算符与力学量的关系
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力学量算符之间的对易关系
∧ ∧ ∧ ∧
（6）
称算符 F 与 G 是不对易的（不能交换位置） ，即 F G ≠ G F 。
1
若
∧
∧ ∧ ∧
⎡∧ ∧⎤ F , G⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
∧ ∧
（7）
称算符 F 与 G 是对易的，即 F G = G F 。 下面几个经常使用的对易关系，请自行证明。
∧ ∧ ⎧ ∧ ∧ F G G [ , ] [ , F] = − ⎪ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ⎪ [ F , G + M ] = [ F , G] + [ F , M ] ⎨ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪[ F , G M ] = G[ F , M ] + [ F , G ] M ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ∧ ∧ ∧ ⎪ F G M F G M F M G [ , ] [ , ] [ , ] = + ⎩ 1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子，相互对易
记忆方法：从左至右以 x → y → z → x 依次循环指标为正，任何一个指标错位即为负，相同 指标则为零。以相同的推导方法和记忆规律，有
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎧ ∧ ∧ h h = = = − [ L , p ] 0 , [ L , p ] i p , [ L , p ] i p x x x y z x z y ⎪ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ∧ ∧ ⎨[ L y , p x ] = −ih p z , [ L y , p y ] = 0, [ L y , p z ] = ih p x ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ∧ ∧ ⎪[ L z , p x ] = ih p y , [ Lz , p y ] = −ih p x , [ L z , p z ] = 0 ⎩
（6）
称算符 F 与 G 是不对易的（不能交换位置） ，即 F G ≠ G F 。
1
若
∧
∧ ∧ ∧
⎡∧ ∧⎤ F , G⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
∧ ∧
（7）
称算符 F 与 G 是对易的，即 F G = G F 。 下面几个经常使用的对易关系，请自行证明。
∧ ∧ ⎧ ∧ ∧ F G G [ , ] [ , F] = − ⎪ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ⎪ [ F , G + M ] = [ F , G] + [ F , M ] ⎨ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪[ F , G M ] = G[ F , M ] + [ F , G ] M ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ∧ ∧ ∧ ⎪ F G M F G M F M G [ , ] [ , ] [ , ] = + ⎩ 1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子，相互对易
记忆方法：从左至右以 x → y → z → x 依次循环指标为正，任何一个指标错位即为负，相同 指标则为零。以相同的推导方法和记忆规律，有
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎧ ∧ ∧ h h = = = − [ L , p ] 0 , [ L , p ] i p , [ L , p ] i p x x x y z x z y ⎪ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ∧ ∧ ⎨[ L y , p x ] = −ih p z , [ L y , p y ] = 0, [ L y , p z ] = ih p x ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ∧ ∧ ⎪[ L z , p x ] = ih p y , [ Lz , p y ] = −ih p x , [ L z , p z ] = 0 ⎩
算符与力学量的关系
算符与力学量的关系
7
§3-6-2 力学量的可能值和相应几率
在一般状态 ψ(x) 中测量力学量F，将会得到哪些值? 即测量的可能值及其每一可能值对应的几率? 量子力学假定， 量子力学假定，测力学量 F 得到的可能值必是力学量算符 F的 本征值 λn (n = 1,2,…) 之一, 该本征值由本征方程确定： 该本征值由本征方程确定： ˆ φ n ( x ) = λ nφ n ( x ) F n = 1, 2 , L |cn|2具有几率的意义, 而每一本征值λn各以一定几率出现。 各以一定几率出现。 cn 称为几率振幅 称为几率振幅 那末这些几率究竟是多少呢？ 那末这些几率究竟是多少呢？ 如前所述， 如前所述，如果φn(x)组成完备系, ψ ( x) = ∑cnφn ( x) n 体系任一状态 体系任一状态Ψ(x)可按其展开： 可按其展开： 量子力学基本假定： 量子力学基本假定： ˆ 的本征函数φn(x)组成正交归一完备系， 任何力学量算符 F 组成正交归一完备系， 在任意已归一态ψ (x)中测量力学量 F 得到本征值 λn的几率等 于ψ (x)按φn(x)展式中φn(x) 前的系数cn的平方|cn|2 ， ˆ 取λ 的几率. 即|cn|2则表示 F n 8
ψ ( x) = ∑cnφn ( x)
n
量子力学基本假定： 量子力学基本假定： ˆ 的本征函数φn(x)组成正交归一完备系， 任何力学量算符 F 组成正交归一完备系， 在任意已归一态ψ (x)中测量力学量 F 得到本征值 λn的几率等 于ψ (x)按φn(x)展式中φn(x) 前的系数cn的平方|cn|2 ， ˆ 取λ 的几率. 即|cn|2则表示 F n 9
展开系数
* c( p) = ∫ Ψp ( x)Ψ( x, t )dx
7
§3-6-2 力学量的可能值和相应几率
在一般状态 ψ(x) 中测量力学量F，将会得到哪些值? 即测量的可能值及其每一可能值对应的几率? 量子力学假定， 量子力学假定，测力学量 F 得到的可能值必是力学量算符 F的 本征值 λn (n = 1,2,…) 之一, 该本征值由本征方程确定： 该本征值由本征方程确定： ˆ φ n ( x ) = λ nφ n ( x ) F n = 1, 2 , L |cn|2具有几率的意义, 而每一本征值λn各以一定几率出现。 各以一定几率出现。 cn 称为几率振幅 称为几率振幅 那末这些几率究竟是多少呢？ 那末这些几率究竟是多少呢？ 如前所述， 如前所述，如果φn(x)组成完备系, ψ ( x) = ∑cnφn ( x) n 体系任一状态 体系任一状态Ψ(x)可按其展开： 可按其展开： 量子力学基本假定： 量子力学基本假定： ˆ 的本征函数φn(x)组成正交归一完备系， 任何力学量算符 F 组成正交归一完备系， 在任意已归一态ψ (x)中测量力学量 F 得到本征值 λn的几率等 于ψ (x)按φn(x)展式中φn(x) 前的系数cn的平方|cn|2 ， ˆ 取λ 的几率. 即|cn|2则表示 F n 8
ψ ( x) = ∑cnφn ( x)
n
量子力学基本假定： 量子力学基本假定： ˆ 的本征函数φn(x)组成正交归一完备系， 任何力学量算符 F 组成正交归一完备系， 在任意已归一态ψ (x)中测量力学量 F 得到本征值 λn的几率等 于ψ (x)按φn(x)展式中φn(x) 前的系数cn的平方|cn|2 ， ˆ 取λ 的几率. 即|cn|2则表示 F n 9
展开系数
* c( p) = ∫ Ψp ( x)Ψ( x, t )dx
3.6算符与力学量的关系
* 其 中 :c ( ) n n, n d
或 : c d ( F 具 有 连 续 谱 )
* 其 中 :c d
c ( F 具 有 分 立 谱 ) , 其 中 : c d ( , ) ( x ) d x [ c ] d x c d x
* c () t ) ( x ,t ) d x n n(x
( x x )( x x ) ( x x ) . . . ( x x )
11 2 2 nn
* * ( x , t )[ ( x ) ( x , t ) d x ] ( x ) [( x ) ( x ) ] ( x , t ) d x n n n n
§3.6 算符与力学量的关系 Relations of operator & mechanical quantity
一、厄密算符本征函数的完备性 (Completeness of Hermitian operator eigenfunction) 二、力学量的可能测值 (Possible values Mechanical quantities)
0
x2dx 2 4 (1 x ) 32
0
w( p)dp 1
第三章 量子力学中的力学量 Mechanical quantity in quantum mechanics
§3.1 表示力学量的算符 Operators expressed the mechanical quantities
n n n * n n
* m * mn n * nm n
或 : c d ( F 具 有 连 续 谱 )
* 其 中 :c d
c ( F 具 有 分 立 谱 ) , 其 中 : c d ( , ) ( x ) d x [ c ] d x c d x
* c () t ) ( x ,t ) d x n n(x
( x x )( x x ) ( x x ) . . . ( x x )
11 2 2 nn
* * ( x , t )[ ( x ) ( x , t ) d x ] ( x ) [( x ) ( x ) ] ( x , t ) d x n n n n
§3.6 算符与力学量的关系 Relations of operator & mechanical quantity
一、厄密算符本征函数的完备性 (Completeness of Hermitian operator eigenfunction) 二、力学量的可能测值 (Possible values Mechanical quantities)
0
x2dx 2 4 (1 x ) 32
0
w( p)dp 1
第三章 量子力学中的力学量 Mechanical quantity in quantum mechanics
§3.1 表示力学量的算符 Operators expressed the mechanical quantities
n n n * n n
* m * mn n * nm n
量子力学中的力学量和关系讲解
, x, y, z
量子力学中最基本的 对易关系。
xpˆypˆyx0 ypˆxpˆxy0 zpˆxpˆxz0 xpˆzpˆzx0 ypˆzpˆzy0 zpˆypˆyz0 pˆxpˆypˆypˆx0 pˆypˆzpˆzpˆy0 pˆzpˆxpˆxpˆz0
若算符满足
ÔÛ = - ÛÔ， 则称 Ô 和 Û
px py
解 之
i (z
)
d ( z ) dz
pz
得
p
(r
)
(x)
(y)
(z)
c e c e c e i
px
x
i
py
y
i
pz z
1
2
3
i
ce
p•r
这正是自由粒子的de
Broglie波的空间部分
II. 归一化系数的确定
波函数。
* p (r )
p (r)d
|c|2 e e d ip •r ip •r
因为 是任意波函数，
显然二者结果不相等，所以:
量子力学
所 以 xpˆ x pˆ x x i 8对易
关系
同理可证其它坐标算符
与共轭动量满足
ypˆ y pˆ y y i
zpˆ z
pˆ z z
i
写成通式:
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
x pˆ pˆ x i
pˆ pˆ pˆ pˆ 0
势能算符 Vˆ之和。
例如：体系Hamilton 算符 显然，算符求和满足交换率
和结合率。
交换率：Ô+Û =Û+Ô
量子力学
结合率： Ô+Û+Â =Ô+(Û+Â）
量子力学中最基本的 对易关系。
xpˆypˆyx0 ypˆxpˆxy0 zpˆxpˆxz0 xpˆzpˆzx0 ypˆzpˆzy0 zpˆypˆyz0 pˆxpˆypˆypˆx0 pˆypˆzpˆzpˆy0 pˆzpˆxpˆxpˆz0
若算符满足
ÔÛ = - ÛÔ， 则称 Ô 和 Û
px py
解 之
i (z
)
d ( z ) dz
pz
得
p
(r
)
(x)
(y)
(z)
c e c e c e i
px
x
i
py
y
i
pz z
1
2
3
i
ce
p•r
这正是自由粒子的de
Broglie波的空间部分
II. 归一化系数的确定
波函数。
* p (r )
p (r)d
|c|2 e e d ip •r ip •r
因为 是任意波函数，
显然二者结果不相等，所以:
量子力学
所 以 xpˆ x pˆ x x i 8对易
关系
同理可证其它坐标算符
与共轭动量满足
ypˆ y pˆ y y i
zpˆ z
pˆ z z
i
写成通式:
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
x pˆ pˆ x i
pˆ pˆ pˆ pˆ 0
势能算符 Vˆ之和。
例如：体系Hamilton 算符 显然，算符求和满足交换率
和结合率。
交换率：Ô+Û =Û+Ô
量子力学
结合率： Ô+Û+Â =Ô+(Û+Â）
第12讲厄米算符的本征值和本征函数、算符与力学量的关系
（2）分立谱、连续谱正交归一表示式
1. 分立谱正 交归一条 件分别为： 3. 正交归一系
n * n d 1 m * n d 0
m
* nd 0
[证毕]
m
* n d mn
2. 连续谱正 交归一条 件表示为：
* d ( )
2线性谐振子能量本征函数组成正交归一系1动量本征函数组成正交归一系3角动量本征函数组成正交归一系本征函数4氢原子波函数组成正交归一系四实例一力学量的可能值二力学量的平均值力学量有确定值的条件三例题量子力学基本假定iii告诉人们在任意态r中测量任一力学量f所得的结果只能是由算符f的本征方程之一
第三章 量子力学中的力学量
满足上式的函数系 φn 或φλ 称为正交归一（函数）系。
（4）简并情况
上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设 这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。
如果 F 的本征值Fn是f度简并的，则对应Fn有f个本征函数：φn1 ,φn2 , ..., φnf
满足本征方程：
ˆ F F ni n ni
§3.5 厄密算符的本征值与本征函数
（一）厄密算符的平均值 （二）厄密算符的本征方程 （三）厄密算符本征函数的正交性
（四）实例
（一）厄密算符的平均值
定理I：体系任何状态ψ下，其厄密算符的平均值必为实数。 证：
ˆ F d * F
逆定理：在任何状态下，平均值均为 实数的算符必为厄密算符。 证：
1. ψ nj是本征值Fn的本征函数。
2. 满足正交归一条件的f个新函数ψnj可以组成。 为此只需证明线性 叠加系数 Aji 的个 数 f 2 大于或等于 正交归一条件方程 个数即可。
1. 分立谱正 交归一条 件分别为： 3. 正交归一系
n * n d 1 m * n d 0
m
* nd 0
[证毕]
m
* n d mn
2. 连续谱正 交归一条 件表示为：
* d ( )
2线性谐振子能量本征函数组成正交归一系1动量本征函数组成正交归一系3角动量本征函数组成正交归一系本征函数4氢原子波函数组成正交归一系四实例一力学量的可能值二力学量的平均值力学量有确定值的条件三例题量子力学基本假定iii告诉人们在任意态r中测量任一力学量f所得的结果只能是由算符f的本征方程之一
第三章 量子力学中的力学量
满足上式的函数系 φn 或φλ 称为正交归一（函数）系。
（4）简并情况
上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设 这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。
如果 F 的本征值Fn是f度简并的，则对应Fn有f个本征函数：φn1 ,φn2 , ..., φnf
满足本征方程：
ˆ F F ni n ni
§3.5 厄密算符的本征值与本征函数
（一）厄密算符的平均值 （二）厄密算符的本征方程 （三）厄密算符本征函数的正交性
（四）实例
（一）厄密算符的平均值
定理I：体系任何状态ψ下，其厄密算符的平均值必为实数。 证：
ˆ F d * F
逆定理：在任何状态下，平均值均为 实数的算符必为厄密算符。 证：
1. ψ nj是本征值Fn的本征函数。
2. 满足正交归一条件的f个新函数ψnj可以组成。 为此只需证明线性 叠加系数 Aji 的个 数 f 2 大于或等于 正交归一条件方程 个数即可。
3.6算符与力学量的关系
2 n
1 x xdx c c xn xdx c c
m n mn
cn 称为概率振幅。
二.展开假定 量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本 征函数组成完全系。当体系处于 x cnn x 所描写
ˆ 的状态时，测量力学量F所得的数值，必定是算符 F
s x e dx, s 0
s 1 x 0
，
5
，
0
x n e ax dx
n! a n 1
当s=1时， 递推公式
1 e dx 1
x 0
2 x e x dx 1 1
0
s 1 ss , s 0
x x dx c n m xn xdx cn mn cm m n n
即
cn n ( x) x dx
（3.6.2）
由 x 的归一化条件，可得出 cn
m n m n n
2
1 。
cn （3.6.3）
§3.6算符与力学量的关系
ˆ 是满足一定条件的厄米算符， 一.数学中已证明：如果 F 它的正交归一本征函数是 n x ，对应的本征值是
n ，则任意函数 x 可以按 n x 展开为级数：
x cnn ， x （3.6.1）
n
本征函数的这种性质称为完全性。或者说 n x 组成完全系。展开系数
x cnn x c x d
n
（3.6.7）
（3.6.8）
c x dx
代替（3.6.3）式：有
cn
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱc
1 x xdx c c xn xdx c c
m n mn
cn 称为概率振幅。
二.展开假定 量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本 征函数组成完全系。当体系处于 x cnn x 所描写
ˆ 的状态时，测量力学量F所得的数值，必定是算符 F
s x e dx, s 0
s 1 x 0
，
5
，
0
x n e ax dx
n! a n 1
当s=1时， 递推公式
1 e dx 1
x 0
2 x e x dx 1 1
0
s 1 ss , s 0
x x dx c n m xn xdx cn mn cm m n n
即
cn n ( x) x dx
（3.6.2）
由 x 的归一化条件，可得出 cn
m n m n n
2
1 。
cn （3.6.3）
§3.6算符与力学量的关系
ˆ 是满足一定条件的厄米算符， 一.数学中已证明：如果 F 它的正交归一本征函数是 n x ，对应的本征值是
n ，则任意函数 x 可以按 n x 展开为级数：
x cnn ， x （3.6.1）
n
本征函数的这种性质称为完全性。或者说 n x 组成完全系。展开系数
x cnn x c x d
n
（3.6.7）
（3.6.8）
c x dx
代替（3.6.3）式：有
cn
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱc
4. 力学量与算符
ˆ 之积不一定是厄米算符 ˆ,G <4>厄米算符F
ˆ ) d F ˆ )d ( F ˆ )d ˆG ˆ (G ˆ ) (G 证明： ( F
ˆ F ˆF ˆF ˆ d (G ˆ ) d [( G ˆ )] d G
力学量—表示一个体系力学性质的量。 微观体系的力学量与经典系统的力学量有着重要的区别的：
经典力学体系中假定力学量都是可以连续变化的，任何两个 力学量（如： x, p x ）可同时具有确定值，即存在轨道的概念；
微观体系的一些量却往往只取分立值（如势阱中粒子的能 量，线性谐振子的能量，原子的能量及角动量等） ，也有些量根 本不可能同时具有确定值（如： x和p x ；T和U ） 。微观体系的 这些特点源于它的波动性（无轨道问题） 。
ˆ 之和仍是线性算符 ˆ,G <2 >线性算符F
ˆ (c u c u ) ˆ (c u c u ) G ˆ )(c u c u ) F ˆ G (F 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ 线性 ˆ ,G F
和定义
ˆ ˆ ˆu c F ˆ c1 F 1 2 u 2 c 1 Gu 1 c 2 Gu 2
3. 算符相乘 ˆ 之 ˆ (F ˆ u) M ˆ u , 则称算符 M ˆ F ˆ为 与 G u ，有G 若对任意的函数
ˆF ˆ 不一定等于 ˆF ˆ ） ˆ G ˆ （注意：G ˆG F 积。记为 M 。
ˆ 相继作用在 ˆ n 表示，即： u 上 n 次，则可用 F F 如一个算符
ˆF ˆ F ˆu F ˆ nu ˆ (F ˆ u) F ˆ 2u ； F F ˆ m和F ˆ n 可以交换顺序，n, m 均为正整数。 ˆ nF ˆm F ˆ mF ˆ n ，即 F 即有F
ˆ ) d F ˆ )d ( F ˆ )d ˆG ˆ (G ˆ ) (G 证明： ( F
ˆ F ˆF ˆF ˆ d (G ˆ ) d [( G ˆ )] d G
力学量—表示一个体系力学性质的量。 微观体系的力学量与经典系统的力学量有着重要的区别的：
经典力学体系中假定力学量都是可以连续变化的，任何两个 力学量（如： x, p x ）可同时具有确定值，即存在轨道的概念；
微观体系的一些量却往往只取分立值（如势阱中粒子的能 量，线性谐振子的能量，原子的能量及角动量等） ，也有些量根 本不可能同时具有确定值（如： x和p x ；T和U ） 。微观体系的 这些特点源于它的波动性（无轨道问题） 。
ˆ 之和仍是线性算符 ˆ,G <2 >线性算符F
ˆ (c u c u ) ˆ (c u c u ) G ˆ )(c u c u ) F ˆ G (F 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ 线性 ˆ ,G F
和定义
ˆ ˆ ˆu c F ˆ c1 F 1 2 u 2 c 1 Gu 1 c 2 Gu 2
3. 算符相乘 ˆ 之 ˆ (F ˆ u) M ˆ u , 则称算符 M ˆ F ˆ为 与 G u ，有G 若对任意的函数
ˆF ˆ 不一定等于 ˆF ˆ ） ˆ G ˆ （注意：G ˆG F 积。记为 M 。
ˆ 相继作用在 ˆ n 表示，即： u 上 n 次，则可用 F F 如一个算符
ˆF ˆ F ˆu F ˆ nu ˆ (F ˆ u) F ˆ 2u ； F F ˆ m和F ˆ n 可以交换顺序，n, m 均为正整数。 ˆ nF ˆm F ˆ mF ˆ n ，即 F 即有F
力学量和算符
第三章 力学量和算符内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数 。
用波函数描述粒子的运动状态。
本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。
然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。
我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现 。
§ 3.1 力学量算符的引入 § 3.2 算符的运算规则§ 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 § 3.4 连续谱本征函数§ 3.5 量子力学中力学量的测量 § 3.6 不确定关系 § 3.7 守恒与对称在量子力学中。
微观粒子的运动状态用波函数描述。
一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。
在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。
一般说来。
当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。
当给定描述这一运动状态的波函数 后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。
利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。
既然一切力学量的平均值原则上可由 给出，而且这些平均值就是在 所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。
力学量的平均值对以波函数(,)r t ψ 描述的状态，按照波函数的统计解释，2(,)r t ψ表示在t 时刻在 r r d r →+中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是:()2*(,)(,)(,) 3.1.1r r t rdr r t r r t dr ψψψ∞∞-∞-∞==⎰⎰坐标r 的函数()f r的平均值是：()()()*(,)(,) 3.1.2f r r t f r r t dr ψψ∞-∞=⎰现在讨论动量的平均值。
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Y11 2Y21 * 22Y11 62 2Y21 d
1 5
22 Y11 2 242 Y21 2 d
1 [22 242 ] 26 2
5
5
方法 II （4）
1 5
Y11
2Y21
利用
F
n
L2
1
2
22
2
2
6 2
26 2
5
5
5
| cn |2 n
L2
2 2 6 2
相应几率
1 5
4 5
Lz 相应几率 1
*Y21
2 9
Y11
*Y21
2 9
Y21
*Y11
d
c2 1 4 5 c2 9 9 9
c 3 5
归一化波函数
c
1 3
Y11
2 3
Y21
3 5
1 3 Y11
2 3
Y21
1 5
Y11
2Y21
L2 * Lˆ2d
1 5
Y11
2Y21 *
Lˆ2
1 5
Y11
2Y21
d
1 5
3.6 算符与力学量的 关系
（一）力学量的可能值
量子力学基本假定III告诉人们，在任意态ψ(r)中测量
任一力学量 F，所得的结果只能是由算符 F 的本征方程
Fˆ
n
nn
但是还有 两点问题 没有搞清楚：
解得的本征值λn之一。
1. 测得每个本征值λn的几率是多少？也就是说，哪些本征值能够测到， 对应几率是多少， 哪些测不到，几率为零。
例2：（《周》）3.6 设t=0 时，粒子的状态为 (x) = A [ sin2kx + (1/2)coskx ]
求粒子的平均动量和平均动能。
解：
(x)
A{(
1 2i
[e ikx
eikx ])2
1 2
(e ikx
eikx )}
A 4
{2
e
2
ikx
e2ikx
eikx
eikx}
可写成单 色平面波
2. 是否会出现各次测量都得到同一个本征值，即有确定值。
(1) 力学量算符本征函数组成完备系
要解决上述问题， 我们还得从讨论 本征函数的另一 重要性质入手。
1. 函数的 完备性
有一组函数φn(x) (n=1,2,...),如果任意函数ψ(x)可以按这组函数展开:
(x) cnn( x)
n
例如：动量本征函数
末同样，|cn|2 则表示 F 取 λn 的几率。
量子力学基本假定IV
任何力学量算符 F 的本征函数φn(x)组成正交归一完备 系，在任意已归一态ψ(x)中测量力学量 F 得到本征值
λn 的几率等于ψ(x)按φn(x)展开式：
中对应本征函数φn(x)前的系数 cn 的绝对值平方。
(x) cnn(x)
但是对于任何一个力学量算符，它的本征函数是否一定完备并无一般 证明，这将涉及到一个颇为复杂的数学问题。不管怎样，由上述两点
分析，量子力学认为：一切力学量算符的本征函数都组成完备系。
（2） 力学量的可能值和相应几率
现在我们再来讨论在一般状态 (x) 中测量力学量F，将会得到哪些值， 即测量的可能值及其每一可能值对应的几率。
Lˆ2
1 3
Y11
(
,j
)
2 3
Y21
(
,
j
)
1 3
1(1 1)2Y11
2 3
2(2 1)2Y21
2 2
1 3
Y11
2Y21
Ψ 没有确定的 L2 的本征值，故 Ψ 不是 L2 的本征态。
(2)
Lˆ z
Lˆ z
1 3
Y11
(
,
j
)
2 3
Y21
(
,j
)
1 3
Y11
2 3
Y21
1 3 Y11
2 3 Y21
Ψ是 Lz 的本征态，本征值为 。
（3）求 L2 的平均值
方法 I
F *( x)Fˆ ( x)dx
（ 已归一化）
验证归一化： 1 c2
*d c2
1 3 Y11
2 3 Y21
*
1 3
Y11
2 3 Y21
d
c2
1 9
Y11
*Y11
4 9
Y21
与波函数ψ(x) 按动量本征函数 展开式比较二者完全相同
我们知道：ψ(x) 是坐标空间的波函数；
c (p) 是动量空间的波函数；
则
{ cn } 则是 F 空间的波函数，
三者完全等价。
证明：当ψ(x)已归一时，c(p) 也是归一的， 同样 cn 也是归一的。
证：
1
( x) ( x)dx
组成完备系
则称这组函数φn(x) 是完备的。
(r,t)
c(
p,
t
)
p
(r
)d
3
p
或
(r)
c(
p)
p
(r
)d
3
p
2. 力学量算符的本征函数组成完备系
(I) 数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成完备系 （参看：梁昆淼，《数学物理方法》P324；王竹溪、郭敦仁，《特殊函数概 论》1.10 用正交函数组展开 P41），即若：
令λ =λm 是 F 的一个本征值，满足本征方程
相应几率是： |c1|2,|c2|2,...,|cm|2,...。
Fˆn ( x) nn ( x)
n 1,2,, m,
又根据基本假定 IV，φn(x) 组成完备系，
(x)
cnn ( x)
n
现在只测得λm，所以|cm|2=1, |c1|2=|c2|2=...=0 （除|cm|2外）。 于是得 ψ(x)= m(x)，即 ψ(x)是算符 F 的一个
根据量子力学基本假定III，测力学量 F 得到的可能值必是力学量算符 F 的本征值 λn n = 1,2,.. .之一,该本征值由本征方程确定：
而每一本征值λn各以一定几率出现。 那末这些几率究竟是多少呢？下面 我们讨论这个问题。
Fˆn(x) nn(x) n 1,2,
由于φn(x)组成完备系，所以体系 任一状态ψ(x)可按其展开：
cn * cm n *(x)Fˆm(x)dx
cn * cmm n * ( x)m ( x)dx
n
m
nm
cn*cmm nm
| cn |2 n
nm
n
| cn |2 n
则 F n
| cn |2
n
F *( x)Fˆ ( x)dx *( x) ( x)dx
[例]求氢原子处于基态时，电子动量的几率分布
表明，测量 F 得λm 的几率为 1， 因而有确定值。
（二）力学量的平均值
力学量平均值就是指多次测量的平均结果， 如测量长度 x，测了 10 次，其中 4 次得 x1，6 次得 x2，则 10 次测量的平均值为：
x
同样，在任一态ψ(x)
4 x1 6 x2 10
4 10
x1
6 10
x2
1 x1 2 x2
展开系数 cn 与x无关。
( x) cnn( x)
n
为求 cn ，将φm*(x) 乘上式并对 x 积分得
：
讨论：
m ( x) ( x)dx m ( x) cnn( x)dx n cn m *( x)n( x)dx n cn mn cm n
即 cn n( x) ( x)dx
i
i
(x)
1 2p
{c(
p1 )e
p1 x
c(
p2 )e
p2 x
的叠加
比较二式，
c(
i
p3 )e
p3 x
c(
i
p4 )e
p4 x
c(
i
p5 )e
} p5 x
因单色平面 波动量有确 定值：
p1
0
p2
2k
p3
2k
p4
k
p5
k
或：
p1 0 p2 2k p3 2k p4 k p5 k
i
i xi
中测量某力学量 F 的 平均值（在理论上） 可写为：
F
பைடு நூலகம்| cn |2 n
此式等价于 以前的平均
n
值公式：
F *( x)Fˆ ( x)dx
这两种求平均
F *( x)Fˆ ( x)dx
n
cnn ( x) Fˆ
m
cmm ( x)dx
值的公式都要 求波函数是已 归一化的
如果波函数 未归一化
cnn
*
cmm dx
cn * cm n*mdx
n
m
nm
cn * cm nm cn * cn | cn |2
nm
n
n
综上所述， 量子力学作 如下假定：
所以|cn|2 具有几率的意义，cn 称为几率振幅。我们知道|ψ(x)|2 表示 在x点找到粒子的几率密度，|c(p)|2 表示粒子具有动量 p 的几率，那
由于
j100 (r)
1
r
e a0
pa03
j
p
(r
)
1
(2p) 32
e
i
p•r
j j100 (r) 按动量算符的本征函数 p 展开，j100 (r) c pj p (r)dp
几率振幅为
cp
j
p
(r)j100