第三章力学量的算符表示
第3章 力学量用算符表达：习题解答
第3章 力学量用算符表达习题3.1 下列函数哪些是算符22dxd 的本征函数，其本征值是什么？①2x ， ② x e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin +解：①2)(222=x dxd∴ 2x 不是22dxd 的本征函数。
② x xe e dxd =22∴ xe 是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为1。
③x x dx dx dxd sin )(cos )(sin 22-== ∴ 可见，x sin 是22dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。
④x x dx dx dxd cos 3)sin 3()cos 3(22-=-= ∴ x cos 3 是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为－1。
⑤)cos (sin cos sin sin (cos )cos (sin 22x x xx x x dxd x x dx d +-=--=-=+） ∴ x x cos sin +是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为－1。
3.2 一维谐振子处在基态t i x e t x ωαπαψ22022),(--=，求：(1)势能的平均值2221x V μω=； (2)动能的平均值μ22p T =.解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x V x2222222121απαμωμωμωμωαμωαπαπαμω ⋅==⋅=22222241212121221 ω 41=(2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ⎰∞∞----=dx e dxd e x x22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα ][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x xααααμπα ]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=V E T 习题3.3 指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。
量子力学讲义第三章讲义
第三章 力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。
ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。
为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。
二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。
例如：动量算符ˆpi =-∇， 单位算符I 是线性算符。
2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。
3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。
ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。
5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。
若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。
若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。
例如：算符x , ˆx pi x∂=-∂不对易证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -=，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
第3章 力学量用算符表达1
§3.1 表示力学量的算符
作用在一个函数u上得出另一个函数v ˆ ˆ 的运算符号 F ，简称为算符: Fu v 。如:
du d v, dx dx
是算符，其作用是求导数, xu=v,x是算符，
其作用是与u相乘。
ˆ 如果算符 F 作用于一个函数 ,结果等于
ˆ 乘上一个常数 : F ，则称此方程称为算符
0
( x, t )
e
2 x2 i
2
t 2
求： (1)势能的平均值
(2)动能的平均值
1 V 2 x 2 2
p2 T 2
ˆ 对于两个任意函数 和 ,如果算符 F 满足
等式: ˆ ˆ ˆ ① F(c1 c 2 ) c1F c 2 F) 则称之为线性算符；
i ( Et p r )
p p ( r , t )ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可见，动量的确定值的确为动量算符在其 本征态中的本征值。
习题3.1 下列函数哪些是算符 数，其本征值是什么？
x , e , sin x,3 cos x, sin x cos x
2 x
d2 dx 2
的本征函
量子力学中,力学量为什么要用算符表 示?这是由微观粒子的波粒二象性决定的, 体现在以下几个方面: ①力学量的观测值具有不确定性,有一系列 可能取值.但力学量的统计平均值是确定的, 而统计平均值的计算要用到一个新的工具 * ˆ (r , t )d 3 r —算符—来完成: F (r , t ) F
习题3.3 指出下列算符哪个是线性的，说明 理由。
d2 4x2 2 dx
2
k 1
量子力学第三章算符
第三章 算符和力学量算符3.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为：ˆFuv = （3.1-1） ˆF 称为算符。
u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。
例如，11du v dx=，22xu v =3v =，(,)x t ϕ∞-∞，(,)x i p x hx edx C p t -=，则ddx，x dx ∞-∞⎰，x ip x he-⋅都是算符。
1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =，则ˆˆG F =。
（2）算符的相加：对于任意函数u ，若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。
算符的相加满足交换律。
（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。
算符的相乘一般不满足交换律。
如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。
2．几种特殊算符 （1）单位算符对于任意涵数u ，若ˆIu=u ，则称ˆI 为单位算符。
ˆI 与1是等价的。
（2）线性算符对于任意函数u 与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称ˆF 为反线性算符。
（3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFG u G F u u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。
即1ˆˆG F -=，111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。
并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fux af x =，其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。
其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。
与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。
因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。
一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==，从而由ˆFvaf =得：1ˆF af υ-=。
量子力学--力学量用算符表示与表象变换 ppt课件
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﹟
4
2、算符的运算性质 （1）算符相等：
若 Aˆ Bˆ
★算符的运算离不开 对波函数的作用
对于任意的波函数都成立
则 Aˆ Bˆ
（特例：若I ，则I 称为单位算符）
（2）算符相加： (Aˆ Bˆ) Aˆ Bˆ
这是算符最基本的运算。
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5
交Байду номын сангаас律和结合律：
Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ Aˆ (Bˆ Cˆ) (Aˆ Bˆ) Cˆ
用在任意波函数上，看它们是否相等。
若相等，则对易；否则，不对易。
比如将要讨论的位置算符 x 和动量算符 pˆ x 的对易关系。
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7
因为对任意波函数ψ ：
xpˆ x
ix
d
dx
而
pˆ x x
i d dx
(x )
i( x d ) i ix d
dx
dx
那么
xpˆ x pˆ x x i
Hˆ pˆ 2 V (r) 2m
2 2 V (r) 2m
其中动量算符 pˆ i，
且
pˆ x
i x
又如前面引进的能量算符
Hˆ i 等 t
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2
§3.1 算符的运算规则
1、算符的定义
表示运算的符号叫算符，又叫作用量
如
d， dx
，
, ( )*等
线性算符：
如果算符 Â 满足下列条件
Aˆ(c11 c2 2 ) c1Aˆ 1 c2 Aˆ 2
第三章 力学量用算符表示 与表象变换
前面我们学习了两个量子力学的基本原理
1）微观粒子体系的状态可以用波函数来表示；
2）描述微观粒子运动状态的方程是薛定谔方程；
第三章 量子力学中的力学量
1 2πh
eipx/ h
hk E= ≥0 2m
ˆ H p H Lz与 ˆ，ˆ与 ˆ
2 2
k可 续 值 故 是 续 。 连 取 ， E 连 的
能 二 简 。 级 度 并
为啥具有相同的本征态？
（5）坐标算符的本征值和本征函数 ）
ˆ xϕ x′ ( x) = x′ϕ x′ ( x) x′取一切实数 ϕ x′ ( x) = δ ( x − x′)
,
n = 1,2,3L l = 0,1, L n - 1 m = 0,±1 L ± l ，
二、量子力学的基本原理四
在 意 ψ中 ψ = ∑anϕn 任 态 ，
n
测量力学量A，可得到各种可能取值，可能取 值必为某一本征值。
ˆ在 征 谱 取 的 率 | a |2 。 A 本 值 中 A 几 为 n n
2 2 ˆ2 ˆ = Lz = − h ∂ H 2I 2I ∂ϕ2
z
h2 ∂2 − ψ = Eψ 2 2I ∂ϕ
1 imϕ ψm(ϕ) = e 2π m2h2 Em = ≥0 2I
m = 0 ±1 ± 2 L ，， ，
要求： 要求：会求解
(3)求 量 分 px的 征 。 动 x 量ˆ 本 态
∂ −ih ψ = px'ψ ∂x
ˆz = x py − y px = −ih(x ∂ − y ∂ ) ˆ ˆ L ∂y ∂x
1 ∂ ∂2 ∂ 1 ˆ2 L = − h2 sin θ + 2 2 ∂θ sin θ ∂ϕ sin θ ∂θ
从而有
ˆ = ihsin ϕ ∂ +cotθ cosϕ ∂ Lx ∂θ ∂ϕ ˆ = −ihcosϕ ∂ −cotθ sin ϕ ∂ Ly ∂θ ∂ϕ ˆz = −ih ∂ L ∂ϕ
第三章 力学量与算符
H
U t , t0 e
力学量与算符
• • • • • 作业： 1、分析厄米算符 2、讨论幺正算符（投影算符、宇称算符） 3、算符运算的证明 4、讲课过程中的简单证明，一些概念、或 是各算符的特性
力学量与算符
定义
r r
性质 （1） 2 1 ，本征值为 1 ； （2）是厄米、幺正算符 （3）波函数和算符按宇称分类
A, 0
r r
偶宇称
奇宇称
A, 0 r r
力学量与算符
性质12完备性三宇称算符定义2是厄米幺正算符3波函数和算符按宇称分类力学量与算符4宇称算符的选择定律力学量与算符四时间演化算符不显含时间力学量与算符力学量与算符力学量与算符
力学量与算符
力学量与算符
算符的定义及运算 算符的定义 单位算符 算符的和 积 转置
ˆ F
I
ˆB ˆ B ˆ ˆ A A
d
d A B A B A B d
力学量与算符
3.2.2设算符 A、B 不可对易： A , B C ，但
A, C ， B , C ，试证明Glauber公式：
e A B e A e B e
n n 1
C1 A C 0，则
A有 n 个本征值，且满足
Cnan Cn 1an 1 C1a C 0
。
力学量与算符
二、算符导数 1.定义
F F ，
为参量，
dF F F lim 0 d
2.基本性质 d A B A B
Aij
第三章：量子力学中的力学量_6讲
令： 1 2
ˆ ( ))＝（A ˆ ( )， ((1 2 )，A (1 2 )） 1 2 1 2 ˆ ψ )+(ψ ，A ˆ ψ )＝（A ˆ ψ ，ψ ）（ ˆ ψ ，ψ ） (ψ1，A + A 2 2 1 1 2 2 1
ˆ ˆ ˆ ( r )A ( r ) dr A ( ,A ) A * ( , ) ( r ) ( r ) dr
算符在量子力学中的重要位置，由此可见一斑
因此，先定义出各种力学量算符是必要的
二、由经典物理引进量子力学量算符
五、线性算符的运算 1. 算符的和： 算符的和运算满足交换律和结合律
ˆ ˆ ˆ ˆ A+B=B+A
ˆ ˆ ˆ A+(B+C) ˆ ˆ ˆ (A+B)+C
2. 算符的积 算符的积不一定满足交换律
ˆˆ x p ˆxx ˆ i xp
3. 算符的对易式, 定义：
ˆ ˆ ˆ ˆ ，称两算符对易，否则称不对易 如果： [A,B]=[B,A]
px
px | c( px ) |2 dpx c ( px ) px c( px )dpx
i px x 1 ( x)e dx px c( px )dpx 2
i px x 1 ( x )e px c( px )dxdpx 2 i px x 1 d ( x)(i )e c( px )dxdpx dx 2
ˆ A
厄密算符作用于一波函数，结果等于这个波函数乘以一个常数， ˆ 的本征值， 为属于 的本征函数，此方程称 则称 是 A ˆ 的本征值方程。全部本征值 { }是且仅是相应力学 为算符 A 量A的所有可能取值（或测量值）.
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[L , Lx ] [Lx Ly Lz , Lx ] [Ly , Lx ] [Lz , Lx ]
Ly[Ly , Lx ] [Ly , Lx ] Ly Lz[Lz , Lx ] [Lz , Lx ] Lz
i( L y Lz Lz L y Lz L y L y Lz ) 0
*
d
所以
＝*
在量子力学中，为了使所描述的力学量具有意义，我们要
求它们的平均值为实数，即量子力学中表示力学量的算符都是
厄密算符。
6
动量算符的厄密性
证明动量算符 pˆ x i / x 的厄密性
pˆ xd
pˆ xdx
(i
)dx
x
i( ) i
dx
x
因为 和是有限的
i( ) 0
第三章 量子力学中的力学量
1. 算符的性质 2. 动量算符和角动量算符。 3. 厄密算符的本征值和本征函数 4. 算符与力学量的关系 5. 任意观测量的测不准关系
1
4.1 算符的性质
什么是算符？
算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。
表示为 Fˆ u
Fˆ 称为一个算符
例如： d u , d 是微商算符， 为开方算符等
[ Aˆ, Bˆ ] [Bˆ, Aˆ ] [ Aˆ, Bˆ Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ] [ Aˆ, Bˆ] [ Aˆ, BˆCˆ ] Bˆ[ Aˆ,Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ]Cˆ
[ Aˆ Bˆ,Cˆ ] Aˆ[Bˆ,Cˆ ] [ Aˆ,Cˆ ]Bˆ
10
4.2 动量和角动量算符
1) 动量算符
p'x
(x)
px
(x)dx
(
px
p'x
)
三维情况， p (r) 的归一化函数
p'
(r)
p
(r)dr
(
px
px
)
(
py
py
)
(
pz
pz
)
(p p')
14
p
(r)
1
(2)3/ 2
eipr /
（b）本征值是分立的
考虑粒子限制在一维[-L/2, L/2]中运动，动量的本征态为
p x (x) Ceipxx/
eipr /
16
3) 角动量算符
角动量算符的定义式
Lˆ rˆ pˆ i(r )
其分量形式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Lˆx
ypˆ z
zpˆ y
i( y
z
z
) y
Lˆ y
zˆpˆ x
xˆpˆ z
i(z
x
x
) z
Lˆz
xˆpˆ y
yˆpˆ x
i( x
y
y
) x
角动量平方算符 Lˆ2 Lˆ2x Lˆ2y Lˆ2z
4
若一个算符 Fˆ 作用于一个函数
Fˆ
称为算符 Fˆ 的本征值，称为本征函数，方程称为算符 Fˆ
的本征值方程。
厄密算符
两个波函数和，满足下列等式
Fˆd (Fˆ )d
的算符Fˆ 称为厄密算符 5
厄密算符的本征值为实数
若 Fˆ
Fˆd
d
如果 Fˆ 为厄密算符
则
Fˆd
(Fˆ )d
(
)d
p x (x) Ceipxx/
px可以取-~+中连续变化的一切实数，为了确定C，考虑积分
p
'
x
(
x)
px (x)dx
CC exp(i
px
px
x)dx
因为
1
exp(ikx)dx (k)
2
13
p'x
(x)
px
(x)dx
C
2
2 ( px
p'x
)
如果取 C
1,
2
px (x) 的归一化为 函数
根据边界条件
px (L / 2) px (L / 2)
所以
e e ipxL/ 2
ipxL / 2
15
pxL 2n ,
(n 0, 1, 2, ...)
或
px
pn
2n
L
nh L
可以看出，动量取值是不连续的，相应的归一化本征函数为
px (x)
1 eipx x / L
三维情况
p (r)
1 L3/ 2
动量算符
pˆ i
分量形式
pˆ x
i x
,
pˆ y
i y
,
pˆ z
i z
动量算符各分量与坐标算符各分量之间的对易关系
[xˆi ,
pˆ j ] iij
0, i,
i j i j
动量平方算符
pˆ 2 pˆ x2 pˆ y2 pˆ z2 22 11
动量算符的本征值方程
i p (r) p p (r)
( pz z z pz )y px (z pz pz z)x py
iy px ix p y iLz
18
[Lx , L y ] iLz
同理
[L y , Lz ] iLx
L L iL
[Lz , Lx ] iL y
19
角动量平方算符与其各分量之间是对易的
2
2 2 2
2
2
17
角动量算符的各分量之间是不对易的
[Lx, Ly] Lx Ly Ly Lx
(y pz z py )(z px x pz ) (z px x pz )(y pz z py )
y pz z px y pz x pz z py z px z py x pz
z px y pz z px z py x pz y pz x pz z py
*
pˆ xdx
i
x
dx
(i
x
)dx
(
pˆ x
)dx
7
算符运算初步
1) 算符之和：
Aˆ Bˆ Cˆ
Cˆ ( Aˆ Bˆ) Aˆ Bˆ
2) 算符之积：
Aˆ Bˆ Cˆ
Cˆ ( Aˆ Bˆ) Aˆ(Bˆ )
一般情况下，算符之积不满足交换律
Aˆ Bˆ BˆAˆ
8
3) 算符的对易性
如果 Aˆ Bˆ BˆAˆ 0 则Aˆ和Bˆ对易 记为 [ Aˆ, Bˆ ] Aˆ Bˆ BˆAˆ 0
例 [xˆ, pˆ x ] ?
(xˆpˆ x
pˆ x xˆ)
ix
x
i (x )
x
ix i ix i
x
x
是体系的任意波函数，所以 [xˆ, pˆ x ] i
9
对易式满足下列恒等式
P是动量算符的本征值，p（r）是动量算符的本征函数。
三个分量形式：
i
x
p (r)
px
p (r)
i y
p (r)
pyp (r)
i
z
p (r)
pz
p (r)
动量算符的本征函数
i (pr)
p (r) Ce
12
2) 动量算符本征函数的“归一化”
（a）本征值是连续的 一维粒子的动量本征值为px的本征函数
dx
dx
2
线性算符
Fˆ (1u1 2u2 ) 1Fˆu1 2Fˆu2
位置算符和动量算符 均为线性算符。
xˆ x,
pˆ x
i x
典型的非线性算符为
1u1 2u2 1 u1 2 u2
3
坐标和动量算符
rˆ r, pˆ i
哈密顿算符：
Hˆ 2 2 U (r)
2
角动量算符：
Lˆ rˆ pˆ ir