20力学量算符和量子力学公式的矩阵表示
量子力学 第7章-2(第20讲)
H
p' p"
p2 2m
p
'
p "
V
i
p
'
p
'
p
"
2． 力学量的表象变换
力学量 Fˆ 在表象A中的表示矩阵：
Fmn
m
(
x)Fˆ
n
(
x)d
x
在表象B中的表示矩阵：
F (x)Fˆ (x)d x
F Fmn
F F
Sm
m
(
x)
Fˆ
n
(
x)d
x Sn
mn
Sm FmnSn
问题？
坐标算符、动量算符、动能算符、任意力 学量算符在坐标表象、动量表象、 Q表象 （任一力学量表象）中分别如何表示？
力学量算符从一个表象如何变换到另一个 表象？
幺正变换有何主要性质和特点?
力学量算符在坐标表象与动量表象中的表示
坐标表象
xˆ x
Pˆx i
x
Tˆ
2
2m
2 x2
动量表象
xˆ i p x
a1(t)
(q, t)
an
(t
)
任一态矢 (x, t) an (t)un (x)
n 1
(r, t)
an (t)
un*
(r)
(r ,
t
)
d
3
r
(q, t)是粒子状态波函数 (r , t) 在Q 表象中的表示，
称为Q 表象波函数
量子力学表象与几何空间坐标系的比较
量子力学表象
Ai Aei
矢量:
A1
A
A2
算符的矩阵表示_
2 2 ˆ L ψ = l ( l + 1 ) h ψ 32 m 解： 32 m = 2(2 + 1)h 2ψ 32 m 2 = 6h ψ 32 m ˆ ψ = mhψ L z 32 m 32 m
p47 (3.1-8)式
∫
=
{∫ u
* nm
* n
ˆ u ( x ) dx (x)F m
}
*
=F
厄密算符的矩阵 厄密算符的矩阵 是厄密矩阵
* ˆ Fnm = ∫ un F ( x ,− ih ∂ )um ( x ) dx ∂x
7 算符的矩阵表示
对角矩阵与单位矩阵: 对角矩阵与单位矩阵:
对角矩阵
An ( m = n ) Anm = Anδ nm = 0 ( m ≠ n ) 除对角元外其余为零
§4-2-2 厄密算符的矩阵
* * A A A13 * 11 12 A = 复共轭 A* A* A23 21 22
* A13 * A23
m列n行 n 列m 行 转置矩阵： 转置矩阵：把矩阵A * * A A A A 的行和列互相调换， 的行和列互相调换， 11 21 11 21 * ~ + * 所得新矩阵称为A的 A = A A 共轭矩阵 A = A12 A22 12 22 转置矩阵 A* A* A A
+
~ * * A → ( A ) mn = ( Amn ) = Anm + * 定义矩阵A 的共轭矩阵 Amn = Anm
量子力学的表象变换与矩阵形式
基矢变换的一个重要应用是求解量子力学中的本征值 问题。通过选择合适的基矢，可以将一个复杂的二次 型哈密顿量变为简单的形式，从而方便求解。
坐标表象与动量表象
01
坐标表象和动量表象是量子力学中最常用的两种表象。在 坐标表象中，波函数是坐标的函数，而在动量表象中，波 函数是动量的函数。
02 03
在坐标表象中，哈密顿量是一个关于坐标的二次型，而在 动量表象中，哈密顿量是一个关于动量的二次型。因此， 这两种表象适用于不同类型的问题。在求解一些与位置和 动量有关的物理问题时，选择合适的表象可以大大简化计 算过程。
表象变换
基矢变换
基矢变换的基本思想是通过线性组合的方式，将一组 旧的基矢变换为新的基矢。在量子力学中，这种变换 通常是通过一个可逆矩阵来实现的。
基矢变换是指在不同表象之间进行转换时，基矢的选 择会发生改变。在量子力学中，一个量子态由一个波 函数来描述，而波函数在不同的表象下会有不同的形 式。基矢变换就是用来描子计算
01
量子纠缠是量子力学中的一种现象，指两个或多个量子系统之 间存在一种特殊的关联，使得它们的状态无法单独描述。
02
量子纠缠在量子计算中具有重要作用，是量子并行性和量子算
法复杂性的基础。
利用量子纠缠，可以实现更高效的量子算法和量子通信协议。
03
量子通信与量子密码学
量子通信利用量子力学原理实现 信息的传输和保护，具有无条件
描述了密度矩阵的演化，其矩阵形式为密度矩阵与时间导数的乘积。
矩阵形式的测量与观测
量子测量
通过测量操作，将量子态投影到测量 算子的本征态上，其结果以概率的形 式给出。
观测结果
观测结果以概率分布的形式给出，反 映了量子态的测量结果与测量算子的 本征值的关联。
量子力学的矩阵形式与表象变换
练习，求证U是么正矩阵。
么正变换小结
基矢变换： (e 1 ,e 2 ) (e 1 ,e 2 )U ()
基矢变换：Ψ´＝ΨS-1，＜－ Ψ a = Ψ ´ a´ = Ψ ´ Sa
Δ 有关矩阵知识 (参考周世勋书P250－255）
1．对角矩阵 Anm=amδnm. 2. 转置矩阵 (A ~)nmAmn
3．厄米共轭矩阵 (或称共轭矩阵) (A )nm (A ~ ) nm A m 运算规则：(AB) BA (A) A
A 1 A A2
A 3
A1 A A2
A3
以二维坐标系间变换为例。
设新坐标系 (e1,e2)相对原坐标系 (e1,e2) 顺时针 转过θ角。则
e1 c1e1c2e2,
e2 d1e1d2e2,
r (r )(r r )
动量表象
i
p x
px,
, i p
p
Fˆ(ip, p)
r (p )(12)3/2e ip r
p (r )(12)3/2e ip r
p (p )(p p )
(列矩阵的本征矢正交定义: XiXj 0 .)
C. 厄米矩阵的本征矢的正交归一完备。XiXj ij
（若简并情况下k个本征矢不正交,可以通过线性 组合,变为正交的k个本征矢）.
Δ.本征矢的归一化: XiXi 1
1
Δ.未归一的归一化系数C:
C
X
i
X
i
Δ.任意列矩阵X可用厄米矩阵的本征矢展开
量子力学的矩阵表述
2
当平面波按 δ 函数归一化时
p ~ p + dp 之间的概率密度幅
[对分立谱
设 ϕ n 是某力学量 A 的与本征值 α n 对应的本征态
ψ ( x ) = ∑ c nϕ n
n
7.3 ]
c n 是在ψ ( x) 态中测量力学量 A 得到值 α n 的概率
一 态的矩阵表述
2
矩阵表示的实质是选取态空间的一套基底后 以分立谱为例 态空间的基底
A 表象和 B 表象
ˆϕ = α ϕ A n n n
A 表象以 { ϕ n } 为基底
ˆψ = β ψ B i i i
B 表象以 { ψ i }为基底
7.27 设这两套基底都是正交归一基底
ij
(ϕ n , ϕ m ) = δ nm
任意态 Ψ 可以用 { ϕ n } 展开
(ψ ,ψ ) = δ
i j
7.28
* * ˆ ˆ ϕn ,∑ S* Fij′ = ∑ S in jm Fϕ n = ∑ S in S jm ϕ n , Fϕ m m n n,m + = ∑ S in Fnm S * jm = ∑ S in Fnm S mj
(
)
7.40
( )
n ,m
h ,m
矩阵形式为
F ′ = SFS +
7.46 7.47
An B m
2 3 算符对态的作用
exp( A)
[ A, B] 等
7.48
Φ = FΨ ⇔ Φ ′ = F ′Ψ ′
本征方程和本征值
′ = λkφ k ′ Fφ k = λ k φ k ⇔ F ′φ k
7.49
可见
4.3量子力学公式的矩阵表示
2 = 1, b1 = 2
同样步骤得
再由波函数归一化条件
1 1 ψ −1 = 2 − 2i −1
典型例题
例1、用坐标轮换的方法，写出 l 、用坐标轮换的方法， 函数， 表达。 函数，用球函数 Ylm 表达。 解：我们知道 L = 2h (即l 的全部本征函数为： 的全部本征函数为：
F1n F2n M
L L L =0
(4.3 − 6)
L Fnn − λ L M M L
方程（ 久期方程。 方程（4.3-6）称为久期方程。求解久期方程 可得到一组 值 ）称为久期方程 求解久期方程 可得到一组λ 它们就是F的本征值 把求得的λ 的本征值。 λ1 , λ 2 , L λ n L ; 它们就是 的本征值。把求得的 i 分别代入 （4.3-5）式中就可以求得与这 i 对应的本征矢 ）式中就可以求得与这λ
( ai1 (t ), ai 2 (t ),
L ain (t ) L), 其中 其中i=1,2, …n, …。 。
(3). 薛定谔方程
∂ψ ( x, t) ˆ ih = Hψ (x,t) ∂t
（ Q表象： ψ x, t） ∑ an (t )un ( x) =
n
dan (t ) ˆ ih ∑ un ( x) = ∑ an (t ) Hun ( x) dt n n
3 y − iz = −h = −hφ1−1 8π r
ˆ 的本征函数， ˆ 即 φ 1−1 的确是 Lx 的本征函数，本征值是 L x
= − h。
并积分： 左边乘以u m ( x ) 并积分
*
dam ( x) ih = ∑ an (t ) H mn = ∑ H mn an (t ) dt n n
量子力学中的量子力学力学量的表示
量子力学中的量子力学力学量的表示量子力学是描述微观世界的物理学理论，它提供了一种描述粒子性质的数学框架。
在量子力学中，力学量是描述系统状态的物理量。
本文将探讨在量子力学中，如何表示力学量以及不同力学量的物理意义。
一、力学量的表示在经典物理学中，力学量通常可以用数值来表示，例如质量、速度、位移等。
然而，量子力学中的力学量不能简单地用数值表示，而是需要用算符表示。
力学量的算符通常用大写字母表示，比如位置算符X，动量算符P等。
对于某个具体的力学量，它的算符作用在波函数上，得到的结果是该力学量对应的本征值乘以波函数。
这可以用数学表达式表示为：AΨ = aΨ其中A是力学量的算符，Ψ是波函数，a是力学量的本征值。
这个方程称为力学量的本征值方程。
二、不同力学量的表示1. 位置算符在量子力学中，粒子的位置可以用位置算符X来表示。
位置算符的本征态是位置本征态，它表示粒子在某个确定的位置。
对于一维情况，位置本征态的波函数可以写为：Ψ(x) = δ(x - x0)其中x0是位置本征态对应的位置。
2. 动量算符动量算符P描述粒子的运动状态。
动量算符的本征态是动量本征态，它表示粒子具有某个确定的动量。
对于一维情况，动量本征态的波函数可以写为：Ψ(p) = e^(ipx/ħ)其中p为动量本征态对应的动量，ħ为普朗克常数除以2π。
3. 能量算符能量是量子力学中的另一个重要的力学量。
能量算符H描述粒子的能量状态。
能量算符的本征态是能量本征态，它表示粒子具有某个确定的能量。
能量本征态的波函数可以写为：Ψ(E) = e^(-iEt/ħ)其中E为能量本征态对应的能量，t为时间。
三、力学量的测量和物理意义在量子力学中，力学量的测量是通过对算符的作用得到的本征值来实现的。
当对某个力学量进行测量时，系统将处于该力学量的某个本征态上，从而得到相应的本征值。
力学量的本征值对应着可能的测量结果。
例如，对位置算符进行测量，可以得到粒子的位置值；对动量算符进行测量，可以得到粒子的动量值。
「量子力学的矩阵形式和表象变换」
§４.５ 量子力学的矩阵形式和表象变换态和力学量算符的不同表示形式称为表象。
态有时称为态矢量。
力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换,因此可与代数中线性变换进行类比。
1、量子态的不同表象 幺正变换 （1）直角坐标系中的类比取平面直角坐标系21X OX 其基矢(我们过去称之为单位矢）可表示为21,e e,见图其标积可写成下面的形式)2,1,(),(==j i e e ijj i δ我们将其称之为基矢的正交归一关系。
平面上的任一矢量A可以写为2211e A e A A +=其中),(11A e A =，),(22A e A=称为投影分量。
而),(21A A A = 称为A在坐标系21X OX 中的表示。
现在将坐标系21X OX 沿垂直于自身面的轴顺时针转θ角度，则单位基矢变为','21e e,且同样有)2,1,()','(==j i e e ijj i δ而平面上的任一矢量A此时可以写为 ''''2211e A e A A +=其中投影分量是),'('11A e A =,),'('22A e A=。
而)','(21A A A = 称为A在坐标系'X 'OX 21中的表示。
现在的问题是：这两个表示有何关系?显然，22112211''''e A e A e A e A A+=+=。
用'1e 、'2e分别与上式中的后一等式点积（即作标积）,有),'(),'('2121111e e A e e A A+= ),'(),'('2221212e e A e e A A+=表成矩阵的形式为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212212211121),'(),'(),'(),'(''A A e e e e e e e e A A由于'1e 、1e 及'2e 、2e的夹角为θ，显然有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21212212211121cos sin sin cos ),'(),'(),'(),'(''A A A A e e e e e e e e A A θθθθ或记为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121)(''A A R A A θ 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθθcos sin sin cos )(R 是把A在两坐标中的表示⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''21A A 和⎪⎪⎭⎫⎝⎛21A A 联系起来的变换矩阵。
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* m
x
n
dx
1
n
2
m,n1
n
2
1
dx
n dx
ih
n
2
m,n1
n
2
1
m,n1
Hmn
* m
Hˆ
n
dx
Enm,n
n
1 2
h
m,n
所以，它们的矩阵表示分别是
0 1 0 0
1 0 2 0
x
1
2
0 0
20
3
0 3 0
0
1 0 0
(x,t) Fˆ (x,t)
把波函数 (、x,t) 分别(x,向t) 展开{g (x)}
(x,t) ag (t)g (x)dg
(x,t) bg (t)g (x)dg
代入到算符方程中，得
bg (t)g (x)dg ag (t)Fˆg (x)dg
上式两端做运算 g*， L得dx
bg (t)
bk (t) Fk1
F12 F22
Fk 2
F1k a1 (t)
F2k a2 (t)
Fkk ak (t)
或简写为 2．本征方程
bm (t) Fmnan (t)
n
Fˆ (x,t) (x,t)
F11 F12 F1k a1 (t) a1 (t)
（2）不论在任何具体表象中，任何厄米算符 的Fˆ矩阵元 一F定mn 是 一个数值，故其可以在公式中随意移动位置；
（3）在不同的表象中，算符的矩阵元可能会不同，但是该算符 的本征值不会改变；
（4）如果的本征值为连续谱，则
Gˆg (x) gg (x)
{g (x构)}成正交归一完备基矢组。
算符 满Fˆ足
i
d dt
a2 (t)
H 21
H 22
H 2k
a2 (t)
ak (t) H k1 H k 2 H kk ak (t)
式中
H mn
* m
(
x)Hˆ
n
(
x)dx
4．平均值公式
F(t)
*(x,t)Fˆ (x,t)dx
am* (t)an (t)
n
n
bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
n
n
上式两端做运算 m*，L得dx
bn (t) m*ndx an (t) m* Fˆndx
n
n
bn (t)mn an (t) m* Fˆndx
n
n
bm(t) an (t) m* Fˆndx
n
令 Fmn m* (x)Fˆn (x)dx
m*
(
x)
Fˆn
(
x)dx
mn
am* (t)Fmnan (t)
mn
a1*(t) a2*(t) L
F11 F12 L
F21
F22
L
ak* (t)
L L Fk1
L Fk 2
L L
L L L
F1k L a1(t)
F2k
L
a2
(t
)
L L L
Fkk
L
ak (t)
L L L
例5．已知力学量 在Sˆx某表象中的矩阵表示为 征值和归一化波函数，并将 对角化S。x
Sx 0/，2 求0/它2的本
解： 首先，求解本征值方程
0 / 2
/ 0
2
a1 a2
a1 a2
/ 2
0
/ 2
/ 2
/ 2
a1 a2
0
/ 2
下面求本征函数。
1
h 2
/ 2 / 2
/
2 /2
a1 a2
则
Fm称n 为算符 在Fˆ 表G象中的矩阵元。
算符 在Fˆ 表G象中的矩阵形式为
bm (t) Fmnan (t)
n
F11 F12 L
F21
F22
L
F(G) L L L
Fk1
Fk 2
L
L L L
F1k L
F2k
L
L L
Fkk
L
L L
因为 是Fˆ厄米算符，所以它的矩阵元的复共轭为
1 0
2
p
i
2
0 0
2 0 0 3
0
3
0
1/ 2 0 0 0
0 3/2 0 0
H 0
0
5/2
0
0 0 0 7/2
二、量子力学公式的矩阵表示
以下内容都是在 表G象下的表示。
1．算符方程
(x,t) Fˆ (x,t)
b1 (t) F11
b2 (t) F21
gn
m*
(
x)n
(
x)dx
gnmn
g1 0 0 0
0 g2 0 0
Gˆ
0
0
0 0 0 gn 0
算符在自身表象下是一个对称矩阵，并且本征值就是对角元
素。它的阵迹就是全部本征值之和。
说明：
（1）欲求力学量 在Fˆ 表G象下的矩阵表示，必须知道力学量 Gˆ 的本征解，才能计算 Fˆ的矩阵元；
0
a1 a2
把波函数归一化
/2
a1 a1
/ 2 / 2
a1*
a2*
a1 a1
2 a1
2
1
/ 2 11//
2 2
1 2
11
同理
/ 2
1 2
11
最后，把矩阵对角化。
a1 1/ 2
Sx
/ 2 0
0 /
2
Fm*n m (x)[Fˆn (x)]*dx n*(x)Fˆm (x)dx Fnm
即矩阵中关于对角线对称的元素一定互为复共轭。或者
Fmn Fn*m Fmn
它表明矩阵是厄米矩阵。一般说来，实的对称矩阵都是厄米矩阵。
特例：力学量算符在自身表象中的矩阵。
Gmn
m*
(
x)Gˆn
(
x)dx
n
(Fmn mn )an 0
n
方程有非零解的充分必要条件是系数行列式为零。
因为任意力学量在自身表象中的矩阵都是对角的，所以，通常把 求解本征方程的过程称为矩阵对角化的过程。
3．薛定格方程
ih (x,t) Hˆ (x,t)
t
a1 (t) H11 H12 H1k a1 (t)
(
x
x)Fˆ
x,
ih
x
(
x
x)dx
Fˆ
x,
ih
x
(
x
x)
其中，x为变数，x、 为x本征值。
例2．动量表象中 的xˆ矩阵元为
xpp
* p
(
x)
x
p (x)dx
1
2 h
eipx / h x p (x)dx
1
2 h
ih
p
eipx
/
h
p
(
x)dx
ih
p
1
2
h
eipx / h
F21 F22 F2k a2 (t) a2 (t)
Fk1 Fk 2 Fkk ak (t)
ak (t)
F11
F21
Fk1
F12
F22
Fk 2
F1k F2k
Fkk
a1(t)
a2 (t)
0
ak (t)
或简写为
Fmnan am
p (x)dx
ih
p
* p
(
x)
p
(
x)dx
ih ( p p)
p
或
xpp
* p
(
p)
ih
p
p
(
p)dp
(
p
p)
ih
p
(
p
p)dp
ih ( p p)
p
例3．动量表象中 的Fˆ 矩阵元为
Fpp
* p
(
p)Fˆ
p, ih
p
p (
p)dp
(
p
p)Fˆ
对同一个物理问题可以在不同的表象下处理，尽管在不同的表象
下，波函数及算符的矩阵元是不同的，但最后所得到的物理结果
（力学量的可能取值、取值几率和平均值）却都是一样的。因为我
们所关心的只是有物理意义的结果，所以，允许对表象作选择。如
果选取了一个合适的表象，将使问题得到简化。这也就是表象理论
的价值所在。
一、力学量算符的矩阵表示
力学量 满Gˆ足的本征方程
Gˆn (x) gnn (x)
算符 满Fˆ足
(x,t) Fˆ (x,t)
把波函数 (、x,t) 分别(x,向t) 展开{n (x)}
(x,t) an (t)n (x)
n
(x,t) bn (t)n (x)
n
代入到算符方程中，得 bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
*
g
g
dx
dg
ag (t)
* g
Fˆ
g
dx
dg
bg (t) (g g)dg ag (t)Fgg dg
bg (t) ag (t)Fgg dg
其中，算符 Fˆ的矩阵元
Fgg
* g
(
x)
Fˆg
(
x)dx
例1．坐标表象中 的Fˆ 矩阵元为
Fxx
* x
( x) Fˆ
x,
ih
x
x
(x)dx
§4-2 力学量算符和量子力学公式的矩阵表示