力学量和算符.
力学量的平均值、算符表示 平均值
r = x2 + y2 + z 2 z θ = arccos x2 + y2 + z 2 y ϕ = arctan x
§2.6 单电子(H)原子—中心力场薛定谔方程
From
求解中心力场中的薛定谔方程，球坐标系是自然的选择
§2.6 单电子(H)原子—角向方程
角动量平方算符
2 ∂ ∂ ∂ 1 1 ˆ L = sin θ − + 2 2 sin sin θ θ θ θ ϕ ∂ ∂ ∂ 2 2
所以
1 ∂ 1 ∂ 2Y ∂Y λY − = sin θ − 2 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ
2 2 Eu (r ) − ∇ u (r ) + V (r )u (r ) = 2m
库仑势 Laplace算符：
Ze 2 V (r ) = − 4πε 0 r
r = (r ,θ , ϕ )
1 ∂ 2 ∂ 1 1 ∂2 ∂ ∂ ∇ = 2 + 2 2 sin θ + 2 r ∂θ r sin θ ∂ϕ 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ
p ↔ −i∇
动量算符：
ˆ= p −i∇
§2.5 力学量的平均值、算符表示—平均值
(4) 粒子的动能T = p2/2m
类似地，动能的平均值
2 2 = T ∫−∞ ψ (r , t )(− 2m ∇ )ψ (r , t )dτ 2 2 ˆ p ˆ= ˆ= 动能算符： T 且有 T − ∇2 2m 2m
2
∫
+∞
−∞
ϕ * ( p, t ) pϕ ( p, t )dp
ϕ ( p, t ) =
力学量与算符
表象与矩阵力学思考题：3-1力学量的本征态在该力学量自身的表象中的矩阵表示是什么？3-2左矢与右矢能相加吗？3-3一个力学量算符在一个表象中表示成一个矩阵，该矩阵的维度由什么决定？3-4如果一个表象是无穷维，而实际的数值计算中又不能进行无穷维的计算，哪该怎么办？ 3-5在第一章介绍了薛定谔方程，其中的波函数是在什么表象中的表示？3-6比较力学量分别为连续谱和离散谱时，它们的本征函数簇作为基组的完备性和归一性关系式。
习题：3-1写出动量表象中的薛定谔方程。
3-2写出动量表象中粒子在常力作用下的运动方程。
3-3粒子在一维无限深势阱V (x )=0,0£x £a ¥,x <0,x >aìíïîï 中运动。
求动量算符在该体系能量表象中的矩阵。
3-4已知体系的哈密顿算符H 和另一力学量算符A 在能量表象中的矩阵分别为H = w 010*******éëêêêùûúúú，010100001A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 0(a ω和均为正的实数）在初始时刻，体系在能量表象中的态函数为210)121t ψ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦（，求（1）体系在能量表象中的态函数)t ψ（；（2）体系的能量可能值及相应的几率；（3）体系能量的期望值；（4）力学量A 的可能取值及相应的几率；（5）力学量A 的期望值；（6）体系态矢量)t ψ（在A 表象中的矩阵表示；（7）能量表象与A 表象间的变换矩阵。
3-5已知体系的哈密顿算符在某一表象中的矩阵表示为H =e 201020102éëêêêùûúúú（1）求体系能量的本征值和相应的本征函数；（2）求出将H对角化的幺正变换矩阵。
算符与力学量的关系
7
§3-6-2 力学量的可能值和相应几率
在一般状态 ψ(x) 中测量力学量F，将会得到哪些值? 即测量的可能值及其每一可能值对应的几率? 量子力学假定， 量子力学假定，测力学量 F 得到的可能值必是力学量算符 F的 本征值 λn (n = 1,2,…) 之一, 该本征值由本征方程确定： 该本征值由本征方程确定： ˆ φ n ( x ) = λ nφ n ( x ) F n = 1, 2 , L |cn|2具有几率的意义, 而每一本征值λn各以一定几率出现。 各以一定几率出现。 cn 称为几率振幅 称为几率振幅 那末这些几率究竟是多少呢？ 那末这些几率究竟是多少呢？ 如前所述， 如前所述，如果φn(x)组成完备系, ψ ( x) = ∑cnφn ( x) n 体系任一状态 体系任一状态Ψ(x)可按其展开： 可按其展开： 量子力学基本假定： 量子力学基本假定： ˆ 的本征函数φn(x)组成正交归一完备系， 任何力学量算符 F 组成正交归一完备系， 在任意已归一态ψ (x)中测量力学量 F 得到本征值 λn的几率等 于ψ (x)按φn(x)展式中φn(x) 前的系数cn的平方|cn|2 ， ˆ 取λ 的几率. 即|cn|2则表示 F n 8
ψ ( x) = ∑cnφn ( x)
n
量子力学基本假定： 量子力学基本假定： ˆ 的本征函数φn(x)组成正交归一完备系， 任何力学量算符 F 组成正交归一完备系， 在任意已归一态ψ (x)中测量力学量 F 得到本征值 λn的几率等 于ψ (x)按φn(x)展式中φn(x) 前的系数cn的平方|cn|2 ， ˆ 取λ 的几率. 即|cn|2则表示 F n 9
展开系数
* c( p) = ∫ Ψp ( x)Ψ( x, t )dx
力学量和算符
第三章力学量和算符内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数。
用波函数描述粒子的运动状态。
本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。
然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。
我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现。
§3.1 力学量算符的引入§3.2 算符的运算规则§3.3 厄米算符的本征值和本征函数§3.4 连续谱本征函数§3.5 量子力学中力学量的测量§3.6 不确定关系§3.7 守恒与对称在量子力学中。
微观粒子的运动状态用波函数描述。
一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。
在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。
一般说来。
当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。
当给定描述这一运动状态的波函数后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。
利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。
既然一切力学量的平均值原则上可由给出，而且这些平均值就是在所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。
力学量的平均值对以波函数(,)r t ψ描述的状态，按照波函数的统计解释，2(,)r t ψ表示在t 时刻在 r r d r →+中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是:()2*(,)(,)(,) 3.1.1r r t rdr r t r r t dr ψψψ∞∞-∞-∞==⎰⎰坐标r 的函数()f r 的平均值是：()()()*(,)(,) 3.1.2f r r t f r r t dr ψψ∞-∞=⎰现在讨论动量的平均值。
3.6算符与力学量的关系
1 x xdx c c xn xdx c c
m n mn
cn 称为概率振幅。
二.展开假定 量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本 征函数组成完全系。当体系处于 x cnn x 所描写
ˆ 的状态时，测量力学量F所得的数值，必定是算符 F
s x e dx, s 0
s 1 x 0
，
5
，
0
x n e ax dx
n! a n 1
当s=1时， 递推公式
1 e dx 1
x 0
2 x e x dx 1 1
0
s 1 ss , s 0
x x dx c n m xn xdx cn mn cm m n n
即
cn n ( x) x dx
（3.6.2）
由 x 的归一化条件，可得出 cn
m n m n n
2
1 。
cn （3.6.3）
§3.6算符与力学量的关系
ˆ 是满足一定条件的厄米算符， 一.数学中已证明：如果 F 它的正交归一本征函数是 n x ，对应的本征值是
n ，则任意函数 x 可以按 n x 展开为级数：
x cnn ， x （3.6.1）
n
本征函数的这种性质称为完全性。或者说 n x 组成完全系。展开系数
x cnn x c x d
n
（3.6.7）
（3.6.8）
c x dx
代替（3.6.3）式：有
cn
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱc
4. 力学量与算符
ˆ ) d F ˆ )d ( F ˆ )d ˆG ˆ (G ˆ ) (G 证明： ( F
ˆ F ˆF ˆF ˆ d (G ˆ ) d [( G ˆ )] d G
力学量—表示一个体系力学性质的量。 微观体系的力学量与经典系统的力学量有着重要的区别的：
经典力学体系中假定力学量都是可以连续变化的，任何两个 力学量（如： x, p x ）可同时具有确定值，即存在轨道的概念；
微观体系的一些量却往往只取分立值（如势阱中粒子的能 量，线性谐振子的能量，原子的能量及角动量等） ，也有些量根 本不可能同时具有确定值（如： x和p x ；T和U ） 。微观体系的 这些特点源于它的波动性（无轨道问题） 。
ˆ 之和仍是线性算符 ˆ,G <2 >线性算符F
ˆ (c u c u ) ˆ (c u c u ) G ˆ )(c u c u ) F ˆ G (F 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ 线性 ˆ ,G F
和定义
ˆ ˆ ˆu c F ˆ c1 F 1 2 u 2 c 1 Gu 1 c 2 Gu 2
3. 算符相乘 ˆ 之 ˆ (F ˆ u) M ˆ u , 则称算符 M ˆ F ˆ为 与 G u ，有G 若对任意的函数
ˆF ˆ 不一定等于 ˆF ˆ ） ˆ G ˆ （注意：G ˆG F 积。记为 M 。
ˆ 相继作用在 ˆ n 表示，即： u 上 n 次，则可用 F F 如一个算符
ˆF ˆ F ˆu F ˆ nu ˆ (F ˆ u) F ˆ 2u ； F F ˆ m和F ˆ n 可以交换顺序，n, m 均为正整数。 ˆ nF ˆm F ˆ mF ˆ n ，即 F 即有F
力学量的算符表示和平均值
一、力学量的算符表示 量子力学中描述系统的每一个力学量对应一个算符。 与动量相对应的算符 动量分量的算符
p x i x p y i y p z i z
ˆ p i
与动量平方相对应的算符是
ˆ 2 2 2 p
与能量相对应的算符
2 2 ˆ H U (r ) 2
称为哈密顿算符
1
角动量算符为
直角坐标系中的分量式
ˆrp ˆ L
球坐标系中的分量式
ˆ Lx i(sin cot cos ) ˆ i( cos cot sin ) Ly ˆ i Lz
2
2
角动量平方算符也可以表示为
2 1 ˆ2 ˆ2 L (sin ) 2 Lz sin sin
二、本征函数、本征值和平均值
算符是代表对波函数的一种运算，是把一个波函数 或量子态变换成另一个波函数或量子态。 A A
此式为力学量的本征值方程，常量A称为力学量的本征值。
角动量平方算符为
ˆ ˆ ˆ ˆ L2 L2 L2y L2 x z
1 1 ˆ ˆ L2 2 [ (sin ) 2 ] 2 Ω 2 sin sin
式中算符
1 1 (sin ) sin sin 2
ˆ yp zp i( y z ) ˆz ˆy Lx z y ˆ zp xp i( z x ) ˆx ˆz Ly x z ˆ xp yp i( x y ) ˆy ˆx Lz y x
引入哈密顿算符后，定态薛定谔方程可以简化为 ˆ
力学量和算符
第三章 力学量和算符内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数 。
用波函数描述粒子的运动状态。
本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。
然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。
我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现 。
§ 3.1 力学量算符的引入 § 3.2 算符的运算规则§ 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 § 3.4 连续谱本征函数§ 3.5 量子力学中力学量的测量 § 3.6 不确定关系 § 3.7 守恒与对称在量子力学中。
微观粒子的运动状态用波函数描述。
一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。
在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。
一般说来。
当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。
当给定描述这一运动状态的波函数 后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。
利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。
既然一切力学量的平均值原则上可由 给出，而且这些平均值就是在 所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。
力学量的平均值对以波函数(,)r t ψ 描述的状态，按照波函数的统计解释，2(,)r t ψ表示在t 时刻在 r r d r →+中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是:()2*(,)(,)(,) 3.1.1r r t rdr r t r r t dr ψψψ∞∞-∞-∞==⎰⎰坐标r 的函数()f r的平均值是：()()()*(,)(,) 3.1.2f r r t f r r t dr ψψ∞-∞=⎰现在讨论动量的平均值。
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（3.1.11）
角动量 L 的平均值是
L r p * r (i ) d r
（3.1.12）
综上所述，我们得出，在求平均值的意义下，力学 量可以用算符来代替。
2
（3.1.1）
坐标 r 的函数 f (r ) 的平均值是：
f (r ) * (r, t ) f (r ) (r, t )d r
(3.1.2)
3.1 力学量算符的引入
p 的平均值 p 不能 现在讨论动量的平均值。显然， 2 2 简单的写成 p (r , t ) pd r ，因为 (r, t ) d r 只表示
（3.1.5)
利用公式
1 (2 )
3
pe
i
p ( r r )
dp
1 (2 )
3
(i ) e
i
p ( r r )
dp
（3.1.6)
i 3 (r r)
3.1 力学量算符的引入
可以得到
p * (r , t )(i ) (r , t )d r
第三章 力学量和算符
内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波 动力学，它的着眼点是波函数 ( x.t ) 。用波函 数描述粒子的运动状态。本章将介绍量子力学 的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量 的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用 线性厄米算符表示。然后进一步讨论力学量的 测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的 条件。我们将证实算符的运动方程中含有对易 子，出现 。
3.1 力学量算符的引入
力学量的平均值
对以波函数 (r, t ) 描述的状态，按照波函数的统计 2 (r, t ) dr 表示在t时刻在 r r dr 中找到粒子的几 解释， 率，因此坐标的平均值显然是:
r
* ( r , t ) rd r (r, t )r (r, t )d r
在r
r d r 中的概率而不代表在 p
p
2
p d p中找到粒子
的概率。要计算
，应该先找到在 t 时刻，在 p p d p
中找到粒子的概率 C ( p, t ) d p ，这相当于对 (r, t ) 作傅里 叶变化，而 C ( p, t ) 有公式
C ( p, t ) 1 (2 )
3 2
( r , t ) e
i
( Et p r )
dr
(3.1.3)
给出。动量 p 的平均值可表示为
p C * ( p, t ) pC ( p, t )d p
（3.1.4)
3.1 力学量算符的引入
但前述做法比较麻烦，下面我们将介绍一种直接从 (r, t ) 计算动量平均值的方法。由（3.1.4)式得
-a d dx
( x) e
i - px a
( x)
（3.1.14）
0
a
x
3.1 力学量算符的引入
即当 a 在无穷小的情况下，取准确到一级项有
( x) 1 px a ( x)
i
（3.1.15）
因此，状态 ( x) 经空间平移后变成另一态 ( x) ，它等于 某个变量算作用于原来态上的结果，而该变换算符可由动 i - p a 量算符来表达 e ，特别在无穷小移动的情况下，动量 算符纯粹反映着空间平移的特性，所以动量算符又称为空 间平移无穷小算符，动量反映着坐标变化（平移）的趋势 或能力。推广到三维运动，状态 (r ) 在空间平移 a 下，变 为
第三章 力学量和算符
§ 3.1 力学量算符的引入
§ 3.2 算符的运算规则
§ 3.3 厄米算符的本征值和本征函数
§ 3.4 连续谱本征函数
§ 3.5 量子力学中力学量的测量
§ 3.6 不确定关系
§ 3.7 守恒与对称
3.1 力学量算符的引入
在量子力学中。微观粒子的运动状态用波函数描述。 一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。在 本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以 及能求得平均值意义下说的。一般说来。当微观粒子处 在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动 量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可 能值，每一可能值、均以一定的概率出现。当给定描述 这一运动状态的波函数 后，力学量出现各种可能值的 相应的概率就完全确定。利用统计平均的方法，可以算 出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。既 然一切力学量的平均值原则上可由 给出，而且这些平 均值就是在 所描述的状态下相应的力学量的观测结果， 在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。
（3.1.7）
记动量算符为
p i
p * (r , t ) p (r , t )d r
（3.1.8）
则
（3.1.9）
从而有
f ( p) * (r , t ) f ( p) (r, t )d r
（3.1.10）
3.1 力学量算符的引入
例如：动能的平均值是
i i 1 ( Et p r ) ( Et p r ) 1 * p d p (r , t )e dr p (r , t )e d r 3 3 2 2 (2 ) (2 )
i p ( r r ) (r , t ) pe d p 3 (2 )
3.1 力学量算符的引入
下面我们来介绍动量算符的物理意义。为简单考虑一 维运动，设量子体系沿 x 方向做一空间平移 a ，这是状态 由原 变为 ，如图所示。 显然 若a
( x a)
（3.1.13）
1，可做泰勒展开
d (a) 2 d 2 ( x) ( x) (a) ( x) ( x) 2 dx 2! dx d (a ) 2 d 2 = 1+(a) ( x ) 2 dx 2! dx =e