4力学量与算符
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第二讲 力学量算符
（2-20）
ˆ,a ˆ 1 ˆ 是方向的动量算符， a ˆ 与a ˆ 满足的对易关系 a 其中 p ˆ n ＝a ˆ n n 1 ＝ na ˆ n 1 ˆ a ˆ n ＝a N
＝ n n n ＝n n
（2-21）
ˆ 的本征值为粒子数 n 0,1, 2.... ，故称 N ˆ ＝a ˆ a ˆ 为粒子数算符， n 为 n 粒子态 即N
（5）证明:论据同（4） ：
2 2 [ p, pf p] p f p pf p p( pf f p) p
h pf p i
5
石家庄学院量子力学考研辅导习题讲解之二 力学量算符
主讲教师
吴海滨
（6）证明:论据同（4） ：
2 2 2 2 2 h [ p, f p ] pf p f p ( pf f p) p f p i
qpfp pfpq hipf qpfp pqfp hipf ( qp pq ) fp hipf hi ( fp pf )
（3）证明:同前一题论据：
[ q, fp 2 ] qfpp fppq fqpp fppq fqpp fp ( qp hi ) fqpp fpqp hifp
f ( qp pq ) p hifp 2hifp
（4）证明:根据题给对易式外，另外应用对易式
[ p , f ( q )]
h f i
( f )
df dq
2 2 2 2 [ p, p f] p f p f p p ( pf f p)
2 h 2 p [ p, f ] p f i
h 2 p f i h pf p i h f p2 i
矩阵力学知识点
矩阵力学知识点矩阵力学是量子力学的一个重要分支，它通过矩阵和线性代数来描述物理系统的性质和演化规律。
在这篇文章中，我们将介绍一些矩阵力学的基本概念和关键知识点。
1. 矩阵和矢量在矩阵力学中，我们使用矩阵来表示物理量和物理系统。
一个矩阵可以看作是一个有序的数值集合，它们按照一定的规则排列在一个矩形的方阵中。
而矢量则是矩阵的一种特殊形式，它可以被表示为一个列矩阵或行矩阵。
2. 矩阵的运算矩阵力学中，有许多重要的矩阵运算，其中包括加法、减法、数乘和矩阵乘法等。
矩阵加法和减法遵循矩阵对应元素相加（或相减）的规则。
数乘则是将矩阵中的每一个元素乘以一个常数。
矩阵乘法是矩阵力学中最重要的运算，它的结果是两个矩阵之间的线性组合。
3. 基态和本征值在矩阵力学中，基态是指物理系统的最低能量状态，通常用一个矢量表示。
本征值则是描述物理量的特征值，它是通过使用特征方程来计算得到的。
4. 变换矩阵变换矩阵在矩阵力学中扮演着重要的角色。
变换矩阵用于描述物理系统在不同坐标系下的变换规律，通过矩阵乘法来实现这种变换。
5. 算符和力学量算符是矩阵力学中另一个重要概念，它用于描述物理系统的力学量。
算符可以对矢量进行操作，从而得到该物理量的测量结果。
算符也可以用于描述系统的演化规律。
6. Heisenberg方程和Schrödinger方程Heisenberg方程和Schrödinger方程是矩阵力学中的两个基本方程。
Heisenberg方程描述了物理系统的演化，它通过施加算符对矢量进行变换，得到测量结果。
Schrödinger方程则是用于描述物理系统的波函数演化，它通过线性方程组来计算波函数的变化。
7. 不确定性原理不确定性原理是矩阵力学中一个非常重要的概念。
根据这一原理，无法同时确切知道一个粒子的位置和动量，而只能知道它们的概率分布。
总结：本文简要介绍了矩阵力学的一些核心概念和知识点。
矩阵力学通过矩阵和线性代数的方法描述了物理系统的性质和演化规律。
量子力学最全名词解释及知识点整理
两电子自旋相互反平行的态是单一的，这种态称为单态；两电子自旋相互平行的能级
是三重简并的，对应于这些能级的态称为三重态（ | 1,1⟩, | 1, − 1⟩, | 1,0⟩）
29. 正氦与仲氦p206
处于三重态的氦称为正氦，处于单态的氦称为仲氦，或者说基态的氦是仲氦
一些结论
1. 谐振子能量本征函数及其性质


为动量，λ为波⻓。
4. 态叠加原理（Superposition principle）：p17
对 于 一 般 的 情 况 ， 如 果 ψ1 和 ψ2 是 体 系 的 可 能 状 态 ， 那 么 它 们 的 线 性 叠 加
ψ = c1ψ1 + c2ψ2也是这个体系的一个可能状态，其中c1和c2为复常数。
20. 偶极跃迁、偶极近似（Electric Dipole Approximation）： p146
由于电磁波中电场对电子能量的影响远大于磁场，忽略光波中的磁场作用和原子的尺
寸，把电场近似地用Ex = E0 cos ωt（沿z轴传播的平面单色偏振光的电场）表示后得到的
结果，这样讨论的跃迁称为偶极跃迁，这种近似叫做偶极近似。
22. 简单塞曼效应、复杂塞曼效应（Zeeman e ect）：p181
在外磁场较强的情况下，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中将分裂为三条，这就是 简单塞曼效应。
在外磁场较弱时，电子自旋与轨道相互作用不能够忽略，光谱线分裂成偶数条，这称 为复杂塞曼效应。
23. 好量子数：p187
守恒量的特点：测量值的几率分布不随时间变化，守恒量的量子数称为好量子数。
•
谐振子能量的本征函数为：ψn(x)
=
Nne−
1 2
α2 x2Hn(α
是三重简并的，对应于这些能级的态称为三重态（ | 1,1⟩, | 1, − 1⟩, | 1,0⟩）
29. 正氦与仲氦p206
处于三重态的氦称为正氦，处于单态的氦称为仲氦，或者说基态的氦是仲氦
一些结论
1. 谐振子能量本征函数及其性质


为动量，λ为波⻓。
4. 态叠加原理（Superposition principle）：p17
对 于 一 般 的 情 况 ， 如 果 ψ1 和 ψ2 是 体 系 的 可 能 状 态 ， 那 么 它 们 的 线 性 叠 加
ψ = c1ψ1 + c2ψ2也是这个体系的一个可能状态，其中c1和c2为复常数。
20. 偶极跃迁、偶极近似（Electric Dipole Approximation）： p146
由于电磁波中电场对电子能量的影响远大于磁场，忽略光波中的磁场作用和原子的尺
寸，把电场近似地用Ex = E0 cos ωt（沿z轴传播的平面单色偏振光的电场）表示后得到的
结果，这样讨论的跃迁称为偶极跃迁，这种近似叫做偶极近似。
22. 简单塞曼效应、复杂塞曼效应（Zeeman e ect）：p181
在外磁场较强的情况下，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中将分裂为三条，这就是 简单塞曼效应。
在外磁场较弱时，电子自旋与轨道相互作用不能够忽略，光谱线分裂成偶数条，这称 为复杂塞曼效应。
23. 好量子数：p187
守恒量的特点：测量值的几率分布不随时间变化，守恒量的量子数称为好量子数。
•
谐振子能量的本征函数为：ψn(x)
=
Nne−
1 2
α2 x2Hn(α
[理学]第三章量子力学中的力学量1
![[理学]第三章量子力学中的力学量1](https://img.taocdn.com/s3/m/d1f77453a417866fb94a8e05.png)
能量本征方程（定态薛定谔方程） 于这个本征值的本征函数。根据以上假定，当 粒子属于这个状态时，坐标确定，坐标值就是 本征值 r ' 。 角动量本征方程
ˆ r r ' 坐标本征方程，注意这里 r '是本征值，r ' 是属 r r' r' r'
ˆ LL ' L 'L '
注意：这些量的分量也可构成各自的本征方程。
ˆ x p
当粒子处在这个方程的解 描述的状态中 时，它的动量在x方向上的分量是确定的， 值就是所属的本征值
力学量的值肯定是实数。根据以上基本假定，这些力学量算符的 本征值是粒子力学量的某个值。因此力学量算符的本征值必须是 实数。下面我们将要介绍一种重要的算符——厄密算符
（7）复共轭算符 算符Û的复共轭算符 Û*就是把Û表达式中 的所有量换成复共轭.
ˆ O
设定义式中 则，
* ˆ ˆ )* d O d ( O
* * d ( ) d
* d * * d * * d
因为波函数 是平方可积的即
* d d A 2
ˆ T
2
2
2
前面我们已经通过能量本征值方程揭示了能量算符和能量之间 的密切关系。下面我们将这个结论推广到其他所有的物理量上：
量子力学基本假定
ˆ 表示，那么当微观粒子体系处于 F ˆ的 如果力学量 F 用算符 F ˆ 的本征函数 来描述。）时， 本征态 （即体系的状态用 F 力学量 F 具有确定值。这个值就是本征函数 所属的那个本 征值 。它们之间的关系用数学形式表达即： ˆ 本征方程 ˆ 算符 F F
第六章-力学量与本征态1
第六章 力学量与本征态 §6 - 1 量子力学中的力学量 一 力学量用算符表达量子力学中的两个基本概念 ● 量子态 波函数 ● 力学量 （具有特定性质的）算符算符代表着对波函数的一种运算（但并不一定都与力学量相对应）：()ddx ψ：对波函数取导数，ψ)(r U ：对波函数乘以)(r U ，*ψ： 对波函数取复共轭，ψ： 对波函数开平方根考察位置算符r 和动量算符pˆ：r r →,（6. 1）∇-=→ i ˆpp . （6. 2）经典力学中的力学量还有：势能)(r V 纯位置坐标的函数（算符不变）力)()(r r F V ∇-=速度m /p v = 动量的函数（算符可由动量的对应关系得出）动能m p T 2/2= 动能2222ˆ ()222P T m m m x y z222222∂∂∂==-∇=-++∂∂∂ (6. 3)角动量∇⨯-=⨯=r p r Li ˆˆ (6. 4)在直角坐标系中的分量表达式)(i ˆˆˆyz z y p z py L y z x ∂∂-∂∂-=-= )(i ˆˆˆzx x z p x pz L z x y ∂∂-∂∂-=-=(6. 5))(i ˆˆˆxy y x p y px L x y z ∂∂-∂∂-=-=角动量算符Lˆ的模方(L ˆ的平方) L LL ˆˆˆˆ22⋅==L 222ˆˆˆz y x L L L ++=. (6. 6)角动量在球面坐标系的表示]sin 1)sin (sin 1[ˆ22222ϕθθθθθ∂∂+∂∂∂∂-= L(6. 7)ϕ∂∂-= i ˆz L (6. 8)θθθθθ2222sin ˆ)sin (sin ˆzL L +∂∂∂∂-= （6. 9）利用了：ϕθcos sin r x =，ϕθsin sin r y =， θcos r z =；2222z y x r ++=，rz =θcos , x y=ϕtan .图21 - 1 球面坐标系二 量子力学中的哈密顿量1、 哈密顿算符 薛定谔方程的普遍形式在量子力学中，薛定谔方程的普遍形式是ψψH tˆi =∂∂(6. 10)式中H ˆ是体系的哈密顿算符( = 动能函数 +势能函数)V T H +=,(6. 11)对于一个粒子在势场V ( r )中运动的情况，有)(2ˆ22r V mH +∇-= ,(6. 12) 讨论：● 哈密顿算符决定了体系的量子态随时间的变化规律，在量子力学中占有特别重要的地位。
3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件
第三章 量子力学中的力学量
1/26
Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation 一、算符间的对易关系 (Commutation relation of operators)
ˆ ,L ˆ ]i L ˆ [ L x y z ˆ ˆ ]i L ˆ [ Ly , L z x ˆ ˆ ]i L ˆ [ L , L z x y
ˆ ˆ ˆ [ L , L ] i L , 123 1 εαβγ—列维--斯维塔(j (j=1,2,…) 分别将gj代入前式可得对应于每个gj的一组解
第三章 量子力学中的力学量
11/26
Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
所以相应的波函数
n j ai jni ( j 1, 2,
ˆ y (i p ˆz ) i p ˆz p ˆy p ˆ z (i p ˆy) i p ˆy p ˆz 0 00 p
ˆ ,p ˆ ,p ˆ 2 ] 0,[ L ˆ 2] 0 [L y z
第三章 量子力学中的力学量
6/26
Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
1/26
Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation 一、算符间的对易关系 (Commutation relation of operators)
ˆ ,L ˆ ]i L ˆ [ L x y z ˆ ˆ ]i L ˆ [ Ly , L z x ˆ ˆ ]i L ˆ [ L , L z x y
ˆ ˆ ˆ [ L , L ] i L , 123 1 εαβγ—列维--斯维塔(j (j=1,2,…) 分别将gj代入前式可得对应于每个gj的一组解
第三章 量子力学中的力学量
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Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
所以相应的波函数
n j ai jni ( j 1, 2,
ˆ y (i p ˆz ) i p ˆz p ˆy p ˆ z (i p ˆy) i p ˆy p ˆz 0 00 p
ˆ ,p ˆ ,p ˆ 2 ] 0,[ L ˆ 2] 0 [L y z
第三章 量子力学中的力学量
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Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
第1章 量子力学基础知识
d 8 m E 2 2 dx h
2 2
8 m E 8 m E c1 cos( ) x c2 sin( ) x 2 2 h h
2 1 2 2 1 2
边界条件： x 0 , 0
2
x l , 2 0
8 m E 8 m E c1 cos( ) x c sin( ) x 2 h2 h2
1927年，美国, C. J. Davisson L. H. Germer 单晶 体电子衍射实验 G.P.Thomson 多晶金属箔电子衍射实验 质子、中子、氦原子、氢原子等粒子流也同样观 察到衍射现象，充分证实了实物微粒具有波动性， 而不限于电子。
22
氧化锆晶体的X射线衍射图
金晶体的电子衍射图
23
n h E 2 8m l
2
n 1,2,3,
nx ( x) c2 sin( ) l
nx ( x) c2 sin( ) l
nx c sin ( )dx 1 l 0
l 2 2 2
* d 1
nx 2 c sin ( ) 1 l 0
l 2 2 2
2 c2 l
25
波粒两相性是微观粒子运动 的本质特性，为微观世界的 普遍现象。
26
-1.1.4- 不确定关系(测不准原理)
x D A e O P
y
Q
A
O C
P psin
电子单缝衍射实验示意图
单 缝 衍 射
1.2 量子力学基本假设
量子力学是描述微观粒子运动规律 的科学。 电子和微观粒子不仅表现出粒性， 而且表现出波性，它不服从经典力 学的规律。
31
-1- 波函数和微观粒子的运动状态
量子力学教程-周世勋-第三章算符
C 为常数
ˆ, B ˆ, B ˆ ] = C[ A ˆ ] C 为常数 [CA
ˆ +A ˆ ,B ˆ ,B ˆ ,B ˆ] ˆ] = [A ˆ]+[A [A 1 2 1 2 ˆA ˆ ˆ ˆ ,B ˆ +A ˆ [A ˆ ,B ˆ] ˆ ]A [A 1 2 , B] = [ A 1 2 1 2
∂ ˆ ˆ ∂ ˆ ˆ ˆ, ∂ B ˆ] [ A, B ] = [ A , B] + [ A ∂t ∂t ∂t
中，因
+ * % d d ˆ + = ⎛ h ∂ ⎞ = ⎛− h ∂ ⎞ = P ˆ 。也可以直接从定义式（3.1-3）出发，来 = − ，所以 P x x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dx dx ⎝ i ∂x ⎠ ⎝ i ∂x ⎠
ˆ 是厄密算符。 证明 P x
∫
∞
−∞
ˆ φ dx = ϕ *φ |∞ − ϕ *P −∞ x
3．其他对易关系 （1）角动量算符与位置算符之间的对易关系
67
ˆ , x] = [ yP ˆ , zP ˆ , x] = 0 [L x z y ˆ , y ] = [ yP ˆ − zP ˆ , y ] = − z[ P ˆ , y ] = z[ y, P ˆ ] = ihz [L x z y y y
ˆ −1 , FF ˆ =G ˆ ˆ −1 = F ˆ −1 F ˆ = 1。 F
并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
ˆ为 ˆ ( x ) = af ( x ) ，其中 F 对于非齐次线性微分方程： Fu
d 与函数构成的线性算符，a 为常数。 dx
ˆ = 0， 其解 u 可表示为对应齐次方程的通解 u。与非齐次方程的特解 υ 之和，即 u = u0 + v 。因 Fu 0
ˆ, B ˆ, B ˆ ] = C[ A ˆ ] C 为常数 [CA
ˆ +A ˆ ,B ˆ ,B ˆ ,B ˆ] ˆ] = [A ˆ]+[A [A 1 2 1 2 ˆA ˆ ˆ ˆ ,B ˆ +A ˆ [A ˆ ,B ˆ] ˆ ]A [A 1 2 , B] = [ A 1 2 1 2
∂ ˆ ˆ ∂ ˆ ˆ ˆ, ∂ B ˆ] [ A, B ] = [ A , B] + [ A ∂t ∂t ∂t
中，因
+ * % d d ˆ + = ⎛ h ∂ ⎞ = ⎛− h ∂ ⎞ = P ˆ 。也可以直接从定义式（3.1-3）出发，来 = − ，所以 P x x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dx dx ⎝ i ∂x ⎠ ⎝ i ∂x ⎠
ˆ 是厄密算符。 证明 P x
∫
∞
−∞
ˆ φ dx = ϕ *φ |∞ − ϕ *P −∞ x
3．其他对易关系 （1）角动量算符与位置算符之间的对易关系
67
ˆ , x] = [ yP ˆ , zP ˆ , x] = 0 [L x z y ˆ , y ] = [ yP ˆ − zP ˆ , y ] = − z[ P ˆ , y ] = z[ y, P ˆ ] = ihz [L x z y y y
ˆ −1 , FF ˆ =G ˆ ˆ −1 = F ˆ −1 F ˆ = 1。 F
并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
ˆ为 ˆ ( x ) = af ( x ) ，其中 F 对于非齐次线性微分方程： Fu
d 与函数构成的线性算符，a 为常数。 dx
ˆ = 0， 其解 u 可表示为对应齐次方程的通解 u。与非齐次方程的特解 υ 之和，即 u = u0 + v 。因 Fu 0
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态迭加原理要求力学量算符为线性的。
证明：若1, 2 是方程Hˆ E 的解，即：
i 1 t
Hˆ 1
①；
i 2 t
Hˆ 2
②
则① c1 ＋② c2 有：
i
t
(c11
c 2 2
)
c1Hˆ
1
c2Hˆ 2
③
而根据态迭加原理，c11 c22 也是方程的解，即：
i
t
(c11
c 2 2
)
Hˆ
(c11
(2)
pˆ
x
dx
i
dx x
i
i
dx
x
(i
) dx
x
(pˆ
x
)
dx
.
(3)解法同上，有： dx
(
) dx
x
x
<2>厄米算符的本征值为实数（定理内容） 证明：若 是Fˆ 的属于本征值 的本征函数，即Fˆ ，则
Fˆ d d
①
(Fˆ )d ()d d
而k
（对于连续谱的情况同样可证）
）
假设：如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学 量， 则 表 示这 个 力学 量 的 算符 Fˆ 由经 典 表 示 式F(r, p) 中 将
r
rˆ
r
；
p
pˆ 而得出，即：Fˆ
Fˆ (
rˆ
, pˆ ）
Fˆr(,
i)
。
这就是量子力学中表示力学量算符的规则。
研究算符之间的关系以及它们代表的物理量之间的关系。
为：
1 (x)2 (x)dx 0
类似的有：
1 (r )2
( r )d
0
，积分对
r
变化的全部区域进行。
若 1(r), 2 (r) 是复函数，且满足关系式：
（1 r)2 (r)d 0
全部区域
则称为两函数1(r), 2 (r) 相互正交。
例如：动量本征函数p
(
r)
1 (2)3/ 2
i pr
zˆ, pˆ y zˆ, pˆ x 0 ； pˆ x , pˆ y =pˆ x , pˆ z = pˆ y ,pˆ z =0
以上可总结为基本对易关系：
x x
i i
, ,
p x
j j
iij 0
i, j 1,2,3
p
i
,
p
j
0
即动量分量和它所对应的坐标分量是不对易的，而和不对应的坐
c2Gˆ u
2
Fˆ 线性
)
c1Fˆ Gˆ u1 c2Fˆ Gˆ u 2
即线性算符关于乘法是闭合的。
5.算符的本征值与本征函数 <1 >若对某函数 u ，有Fˆ u u, 其中 是数量，则称 为Fˆ 的本 征值（固有值），u 是 Fˆ 的属于本征值 的本征函数。上式称为 算符 Fˆ 的本征值方程（如：Hˆ E ）。方程的解除了决定 Fˆ 的具体形式以外，还决定于 u 满足的条件， 可取分立值，用 n 表示，也可取连续值。 <2 >如对应一个 只有一个 u ，则 为非简并（如线性谐振子的 能量本征值）；如对应一个 有 n个本征函数，即u1, u 2 ,u n ， 并且它们是线性独立的，则 为 n度简并。 例如：自由粒子的能量本征值为 2 度简并。
k d 0 (k )
证明： 因 Fˆ k k k ； Fˆ ，则有：
(Fˆ k ) d k k d k k d k Fˆ d k d 而 (Fˆ k ) d kFˆ d
则： k k d k d
即：( k ) k d 0 所以： k d 0
c1Gˆ u1
c2Gˆ u 2
c1 (Fˆ u1 Gˆ u1) c 2 (Fˆ u 2 Gˆ u 2 )
和定义
c1(Fˆ Gˆ )u1 c2 (Fˆ Gˆ )u 2 即线性算符关于加法是闭合的。
<3 >线性算符之积仍是线性算符
Fˆ Gˆ (c1u1
c2u2
)
Gˆ 线性
Fˆ (c1Gˆ u1
②
由厄米算符的定义，且令 ，则有：①＝②
于是 为实数
所以厄米算符又叫实算符。
<3>厄米算符Fˆ , Gˆ 之和仍是厄米算符
证明： (Fˆ Gˆ )d (Fˆ Gˆ )d Fˆ d Gˆ d
(Fˆ )d (Gˆ )d [(Fˆ Gˆ )d [(Fˆ Gˆ )]d
力学量—表示一个体系力学性质的量。
微观体系的力学量与经典系统的力学量有着重要的区别的： 经典力学体系中假定力学量都是可以连续变化的，任何两个 力学量（如：x, px ）可同时具有确定值，即存在轨道的概念； 微观体系的一些量却往往只取分立值（如势阱中粒子的能 量，线性谐振子的能量，原子的能量及角动量等），也有些量根 本不可能同时具有确定值（如：x和px ；T和U ）。微观体系的 这些特点源于它的波动性（无轨道问题）。 正是由于这种差别的存在，在量子力学中引入算符来表示 微观粒子的力学量。
一、算符的对易关系：
Gˆ , Fˆ
Gˆ Fˆ
Fˆ Gˆ
0 0
Fˆ , Gˆ 对易 Fˆ , Gˆ 不对易
1.坐标算符xˆ 和动量算符pˆ x 的对易关系x, pˆ x ? 将x, pˆ x xpˆ x pˆ x x 作用在任意波函数上，即：
( xpˆ x
pˆ x x
)(x)
x(i) x
数。在量子力学中，大部分算符采用如下形式：
Fˆ
a0
a1
x
a2
2 x 2
b1
y
b2
2 y2
c1
z
c2
2 z 2
其中a 0 , a1, a 2 ,, b1, b2 ,, c1, c2 是x, y, z 的函数。如xˆ , pˆ x , Hˆ ，
还有要讲的角动量算符Lˆ 等…。 1.算符的相等
若对任意的函数 u ，有Fˆ u Gˆ u , 我们称 Fˆ 与Gˆ 相等，记为：
Fˆ d (Fˆ )d （一、二和三维都适用）
或 Fˆ d Fˆ d Fˆ d
则称Fˆ 为厄米算符。 其中“ ”表示取复数共轭； Fˆ u (Fˆ u) 是 Fˆ 的定义。
例：xˆ
x
和 pˆ x
i d dx
是厄米的，而 不是厄米的。 x
(1)
xdx
(x
)
dx
（因为x 是实数）
如：x, d , 2 是线性算符，而 和乘方为非线性算符。 dx xy
<2 >线性算符Fˆ , Gˆ 之和仍是线性算符
和定义
(Fˆ Gˆ )(c1u1 c2u 2 ) Fˆ (c1u1 c2u 2 ) Gˆ (c1u1 c2u 2 )
Fˆ ,Gˆ 线性
c1Fˆ u
1
c 2 Fˆ u 2
3.算符对易关系的运算法则： <1>[ Aˆ , Bˆ ] = [Bˆ , Aˆ ] ； <2>[Aˆ , Aˆ ] =0； <3>[ Aˆ , c] =0 （c 为复常数）； <4>[ Aˆ , Bˆ Cˆ ] =[Aˆ , Bˆ ] +[Aˆ , Cˆ ] ；
<5>[ Aˆ , Bˆ Cˆ ] =Bˆ [Aˆ , Cˆ ] +[Aˆ , Bˆ ]Cˆ ；
二、 量子力学中用线性厄米算符表示力学量 1.两个假定： 假定 1：量子力学中的每个力学量都用一个线性厄米算符表示。 假定 2：当体系处于任意状态下，算符Fˆ 的本征值集合即是测 量体系的力学量F 的可能值；当体系处于Fˆ 的属于n 的本征态 n 时，测量力学量 F ，得到确定值n 。
2.量子力学中的力学量为什么用线性厄米算符表示 <1>为什么用算符表示力学量？
e
，则：
p
(r )p(r )d
(p
p)
pp
0
这就是说属于动量算符不同本征值的两个本征函数p' (r), p (r)
相互正交。
二、厄米算符属于不同本征值的本征函数正交 1.非简并情况：
设 1, 2 , 3 , n 是厄米算Fˆ符 的本征函数，它们所
属本征值1, 2 , 3 , n 各不相等，则：
<3>如 Fˆ ,Gˆ 有共同的本征函u数 ，则和算符的本征值是算符本 征值之和；积算符的本征值是算符本征值之积，即：
(Fˆ Gˆ )u Fˆ u Gˆ u fu gu (f g)u Fˆ Gˆ u Fˆ gu gFˆ u gfu fgu
6.厄米算符 <1 >定义：对任意二函数, （要求它们及其微商是平方可积 的），若Fˆ 满足下式：
标分量是对易的；动量各分量和坐标各分量是对易的。
说明：a. Gˆ , Fˆ Gˆ Fˆ Fˆ Gˆ 叫Gˆ Fˆ与 的对易关系，等于 0 叫二算符
对易；否则叫二算符不对易 。 b.以上 x i 和pˆ j 的对易关系是量子力学算符的基本对易关
系，由它们可以推出其他的一些算符（有经典对应的）对易关系。
(x) i
(x(x)) x
x (x) x (x) (x)
i x
i x
i
i(x)
而 (x) 是任意的
所以：x, pˆ x =i
①
该式称为x 和pˆ x 的对易关系，等式右边不等于 0，即 x 和pˆ x 不
对易。
同样可得： yˆ , pˆ y =i
②
zˆ,pˆ z =i
③
x, pˆ y x, pˆ z 0 ； yˆ, pˆ z =yˆ, pˆ x 0 ；
<6>[ Aˆ Bˆ , Cˆ ] =Aˆ [Bˆ , Cˆ ] +[Aˆ , Cˆ ]Bˆ 。 证明<5>：等式右边=Bˆ Aˆ Cˆ Bˆ Cˆ Aˆ Aˆ Bˆ Cˆ Bˆ Aˆ Cˆ =Aˆ Bˆ Cˆ Bˆ Cˆ Aˆ
证明：若1, 2 是方程Hˆ E 的解，即：
i 1 t
Hˆ 1
①；
i 2 t
Hˆ 2
②
则① c1 ＋② c2 有：
i
t
(c11
c 2 2
)
c1Hˆ
1
c2Hˆ 2
③
而根据态迭加原理，c11 c22 也是方程的解，即：
i
t
(c11
c 2 2
)
Hˆ
(c11
(2)
pˆ
x
dx
i
dx x
i
i
dx
x
(i
) dx
x
(pˆ
x
)
dx
.
(3)解法同上，有： dx
(
) dx
x
x
<2>厄米算符的本征值为实数（定理内容） 证明：若 是Fˆ 的属于本征值 的本征函数，即Fˆ ，则
Fˆ d d
①
(Fˆ )d ()d d
而k
（对于连续谱的情况同样可证）
）
假设：如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学 量， 则 表 示这 个 力学 量 的 算符 Fˆ 由经 典 表 示 式F(r, p) 中 将
r
rˆ
r
；
p
pˆ 而得出，即：Fˆ
Fˆ (
rˆ
, pˆ ）
Fˆr(,
i)
。
这就是量子力学中表示力学量算符的规则。
研究算符之间的关系以及它们代表的物理量之间的关系。
为：
1 (x)2 (x)dx 0
类似的有：
1 (r )2
( r )d
0
，积分对
r
变化的全部区域进行。
若 1(r), 2 (r) 是复函数，且满足关系式：
（1 r)2 (r)d 0
全部区域
则称为两函数1(r), 2 (r) 相互正交。
例如：动量本征函数p
(
r)
1 (2)3/ 2
i pr
zˆ, pˆ y zˆ, pˆ x 0 ； pˆ x , pˆ y =pˆ x , pˆ z = pˆ y ,pˆ z =0
以上可总结为基本对易关系：
x x
i i
, ,
p x
j j
iij 0
i, j 1,2,3
p
i
,
p
j
0
即动量分量和它所对应的坐标分量是不对易的，而和不对应的坐
c2Gˆ u
2
Fˆ 线性
)
c1Fˆ Gˆ u1 c2Fˆ Gˆ u 2
即线性算符关于乘法是闭合的。
5.算符的本征值与本征函数 <1 >若对某函数 u ，有Fˆ u u, 其中 是数量，则称 为Fˆ 的本 征值（固有值），u 是 Fˆ 的属于本征值 的本征函数。上式称为 算符 Fˆ 的本征值方程（如：Hˆ E ）。方程的解除了决定 Fˆ 的具体形式以外，还决定于 u 满足的条件， 可取分立值，用 n 表示，也可取连续值。 <2 >如对应一个 只有一个 u ，则 为非简并（如线性谐振子的 能量本征值）；如对应一个 有 n个本征函数，即u1, u 2 ,u n ， 并且它们是线性独立的，则 为 n度简并。 例如：自由粒子的能量本征值为 2 度简并。
k d 0 (k )
证明： 因 Fˆ k k k ； Fˆ ，则有：
(Fˆ k ) d k k d k k d k Fˆ d k d 而 (Fˆ k ) d kFˆ d
则： k k d k d
即：( k ) k d 0 所以： k d 0
c1Gˆ u1
c2Gˆ u 2
c1 (Fˆ u1 Gˆ u1) c 2 (Fˆ u 2 Gˆ u 2 )
和定义
c1(Fˆ Gˆ )u1 c2 (Fˆ Gˆ )u 2 即线性算符关于加法是闭合的。
<3 >线性算符之积仍是线性算符
Fˆ Gˆ (c1u1
c2u2
)
Gˆ 线性
Fˆ (c1Gˆ u1
②
由厄米算符的定义，且令 ，则有：①＝②
于是 为实数
所以厄米算符又叫实算符。
<3>厄米算符Fˆ , Gˆ 之和仍是厄米算符
证明： (Fˆ Gˆ )d (Fˆ Gˆ )d Fˆ d Gˆ d
(Fˆ )d (Gˆ )d [(Fˆ Gˆ )d [(Fˆ Gˆ )]d
力学量—表示一个体系力学性质的量。
微观体系的力学量与经典系统的力学量有着重要的区别的： 经典力学体系中假定力学量都是可以连续变化的，任何两个 力学量（如：x, px ）可同时具有确定值，即存在轨道的概念； 微观体系的一些量却往往只取分立值（如势阱中粒子的能 量，线性谐振子的能量，原子的能量及角动量等），也有些量根 本不可能同时具有确定值（如：x和px ；T和U ）。微观体系的 这些特点源于它的波动性（无轨道问题）。 正是由于这种差别的存在，在量子力学中引入算符来表示 微观粒子的力学量。
一、算符的对易关系：
Gˆ , Fˆ
Gˆ Fˆ
Fˆ Gˆ
0 0
Fˆ , Gˆ 对易 Fˆ , Gˆ 不对易
1.坐标算符xˆ 和动量算符pˆ x 的对易关系x, pˆ x ? 将x, pˆ x xpˆ x pˆ x x 作用在任意波函数上，即：
( xpˆ x
pˆ x x
)(x)
x(i) x
数。在量子力学中，大部分算符采用如下形式：
Fˆ
a0
a1
x
a2
2 x 2
b1
y
b2
2 y2
c1
z
c2
2 z 2
其中a 0 , a1, a 2 ,, b1, b2 ,, c1, c2 是x, y, z 的函数。如xˆ , pˆ x , Hˆ ，
还有要讲的角动量算符Lˆ 等…。 1.算符的相等
若对任意的函数 u ，有Fˆ u Gˆ u , 我们称 Fˆ 与Gˆ 相等，记为：
Fˆ d (Fˆ )d （一、二和三维都适用）
或 Fˆ d Fˆ d Fˆ d
则称Fˆ 为厄米算符。 其中“ ”表示取复数共轭； Fˆ u (Fˆ u) 是 Fˆ 的定义。
例：xˆ
x
和 pˆ x
i d dx
是厄米的，而 不是厄米的。 x
(1)
xdx
(x
)
dx
（因为x 是实数）
如：x, d , 2 是线性算符，而 和乘方为非线性算符。 dx xy
<2 >线性算符Fˆ , Gˆ 之和仍是线性算符
和定义
(Fˆ Gˆ )(c1u1 c2u 2 ) Fˆ (c1u1 c2u 2 ) Gˆ (c1u1 c2u 2 )
Fˆ ,Gˆ 线性
c1Fˆ u
1
c 2 Fˆ u 2
3.算符对易关系的运算法则： <1>[ Aˆ , Bˆ ] = [Bˆ , Aˆ ] ； <2>[Aˆ , Aˆ ] =0； <3>[ Aˆ , c] =0 （c 为复常数）； <4>[ Aˆ , Bˆ Cˆ ] =[Aˆ , Bˆ ] +[Aˆ , Cˆ ] ；
<5>[ Aˆ , Bˆ Cˆ ] =Bˆ [Aˆ , Cˆ ] +[Aˆ , Bˆ ]Cˆ ；
二、 量子力学中用线性厄米算符表示力学量 1.两个假定： 假定 1：量子力学中的每个力学量都用一个线性厄米算符表示。 假定 2：当体系处于任意状态下，算符Fˆ 的本征值集合即是测 量体系的力学量F 的可能值；当体系处于Fˆ 的属于n 的本征态 n 时，测量力学量 F ，得到确定值n 。
2.量子力学中的力学量为什么用线性厄米算符表示 <1>为什么用算符表示力学量？
e
，则：
p
(r )p(r )d
(p
p)
pp
0
这就是说属于动量算符不同本征值的两个本征函数p' (r), p (r)
相互正交。
二、厄米算符属于不同本征值的本征函数正交 1.非简并情况：
设 1, 2 , 3 , n 是厄米算Fˆ符 的本征函数，它们所
属本征值1, 2 , 3 , n 各不相等，则：
<3>如 Fˆ ,Gˆ 有共同的本征函u数 ，则和算符的本征值是算符本 征值之和；积算符的本征值是算符本征值之积，即：
(Fˆ Gˆ )u Fˆ u Gˆ u fu gu (f g)u Fˆ Gˆ u Fˆ gu gFˆ u gfu fgu
6.厄米算符 <1 >定义：对任意二函数, （要求它们及其微商是平方可积 的），若Fˆ 满足下式：
标分量是对易的；动量各分量和坐标各分量是对易的。
说明：a. Gˆ , Fˆ Gˆ Fˆ Fˆ Gˆ 叫Gˆ Fˆ与 的对易关系，等于 0 叫二算符
对易；否则叫二算符不对易 。 b.以上 x i 和pˆ j 的对易关系是量子力学算符的基本对易关
系，由它们可以推出其他的一些算符（有经典对应的）对易关系。
(x) i
(x(x)) x
x (x) x (x) (x)
i x
i x
i
i(x)
而 (x) 是任意的
所以：x, pˆ x =i
①
该式称为x 和pˆ x 的对易关系，等式右边不等于 0，即 x 和pˆ x 不
对易。
同样可得： yˆ , pˆ y =i
②
zˆ,pˆ z =i
③
x, pˆ y x, pˆ z 0 ； yˆ, pˆ z =yˆ, pˆ x 0 ；
<6>[ Aˆ Bˆ , Cˆ ] =Aˆ [Bˆ , Cˆ ] +[Aˆ , Cˆ ]Bˆ 。 证明<5>：等式右边=Bˆ Aˆ Cˆ Bˆ Cˆ Aˆ Aˆ Bˆ Cˆ Bˆ Aˆ Cˆ =Aˆ Bˆ Cˆ Bˆ Cˆ Aˆ