力学量算符之间的对易关系
合集下载
算符对易关系_第三章
推导 坐标和动量的测不准关系 角动量的测不准关系
13
●
测不准关系的严格推导
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 设 F 和 G 的对易关系为 [F, G] ik
ˆ ˆˆ ˆˆ FG GF ik
ˆ ˆ ˆ ˆ F F F , G G G ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ FG GF (F F )(G G ) (G G )(F F ) ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ (FG FG FG FG) (GF GF GF GF)
12
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１2 ）
4．测不准关系 引言 由前面讨论表明，两对易力学量算符则同 时有确定值；不对易两力学量算符，一般 来说，不存在共同本征函数，不同时具有 确定值。 两个不对易算符所对应的力学量在某一状 态中究竟不确定到什么程度？即不确定度 是多少？ 测量值 Fn 与平均值 < F > 的偏差的 大小。
ˆ ˆ ˆ ˆ 若 [ F , G] 0 ， 则 F 与 G 对易
ˆ ˆ ˆ ˆ 若 [ F , G] 0 ，则 F 与 G 不对易
1
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１）
（1）力学量算符的基本对易关系 ˆ ˆ x, y 0 [x , x ] 0 , 1, 2, 3 ˆ ˆ y, z 0 x1 x, x2 y, x3 z ˆ 0 ˆ z, x
测不准关系（续6）
2．力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）
ˆ ˆ 若算符F 和 G 具有共同的本征函数完全 定 理 ˆ ˆ 系，则 F 和 G 必对易。 ˆ ˆ prove: 设 n 是 F 和 G 的共同本征函数完全系，则
13
●
测不准关系的严格推导
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 设 F 和 G 的对易关系为 [F, G] ik
ˆ ˆˆ ˆˆ FG GF ik
ˆ ˆ ˆ ˆ F F F , G G G ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ FG GF (F F )(G G ) (G G )(F F ) ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ (FG FG FG FG) (GF GF GF GF)
12
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１2 ）
4．测不准关系 引言 由前面讨论表明，两对易力学量算符则同 时有确定值；不对易两力学量算符，一般 来说，不存在共同本征函数，不同时具有 确定值。 两个不对易算符所对应的力学量在某一状 态中究竟不确定到什么程度？即不确定度 是多少？ 测量值 Fn 与平均值 < F > 的偏差的 大小。
ˆ ˆ ˆ ˆ 若 [ F , G] 0 ， 则 F 与 G 对易
ˆ ˆ ˆ ˆ 若 [ F , G] 0 ，则 F 与 G 不对易
1
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１）
（1）力学量算符的基本对易关系 ˆ ˆ x, y 0 [x , x ] 0 , 1, 2, 3 ˆ ˆ y, z 0 x1 x, x2 y, x3 z ˆ 0 ˆ z, x
测不准关系（续6）
2．力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）
ˆ ˆ 若算符F 和 G 具有共同的本征函数完全 定 理 ˆ ˆ 系，则 F 和 G 必对易。 ˆ ˆ prove: 设 n 是 F 和 G 的共同本征函数完全系，则
3.7 算符对易关系
ˆ ˆ ˆ ˆ = y[ p z , z p x ] + [ z , x p z ] p y
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = yz[ pz , px ]+ y[ pz , z]px + x[z, pz ]py +[z, x]pz py
ˆ ˆ ˆ ˆ = y(−iℏ) px + x(iℏ) py = iℏ[ xpy − ypx ]
证明 3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê]
利用 则
[Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ
ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ O,UE = OUE −UEO ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ = OUE −UOE +UOE −UEO
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ = OU −UO E +U OE − EO ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = O,U E +U O, E
对易关系
若ÔÛ ≠ ÛÔ，则称 与 Û 不对易。 ，则称Ô
如 ： 算 符 例 x ˆ px = −iℏ 不 对 易 。
∂ x ∂
由于
ˆ xpxψ = x(−iℏ ∂∂x )ψ =−iℏx ∂∂xψ
ˆ px xψ = (−iℏ ∂∂x )xψ =−iℏψ −iℏx ∂∂xψ
所以
ˆ ˆ xpxψ − px xψ = iℏψ
(
)
ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ I (ξ ) = ξ A + iB ,ξ A + iB
(
)
) (
) )
ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ = ξ A ,ξ A + ξ A , iB + iB ,ξ A + iB , iB
§3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件.
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件测不准关系一、泊松括号 “ [” 1．定义：∧∧∧∧∧∧-=A B B A B A ],[ 2．性质：],[],[∧∧∧∧-=A B B A为常数λλλλ],[],[],[∧∧∧∧∧∧==B A B A B A],[],[],[∧∧∧∧∧∧∧+=+C A B A C B A （1）],[],[],[∧∧∧∧∧∧∧∧∧+=C A B C B A C B A∧∧∧∧∧∧∧∧∧+=B C A C B A C B A ],[],[],[0]],[[]],[,[]],[,[=++∧∧∧∧∧∧∧∧∧B A C A C B C B A计算力学量算符对易式的基本方法有二：一是将对易式作用在任意函数上，进行运算，以求之。
二、量子力学的基本对易式下面我们用第一种方法求出坐标、动量算符之间的对易式。
对于任意函数ψ，有()ψψψψψψψ i i x x i x x i x x i x x i x P P x x x =+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛-∧∧由ψ的任意性，设i P x x =∧∧],[ （2） 同理： i P y y =∧∧],[],[0],[0],[],[====∧∧∧∧∧∧∧∧y x x y z P P P y P x i P z将以上式子写成通式有：αββαδ i P x =∧∧],[ （3）0],[=∧∧βαP P （4） 其中 ⎪⎩⎪⎨⎧≠===βαβαδβααβ1,,,zy x由上可知：动量分量和它所对应的坐标是不对易的，而和它不对应的坐标是对易的；动量各分量之间也是对易的。
力学量都是坐标和动量的函数，知道了坐标和动量之间的对易关系后，就可以得出其他力学之间的对易关系。
三、角动量算符的对易式)(],[],[0]],[],[],[],[00],[],[],[],[],[],[],[],[x y y x yz z x z x z yz z y z x x z z y x y z z y z z x y z y x P y P x i P x i P y i P P x z P z x P z P P P z y P P x z P x P z P P z y P z P y P x P z P z P z P x P y P z P y P x P z P z P y l l ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧-=+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=++-++=+--=--=z l i = （5）同理： x z y l i l l ∧∧∧= ],[ （6） y x z l i l l ∧∧∧= ],[ （7） （5）、（6）和（7）三式可以合写为一个矢量公式∧∧∧=⨯L i L L（8）上式可看作是角动量算符的定义。
算符对易关系第三章-精品文档
等于零
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y [ p , z p ] y [ p , x p ] [ z , z p ] p [ z , x p ] p z x z z x y z y
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y [ p , z ] p y z [ p ,] p [ z , x ] p p x [ z ,] p p z x z x z y z y
0 0 0
, 1 ,2 ,3 [x , x ] 0
x xx , 2 yx , 3 z 1
ˆx, p ˆy] 0 [p ˆy, p ˆz] 0 [p ˆz, p ˆx] 0 [p
, 1 ,2 ,3 ˆ ˆ p , p 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( p p p p ) 1 x , p 2 y , p 3 z
ˆ] 0 ， 则 F ˆ 与G ˆ, G ˆ 对易 若 [F
ˆ与G ˆ 不对易 ˆ] 0 ，则 F ˆ, G 若 [F
1
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１）
（1）力学量算符的基本对易关系
xˆ , yˆ yˆ , zˆ zˆ , xˆ
1 i s a n o d d p e r m u t a t i o n o fx y z 1 i s a n e v e n p e r m u t a t i o n o fx y z 0o t h e r w i s e
2 ˆ ˆ [L , L ] 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ A ,B ] C B [ A , C ]
4
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系
对易 关系
1
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续２）
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
xˆ, yˆ 0
yˆ, zˆ 0
zˆ, xˆ 0
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
2．力学量同时有确定值的条件
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
定理
若算符Fˆ 和 Gˆ 具有共同的本征函数完全 系，则 Fˆ 和 Gˆ 必对易。
prove: 设 n 是 Fˆ 和 Gˆ 的共同本征函数完全系，则
Fˆn nn , Gˆn nn
ห้องสมุดไป่ตู้
[ pˆ y , Lˆy ] 0
y[ pˆz , Lˆy ] [ y, Lˆy ]pˆz z[ pˆ y, Lˆy ] [zˆ, Lˆy ]pˆ y
[ y, Lˆy ] 0 y[ pˆ z , zpˆ x xpˆ z ] [zˆ, zpˆ x xpˆ z ] pˆ y 等于零
y[ pˆ z , zpˆ x ] y[ pˆ z , xpˆ z ] [z, zpˆ x ] pˆ y [z, xpˆ z ] pˆ y
x
ihU
f x
ihf
U x
ihU
f x
ihf
U x
ih
U x
f
U
x
,
Pˆx
ih
U x
特别地，当U x x 代入上对易式，即证得 x, Pˆx ih
同理可证： y, Pˆy ih z, Pˆz ih
3
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续３）
222- 算符的对易关系 共同本征态函数 测不准关系
下面讨论不对易情况
三、不确定关系
1.统计偏差的定义——标准差
如果力学量 ，其相应的算符为 为 ，统计平均值
在任意态 观察值对统计平均值的统计偏差（标 准差）定义为
令
——方均根值
其中，
例如： 值越大表明偏差越大 讨论： （ 1 ）．若处于本征态，则测量值等于本征值，等 于平均值，因此 即本征态是统计偏差等于零， 既无涨落的状态
结论：角动量分量之间的不对 易 上三式可合写为
该式可看成是角动量算符的定义，它比 以前的定义具有更广泛的意义，原来只是轨道角 动量，而该式包含有自旋角动量。
（3）有心力场中
、
、
的对易关系
而 、 均与r无关，所以上式第一项和第三项 作用在 、 上就和作用在常数上一样，而第二 项中的 分别与 、 对易，因此与 、 分别对易
（1）坐标与角动量算符的对易式
① 角动量分量和它所对应的坐标之间的对易关系
（ ） （ ）
同理：
结论：角动量分量和它所对应的坐标是对易的 ② 角动量分量和它不对应的坐标之间的对易关系
（
）
同理
(1)结论：角动量分量和它不对应的坐标是不对易 的—— 同理: （2）角动量分量之间的对易式
（ ）
即 同理：
得
对比对易关系
得
由公式
，这正是大家所熟悉的不确定关系。具 需要具体来求。
体的
例2：一维谐振子的不确定关系
【解】 振子的平均能量是
，（见4.22式）
， （见4.32式）
又： （见4.23式）
， （见4.33式）
因此， 不确定关系是量子力学中的基本关系，它反 映了微观粒子波粒二象性。
设
——任意态函数
算符对易关系_第三章教材
测不准关系（续6）
2．力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）
ˆ 具有共同的本征函数完全 ˆ 和G 若算符F 定 理 ˆ 必对易。 ˆ 和G 系，则 F ˆ 和G ˆ 的共同本征函数完全系，则 prove: 设 n 是 F
ˆ ˆ , G F n n n n n n
11
Ex.5
可能同时有确定值。
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续11）
3. 力学量完全集合 （1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的 力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。 Ex.1 三维空间中自由粒子，完全确 ˆ ˆ ˆ p , p , p x y z. 定其状态需要三个两两对易的 力学量： ˆ ,L ˆ2 , L ˆ . Ex.2 氢原子，完全确定其状态也需 H z 要三个两两对易的力学量： 一维谐振子，只需要一个力学 ˆ Ex.3 H 量就可完全确定其状态： （2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度 数相同。 （3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体 系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态 均可用它展开。
ˆ ˆ G ˆF ˆG ˆ ik F 2 ˆ ) d ˆ iG 考虑积分： I ( ) (F ˆ )* ][F ˆ ]d ˆ )* i (G ˆ iG [(F
* ˆ ) (G )* F ˆ ˆ )d i [(F ˆ )* (G ˆ ]d (F ) (F 2
（2 ） 为简单起见，先考虑非简并情况。由（ 1 ）、（ 2 ） ˆ 都是 F ˆ 属于本征值 的本征函数，它 式知，n 和 G n n 们最多相差一个常数因子 n ，即
ˆ ˆ G ˆ ˆ ˆ GF FG n n n n
4第3章概念1-算符、对易关系、不确定关系
量子力学中，动能算符 量子力学中，
h2 2 h2 ˆ T =− ∇ =− 2µ 2µ r 2
∂ 2 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∂r r ∂r + sin θ ∂θ sin θ ∂θ + sin 2 θ ∂ϕ 2 ˆ ˆ ˆ h2 1 ∂ 2 ∂ L2 pr2 L2 =− = + r + 2 2 2 µ r ∂r ∂r 2 µ r 2µ 2µ r 2
∂ ∂ = − y + x ψ ∂y ∂x
所以 可以推出
ˆ = −ih x ∂ − y ∂ = −ih ∂ Lz ∂x ∂ϕ ∂y
1 ∂ ∂ 1 ∂2 ˆ L2 = −h 2 sin θ + 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ 2
五、平均值公式
ˆ 态下， 在ψ 态下，力学量 F 的平均值为
F = ∑ f n cn
n
n
2
= ∑ f n cn ∫ψ nψ *dτ = ∫ψ * (∑ cn f nψ n )dτ
n n
ˆ ˆ = ∫ψ * F (∑ cnψ n )dτ = ∫ψ * Fψ dτ
或者
* * ˆ * * ˆ ψ * Fψ dτ = ∑ cn cm ∫ψ n Fψ m dτ = ∑ cn cm f m ∫ψ nψ m dτ ∫ nm
px = hk （连续取值） 连续取值）
xψ = x′ψ ( x − x′)ψ = 0 ψ = δ ( x − x′)
x′
（连续取值） 连续取值）
4.任意力学量算符 本征值方程 本征值 本征函数 值。
ˆ A
ˆ Aψ = λψ λ = A1 , A2 , A3 ,L , An ,L
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∧ ∧ ∧ ∧
（6）
称算符 F 与 G 是不对易的（不能交换位置） ，即 F G ≠ G F 。
1
若
∧
∧ ∧ ∧
⎡∧ ∧⎤ F , G⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
∧ ∧
（7）
称算符 F 与 G 是对易的，即 F G = G F 。 下面几个经常使用的对易关系，请自行证明。
∧ ∧ ⎧ ∧ ∧ F G G [ , ] [ , F] = − ⎪ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ⎪ [ F , G + M ] = [ F , G] + [ F , M ] ⎨ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪[ F , G M ] = G[ F , M ] + [ F , G ] M ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ∧ ∧ ∧ ⎪ F G M F G M F M G [ , ] [ , ] [ , ] = + ⎩ 1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子，相互对易
记忆方法：从左至右以 x → y → z → x 依次循环指标为正，任何一个指标错位即为负，相同 指标则为零。以相同的推导方法和记忆规律，有
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎧ ∧ ∧ h h = = = − [ L , p ] 0 , [ L , p ] i p , [ L , p ] i p x x x y z x z y ⎪ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ∧ ∧ ⎨[ L y , p x ] = −ih p z , [ L y , p y ] = 0, [ L y , p z ] = ih p x ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ∧ ∧ ⎪[ L z , p x ] = ih p y , [ Lz , p y ] = −ih p x , [ L z , p z ] = 0 ⎩
力学量算符之间的对易关系
讨论微观态ψ 中某一力学量 F 时，总是以 F 的本征质谱作为力学量 F 的可能值。若我们同 时观测状态ψ 中的一组不同力学量 F , G , L ， 将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论这个问 题。主要内容有： 一个关系：力学量算符之间的对易关系
∧
⎧共同本征态定理（包括逆定理） ⎪ 不确定关系 三个定理 ⎨ ⎪ 力学量守恒定理 ⎩
[ L, U ( r )] = 0 , [ L , U (r )] = 0 ( 4) [ Li , r 2 ] = 0 , [ L, r 2 ] = 0
∧ ∧ ∧ ∧ 2
（21） （22）
2 共同本征函数完备系 2.1 共同本征函数完备系带来算符对易 设两个算符 F 和 G 有一个共同的本征函数 ϕ n ， 则必有 F ϕ n = λ aϕ n 及 G ϕ n = λbϕ n ， 即在 ϕ n 态 中可以同时确定这两个力学量的数值，那么
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
（16）
另外有
[ Lx , L y ] = ih Lz
∧
∧
∧
∧
[ L y , Lz ] = ih Lx
L× L = ih L
∧ ∧
∧
∧
∧
[ L z , L x ] = ih L y
∧
∧
∧
（17） （18）
1.4
几个重要的推论（请大家自行导出）
(1)
2 2 [ L2 , L z ] = [ L2 x , Lz ] + [ L y , Lz ] + [ Lz , Lz ] = 0
( F G − G F )ϕ n = (λ a λb − λ a λb )ϕ n = 0
3
∧ ∧ ∧ ∧
∧
∧
∧
∧
这似乎提醒我们有 ( F G − G F ) = 0 ，但下结论过早，因为这只是针对某一个特殊函数（本征函 数ϕn ） ，如果 F 和 G 有一组完备的共同本征函数，对于任意态函数
∧
∧
∧ ∧
p j ( j = 1,2,3) ≡ ( p x , p y , p z )
∧
∧
∧
∧
※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其它力学量的对易关系均可由此 导出。 1.3 角动量算符的对易关系
2
∧ ∧ ⎧ ∧ = = L x L y i z L [ , ] 0 , [ , ] h , [ x x x , z ] = −i h y ⎪ ∧ ∧ ∧ ⎪ ⎨[ L y , x] = −ihz , [ L y , y ] = 0, [ L y , z ] = ihx ∧ ∧ ⎪ ∧ ⎪[ L z , x] = ihy, [ L z , y ] = −ihx, [ L z , z ] = 0 ⎩ 只证明其中一个，请注意证明方法
∧ ∧
L2 Ylm (θ , ϕ ) = l (l + 1)h 2Ylm (θ , ϕ )
Y3,1 Y2, 2
∧
L z Ylm (θ , ϕ ) = mhYlm (θ , ϕ )
∧
c
2
2
L2 = 12h 2
L2 = 6h 2
Lz = h Lz = 2h L z = −h
c3,1 = 4 / 9 c 2, 2
2
= 4/9
Y1, −1
L2 = 2h 2
L2 = 12h 2 ×
c1, −1 = 1 / 9
2
4 4 1 74 2 + 6h 2 × + 2h 2 × = h 9 9 9 9 4 4 1 11 L z = h × + 2h × + ( − h ) × = h 9 9 9 9
解法二 由
（3）
n 个相同算符 F 的积定义为算符 F 的 n 次幂
∧
∧
例如 F =
∧
∧ ∧ d2 dn d ，则 F 2 = 2 ， F n = n 。 dx dx dx
为了运算上的方便，引入量子括号
⎡∧ ∧⎤ ∧ ∧ ∧ ∧ F , G⎥ = F G− G F ⎢ ⎣ ⎦
（5）
若
∧
∧
⎡∧ ∧⎤ F , G⎥ ≠ 0 ⎢ ⎣ ⎦
∧ ∧ ∧ ∧
∧ ∧ ∧ ∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
我们定义：
一组相互对易而又相互独立的力学量算符，如果它们的共同的本征函数是非简并的，即这 组本征值完全确定一个共同本征函数，则这组力学量称为力学量完全集。完全集中力学量的数 目一般称为体系的自由度。请大家将一维谐振子、角动量、三维粒子的力学量完全集与定义对 照一下。 （注意：完全集中力学量的数目一般 ≥ 体系的自由度） 2 2 1 例题一 任意态ψ = Y3,1 (θ , ϕ ) + Y2, 2 (θ , ϕ ) − Y1, −1 (θ , ϕ ) ，求ψ 态中 L2 , Lz 的可能值、概率 3 3 3 及 L2 , L z 。 解法一 可以看出ψ 是 L2 , L z 的共同本征函数所组成，列表对应求解：
（14a）
⎡ ∧ ⎤ x, p z ⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
但是
⎡ ∧ ⎤ x, p y ⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
（14b）
同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式，可概括为
∧ ⎡ ⎤ x , p i j ⎥ = ihδ ij ⎢ ⎣ ⎦
(14c)
其中
xi = (i = 1,2,3) ≡ ( x, y, z )
(15)
[ Lx , y] = [ y p z − z p y , y ] = [ y p z , y ] − [ z p y , y ] = y[ p z , y ] + [ y, y ] p z − z[ p y , y ] − [ z, y ] p y = − z[ p y , y ] = ihz
∧
∧
（24）
例如， L2 Ym (θ , ϕ ) = l (l + 1)h 2Ylm (θ , ϕ ) ， L z Ym (θ , ϕ ) = mhYlm (θ , ϕ ) ，即 L2 , L z 在 Ylm (θ , ϕ ) 态中 同时有确定值 l (l + 1)h 2 及 mh ，所以 Ylm (θ , ϕ ) 是 L2 , L z 的共同的本征函数，并且是完备的，所以
(8) (9) (10) (11)
[x, y ] = 0
动量算符是微分算符，因为
[ y, z ] = 0
[ z , x] = 0
（12）
∂2 ∂2 = ，则 ∂x∂y ∂y∂x
⎡∧ ∧ ⎤ py, pz ⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦ ⎡∧ ∧ ⎤ pz, px ⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
⎡∧ ∧ ⎤ px , p y ⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
（13）
坐标算符与动量算符：设ψ 为任意函数
∧ ∂ ⎧ ψ x p x ψ = −ihx ⎪ ∂x ⎨∧ ∂ ∂ ⎪ p x xψ = −ih ( xψ ) = −ihψ − ihx ψ ∂x ∂x ⎩
比较后可得
x p x ψ − p x xψ = ihψ ，即
∧
∧
⎡ ∧ ⎤ x , p x ⎥ = ih ⎢ ⎣ ⎦
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
[ L2 , L j ] = 0 , (2)
∧ ∧
∧
∧
j = (1,2,3) = ( x, y, z )
∧ ∧ ∧ ∧
（19） （20）
[ L j , p 2 ] = 0 , [ L, p 2 ] = 0 , [ L2 , p 2 ] = 0
∧
（3）球坐标下 L 是 θ , ϕ 的函数，若有径向函数算符 U ( r ) ，则
[ L2 , L z ] = 0 。
∧ ∧ ∧ ∧
∧
∧
∧
（6）
称算符 F 与 G 是不对易的（不能交换位置） ，即 F G ≠ G F 。
1
若
∧
∧ ∧ ∧
⎡∧ ∧⎤ F , G⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
∧ ∧
（7）
称算符 F 与 G 是对易的，即 F G = G F 。 下面几个经常使用的对易关系，请自行证明。
∧ ∧ ⎧ ∧ ∧ F G G [ , ] [ , F] = − ⎪ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ⎪ [ F , G + M ] = [ F , G] + [ F , M ] ⎨ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪[ F , G M ] = G[ F , M ] + [ F , G ] M ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ∧ ∧ ∧ ⎪ F G M F G M F M G [ , ] [ , ] [ , ] = + ⎩ 1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子，相互对易
记忆方法：从左至右以 x → y → z → x 依次循环指标为正，任何一个指标错位即为负，相同 指标则为零。以相同的推导方法和记忆规律，有
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎧ ∧ ∧ h h = = = − [ L , p ] 0 , [ L , p ] i p , [ L , p ] i p x x x y z x z y ⎪ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ∧ ∧ ⎨[ L y , p x ] = −ih p z , [ L y , p y ] = 0, [ L y , p z ] = ih p x ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ∧ ∧ ⎪[ L z , p x ] = ih p y , [ Lz , p y ] = −ih p x , [ L z , p z ] = 0 ⎩
力学量算符之间的对易关系
讨论微观态ψ 中某一力学量 F 时，总是以 F 的本征质谱作为力学量 F 的可能值。若我们同 时观测状态ψ 中的一组不同力学量 F , G , L ， 将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论这个问 题。主要内容有： 一个关系：力学量算符之间的对易关系
∧
⎧共同本征态定理（包括逆定理） ⎪ 不确定关系 三个定理 ⎨ ⎪ 力学量守恒定理 ⎩
[ L, U ( r )] = 0 , [ L , U (r )] = 0 ( 4) [ Li , r 2 ] = 0 , [ L, r 2 ] = 0
∧ ∧ ∧ ∧ 2
（21） （22）
2 共同本征函数完备系 2.1 共同本征函数完备系带来算符对易 设两个算符 F 和 G 有一个共同的本征函数 ϕ n ， 则必有 F ϕ n = λ aϕ n 及 G ϕ n = λbϕ n ， 即在 ϕ n 态 中可以同时确定这两个力学量的数值，那么
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
（16）
另外有
[ Lx , L y ] = ih Lz
∧
∧
∧
∧
[ L y , Lz ] = ih Lx
L× L = ih L
∧ ∧
∧
∧
∧
[ L z , L x ] = ih L y
∧
∧
∧
（17） （18）
1.4
几个重要的推论（请大家自行导出）
(1)
2 2 [ L2 , L z ] = [ L2 x , Lz ] + [ L y , Lz ] + [ Lz , Lz ] = 0
( F G − G F )ϕ n = (λ a λb − λ a λb )ϕ n = 0
3
∧ ∧ ∧ ∧
∧
∧
∧
∧
这似乎提醒我们有 ( F G − G F ) = 0 ，但下结论过早，因为这只是针对某一个特殊函数（本征函 数ϕn ） ，如果 F 和 G 有一组完备的共同本征函数，对于任意态函数
∧
∧
∧ ∧
p j ( j = 1,2,3) ≡ ( p x , p y , p z )
∧
∧
∧
∧
※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其它力学量的对易关系均可由此 导出。 1.3 角动量算符的对易关系
2
∧ ∧ ⎧ ∧ = = L x L y i z L [ , ] 0 , [ , ] h , [ x x x , z ] = −i h y ⎪ ∧ ∧ ∧ ⎪ ⎨[ L y , x] = −ihz , [ L y , y ] = 0, [ L y , z ] = ihx ∧ ∧ ⎪ ∧ ⎪[ L z , x] = ihy, [ L z , y ] = −ihx, [ L z , z ] = 0 ⎩ 只证明其中一个，请注意证明方法
∧ ∧
L2 Ylm (θ , ϕ ) = l (l + 1)h 2Ylm (θ , ϕ )
Y3,1 Y2, 2
∧
L z Ylm (θ , ϕ ) = mhYlm (θ , ϕ )
∧
c
2
2
L2 = 12h 2
L2 = 6h 2
Lz = h Lz = 2h L z = −h
c3,1 = 4 / 9 c 2, 2
2
= 4/9
Y1, −1
L2 = 2h 2
L2 = 12h 2 ×
c1, −1 = 1 / 9
2
4 4 1 74 2 + 6h 2 × + 2h 2 × = h 9 9 9 9 4 4 1 11 L z = h × + 2h × + ( − h ) × = h 9 9 9 9
解法二 由
（3）
n 个相同算符 F 的积定义为算符 F 的 n 次幂
∧
∧
例如 F =
∧
∧ ∧ d2 dn d ，则 F 2 = 2 ， F n = n 。 dx dx dx
为了运算上的方便，引入量子括号
⎡∧ ∧⎤ ∧ ∧ ∧ ∧ F , G⎥ = F G− G F ⎢ ⎣ ⎦
（5）
若
∧
∧
⎡∧ ∧⎤ F , G⎥ ≠ 0 ⎢ ⎣ ⎦
∧ ∧ ∧ ∧
∧ ∧ ∧ ∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
我们定义：
一组相互对易而又相互独立的力学量算符，如果它们的共同的本征函数是非简并的，即这 组本征值完全确定一个共同本征函数，则这组力学量称为力学量完全集。完全集中力学量的数 目一般称为体系的自由度。请大家将一维谐振子、角动量、三维粒子的力学量完全集与定义对 照一下。 （注意：完全集中力学量的数目一般 ≥ 体系的自由度） 2 2 1 例题一 任意态ψ = Y3,1 (θ , ϕ ) + Y2, 2 (θ , ϕ ) − Y1, −1 (θ , ϕ ) ，求ψ 态中 L2 , Lz 的可能值、概率 3 3 3 及 L2 , L z 。 解法一 可以看出ψ 是 L2 , L z 的共同本征函数所组成，列表对应求解：
（14a）
⎡ ∧ ⎤ x, p z ⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
但是
⎡ ∧ ⎤ x, p y ⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
（14b）
同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式，可概括为
∧ ⎡ ⎤ x , p i j ⎥ = ihδ ij ⎢ ⎣ ⎦
(14c)
其中
xi = (i = 1,2,3) ≡ ( x, y, z )
(15)
[ Lx , y] = [ y p z − z p y , y ] = [ y p z , y ] − [ z p y , y ] = y[ p z , y ] + [ y, y ] p z − z[ p y , y ] − [ z, y ] p y = − z[ p y , y ] = ihz
∧
∧
（24）
例如， L2 Ym (θ , ϕ ) = l (l + 1)h 2Ylm (θ , ϕ ) ， L z Ym (θ , ϕ ) = mhYlm (θ , ϕ ) ，即 L2 , L z 在 Ylm (θ , ϕ ) 态中 同时有确定值 l (l + 1)h 2 及 mh ，所以 Ylm (θ , ϕ ) 是 L2 , L z 的共同的本征函数，并且是完备的，所以
(8) (9) (10) (11)
[x, y ] = 0
动量算符是微分算符，因为
[ y, z ] = 0
[ z , x] = 0
（12）
∂2 ∂2 = ，则 ∂x∂y ∂y∂x
⎡∧ ∧ ⎤ py, pz ⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦ ⎡∧ ∧ ⎤ pz, px ⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
⎡∧ ∧ ⎤ px , p y ⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
（13）
坐标算符与动量算符：设ψ 为任意函数
∧ ∂ ⎧ ψ x p x ψ = −ihx ⎪ ∂x ⎨∧ ∂ ∂ ⎪ p x xψ = −ih ( xψ ) = −ihψ − ihx ψ ∂x ∂x ⎩
比较后可得
x p x ψ − p x xψ = ihψ ，即
∧
∧
⎡ ∧ ⎤ x , p x ⎥ = ih ⎢ ⎣ ⎦
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
[ L2 , L j ] = 0 , (2)
∧ ∧
∧
∧
j = (1,2,3) = ( x, y, z )
∧ ∧ ∧ ∧
（19） （20）
[ L j , p 2 ] = 0 , [ L, p 2 ] = 0 , [ L2 , p 2 ] = 0
∧
（3）球坐标下 L 是 θ , ϕ 的函数，若有径向函数算符 U ( r ) ，则
[ L2 , L z ] = 0 。
∧ ∧ ∧ ∧
∧
∧
∧