换的意义可得．2．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋9y 2＝0B ．25x 2＋9y 2＝1C ．9x 2＋25y 2＝0D ．9x 2＋25y 2＝1解析：选B 把⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y代入方程x ′2＋y ′2＝1，得25x 2＋9y 2＝1，∴曲线C 的方程为25x 2＋9y 2＝1.3．圆x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后所得图形的焦距为( )A ．4B ．213C ．2 5D ．6解析：选C 由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′3，代入x 2＋y 2＝1，得x ′24＋y ′29＝1，该方程表示椭圆，∴椭圆的焦距为29－4＝2 5.4．在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝12sin 3x 变为曲线y ′＝sin x ′的伸缩变换是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3x ′y ＝12y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12y C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′y ＝2y ′ D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3xy ′＝2y 解析：选D 设伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，则μy ＝ sin λx ，即y ＝1μsin λx ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3，μ＝2，∴伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y .二、填空题5．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后，曲线方程变为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎨⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′，代入y ＝cos x ，得13y ′＝cos 12x ′，即y ′＝3cos x ′2. 答案：y ′＝3cos x ′26．将点P (－2，2)变换为P ′(－6,1)的伸缩变换公式为________．解析：设伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－6＝－2λ，1＝2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3，μ＝12.所以伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y 7．已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝cos ωx (ω>0)，f 2(x )的图象可以看作是把f 1(x )的图象在其所在的坐标系中的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)而得到的，则ω为________．解析：函数f 2(x )＝cos ωx ，x ∈R(ω>0，ω≠1)的图象可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω(纵坐标不变)而得到的，所以13＝1ω，即ω＝3.答案：3 三、解答题8．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后的图形．(1)5x ＋2y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1.解：由伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′.①(1)将①代入5x ＋2y ＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x ′＋3y ′＝0，表示一条直线．(2)将①代入x 2＋y 2＝1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是x ′214＋y ′219＝1，表示焦点在x轴上的椭圆．9．已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM |＝12|BC |.证明：以Rt △ABC 的直角边AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．设B (b,0)，C (0，c )， 则M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫b 2，c 2. 由于|BC |＝b 2＋c 2，|AM |＝b 24＋c 24＝12b 2＋c 2，故|AM |＝12|BC |.10．在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换使其满足下列曲线的变换，并叙述变换过程．(1)曲线y ＝2sin x4变换为曲线y ＝sin 2x ；(2)圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1.解：(1)将变换后的曲线方程 y ＝sin 2x 改写为y ′＝sin 2x ′，设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入y ′＝sin 2x ′得μy ＝sin 2λx ， 即y ＝1μ sin 2λx ，与原曲线方程比较系数得⎩⎨⎧2λ＝14，1μ＝2，所以⎩⎨⎧λ＝18，μ＝12，所以伸缩变换为⎩⎨⎧x ′＝18x ，y ′＝12y .即先使曲线y ＝2sin x4上的点的纵坐标不变，将曲线上的点的横坐标缩短为原来的18，得到曲线y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤14(8x )＝2sin 2x ，再将其纵坐标缩短到原来的12，得到曲线y ＝sin 2x . (2)将变换后的椭圆方程x 29＋y 24＝1改写为x ′29＋y ′24＝1，设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入x ′29＋y ′24＝1得λ2x 29＋μ2y 24＝1，即⎝⎛⎭⎫λ32x 2＋⎝⎛⎭⎫μ22y 2＝1，与x 2＋y 2＝1比较系数得⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫λ32＝1，⎝⎛⎭⎫μ22＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3，μ＝2，所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y .即先使圆x 2＋y 2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长为原来的3倍，得到椭圆x 29＋y 2＝1，再将该椭圆的纵坐标伸长为原来的2倍，得到椭圆x 29＋y 24＝1.。
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y
B
P o
C Ax
解： 以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系. 设A、B、C分别是西、东、北观测点， 则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020)
设P（x,y）为巨响为生点，由B、C同时 听到巨响声，得 |PC|=|PB| ，故 P 在 BC 的垂 直平分线 PO 上， PO 的方程为 y= － x ，因 A P B y C
点比B点晚4s听到爆炸声， 故|PA|－ |PB|=340×4=1360
oLeabharlann Ax由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，
x y 2 1 2 a b
a 680 , c 1020 b 2 c 2 a 2 10202 6802 5 3402
x2 y2 故双曲线方程为 1 ( x 0) 2 2 680 5 340
2
2
用y=－x代入上式，得 x 680 5 ，∵|PA|>|PB|,
x 680 5 , y 680 5 , 即P(680 5 ,680 5 ),故PO 680 10
680 10m
解决此类应用题的关键：坐标法
1、建立平面直角坐标系 2、设点（点与坐标的对应） 3、列式（方程与坐标的对应） 4、化简 5、说明
数学运用
例1、选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正 六边形的顶点.
C y B
y
C
B
D E
O F
A
x
D
A
O
E
F
x
探究
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、 正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间 比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m， 试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为 340m/s，各 相关点均在同一平面上）
2 2 2 2 5 2a , 2 b c 例例 1 ：已知△ ABC 的三边 a,b,c 满足 2 1：已知△ABC 的三边 a,b,c 满足 b c 5a , 例
BE,CF 分别为边 AC,AB 上的中线，建立适当的 BE,CF 分别为边 AC,AB 上的中线，建立适当的 平面直角坐标系探究 BE 与 平面直角坐标系探究 BE CF 与 的位置关系。 CF 的位置关系。
E
因此，BE与CF互相垂直.
O (A)
F
B
x
数学运用
例3. 某地区原计划经过B地沿着东北方向修建一条 高速公路，但在A村北偏西300方向距A村500m处， 发现一古代文物遗址W。经过初步勘察，文物管理 部门将遗址W周围200m范围划为禁区，已知B地 位于A村的正西方向1km 处，试问：修建高速公路 y y 和计划需要修改吗？ C 解决问题的关键： 确定遗址W与高速公路BC的 相对位置.
y 以△ ABC 的顶点Ａ为原点 Ｏ ， 解：
边AB所在的直线x轴，建立直角 坐标系，由已知，点A、B、F的
E
C
坐标分别为
c A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( ,0 ). 2
O (A)
F
B
x
x y 设点C的坐标为(x,y),则点E的坐标为（ ，）. 2 2
由b2 c2 5a2，可得到 | AC |2 | AB |2 5 | BC |2 ，
问题一：从点的轨迹角度分析点P应该在什么样的曲线上？ 问题二：请你在图中建立适当的坐标系，并说明你所建立 坐标系的依据是什么？ 问题三：根据你所建立的坐标系，求出点P的坐标
问题四：在该坐标系中，说出点P在信息中心点的什么位置？
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、 正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间 比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m， 试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为 340m/s，各 相关点均在同一平面上）
平面直角坐标系
1º数轴(直线坐标系)： 任意 2º平面直角坐标系： 点P 3º空间直角坐标系：
确定
确定 确定
实数x 有序实数对(x, y) 有序实数组(x, y, z)
建立坐标系目的是确定点的位置. 求出此点在该坐标系中的坐标. 创建坐标系的基本原则： (1) 任意一点都有确定的坐标与它对应； (2) 依据一个点的坐标就能确定此点的位置.
W
500
0 0 B 45 1000 60 A x O O
课堂小结
平面直角坐标系建系时，根据几何特点选 择适当的直角坐标系。
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为 坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐 标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
课后作业
思考: 一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸的时间比 在B处晚2s，已知A、B两地相距800米，并且此 时的声速为340m/s,求曲线的方程。
即 x2 y2 c2 5[( x c)2 y2 ].
整理得 2x2 2 y2 2c2 5cx 0.
y
C
x y c 因为 BE ( c, ), CF ( x, y ), 2 2 2
x c y2 所以BE CF ( c)( x) 0. 2 2 2