一次分式型、“耐克”函数
题型08 必考的几类初等函数(分式一次型函数、二次函数、指数函数)(原卷版)
秒杀高考题型之必考的几类初等函数（分式一次型函数、二次函数、指数函数）【秒杀题型一】：分式一次型函数：()ax b d y x cx d c+=≠-+。
『秒杀策略』：反比例函数()k f x x =推广为分式函数：()ax b d y x cx d c+=≠-+→把分子变量去掉，可转化 为：t y m x n =+-，图象为双曲线，有以下性质： ①定义域：,x R x n ∈≠；②值域：,y R y m ∈≠，a m c=； ③单调性：单调区间为()(),,,n n -∞+∞，当0t >时为减函数，反之为增函数；④对称中心：(),n m 。
秒杀方法：在选择题中考查增减性时．．．．．．．．．．．，．如选项中有分式．．．．．．．一次型．．．函数．．，．一般情况下．．．．．优先考虑．．．．此选项。
．．．．1.(高考题)函数111--=x y 的图象是 ( )2.(高考题)在区间(),0-∞上为增函数的是 ( )A.0.5log ()y x =--B.1x y x =- C.2(1)y x =-+ D.21y x =+ 3.(高考题)函数()21)(≥-=x x x x f 的最大值为 。
【秒杀题型二】：二次函数。
『秒杀策略』：二次函数解析式设法有三种：根据条件特点采用对应设法。
①一般式：2y ax bx c =++； ②两根式：12()()y a x x x x =--;③顶点式：2()y a x h k =-+。
1.(高考题)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价()b b a >以及常数()01x x <<确定实际销售价格()c a x b a =+-，这里x 被称为乐观系数。
经验表明，。
含参一次型分式函数的应用例题
含参一次型分式函数的应用例题
含参一次型分式函数是一种形式的函数，其中分式部分是以一次函数形式加上一个参数。
在实际应用中，这种函数常常被用来进行数据处理和分析。
以下是一些例题:
1. 已知反比例函数的解析式为，求 y 与 x 的函数关系式。
解：将 x2,y1 代入得，解得 k=9。
因此 y 与 x 的函数关系式为。
2. 求分式方程的应用题例题。
解：设步行速度为 x 千米/分，则汽车的速度为 2.5x 千米/分。
得，解得 x=0.38。
经检验，x=0.38 为方程的解，且符合题意。
因此汽车的速度为每千米 0.95 分。
3. 求一次函数表达式的例题。
解：例 1.一个弹簧，不挂物体时长 12cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例。
如果挂上 3kg 物体后，弹簧总长是 13.5cm，求弹簧总长是 y(cm) 与所挂物体质量 x(kg) 之间的函数关系式。
如果弹簧最大总长为 23cm，求自变量 x 的取值范围。
解：由题意设所求函数为 ykx12，则 13.5=3k12，得 k=0.5。
因此函数解析式为 y=0.5x12。
由 230.5x12 得 x=22。
因此自变量 x 的取值范围是 0x22。
通过这些例题，我们可以看到含参一次型分式函数在实际应用中具有广泛的应用，可以用于数据处理和分析。
第九讲++一次分式函数
第九讲 一次分式函数【要点归纳】 形如)0,(不同时为c a dcx b ax y ++=的函数，叫做一次分式函数。
（1）特殊地，)0(≠=k xk y 叫做反比例函数； （2）一次分式函数)0,(不同时为c a d cx b ax y ++=的图象是双曲线，)0(,≠=-=c ca y c d x 是两条渐近线，对称中心为（c a c d ,-）（c ≠0）。
【典例分析】例1 说明函数13+=x x y 的图象可由函数x y 1=的图象经过怎样的平移变换而得到，并指出它的对称中心。
例2 求函数x x y +-=11在-3≤x ≤-2上的最大值与最小值。
例3 将函数xx f 1)(=的图象向右平移1个单位，向上平移3个单位得到函数)(x g 的图象 （1）求)(x g 的表达式；（2）求满足)(x g ≤2的x 的取值范围。
例4 求函数)0(123≥+-=x x x y 的值域。
例5 函数1)(-+=x a x x f ，当且仅当-1＜x ＜1时，0)(<x f （1）求常数a 的值；（2）若方程mx x f =)(有唯一的实数解，求实数m 的值。
例6 已知)0,0(>>=a x xa y 图象上的点到原点的最短距离为6 （1）求常数a 的值；（2）设)0,0(>>=a x xa y 图象上三点A 、B 、C 的横坐标分别是t ，t+2，t+4，试求出最大的正整数m ， 使得总存在正数t ，满足△ABC 的面积等于t m 。
【反馈练习】1、若函数y=2/(x-2)的值域为y≤1/3，则其定义域为_____________。
2、函数312+--=x x y 的图象关于点_____________对称。
3、若直线y=kx 与函数59++=x x y 的图象相切，求实数k 的值。
4、画出函数1||1--=x x y 的图象。
5、若函数21++=x ax y 在(-2，+∞)是增函数，求实数a 的取值范围。
高中不等式基本知识点和练习题(含答案)
不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性： (2)传递性：a b b a <⇔>ca cb b a >⇒>>,(3)加法法则：；(同向可加)c b c a b a +>+⇒>d b c a d c b a +>+⇒>>,(4)乘法法则：； bc ac c b a >⇒>>0,bcac c b a <⇒<>0,(同向同正可乘)bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(5)倒数法则： (6)乘方法则：b a ab b a 110,<⇒>>)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且(7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情()002≠=++a c bx ax 2121x x x x ≤且、ac b 42-=∆况如下表：2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。
()()()如：x x x +--<1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
数列全部题型归纳(非常全面-经典!)
数列百通 通项公式求法 (一)转化为等差与等比1、已知数列{}n a 满足11a =，211n n a a -=+（,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么4、已知数列{}n a 中，10a =，112n na a +=-，*N n ∈.求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式；5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式（二）含有n S 的递推处理方法1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2(2)8n n a S +=则，数列n a3）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，111,0,4n n n n a S S a a -=-≠=则，数列na4）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++求数列n a（三） 累加与累乘（1）如果数列{}n a 中111,2nn n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式(3) 12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式.（4）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，211,2n n S n a a ==则，数列n a（四）一次函数的递推形式1. 若数列{}n a 满足1111,12n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a2 .若数列{}n a 满足1111,22n n n a a a -==+ (2)n ≥，数列n a（五）分类讨论（1）2123(3),1,7n n a a n a a -=+≥==，求数列n a（2）1222,(3)1,3nn a n a a a -=≥==，求数列n a（六）求周期16 （1） 121,41nn na a a a ++==-，求数列2004a（2）如果已知数列11n n n a a a +-=-，122,6a a ==，求2010a拓展1：有关等和与等积（1）数列{n a }满足01=a ,12n n a a ++=,求数列{a n }的通项公式（2）数列{n a }满足01=a ,12n n a a n ++=,求数列{a n }的通项公式(3).已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列{a n }的通项公式.拓展2 综合实例分析1已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且对任意自然数n ，总有()1,0,1n n S p a p p =-≠≠（1）求此数列{a n }的通项公式(2)如果数列{}n b 中，11222,,n b n q a b a b =+=<，求实数p 的取值范围2已知整数列{a n }满足31223341 (3)n n n n a a a a a a a a --+++=，求所有可能的n a3已知{}n a 是首项为１的正项数列，并且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+==，则它的通项公式n a 是什么4已知{}n a 是首项为1的数列，并且134n n n a a a +=+，则它的通项公式n a 是什么5、数列{}n a 和{}n b 中，1,,+n n n a b a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且11=a ，21=b ，设nn n b a c =，求数列{}n c 的通项公式。
高中数学知识复习与总结(函数)
函数知识复习与总结1．函数的概念 在某个变化过程中有两个变量y x ,，如果对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一的实数值与它对应，那么y 就叫做x 的函数，记作D x x f y ∈=),(。
x 叫做自变量，x 的取值范围D 叫做函数的定义域；和x 相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
其中函数三要素：定义域、对应法则、值域。
函数的表示方法：解析法、图像法、列表法。
定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。
即函数的图像特征：对于任意与x 轴垂直的直线，与图像最多只有一个交点。
由于构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。
而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。
2. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数log a x 中0,0x a >>且1a ≠。
}{(,)|x y x ，则函数的值域中共有 ]，则b ＝__________（3）复合函数的定义域：若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤解出即可；若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于当[,]x a b ∈时，求()g x 的值域（即()f x 的定义域）。
3.求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：2()f x ax bx c =++；顶点式：2()()f x a x m n =-+；零点式：12()()()f x a x x x x =--，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。
2024高考数学知识点清单与总结代数函数题型总结
2024高考数学知识点清单与总结代数函数题型总结一、简介在2024年高考数学考试中，代数函数是一个重要的考点。
本文将对代数函数题型进行总结，包括常见的函数类型和相关的解题方法。
通过系统的学习和练习，可以提升解决代数函数题的能力，为高考数学取得好成绩奠定基础。
二、函数类型1. 一次函数一次函数是形如f(x) = ax + b的函数，其中a和b是实数，且a≠0。
解析式中，a决定了直线的斜率，b决定了直线与y轴的交点。
常见的一次函数题型有求解方程组、确定函数图像的性质等。
解题方法包括代入法、参数法等。
2. 二次函数二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b和c是实数，且a≠0。
二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负确定。
常见的二次函数题型有求解方程、求顶点坐标、判断图像开口方向等。
解题方法包括配方法、求解二次方程等。
3. 三次函数三次函数是形如f(x) = ax³ + bx² + cx + d的函数，其中a、b、c和d 是实数，且a≠0。
三次函数的图像通常呈现"倒"的S形状。
常见的三次函数题型有求极值点、求零点、确定图像的性质等。
解题方法包括导函数法、分解因式法等。
4. 分式函数分式函数是形如f(x) = p(x)/q(x)的函数，其中p(x)和q(x)是多项式函数。
分式函数常常呈现出分子分母有关系的特点，在求解过程中需要注意分母不能为零。
常见的分式函数题型有求解方程、确定函数的定义域等。
解题方法包括化简法、消去法等。
5. 指数函数指数函数是形如f(x) = a^x的函数，其中a是常数，a>0且a≠1。
指数函数的特点是以a为底的指数递增或递减。
常见的指数函数题型有求解指数方程、确定函数的性质等。
解题方法包括对数法、指数方程的性质等。
6. 对数函数对数函数是形如f(x) = logₐx的函数，其中a是常数，a>0且a≠1。
高中数学总结复习不等式知识点及主要题型讲义含解答
不等式的基本知识一、解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2 bx c 0或ax 2 bx c 0 a 0 的解集：设相应的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两根为 2x1、x 且 x x ，b 4ac2 1 2，则不等式的解的各样状况以下表：0 0 0y ax 2y ax 2 bx c y ax 2 bx cbx c二次函数y 2axbx c（a 0 ）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根2 ax abxc的根x1, x2 (x1 x2 )bx x1 无实根22a2 ax (abx c0)的解集x x x1或x x2x xb2aR2 ax (abx c0)的解集x x1 x x22、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方挨次经过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；2 3 3）依据曲线展现f (x) 的符号变化规律，写出不等式的解集。
如： x 1 x 1 x 2 03、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右侧为 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
解分式不等式时，一般不可以去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
f ( x) f ( x)0 f (x) g( x) 0; 0 g( x) g( x) f (x) g(x) 0g (x) 04、不等式的恒建立问题：常应用函数方程思想和“分别变量法”转变为最值问题若不等式f x A在区间D 上恒建立, 则等价于在区间D 上 f x Amin若不等式f x B 在区间D 上恒建立, 则等价于在区间D 上 f x Bmax二、线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面地区二元一次不等式A x+B y+C＞0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+B y+C=0 某一侧全部点构成的平面地区. （虚线表示地区不包含界限直线）2、二元一次不等式表示哪个平面地区的判断方法因为对在直线A x+B y+C=0 同一侧的全部点 ( x, y )，把它的坐标（x, y) 代入Ax+By+C，所获得实数的符号都同样，因此只要在此直线的某一侧取一特别点（x0, y0) ，从A x0+By0+C的正负即可判断A x+By+C＞0 表示直线哪一侧的平面地区 . （特别地，当C≠0 时，常把原点作为此特别点）3、线性规划的相关观点：①线性拘束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量 x、y 的拘束条件，这组拘束条件都是关于 x、y 的一次不等式，故又称线性拘束条件．②线性目标函数：对于 x、y 的一次式 z=ax+b y 是欲达到最大值或最小值所波及的变量 x、y 的分析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性拘束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：知足线性拘束条件的解（ x,y）叫可行解．由全部可行解构成的会合叫做可行域．使目标函数获得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．4、求线性目标函数在线性拘束条件下的最优解的步骤：1）找寻线性拘束条件，列出线性目标函数；2）由二元一次不等式表示的平面地区做出可行域；3）依照线性目标函数作参照直线 a x+b y＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解三、基本不等式ab a b21、若 a,b∈R,则 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时取等号 .a b2、假如 a,b 是正数，那么ab(当且仅当 a b时取" "号).22a b变形：有:a+b ≥2 ab ；ab≤,当且仅当 a=b 时取等号 .23、假如 a,b∈R+ ,a·b=P (定值),当且仅当 a=b 时,a+b 有最小值2 P ;假如 a,b∈R+ ,且 a+b=S (定值),当且仅当 a=b 时,ab 有最大值2S4.注：1）当两个正数的积为定值时，能够求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，能够求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4、常用不等式有：1） 2 2 2a b a b ab2 2 1 1a b( 依据目标不等式左右的运算构造采用 ) ；2）a、b、c R， 2 2 2a b c ab bc ca （当且仅当a b c时，取等号）；3）若a b 0,m 0 ，则b b ma a m（糖水的浓度问题）。
热点2-1 函数的定义域、解析式与值域8大题型(解析版)
热点2-1 函数定义域、解析式与值域8大题型函数的定义域、解析式与值域问题是高考数学的必考内容。
函数问题定义域优先，在解答函数问题时切记要先考虑定义域；函数解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、数形结合问题；基本不等式及“耐克函数”、“瘦腰函数”模型；数列的最大项、最小项；向量与复数的四则运算及模的最值；向量与复数的几何意义的最值；解析几何的函数性研究问题等；都需要转化为求最值问题。
在复习过程中，在熟练掌握基本的解题方法的同时，要多加训练综合性题目。
一、求函数的定义域的依据函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零.2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，(2,)n x n k k N *=∈其中中0,x ≥奇次方根的被开方数取全体实数，即(21,)n xn k k N *=+∈其中中，x R ∈.3、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。
【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。
二、抽象函数及定义域求法1、已知)(x f 的定义域为A ，求))((x g f 的定义域，其实质是)(x g 的取值范围为A ，求x 的取值范围;2、已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中的x 的取值范围为B ，求)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域.3、已知))((x g f 的定义域，求))((x h f 的定义域，要先按（2）求出)(x f 的定义域.三、函数解析式的四种求法1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
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课题1：一次分式型函数、“耐克”函数
● 教学目标：
掌握一次分式型函数的定义、图像和性质，常见的分式型符合函数的性质和运算技
巧；
掌握赖克函数的定义、图像和性质，常见与赖克函数相符合函数的性质和运算技巧；
2 若20a a -<，函数在区间,a -∞- ⎪⎝⎭，,a -+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； （3）对称性：关于',b c
O a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称； （4）渐近线：直线b x a =-，c y a
=是曲线的两条渐近线；
图一：20d bc a a -> 图二：20d bc a a
-<
4、典型例题：
例1、已知函数()1x f x x =+，求111(1)(2)()(3)((4)()234
f f f f f f f ++++++的值。
例2、已知函数()221x f x x
=+，求()111(1)(2)(3)2010()()()232010f f f f f f f +++++++++的值。
答案：120092。
（1）定义域：{}0x x ≠；
值域：当00a b >⎧⎨>⎩，或00a b <⎧⎨<⎩时，值域为()
,2,ab ⎡-∞-+∞⎣； 当00a b <⎧⎨>⎩，或00a b >⎧⎨<⎩
时，值域为(),-∞+∞。
（2）单调性：
①当00a b >⎧⎨>⎩时，当x ⎛∈ ⎝时，函数是减函数；当x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭
时，函数是减函数；
当,x ⎛∈-∞ ⎝时，函数是增函数；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，函数是增函数；
②当00a b <⎧⎨<⎩时，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，函数是减函数；当,x ⎛∈-∞ ⎝时，函数是减函数；
当x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，函数是增函数；当x ③当0a <⎧时，0,x ∈+∞，函数是减函数；x ∈
()16,0,t t ⎫
-∈+∞⎬⎭
，则集合B = 解】{2x -≤例2、（2011年湖南卷第10题）
设,x y R ∈，且0xy ≠，则2222114x y y x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭
⎝⎭的最小值为 ； 答案：9
例3、（2011年重庆卷第7题）
已知0,0,2
a b a b
>>+=，则
14
y
a b
=+的最小值是（）
A．7
2 B．4 C．9
2
D．5
答案：C
●板书设计。