力学量和算符
力学量的平均值、算符表示 平均值
r = x2 + y2 + z 2 z θ = arccos x2 + y2 + z 2 y ϕ = arctan x
§2.6 单电子(H)原子—中心力场薛定谔方程
From
求解中心力场中的薛定谔方程，球坐标系是自然的选择
§2.6 单电子(H)原子—角向方程
角动量平方算符
2 ∂ ∂ ∂ 1 1 ˆ L = sin θ − + 2 2 sin sin θ θ θ θ ϕ ∂ ∂ ∂ 2 2
所以
1 ∂ 1 ∂ 2Y ∂Y λY − = sin θ − 2 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ
2 2 Eu (r ) − ∇ u (r ) + V (r )u (r ) = 2m
库仑势 Laplace算符：
Ze 2 V (r ) = − 4πε 0 r
r = (r ,θ , ϕ )
1 ∂ 2 ∂ 1 1 ∂2 ∂ ∂ ∇ = 2 + 2 2 sin θ + 2 r ∂θ r sin θ ∂ϕ 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ
p ↔ −i∇
动量算符：
ˆ= p −i∇
§2.5 力学量的平均值、算符表示—平均值
(4) 粒子的动能T = p2/2m
类似地，动能的平均值
2 2 = T ∫−∞ ψ (r , t )(− 2m ∇ )ψ (r , t )dτ 2 2 ˆ p ˆ= ˆ= 动能算符： T 且有 T − ∇2 2m 2m
2
∫
+∞
−∞
ϕ * ( p, t ) pϕ ( p, t )dp
ϕ ( p, t ) =
算符与力学量的关系
7
§3-6-2 力学量的可能值和相应几率
在一般状态 ψ(x) 中测量力学量F，将会得到哪些值? 即测量的可能值及其每一可能值对应的几率? 量子力学假定， 量子力学假定，测力学量 F 得到的可能值必是力学量算符 F的 本征值 λn (n = 1,2,…) 之一, 该本征值由本征方程确定： 该本征值由本征方程确定： ˆ φ n ( x ) = λ nφ n ( x ) F n = 1, 2 , L |cn|2具有几率的意义, 而每一本征值λn各以一定几率出现。 各以一定几率出现。 cn 称为几率振幅 称为几率振幅 那末这些几率究竟是多少呢？ 那末这些几率究竟是多少呢？ 如前所述， 如前所述，如果φn(x)组成完备系, ψ ( x) = ∑cnφn ( x) n 体系任一状态 体系任一状态Ψ(x)可按其展开： 可按其展开： 量子力学基本假定： 量子力学基本假定： ˆ 的本征函数φn(x)组成正交归一完备系， 任何力学量算符 F 组成正交归一完备系， 在任意已归一态ψ (x)中测量力学量 F 得到本征值 λn的几率等 于ψ (x)按φn(x)展式中φn(x) 前的系数cn的平方|cn|2 ， ˆ 取λ 的几率. 即|cn|2则表示 F n 8
ψ ( x) = ∑cnφn ( x)
n
量子力学基本假定： 量子力学基本假定： ˆ 的本征函数φn(x)组成正交归一完备系， 任何力学量算符 F 组成正交归一完备系， 在任意已归一态ψ (x)中测量力学量 F 得到本征值 λn的几率等 于ψ (x)按φn(x)展式中φn(x) 前的系数cn的平方|cn|2 ， ˆ 取λ 的几率. 即|cn|2则表示 F n 9
展开系数
* c( p) = ∫ Ψp ( x)Ψ( x, t )dx
3.6算符与力学量的关系
1 x xdx c c xn xdx c c
m n mn
cn 称为概率振幅。
二.展开假定 量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本 征函数组成完全系。当体系处于 x cnn x 所描写
ˆ 的状态时，测量力学量F所得的数值，必定是算符 F
s x e dx, s 0
s 1 x 0
，
5
，
0
x n e ax dx
n! a n 1
当s=1时， 递推公式
1 e dx 1
x 0
2 x e x dx 1 1
0
s 1 ss , s 0
x x dx c n m xn xdx cn mn cm m n n
即
cn n ( x) x dx
（3.6.2）
由 x 的归一化条件，可得出 cn
m n m n n
2
1 。
cn （3.6.3）
§3.6算符与力学量的关系
ˆ 是满足一定条件的厄米算符， 一.数学中已证明：如果 F 它的正交归一本征函数是 n x ，对应的本征值是
n ，则任意函数 x 可以按 n x 展开为级数：
x cnn ， x （3.6.1）
n
本征函数的这种性质称为完全性。或者说 n x 组成完全系。展开系数
x cnn x c x d
n
（3.6.7）
（3.6.8）
c x dx
代替（3.6.3）式：有
cn
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱc
4. 力学量与算符
ˆ ) d F ˆ )d ( F ˆ )d ˆG ˆ (G ˆ ) (G 证明： ( F
ˆ F ˆF ˆF ˆ d (G ˆ ) d [( G ˆ )] d G
力学量—表示一个体系力学性质的量。 微观体系的力学量与经典系统的力学量有着重要的区别的：
经典力学体系中假定力学量都是可以连续变化的，任何两个 力学量（如： x, p x ）可同时具有确定值，即存在轨道的概念；
微观体系的一些量却往往只取分立值（如势阱中粒子的能 量，线性谐振子的能量，原子的能量及角动量等） ，也有些量根 本不可能同时具有确定值（如： x和p x ；T和U ） 。微观体系的 这些特点源于它的波动性（无轨道问题） 。
ˆ 之和仍是线性算符 ˆ,G <2 >线性算符F
ˆ (c u c u ) ˆ (c u c u ) G ˆ )(c u c u ) F ˆ G (F 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ 线性 ˆ ,G F
和定义
ˆ ˆ ˆu c F ˆ c1 F 1 2 u 2 c 1 Gu 1 c 2 Gu 2
3. 算符相乘 ˆ 之 ˆ (F ˆ u) M ˆ u , 则称算符 M ˆ F ˆ为 与 G u ，有G 若对任意的函数
ˆF ˆ 不一定等于 ˆF ˆ ） ˆ G ˆ （注意：G ˆG F 积。记为 M 。
ˆ 相继作用在 ˆ n 表示，即： u 上 n 次，则可用 F F 如一个算符
ˆF ˆ F ˆu F ˆ nu ˆ (F ˆ u) F ˆ 2u ； F F ˆ m和F ˆ n 可以交换顺序，n, m 均为正整数。 ˆ nF ˆm F ˆ mF ˆ n ，即 F 即有F
力学量的算符表示和平均值
一、力学量的算符表示 量子力学中描述系统的每一个力学量对应一个算符。 与动量相对应的算符 动量分量的算符
p x i x p y i y p z i z
ˆ p i
与动量平方相对应的算符是
ˆ 2 2 2 p
与能量相对应的算符
2 2 ˆ H U (r ) 2
称为哈密顿算符
1
角动量算符为
直角坐标系中的分量式
ˆrp ˆ L
球坐标系中的分量式
ˆ Lx i(sin cot cos ) ˆ i( cos cot sin ) Ly ˆ i Lz
2
2
角动量平方算符也可以表示为
2 1 ˆ2 ˆ2 L (sin ) 2 Lz sin sin
二、本征函数、本征值和平均值
算符是代表对波函数的一种运算，是把一个波函数 或量子态变换成另一个波函数或量子态。 A A
此式为力学量的本征值方程，常量A称为力学量的本征值。
角动量平方算符为
ˆ ˆ ˆ ˆ L2 L2 L2y L2 x z
1 1 ˆ ˆ L2 2 [ (sin ) 2 ] 2 Ω 2 sin sin
式中算符
1 1 (sin ) sin sin 2
ˆ yp zp i( y z ) ˆz ˆy Lx z y ˆ zp xp i( z x ) ˆx ˆz Ly x z ˆ xp yp i( x y ) ˆy ˆx Lz y x
引入哈密顿算符后，定态薛定谔方程可以简化为 ˆ
力学量和算符
第三章 力学量和算符内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数 。
用波函数描述粒子的运动状态。
本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。
然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。
我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现 。
§ 3.1 力学量算符的引入 § 3.2 算符的运算规则§ 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 § 3.4 连续谱本征函数§ 3.5 量子力学中力学量的测量 § 3.6 不确定关系 § 3.7 守恒与对称在量子力学中。
微观粒子的运动状态用波函数描述。
一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。
在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。
一般说来。
当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。
当给定描述这一运动状态的波函数 后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。
利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。
既然一切力学量的平均值原则上可由 给出，而且这些平均值就是在 所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。
力学量的平均值对以波函数(,)r t ψ 描述的状态，按照波函数的统计解释，2(,)r t ψ表示在t 时刻在 r r d r →+中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是:()2*(,)(,)(,) 3.1.1r r t rdr r t r r t dr ψψψ∞∞-∞-∞==⎰⎰坐标r 的函数()f r的平均值是：()()()*(,)(,) 3.1.2f r r t f r r t dr ψψ∞-∞=⎰现在讨论动量的平均值。
1.7-量子力学中的算符和力学量
算符即运算规则算符即运算规则。
它作用在一个函数ψ(x)(x)上即是对上即是对ψ(x)(x)进行某进行某种运算种运算，，得到另一个函数ϕ(x)§1.7 1.7 量子力学中的力学量和算符量子力学中的力学量和算符例：)()(ˆx x Fϕψ=)()(ˆx xf x f x =)()(ˆx f x f I =dxd D =ˆ1、定义2、乘法与对易算符的乘法一般不服从交换律:)ˆ(ˆˆψψB A BA ≡AB B Aˆˆˆˆ≠例如:则算符的对易式可记为则算符的对易式可记为：：若对任意若对任意ΨΨ，都有：则称和对易:引入记号: ψψA B B Aˆˆˆˆ=A ˆB ˆ]ˆ,ˆ[ˆˆˆˆB A A B B A≡−0]ˆ,ˆ[=B AI x Dˆ]ˆ,ˆ[=h i p xx =]ˆ,ˆ[易证:可定义算符的可定义算符的n n 次方为：A A AA n ˆˆˆˆ⋅⋅⋅=可定义算符的多项式和算符的函数可定义算符的多项式和算符的函数。
例如：3、线性算符设C 1, C 2为常数为常数，，若算符满足：则称其为线性算符则称其为线性算符。
量子力学态叠加原理要求力学量算符必须是线性算符例如例如，，下列算符为线性算符下列算符为线性算符：：22112211ˆˆ)(ˆΨ+Ψ=Ψ+ΨF C F C C C F x pH y x x ˆ,ˆ,,2∂∂∂∂∂算符的本征值方程:4、本征函数本征函数、、本征值λ为算符的本征值的本征值，，为算符的本征值为λ的本征函数的本征函数。
例如，e 2x 是微商算符的本征函数：)()(ˆx x Fλψψ=)(x ψFˆF ˆF ˆ定态薛定谔方程：它是哈密顿算符的本征方程它是哈密顿算符的本征方程，，波函数ψ 是哈密顿算符的本征函数征函数，，能量E 是哈密顿算符的本征值是哈密顿算符的本征值。
例如例如：：ψψE H=ˆ2211ˆˆΨ=ΨΨ=ΨλλF F )(ˆˆ)(ˆ221122112211Ψ+Ψ=Ψ+Ψ=Ψ+ΨC C F C F C C C F λ则：狄拉克符号：〉≡ψψ|)(r v |)(*ψψ〈≡r r ∗〉〈=〉〈≡∫ψϕϕψτϕψ||)()(*d r r v v一个算符如果满足如下关系一个算符如果满足如下关系，，则称为厄米算符则称为厄米算符，：，：其中积分遍及整个空间其中积分遍及整个空间，，函数ψ, ϕ是任意的品优函数是任意的品优函数。
力学量与算符
令本征值 令本征值
′h2 上式可写为： λ = λ 上式可写为：
该微分方程被称为球谐方程。 该微分方程被称为球谐方程。在数学物理方法中 有专门的讲述
ˆ Aunj =anunj
j =12,3,⋅⋅⋅g ,
g 为简并度
ˆ = −ih d 的本征值及本征波函数。 的本征值及本征波函数。 例1：求解算符 Lz ： dϕ
解：首先写出该算符的本征值方程为： 首先写出该算符的本征值方程为：
ˆ Φ(ϕ) =−ih d Φ(ϕ) = L Φ(ϕ) Lz z dϕ i 求解此方程： 求解此方程： dΦ i Lzϕ = Lzdϕ ⇒Φ(ϕ) =ceh Φ h
i Lz 2π eh
Φ(ϕ) =Φ(ϕ +2π)
=1
2 Lz π +isin 2πLz =1 cos h h 2πLz 2 Lz π =m2π m=0,±1±2,±3⋅⋅⋅ cos =1⇒ , h h
则本征值及本征波函数为： 则本征值及本征波函数为：
Lz = mh m=0,±1±2,±3⋅⋅⋅ , Φ(ϕ) =ceimϕ 积分常数c 利用归一化条件来确定积分常数 ： 2π 1 2 2 ∫0 Φ(ϕ) dϕ = c 2π =1⇒c = 2π 最后结果： 最后结果： Lz = mh m=0,±1±2,±3⋅⋅⋅ , 1 imϕ Φ(ϕ) = e 2π
§2、力学量的测得值与平均值
问题: 问题 如何确定在一定的微观状态下, 如何确定在一定的微观状态下 微观粒子各力学量的取值呢? 微观粒子各力学量的取值呢
对微观粒子进行力学量的测量, 对微观粒子进行力学量的测量 每次测得的结果只能是该力学量算 符的所有本征值中的一个. 符的所有本征值中的一个
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第三章力学量和算符内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数。
用波函数描述粒子的运动状态。
本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。
然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。
我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现。
§3.1 力学量算符的引入§3.2 算符的运算规则§3.3 厄米算符的本征值和本征函数§3.4 连续谱本征函数§3.5 量子力学中力学量的测量§3.6 不确定关系§3.7 守恒与对称在量子力学中。
微观粒子的运动状态用波函数描述。
一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。
在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。
一般说来。
当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。
当给定描述这一运动状态的波函数后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。
利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。
既然一切力学量的平均值原则上可由给出，而且这些平均值就是在所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。
力学量的平均值对以波函数(,)r t ψ描述的状态，按照波函数的统计解释，2(,)r t ψ表示在t 时刻在 r r d r →+中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是:()2*(,)(,)(,) 3.1.1r r t rdr r t r r t dr ψψψ∞∞-∞-∞==⎰⎰坐标r 的函数()f r 的平均值是：()()()*(,)(,) 3.1.2f r r t f r r t dr ψψ∞-∞=⎰现在讨论动量的平均值。
显然，P 的平均值P 不能简单的写成2(,)P r t Pdr ψ∞-∞=⎰，因为2(,)r t dr ψ只表示在 r r dr →+中的概率而不代表在P P dP →+中找到粒子的概率。
要计算P ，应该先找到在t 时刻，在P P dP →+中找到粒子的概率2(,)C P t dP ，这相当于对(,)r t ψ作傅里叶变化，而(,)C r t 有公式 给出。
动量p 的平均值可表示为但前述做法比较麻烦，下面我们将介绍一种直接从(,)r t ψ 计算动量平均值的方法。
由（3.1.4）式得 利用公式 可以得到记动量算符为 ˆpi =-∇则 ()*ˆ(,)(,) 3.1.9p r t pr t dr ψψ∞-∞=⎰ 从而有 ()()()*ˆ(,)(,) 3.1.10f p r t f pr t dr ψψ∞-∞=⎰ 例如：动能的平均值是 角动量L 的平均值是()()*3.1.12L r p r i dr ψψ∞-∞⎡⎤=⨯=⨯-∇⎣⎦⎰综上所述，我们得出，在求平均值的意义下，力学量可以用算符来代替。
下面我们来介绍动量算符的物理意义。
为简单考虑一维运动，设量子体系沿x 方向做一空间平移a ，这是状态由原ψ变为ψ'，如图所示。
显然 ()x a ψψ'=- （3.1.13） 若1a <<，可做泰勒展开()()()()222222()()()()2! 1()2! ()da dxa dd x x a x x dx dx a d d a x dx dx ex ψψψψψψ--'=+-+⋅⋅⋅⎡⎤-=+-++⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦= （3.1.14）即当a 在无穷小的情况下，取准确到一级项有 ()()ˆ1x ix p a x ψψ⎛⎫'=-⎪⎝⎭（3.1.15） 因此，状态()x ψ经空间平移后变成另一态()x ψ'，它等于某个变量算作用于原来态上的结果，而该变换算符可由动量算符来表达ˆx i pa e-，特别在无穷小移动的情况下，动量算符纯粹反映着空间平移的特性，所以动量算符又称为空间平移无穷小算符，动量反映着坐标变化（平移）的趋势或能力。
推广到三维运动，状态()r ψ在空间平移a 下，变为 ()()()ˆˆ1ir r a pa r ψψψ⎛⎫'=-=-⋅ ⎪⎝⎭（3.1.16） § 3.2 算符的运算规则 3.2.1 算符的定义所谓算符，是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。
若某种运算把函数μ变为v ，记作则表示这种运算的符号ˆF就称为算符。
如果算符ˆF作用于一个函数ψ，结果等于乘上一个常数λ，记为 ˆFψλψ= （3.2.1） 则λ为ˆF的本征值，为ˆF 的本征函数，上述方程称为ˆF 的本征方程。
若算符满足： []1212ˆˆˆF c c c F c F ψψψψ+=+ （3.2.2）其中1ψ、2ψ为任意函数，1c 、2c 为常数，则ˆF称为线性算符若算符满足 ˆIψψ= （3.2.3） ψ为任意函数，则称ˆI 为单位算符。
3.2.2 算符的运算规则算符之和()ˆˆˆˆAB A B ψψψ+=+ （3.2.4）ψ 为任意波函数。
显然，算符之和满足交换率和结合律ˆˆˆˆAB B A +=+ ()()ˆˆˆˆˆˆAB C A B C ++=++ 显然，线性算符之和仍为线性算符。
算符之积()()ˆˆˆˆABA B ψψ= （3.2.5）注：一般情形ˆˆˆˆAB BA ≠ （3.2.6） 比方，取ˆAx =，ˆˆx B p i x∂==-∂则 但 ()ˆx xpi x i i x x xψψψψ∂∂=-=--∂∂ 因此 ()ˆˆx x xpp x i ψψ-= （3.2.7）由于ψ是任意函数，从(3.2.7)式得ˆˆx x xpp x i -= （3.2.8）从（3.2.8）可见， ˆˆx x xpp x ≠ 记ˆˆAB和ˆˆBA 之差为 ˆˆˆˆˆˆ,A B AB BA ⎡⎤=-⎣⎦（3.2.9） 称为算符ˆA，ˆB 的对易关系或对易子。
式（3.2.8）可记为[]ˆ,x x pi =若算符ˆA和ˆB 的对易子为零，则称算符ˆA 和ˆB 对易。
利用对易子的定义（3.2.9）式，易证下列恒等式ˆˆˆˆ,,AB B A ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦ ˆˆ,0AA ⎡⎤=⎣⎦()ˆˆ,0AC C ⎡⎤=⎣⎦为常数ˆˆˆˆˆˆˆ,,,A B C A B A C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （3.2.10） ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,ABC A B C B A C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,BCA B A C B C A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,,,0AB C B C A C A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 最后一式称为雅可比恒等式。
作为例子，我们讨论角动量算符ˆˆL r p=⨯ ˆˆˆx x y L yp zp i y z z y ⎛⎫∂∂=-=-- ⎪∂∂⎝⎭ˆˆˆy y z L zp yp i z x xz ∂∂⎛⎫=-=-- ⎪∂∂⎝⎭ （3.2.11）ˆˆˆz y x L xp yp i x y y x ⎛⎫∂∂=-=-- ⎪∂∂⎝⎭它们和坐标算符的对易子是ˆˆˆ,0,,,,ˆˆˆ,,,0,,ˆˆˆ,,,,,0,x x x y y y z z z L x L y i z L z i y L x i z L y L z i x L x i y L y i x L z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-==⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤==-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （3.2.12） （3.2.12）式可表示为ˆ,L x i x αβαβγγε⎡⎤=⎣⎦（3.2.13） 上式中α，β，γ=1,2,3表示相应的分量，αβγε成为列维-斯维塔记号，满足1231αβγβαγαγβεεεε==-=- （3.2.14）任意两个下脚标相同，则αβγε为零。
同理可得ˆˆˆ,L p i pαβαβγγε⎡⎤=⎣⎦（3.2.15） ˆˆˆ,LL i L αβαβγγε⎡⎤=⎣⎦ （3.2.16）式中不为零的等式也可写成ˆˆˆL L i L ⨯= （3.2.17） 坐标和动量的对易子可写为ˆ,x p iαβαβδ⎡⎤=⎣⎦ （3.2.18）其中1 0 αβαβδαβ=⎧=⎨≠⎩ （3.2.19）角动量算符的平方是：2222ˆˆˆˆx y zL L L L =++ （3.2.20） 则 222222ˆˆˆˆˆˆ,,,0x y zL L L L L L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦（3.2.21） 在球坐标系下sin cos sin cos cos x r y r z r θϕθϕθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩（3.2.22）则cos r z r y tg x θϕ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩（3.2.23）将r 两边对x 求偏导，得： s i n c o s xx rθϕ∂==∂ （3.2.24） 将cos z r θ=两边对x 求偏导，得：211cos cos sin z r x r x rθθϕθ∂∂=-=∂∂（3.2.25） 再将ytg xϕ=两边对x 求偏导，得：221sin sec sin y x x r ϕϕϕθ∂=-=-∂ （3.2.26） 利用这些关系式可求得：11sin sin cos cos cos sin r x x r x x r r r θϕθϕϕθϕθϕθθϕ∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+-∂∂∂ （3.2.27）同理可得：11cos sin sin cos sin sin r y y r y y r r r θϕθϕϕθϕθϕθθϕ∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂ （3.2.28）1 cos sin r z z r z z r r θϕθϕθθθ∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-∂∂ （3.2.29）则角动量算符可表示为：ˆsin cos x L i ctg ϕθϕθϕ⎛⎫∂∂=+ ⎪∂∂⎝⎭（3.2.30） ˆcos sin y L i ctg ϕθϕθϕ⎛⎫∂∂=-+ ⎪∂∂⎝⎭（3.2.31） ˆzL i ϕ∂=-∂ （3.2.32）由此可得：()2222222222222ˆ[sin 2sin cos cos +ctg cos csc sin cos ]x L ctg ctg ctg ϕθϕϕθϕθθϕϕθϕθθϕϕθϕ∂∂∂=-++∂∂∂∂∂∂-+∂∂ （3.2.33）()2222222222222ˆ[cos 2sin cos sin +ctg sin csc sin cos ]y L ctg ctg ctg ϕθϕϕθϕθθϕϕθϕθθϕϕθϕ∂∂∂=--+∂∂∂∂∂∂++∂∂ （3.2.34）2222ˆzL ϕ∂=-∂ （3.2.35） 所以 2222ˆˆˆˆx y zL L L L =++ 222211sin sin sin θθθθθϕ⎡⎤∂∂∂⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥∂∂∂⎝⎭⎣⎦（3.2.36）则2ˆL的本征方程可写为： ()()22211sin ,,sin sin Y Y θθϕλθϕθθθθϕ⎡⎤∂∂∂⎛⎫+=- ⎪⎢⎥∂∂∂⎝⎭⎣⎦（3.2.37）在数理方法中已讨论过，必须有：()1l l λ=+ （3.2.38） 可解得：()()(),1cos mm im lm lm lY N P e ϕθϕθ=- ,1,,m l l l =-⋅⋅⋅- （3.2.39） lm N 为归一化系数，()cos ml P θ为连带勒让得多项式。