第三章 力学量和算符

第三章 力学量和算符内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数 。

用波函数描述粒子的运动状态。

本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。

然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。

我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现 。

§ 3.1 力学量算符的引入 § 3.2 算符的运算规则§ 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 § 3.4 连续谱本征函数§ 3.5 量子力学中力学量的测量 § 3.6 不确定关系 § 3.7 守恒与对称在量子力学中。

微观粒子的运动状态用波函数描述。

一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。

在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。

一般说来。

当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。

当给定描述这一运动状态的波函数 后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。

利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。

既然一切力学量的平均值原则上可由 给出，而且这些平均值就是在 所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。

力学量的平均值对以波函数(,)r t ψ描述的状态，按照波函数的统计解释，2(,)r t ψ表示在t 时刻在 r r d r →+中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是:()2*(,)(,)(,) 3.1.1r r t rdr r t r r t dr ψψψ∞∞-∞-∞==⎰⎰坐标r 的函数()f r 的平均值是：()()()*(,)(,) 3.1.2f r r t f r r t dr ψψ∞-∞=⎰现在讨论动量的平均值。

显然，P 的平均值P 不能简单的写成2(,)P r t Pdr ψ∞-∞=⎰，因为2(,)r t dr ψ只表示在 r r dr →+中的概率而不代表在P P dP →+中找到粒子的概率。

要计算P ，应该先找到在t 时刻，在P P dP →+中找到粒子的概率2(,)C P t dP ，这相当于对(,)r t ψ作傅里叶变化，而(,)C r t 有公式 给出。

动量p 的平均值可表示为但前述做法比较麻烦，下面我们将介绍一种直接从(,)r t ψ计算动量平均值的方法。

由（3.1.4）式得 利用公式 可以得到记动量算符为 ˆpi =-∇ 则()*ˆ(,)(,) 3.1.9p r t pr t dr ψψ∞-∞=⎰ 从而有 ()()()*ˆ(,)(,) 3.1.10f p r t f pr t dr ψψ∞-∞=⎰ 例如：动能的平均值是 角动量L 的平均值是()()*3.1.12L r p r i dr ψψ∞-∞⎡⎤=⨯=⨯-∇⎣⎦⎰综上所述，我们得出，在求平均值的意义下，力学量可以用算符来代替。

下面我们来介绍动量算符的物理意义。

为简单考虑一维运动，设量子体系沿x 方向做一空间平移a ，这是状态由原ψ变为ψ'，如图所示。

显然 ()x a ψψ'=- （3.1.13） 若1a <<，可做泰勒展开()()()()222222()()()()2! 1()2! ()da dxa dd x x a x x dx dxa d d a x dx dx ex ψψψψψψ--'=+-+⋅⋅⋅⎡⎤-=+-++⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦= （3.1.14）即当a 在无穷小的情况下，取准确到一级项有 ()()ˆ1x ix p a x ψψ⎛⎫'=-⎪⎝⎭（3.1.15） 因此，状态()x ψ经空间平移后变成另一态()x ψ'，它等于某个变量算作用于原来态上的结果，而该变换算符可由动量算符来表达ˆx i pa e-，特别在无穷小移动的情况下，动量算符纯粹反映着空间平移的特性，所以动量算符又称为空间平移无穷小算符，动量反映着坐标变化（平移）的趋势或能力。

推广到三维运动，状态()r ψ在空间平移a 下，变为()()()ˆˆ1ir r a pa r ψψψ⎛⎫'=-=-⋅ ⎪⎝⎭（3.1.16） § 3.2 算符的运算规则 3.2.1 算符的定义 所谓算符，是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。

若某种运算把函数μ变为v ，记作则表示这种运算的符号ˆF就称为算符。

如果算符ˆF作用于一个函数ψ，结果等于乘上一个常数λ，记为 ˆFψλψ= （3.2.1） 则λ为ˆF的本征值，为ˆF 的本征函数，上述方程称为ˆF 的本征方程。

若算符满足： []1212ˆˆˆF c c c F c F ψψψψ+=+ （3.2.2）其中1ψ、2ψ为任意函数，1c 、2c 为常数，则ˆF称为线性算符若算符满足 ˆI ψψ= （3.2.3） ψ为任意函数，则称ˆI 为单位算符。

3.2.2 算符的运算规则算符之和()ˆˆˆˆAB A B ψψψ+=+ （3.2.4）ψ 为任意波函数。

显然，算符之和满足交换率和结合律ˆˆˆˆAB B A +=+ ()()ˆˆˆˆˆˆAB C A B C ++=++ 显然，线性算符之和仍为线性算符。

算符之积()()ˆˆˆˆABA B ψψ= （3.2.5）注：一般情形ˆˆˆˆAB BA ≠ （3.2.6） 比方，取ˆAx =，ˆˆx B p i x∂==-∂则 但 ()ˆx xpi x i i x x xψψψψ∂∂=-=--∂∂ 因此 ()ˆˆx x xpp x i ψψ-= （3.2.7）由于ψ是任意函数，从(3.2.7)式得ˆˆx x xpp x i -= （3.2.8）从（3.2.8）可见， ˆˆx x xpp x ≠ 记ˆˆAB和ˆˆBA 之差为 ˆˆˆˆˆˆ,A B AB BA ⎡⎤=-⎣⎦（3.2.9） 称为算符ˆA，ˆB 的对易关系或对易子。

式（3.2.8）可记为[]ˆ,x x pi = 若算符ˆA和ˆB 的对易子为零，则称算符ˆA 和ˆB 对易。

利用对易子的定义（3.2.9）式，易证下列恒等式ˆˆˆˆ,,AB B A ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦ ˆˆ,0AA ⎡⎤=⎣⎦()ˆˆ,0AC C ⎡⎤=⎣⎦为常数ˆˆˆˆˆˆˆ,,,A B C A B A C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （3.2.10） ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,ABC A B C B A C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,BCA B A C B C A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,,,0AB C B C A C A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 最后一式称为雅可比恒等式。

作为例子，我们讨论角动量算符ˆˆL r p=⨯ ˆˆˆx x y L yp zp i y z z y ⎛⎫∂∂=-=-- ⎪∂∂⎝⎭ˆˆˆy y z L zp yp i z x xz ∂∂⎛⎫=-=-- ⎪∂∂⎝⎭ （3.2.11）ˆˆˆz y x L xp yp i x y y x ⎛⎫∂∂=-=-- ⎪∂∂⎝⎭它们和坐标算符的对易子是ˆˆˆ,0,,,,ˆˆˆ,,,0,,ˆˆˆ,,,,,0,x x x y y y z z z L x L y i z L z i y L x i z L y L z i x L x i y L y i x L z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-==⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤==-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （3.2.12） （3.2.12）式可表示为ˆ,L x i x αβαβγγε⎡⎤=⎣⎦（3.2.13） 上式中α，β，γ=1,2,3表示相应的分量，αβγε成为列维-斯维塔记号，满足1231αβγβαγαγβεεεε==-=- （3.2.14）任意两个下脚标相同，则αβγε为零。

同理可得ˆˆˆ,L p i p αβαβγγε⎡⎤=⎣⎦（3.2.15） ˆˆˆ,LL i L αβαβγγε⎡⎤=⎣⎦ （3.2.16）式中不为零的等式也可写成ˆˆˆL L i L ⨯= （3.2.17） 坐标和动量的对易子可写为ˆ,x p i αβαβδ⎡⎤=⎣⎦ （3.2.18）其中1 0 αβαβδαβ=⎧=⎨≠⎩（3.2.19） 角动量算符的平方是：2222ˆˆˆˆx y zL L L L =++ （3.2.20） 则 222222ˆˆˆˆˆˆ,,,0x y zL L L L L L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦（3.2.21） 在球坐标系下sin cos sin cos cos x r y r z r θϕθϕθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩（3.2.22）则cos r z r y tg x θϕ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩（3.2.23）将r 两边对x 求偏导，得： s i n c o s xx rθϕ∂==∂ （3.2.24） 将cos z r θ=两边对x 求偏导，得：211cos cos sin z r x r x rθθϕθ∂∂=-=∂∂（3.2.25） 再将y tg x ϕ=两边对x 求偏导，得：221sin sec sin y x x r ϕϕϕθ∂=-=-∂ （3.2.26） 利用这些关系式可求得：11sin sin cos cos cos sin r x x r x x r r r θϕθϕϕθϕθϕθθϕ∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+-∂∂∂ （3.2.27）同理可得：11cos sin sin cos sin sin r y y r y y r r r θϕθϕϕθϕθϕθθϕ∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂ （3.2.28）1 cos sin r z z r z z r r θϕθϕθθθ∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-∂∂ （3.2.29）则角动量算符可表示为：ˆsin cos x L i ctg ϕθϕθϕ⎛⎫∂∂=+ ⎪∂∂⎝⎭（3.2.30） ˆcos sin y L i ctg ϕθϕθϕ⎛⎫∂∂=-+ ⎪∂∂⎝⎭（3.2.31） ˆzL i ϕ∂=-∂ （3.2.32） 由此可得：()2222222222222ˆ[sin 2sin cos cos +ctg cos csc sin cos ]x L ctg ctg ctg ϕθϕϕθϕθθϕϕθϕθθϕϕθϕ∂∂∂=-++∂∂∂∂∂∂-+∂∂ （3.2.33）()2222222222222ˆ[cos 2sin cos sin +ctg sin csc sin cos ]yL ctg ctg ctg ϕθϕϕθϕθθϕϕθϕθθϕϕθϕ∂∂∂=--+∂∂∂∂∂∂++∂∂ （3.2.34）2222ˆzL ϕ∂=-∂ （3.2.35） 所以 2222ˆˆˆˆx y zL L L L =++ 222211sin sin sin θθθθθϕ⎡⎤∂∂∂⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥∂∂∂⎝⎭⎣⎦（3.2.36）则2ˆL的本征方程可写为： ()()22211sin ,,sin sin Y Y θθϕλθϕθθθθϕ⎡⎤∂∂∂⎛⎫+=- ⎪⎢⎥∂∂∂⎝⎭⎣⎦（3.2.37） 在数理方法中已讨论过，必须有：()1l l λ=+ （3.2.38） 可解得：()()(),1cos mm im lm lm l Y N P e ϕθϕθ=- ,1,,m l l l =-⋅⋅⋅- （3.2.39）lm N 为归一化系数，()cos mlP θ为连带勒让得多项式。