第五章 力学量的算符表示
力学量的平均值、算符表示 平均值
r = x2 + y2 + z 2 z θ = arccos x2 + y2 + z 2 y ϕ = arctan x
§2.6 单电子(H)原子—中心力场薛定谔方程
From
求解中心力场中的薛定谔方程，球坐标系是自然的选择
§2.6 单电子(H)原子—角向方程
角动量平方算符
2 ∂ ∂ ∂ 1 1 ˆ L = sin θ − + 2 2 sin sin θ θ θ θ ϕ ∂ ∂ ∂ 2 2
所以
1 ∂ 1 ∂ 2Y ∂Y λY − = sin θ − 2 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ
2 2 Eu (r ) − ∇ u (r ) + V (r )u (r ) = 2m
库仑势 Laplace算符：
Ze 2 V (r ) = − 4πε 0 r
r = (r ,θ , ϕ )
1 ∂ 2 ∂ 1 1 ∂2 ∂ ∂ ∇ = 2 + 2 2 sin θ + 2 r ∂θ r sin θ ∂ϕ 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ
p ↔ −i∇
动量算符：
ˆ= p −i∇
§2.5 力学量的平均值、算符表示—平均值
(4) 粒子的动能T = p2/2m
类似地，动能的平均值
2 2 = T ∫−∞ ψ (r , t )(− 2m ∇ )ψ (r , t )dτ 2 2 ˆ p ˆ= ˆ= 动能算符： T 且有 T − ∇2 2m 2m
2
∫
+∞
−∞
ϕ * ( p, t ) pϕ ( p, t )dp
ϕ ( p, t ) =
2.7力学量算符(18)好
1
c( px ) (2)1/ 2
( x) exp( ipx x / )dx
|
c(
px
)
|2
粒子动子动量的几率密度， x
则
px px
px | c( px ) |2 dpx
px px
px | c( px ) |2 dpx
c( px ) pxc( px )dpx
( x)(i d )( x)dx dx
( x) pˆ x( x)dx
过程繁琐，略
(3) 力学量平均值公式
当系统处于状态
(r )
时，力学量
Aˆ
的平均值：
A
*
(r )
Aˆ
(r )d
3）两个力学量同时有确定值的条件
1．两个力学量同时有确定值的条件是它们有共同的本征函数。
2．两个力学量同时有确定值的条件是它们可对易：
Aˆ
n
(r )
n
当体系处在任一态中时，测量体系的能量无确定值，而有一系列可能值，
这些可能值均为 的H本ˆ 征值。这表明 的H本ˆ征值是体系能量的可测值，
将该结论推广到一般力学量算符提出一个基本假设。该假设给出了表示力 学量的算符与该力学量的关系。
力学如量果F 算有符确F定ˆ 值表，示这力个学值量就F，是那么当属Fˆ体于系该处本于征态Fˆ 的的本本征征值态。中时，
量子力学中的算符
px
i
x
,
py
i
y
,
pz
i
z
或
p
i
二．算符的一般性质
1．算符
某一种运算把函数 u 变为 v ，表为 Aˆ u v 则 Aˆ 称为一个算符。
力学量算符和量子力学公式的矩阵表示
或简写为
Fmnan am
n
(Fmn mn )an 0
n
方程有非零解的充分必要条件是系数行列式为零。
因为任意力学量在自身表象中的矩阵都是对角的，所以，通常 把求解本征方程的过程称为矩阵对角化的过程。
3．薛定格方程
i (x,t) Hˆ (x,t)
t
a1 (t) H11 H12 H1k a1 (t)
0
a1 a2
把波函数归一化
/2
a1 a1
/2 /2
a1*
a2*
a1 a1
2 a1
2
1
/ 2 11//
2 2
1 2
11
同理
/ 2
1 2
11
最后，把矩阵对角化。
n
代入到算符方程中，得 bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
n
n
bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
n
n
上式两端做运算 m* dx，得
bn (t) m*ndx an (t) m* Fˆndx
n
n
bn (t)mn an (t) m* Fˆndx
Fk1
Fk 2
F1k a1(t)
F2k
a2
(t
)
Fkk
ak
(t
)
对同一个物理问题可以在不同的表象下处理，尽管在不同的表
量子力学周世勋习题解答第五章
第五章习题解5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。
据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 rze r U 024πε-=）（)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞-=r Edr e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,434410200300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ）⎰∞'=τψψd H E 111 ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∴0a r <<，故102≈-r a Ze 。
∴ ⎰⎰+--=0302404220330024)1(1)3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z Eπεπε2030024505030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 23002410r a e Z πε= 2032452r a e Z s = #5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
量子力学期末考试题及解答
（2） 时波函数 ；
（3） 时能量的取值几率及能量平均值。
三、表象理论
1.已知在 和 的共同表象 中，当 时，算符 的矩阵形式为
求其本征值及相应的本证函数。
解答：在 和 的共同表象 中， 的本证方程为
相应的久期方程为
于是得到 满足的代数方程
显然 。当 时，将其代回本证方程得
（3）
在 处，利用波函数及其一阶导数连续的条件
（4）
得到
（5）
于是有
（6）
此即能量满足的超越方程。
当 时，由于
（7）
故
（8）
最后，得到势阱的宽度为
（9）
7.设粒子处于如下势场
若 ， ，求在 处的反射系数和透射系数。
解答：具有能量 的粒子由左方入射，在两个区域中的波函数分别为
（1）
（2）
式中
（3）
利用波函数在 处的连接条件，得到
一、波函数及薛定谔方程
1.推导概率（粒子数）守恒的微分表达式;
解答：由波函数的概率波解释可知，当 已经归一化时，坐标的取值概率密度为
（1）
将上式的两端分别对时间 求偏微商，得到
（2）
若位势为实数，即 ，则薛定谔方程及其复共轭方程可以分别改写如下形式
（3）
（4）
将上述两式代入（2）式，得到
（5）
若令
（6）
证明： （1）
用算符 作用（1）式两端，有
（2）
由上式可知 也是算符 的对应本征值 的本征态，它与 只能差一个常数，若设其为 ，则有
（3）
说明 不但是算符 的本征态，而且也是算符 的本征态。
13.证明下述两个平均值公式
量子力学教程(第二版)周世勋习题解答
(10) (11) (12) (13)
ek1a B sin k 2aC cosk 2aD 0 0
k1ek1a B k 2 cosk 2aC k 2 sin k 2a D 0 0
0 sin k 2aC cosk 2aD ek1a F 0
(x) c (x)
⑤
④乘 ⑤，得 (x) (x) c2 (x) (x) ， 可见，c 2 1 ，所以 c 1
当 c 1时， (x) (x) ， (x) 具有偶宇称，
当 c 1时， (x) (x) ， (x) 具有奇宇称，
18
当势场满足 U (x) U (x) 时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。
3
第一章 绪论
1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律： mT b, b 2.9 10 3 m0C 。
证明：由普朗克黑体辐射公式：
d
8h c33Βιβλιοθήκη 1hd ，
ekT 1
及 c 、 d c d 得
2
8hc 5
1，
hc
ekT 1
令 x hc ，再由 d 0 ，得 .所满足的超越方程为
kT
d
2
(x)
E
2
(x)
②
12
Ⅲ： x a
2 2m
d2 dx2
3
(x)
U
(x)
3
(x)
E
3
(x)
③
由于(1)、(3)方程中，由于U (x) ，要等式成立，必须
1(x) 0 2 (x) 0
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为
d
2 2 ( dx2
4. 力学量与算符
ˆ ) d F ˆ )d ( F ˆ )d ˆG ˆ (G ˆ ) (G 证明： ( F
ˆ F ˆF ˆF ˆ d (G ˆ ) d [( G ˆ )] d G
力学量—表示一个体系力学性质的量。 微观体系的力学量与经典系统的力学量有着重要的区别的：
经典力学体系中假定力学量都是可以连续变化的，任何两个 力学量（如： x, p x ）可同时具有确定值，即存在轨道的概念；
微观体系的一些量却往往只取分立值（如势阱中粒子的能 量，线性谐振子的能量，原子的能量及角动量等） ，也有些量根 本不可能同时具有确定值（如： x和p x ；T和U ） 。微观体系的 这些特点源于它的波动性（无轨道问题） 。
ˆ 之和仍是线性算符 ˆ,G <2 >线性算符F
ˆ (c u c u ) ˆ (c u c u ) G ˆ )(c u c u ) F ˆ G (F 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ 线性 ˆ ,G F
和定义
ˆ ˆ ˆu c F ˆ c1 F 1 2 u 2 c 1 Gu 1 c 2 Gu 2
3. 算符相乘 ˆ 之 ˆ (F ˆ u) M ˆ u , 则称算符 M ˆ F ˆ为 与 G u ，有G 若对任意的函数
ˆF ˆ 不一定等于 ˆF ˆ ） ˆ G ˆ （注意：G ˆG F 积。记为 M 。
ˆ 相继作用在 ˆ n 表示，即： u 上 n 次，则可用 F F 如一个算符
ˆF ˆ F ˆu F ˆ nu ˆ (F ˆ u) F ˆ 2u ； F F ˆ m和F ˆ n 可以交换顺序，n, m 均为正整数。 ˆ nF ˆm F ˆ mF ˆ n ，即 F 即有F
中科院量子力学超详细笔记_第五章_量子力学的表象与表示
第五章 量子力学的表象与表示§5.1 幺正变换和反幺正变换1, 幺正算符定义对任意两个波函数)(r v ϕ、)(r vψ，定义内积r d r r vv v )()(),(ψϕψϕ∗∫=(5.1)按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()r vψ时，找到粒子处在状态()r vϕ的几率幅。
依据内积概念，可以定义幺正算符如下：“对任意两个波函数ϕ、ψ，如果算符$U恒使下式成立 ),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U(5.2) 而且有逆算符1ˆ−U存在，使得I U U U U ==−−11ˆˆˆˆ1，称这个算符U ˆ为幺正算符。
”任一算符Aˆ的厄米算符+A ˆ定义为：+A ˆ在任意ϕ、ψ中的矩阵元恒由下式左边决定),ˆ()ˆ,(ψϕψϕ+=A A(5.3) 由此，幺正算符Uˆ有另一个等价的定义： “算符Uˆ为幺正算符的充要条件是 I U U U U==++ˆˆˆˆ (5.4a) 或者说1ˆˆ−+=U U 。
” (5.4b)证明：若),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U成立，则按+U ˆ定义， ),ˆˆ()ˆ,ˆ(),(ψϕψϕψϕU U U U+== 由于ϕ、ψ任意，所以I U U=+ˆˆ 又因为Uˆ有唯一的逆算符1ˆ−U 存在，假定取ψψϕϕ11ˆ,ˆ−−=′=′U U ，则有 ()),ˆ)ˆ((ˆ,ˆ),()ˆ,ˆ(),(1111ψϕψϕψϕψϕψϕ−+−−−==′′=′′=U U U U U U所以I U U=−+−11ˆ)ˆ( 由于11)ˆ()ˆ(−++−=U U，上式即 I U U=+ˆˆ 这就从第一种定义导出了第二种定义。
类似，也能从第二种定义导出第一种定义。
从而，幺正算符的这两种定义是等价的。
1这里强调了$U−1既是对$U右乘的逆又是对$U 左乘的逆。
和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符$U有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为$U−1。
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137第5章力学量的算符表示§5.1 算符及其运算规则在第二章中，已经引入了算符的概念，动量算符和哈密顿量算符分别为∇-= i ˆp(5.1.1) )(2ˆ22r V mH +∇-= (5.1.2) 在量子力学中，算符表示对它后面的波函数的一种运算或者操作，上述的动量算符与哈密顿算符皆表示对其后面的波函数的微商运算，本章的后面将引入的宇称算符πˆ则表示对其后面的波函数的一种操作，即把波函数中的坐标变量改变一个符号。
由算符化规则可知，物理上可观测的力学量（例如，坐标、动量、角动量和能量等）与相应的算符相对应，并要求相应的算符为线性厄米特算符，力学量的取值情况由相应算符满足的本征方程的解来决定。
§5.1.1 算符及其运算规则1、线性算符138满足下列运算规则22112211ˆˆ)(ˆψψψψA c A c c c A +=+ (5.1.3)的算符Aˆ，称之为线性算符，其中，21,c c 是两个任意复常数，21,ψψ是两个任意的波函数。
在量子力学中，可观测量对应的算符都是线性算符，这是状态叠加原理所要求的。
如无特殊声明，下面所涉及到的算符皆为线性算符。
2 、单位算符若对任意的波函数ψ，算符I ˆ满足ψψ=Iˆ (5.1.4)则称Iˆ为单位算符。
3、 算符之和若对任意的波函数ψ，下式ψψψB A B Aˆˆ)ˆˆ(+=+ (5.1.5) 总是成立，则称算符B Aˆˆ+为算符A ˆ与算符B ˆ之和。
算符的加法运算满足交换律和结合律，即A B B A ˆˆˆˆ+=+ (5.1.6) C B A C B Aˆ)ˆˆ()ˆˆ(ˆ++=++ (5.1.7) 4、 算符之积两个算符A ˆ和B ˆ之积记为)ˆˆ(B A ，对任意的波函数ψ，算符)ˆˆ(B A的作用定义为下列运算)ˆ(ˆ)ˆˆ(ψψB A B A= (5.1.8)139即算符之积)ˆˆ(B A 对任意波函数的运算过程是，先用算符B ˆ对ψ进行运算，得到一个新的波函数（ψB ˆ），然后，再用算符Aˆ对（ψB ˆ）进行运算。
一般情况下，ψψ)ˆˆ()ˆˆ(A B B A≠ (5.1.9) 即A B B Aˆˆˆˆ≠ (5.1.10) 此即算符运算与普通代数运算的重要差别。
5、 算符之幂算符Aˆ的n 次幂定义为 个n n A A A A ˆˆˆˆ= (5.1.11)同一个算符的不同幂之积，满足n m n m A A A +=ˆˆˆ (5.1.12)6、 算符之逆设ϕψ=Aˆ (5.1.13) 能够惟一地解出ψ，则可定义算符Aˆ的逆算符1ˆ-A 为 ψϕ=-1ˆA(5.1.14) 应该说明的是，并非所有的算符都具有相应的逆算符。
若算符A ˆ的逆算符1ˆ-A存在，则有 I A A A Aˆˆˆˆˆ11==-- (5.1.15)1407、 算符的复共轭算符A ˆ的复共轭算符*ˆA 是将A ˆ中的所有复量换成共轭复量。
例如，动量算符的x 分量的复共轭算符x x px x p ˆi i ˆ**-=∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-= (5.1.16) 8、 算符的转置对任意的波函数ψ和ϕ，算符Aˆ的转置算符A ~ˆ满足 ⎰⎰=)(~ˆ)(d )(ˆ)(d **x A x x x A x x ϕψψϕ (5.1.17) 根据算符转置的定义，可以证明()A B B A~ˆ~ˆˆˆ ~= (5.1.18) 9、 算符的共轭对任意的波函数ψ和ϕ，算符A ˆ的厄米特共轭（简称为共轭）算符+Aˆ满足 ⎰⎰=+)()](ˆ[d )(ˆ)(d **x x A x x A x x ψϕψϕ (5.1.19) 由转置算符的定义知⎰⎰⎰==+)(~ˆ)(d )(ˆ)(d )(ˆ)(d *****x A x x x A x x x A x x ψϕϕψψϕ (5.1.20) 于是，有*~ˆˆA A=+(5.1.21) 一个算符的共轭为此算符转置后再取其复共轭。
10、 厄米特算符141若算符Aˆ满足 ⎰⎰=)()](ˆ[d )(ˆ)(d **x x A x x A x x ψϕψϕ (5.1.22) 则称算符Aˆ为厄米特算符。
由共轭算符的定义可知，厄米特算符满足 A Aˆˆ=+ (5.1.23) 显然，若一个算符的共轭等于该算符自身，则此算符是厄米特算符，故厄米特算符也称之为自共轭算符。
下面将会看到，量子力学中可观测量对应的算符都是厄米特的。
11、 幺正算符如果算符Aˆ满足 1ˆˆ-+=A A (5.1.24)则称之为幺正算符。
12、 算符函数若函数)(x F 的各阶导数均存在，且对其作幂级数展开时是收敛的，即nn n x n F x F ∑∞==0)(!)0()( (5.1.25)则对应算符Aˆ的算符函数)ˆ(A F 为(5.1.26)§5.1.2 对易子代数1、对易子142为了描述两个算符之积的交换关系，引入符号[]A B B A B Aˆˆˆˆˆ,ˆ-≡ (5.1.27) 称之为算符A ˆ与B ˆ的对易关系或对易子。
如果[]B A ˆ,ˆ＝0，则称算符Aˆ与Bˆ是可对易（交换）的，否则，称A ˆ与B ˆ是不对易的。
对于坐标与动量算符而言，显然，有[][]z y x p p ,,, ,0ˆ,ˆ0,===νμνμνμ (5.1.28) 根据所研究的对象的不同，有时要用到反对易关系 []{}A B B A B A B A ˆˆˆˆˆ,ˆˆ,ˆ+≡≡+(5.1.29) 2、对易子的计算（1）、对于最基本的对对易关系，需要通过直接计算来求出例1. 计算[]x px ˆ,。
解: 对于任意的状态)(x ψ，有[]{})(i )()()(i )(ˆ)(ˆ)(ˆ,''x x x x x x x x p x px x p x x x x ψψψψψψψ =---=-= (5.1.30) 由于)(x ψ是一个任意的状态，所以，[] i ,=x p x (5.1.31) 进而，有[]z y x p,,, , i ˆ,==νμδμμνν (5.1.32) 此即著名的海森堡对易关系。
它是量子力学中最基本的对易关系。
用类似的方法可知，时间t 与能量算符Eˆ的对易关系为143[]i ˆ,-=Et (5.1.33) 例2. 在一维情况下，计算[]x ,ˆπ。
解: 对于任意的状态)(t ψ，有[]()()()()()()()x x t x x x x x t x x t x ψπψψψψππψπˆ22ˆˆ,ˆ-=--=----=-= (5.1.34)所以，[]ππˆ2,ˆx x -= (5.1.35)或者，[]0,ˆ=+x π(5.1.36) 例3. 计算[]x px f ˆ),(。
解: 对于任意的状态)(x ψ，有[]{})()(i )()()()()()(i )( ˆ),(''''x x f x x f x x f x x f x px f x ψψψψψ =---= (5.1.37) 所以，(5.1.38)（2）、于其它的对易关系，可以利用对易子代数的运算规则来导出对易子代数的运算规则如下：144[][][][][][][][][][]C A B CB AC B A C A B A C B A B A B A A B B A ˆ,ˆˆˆ ˆ,ˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ+=+=+=-=λλ (5.1.39) 式中，λ为常数。
例4. 定义轨道角动量算符p r L ˆˆ ⨯=，计算[]yx L L ˆ,ˆ。
其中， ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-=x y z z x y y z x p y p x x y y x L p x p z z x x z L p z py y z z y L ˆˆi ˆˆˆi ˆˆˆi ˆ (5.1.40)解: 利用对易子代数的运算规则，有[][][][][][][][][][]()zx y y z x z z y z z x y x z z y z x y zz x y zy xL p y p x p p z x p z p y p x p z p x p y p z p z p z py p x p z p y p z pz p y p x p z pz p y L Lˆi ˆˆi ˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆ =-=+=+--=---=--= (5.1.41) 例5. 定义角动量平方算符2222ˆˆˆˆzy x L L L L ++=，计算[]z L L ˆ,ˆ2。
解: 利用对易子代数的运算规则，有[][][][][][][][]()0ˆˆˆˆˆˆˆˆi ˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ2222=--+-=+++=++=xyyxxyyxyzyzyyxzxzxxzzzyzxzL L L L L L L LL L L L L L L L L L L LL L L L L L L L (5.1.42)由上式可知，2ˆL 与zL ˆ是对易的。
同理可证，2ˆL 与x L ˆ及y L ˆ也是对易的。
145§5.1.3 厄米特算符的判别法通常有如下三种方法来判别一个算符是否为厄米特算符。
1、利用厄米特算符的定义直接进行判别例1 证明动量x 分量算符x pˆ是厄米特算符。
证明：对任意两个波函数1ψ和2ψ（为书写简洁，略去其自变量x ），总可以对其作傅立叶展开，即()()()()kkx k C kkx k C d i exp 21d i exp 212211⎰⎰==πψπψ (5.1.43)式中积分的上下限分别为正、负无穷，为简洁起见，将其略去。
用xp x ∂∂-= i ˆ作用上述两式的两端分别得 ()()()()k kx k kC p k kx k kC px x d i exp 2ˆd i exp 2ˆ2211⎰⎰==πψπψ(5.1.44) 再利用傅立叶的逆变换求出展开系数 ()()x pkx k kC xd ˆi exp 2111ψπ⎰-= (5.1.45) ()()x p kx k kC x d ˆi exp 2122ψπ⎰-= (5.1.46) 于是146()()()()[]()[]()()()k k C k kC k k C x p kx x k kx k C px px xxd 2d d ˆi exp 21d d i exp ˆ21d ˆ2*12*12*12*1⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-==πψπψπψψ (5.1.47)而()()[]()()[]()()kk C k kC k x p kx k C x pk kx k C x px xx d 2d d ˆi exp 21d ˆ d i exp 21d ˆ2*1*2*1*12*1⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-==πψπψπψψ (5.1.48)比较上述两式可知()x px p x x d ˆd ˆ2*12*1ψψψψ⎰⎰= (5.1.49) 表明算符x pˆ是厄米特算符。