量子力学的数学准备
量子力学辅导刚要3
《量子力学》辅导纲要（3）第九章 散射主要内容：1．为推导李普曼－许温革方程，必要的数学准备是复函中的留数定理。
2．通过与经典散射过程及散射截面的比较，找出量子散射的根本特征。
例如，低能钢球散射，经典截面是2r π，而量子散射截面是球面，即24r π。
3．能够自已推导李普曼－许温革方程及分波法相移，如此才能深刻地理解这两个方法的用法及适用条件。
进一步通过典型例题，学会解题方法。
4．应理解到，这两种方法都是近似方法，都有其适用条件，应根据不同物理条件，使用不同方法。
要点：1. 量子散射和经典散射的本质差别，这可由低能散射更清楚的看出； 2．李普曼-许温格方程的推导及意义，玻恩近似； 3．分波法的计算步骤。
重点掌握：1．几个概念。
入射粒子流强度N;微分散射截面;总散射截面Q ；弹性散射；非弹性散射。
散射振幅。
2．李普曼-许温格方程相对运动的定态薛定谔 将坐标原点选在A 与B 的质心处，质心看作是相对静止的。
在质心坐标系中，相对运动的定态薛定谔方程为()()()22()k r U r r ψψ∇+= （1）其中，12r r r =-为相对坐标，BA BA m m m m +=μ为折合质量，势场()()r V r V =，是中心力场，222 E k μ=，)(2)(2r V r Uμ=。
散射波的渐进行为。
∞→r 时， 0)(→r V 。
方程（1）的球面波解是()()kr rf r i exp 1),(2ϕθψ= （2）其中，()ϕθ,f 称为散射振幅。
方程（1）的渐进解应有如下形式（或说是解的边界条件）：()()()()1exp i ,exp i r kz f kr rψθϕ=+ （3）微分散射截面()()2d ,,d Nq f N θϕθϕ==Ω（4）在边界条件（3）下，求解（1）的Green 函数满足如下方程()()()22,''.k G r r r r δ∇+=- （5）1(')exp '.4'G r r ik r r r r π-=--- （6）()()()311exp 'exp '''.4'r ikz d x ik r r U r r r r ψψπ=--⎰- （7）此即李普曼-许温格方程。
量子力学基本原理和计算方法
量子力学基本原理和计算方法量子力学是描述微观物理现象的理论，它的基本原理包括波粒二象性、不确定性原理、量子纠缠和量子态叠加等。
量子力学的计算方法主要包括薛定谔方程、矩阵力学和路径积分法等。
在本文中，我将着重介绍量子力学的基本原理和其中的数学计算方法。
一、波粒二象性波粒二象性是指微观粒子既表现出粒子的实在性，又具有波动的性质。
这种现象在量子力学中被称为波粒二象性。
例如，电子在通过双缝实验时，会表现出干涉现象，这说明电子具有波动性；另一方面，电子在被探测器检测到时，表现出粒子性，说明电子也具有实在性。
波粒二象性是量子力学的核心之一，也是量子计算和量子通信的基础。
二、不确定性原理不确定性原理是指，我们无法同时准确地测量一个量子粒子的位置和动量。
这个原理在很多情况下表现为，我们越准确地测量一个粒子的位置，就越无法确定它的动量；反之亦然。
这种测量的不确定性是由于量子粒子在测量过程中被扰动，而不是因为我们测量不够准确。
因此，不确定性原理是量子力学中不可避免的一部分。
三、量子纠缠量子纠缠是指，当两个或多个粒子相互作用后，它们之间的状态便不能被单独描述。
例如，两个粒子被放在双缝实验中，它们之间就会发生量子纠缠。
这种纠缠不是经典物理学中的纠缠，而是一个量子粒子的状态会受到与它纠缠的其他粒子的状态的影响。
量子纠缠是量子计算和量子通信的基础之一。
四、量子态叠加量子态叠加的概念是指，在量子力学中，一个粒子可以处于多个状态的叠加态中。
例如，一束光可以同时是红光和绿光的叠加态。
这个术语也可以用于描述独立的粒子。
例如，一个电子可以处于自旋向上和自旋向下的叠加态中。
量子态叠加是量子计算的基础之一。
五、薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中最基本的数学方程之一，它描述了量子粒子的运动和相互作用。
例如，它可以用来计算粒子在势场中运动的轨迹。
薛定谔方程可以用于计算量子系统的波函数，从而求出量子态之间的转移概率。
薛定谔方程是量子计算和量子通信的基础之一。
量子力学自学
量子力学自学
量子力学是现代物理学的重要分支，它涉及到微观粒子的行为和性质。
学习量子力学需要一定的数学基础和物理学知识，但是如果你有一定的数学和物理学基础，可以通过自学的方式了解量子力学的基本原理和应用。
以下是学习量子力学的一些自学建议：
1. 学习量子力学的数学基础，包括线性代数、微积分和复数等。
这些数学知识是量子力学的基础，没有这些基础知识很难理解量子力学的概念和公式。
2. 阅读相关的量子力学教材和参考书。
量子力学的教材和参考书很多，可以根据自己的水平和兴趣选择适合自己的教材。
建议选择比较系统和详细的教材，并按照教材的章节进行学习。
3. 参加相关的线上或线下课程。
如果你想加快学习速度和加深理解，可以参加一些线上或线下的量子力学课程。
这些课程通常由专业的物理学家或科学家授课，可以帮助学生更好地理解量子力学的概念和公式。
4. 做相关的习题和实验。
学习量子力学需要不断地练习和实践。
可以根据教材或课程提供的习题和实验进行练习和实践，从而更好地掌握量子力学的知识和技能。
总之，学习量子力学需要一定的数学和物理学基础，也需要不断地学习和实践。
如果你有足够的时间和精力，可以通过自学的方式了解量子力学的基本原理和应用。
量子力学中的数学基础
量子力学是揭示微观世界的一大突破性理论，而它的数学基础则是支撑其理论框架的重要组成部分。
在量子力学中，我们用数学来描述微观粒子的行为，探寻其奇特的特性。
本文将探讨量子力学中的数学基础，深入了解它对于量子理论的重要性。
量子力学中的数学基础主要有线性代数、矩阵理论和概率论。
线性代数提供了描述量子系统的框架，而矩阵理论则是量子力学数学描述的主要工具。
概率论则用于描述量子系统的测量结果。
这三个数学基础相互交织，共同构建了量子力学理论的数学基础。
首先，线性代数为量子力学提供了一个优雅的数学结构。
量子力学中的态被表示为向量，而运算规则则以线性代数的形式展现。
量子力学中的态向量属于一个复数向量空间，它们具有叠加和相位的特性。
量子力学运算则对应于线性代数中的变换，例如态的演化、测量等。
线性代数为量子力学提供了一种清晰、简洁的描述方式。
其次，矩阵理论是量子力学数学描述的核心。
在量子力学中，算符被表示为矩阵。
例如，态的演化由一个称为“时间演化算符”的矩阵描述。
更重要的是，测量操作也由矩阵表示。
在量子力学中，测量结果是离散的，利用矩阵理论可以计算出每个可能结果的概率。
矩阵理论为我们理解量子力学中奇特的测量规律提供了工具。
最后，概率论在量子力学中起着重要的角色。
在量子力学中，态的演化是确定的，然而，测量结果却是不确定的。
概率论为我们提供了处理这些不确定性的工具。
根据量子力学的原理，我们只能预测出测量结果出现的概率，而无法预测具体的结果。
概率论为量子力学提供了测量和预测的数学基础。
综上所述，量子力学中的数学基础包括线性代数、矩阵理论和概率论。
这三者相互交织，构成了量子力学理论的数学基础。
线性代数为量子力学提供了一个优雅的描述框架，矩阵理论为量子力学提供了数学描述的核心工具，而概率论则帮助我们处理量子力学中的不确定性。
这些数学基础为我们研究和理解量子世界提供了有力支撑。
通过深入研究量子力学中的数学基础，我们能够更好地理解实验结果，揭示微观世界的奥秘。
量子力学的数学基础
量子力学的数学基础量子力学是一门研究微观领域中的物质和能量相互关系的学科。
它作为现代物理学的重要分支，提供了对原子、分子和基础粒子等微观领域行为的深入理解。
量子力学不仅仅是一种物理学理论，更是一种数学框架，其中包含了丰富而复杂的数学概念和工具。
在本文中，我们将重点介绍量子力学的数学基础，探讨其在理论和实践中的应用。
1. 线性代数：量子力学的数学基础之一是线性代数。
在量子力学中，态矢量（state vector）被用来描述一个物理系统的状态。
态矢量是一个向量，可以通过线性代数中的向量空间来描述。
量子力学中的态矢量可以存在于高维空间中，而线性代数提供了一种强大的工具来解决高维空间中的问题，例如张量积和内积等。
2. 希尔伯特空间：希尔伯特空间是量子力学中常用的数学结构。
它是一个无限维的复向量空间，其中的向量表示态矢量。
希尔伯特空间具有内积的性质，这意味着可以定义向量之间的内积（或称为点乘）。
内积可以用于计算态矢量的模长，以及求解物理量的期望值等。
3. 哈密顿算符：在量子力学中，哈密顿算符（Hamiltonian operator）被用来描述一个系统的能量。
哈密顿算符是一个厄米（Hermitian）算符，这意味着它的本征态（eigenstates）是正交的，并且其本征值（eigenvalues）对应于能量的可能取值。
通过求解哈密顿算符的本征值问题，可以得到量子系统的能级结构以及各个能级上的波函数。
4. 薛定谔方程：薛定谔方程（Schrödinger equation）是量子力学的基本方程之一。
它描述了一个量子体系的时间演化规律。
薛定谔方程是一个偏微分方程，通过求解薛定谔方程，可以得到系统的波函数随时间的变化情况。
波函数包含了关于量子体系的所有信息，它通过量子态的叠加来描述粒子的概率分布和可能的测量结果。
5. 德布洛意波和解释：德布洛意波（de Broglie wave）是量子力学的基本概念之一。
量子力学研究计划方案
量子力学研究计划方案一、研究背景和意义量子力学作为基础物理学的重要分支，旨在描述微观粒子的行为和性质，解释物质和能量的基本规律。
量子力学的发展不仅对于理论物理学的探索具有重要意义，也有着广泛的应用前景，例如量子计算、量子通信和量子传感等领域。
因此，深入研究量子力学，探索其中的奥秘和应用潜力，具有重要意义。
二、研究目标1. 系统性理解量子力学的基本原理和数学形式。
2. 探索量子力学在不同领域的应用，如量子计算和量子通信等。
3. 研究量子力学中的新现象和新规律，为量子力学理论的发展做出创新性贡献。
三、研究内容1. 量子力学基本原理的学习和总结：包括波粒二相性、不确定性原理、量子态与观测等基本概念的理解和应用。
2. 学习和掌握量子力学的数学形式：包括波函数、算符和薛定谔方程等数学工具的运用。
3. 深入研究量子力学的基本实验现象：包括干涉、衍射、电子自旋等实验现象的探究和解释。
4. 研究量子力学在量子计算和量子通信中的应用：包括量子比特的操控、量子态的传输和量子纠缠等关键技术的研究。
5. 探索量子力学中的新现象和新规律：包括量子力学的非局域性、量子力学与广义相对论的统一等前沿问题的研究。
四、研究方法1. 文献调研：搜集和阅读相关的文献资料，理解和掌握前人的研究成果。
2. 理论分析：运用数学和物理学的方法，对量子力学的基本原理和数学形式进行理论分析。
3. 实验验证：设计和进行量子力学的实验，验证理论模型和新提出的现象和规律。
4. 计算模拟：利用计算机模拟量子力学系统，研究其中的复杂行为和物理性质。
五、研究进度安排1. 第一年：系统学习量子力学的基本原理和数学形式，进行文献调研，准备研究计划。
2. 第二年：深入研究量子力学的基本实验现象，并学习量子力学在量子计算和量子通信中的应用。
3. 第三年：探索量子力学中的新现象和新规律，进行计算模拟研究。
4. 第四年：总结研究成果，撰写学术论文，并参与相关学术会议和交流。
量子力学的基础
量子力学的基础量子力学是20世纪初建立起来的一门物理学理论，它的出现彻底颠覆了经典物理学的观念。
量子力学的基础包括了几个重要概念和原理，本文将对这些基础内容进行介绍和解析。
一、波粒二象性量子力学的基础之一是波粒二象性。
在经典物理学中，光被认为是粒子的流动，例如光的传播速度可以解释为光粒子在空间中的移动速度。
然而，根据量子力学的观点，光既展现出粒子特性，又表现出波动特性。
这意味着光既可以看作是一束光子流动，又可以看作是波动在空间中传播。
类似地，电子、中子等微观粒子也具有波粒二象性。
二、不确定性原理不确定性原理是量子力学的另一个基础概念。
量子力学认为，对于一个粒子的某些物理量（如位置和动量），无法同时进行精确测量，只能得到其一定范围的测量值。
这就是著名的不确定性原理。
如海森堡不确定性原理就表明，无法同时准确测量一个粒子的位置和动量。
这个原理挑战了经典物理学中的确定性观念，引发了科学界的巨大震动。
三、波函数和量子态量子力学中，波函数是描述粒子运动状态的数学函数。
波函数的平方值给出了粒子存在于某个位置的概率密度，而不再是经典物理学中的精确位置。
波函数可以用于计算任何粒子的性质和行为，因此是量子力学的核心概念之一。
根据波函数的形式，我们可以将粒子的状态分为几种不同的量子态，如基态、激发态等。
四、量子力学算符量子力学中，算符是一个非常重要的概念，用来描述和操作量子力学中的物理量。
算符对应于在物理现象中观察到的各种不同可测量的物理量，如位置、动量、能量等。
通过对算符进行操作和变换，我们可以得到粒子的各种物理性质和运动状态。
五、量子力学的数学框架量子力学除了以上基础概念外，还建立了一套严密的数学框架。
其中包括了波函数的薛定谔方程、量子力学算符的定义和性质、态矢量的表示等。
这些数学工具为量子力学的计算和研究提供了强大的支持。
结论量子力学的基础概念和原理为我们理解微观世界的规律和现象提供了有效的工具。
波粒二象性、不确定性原理、波函数和量子态、量子力学算符以及数学框架等内容是量子力学的重要组成部分。
量子力学需要的基础课程
量子力学是一门复杂而深奥的物理学理论，它涉及到许多不同领域的知识和技术，因此需要一系列的基础课程来为学生提供必要的背景和理解。
以下是一些量子力学所需的基础课程：
1. 数学基础：量子力学需要深厚的数学基础，包括线性代数、微积分、复变函数、概率统计等。
这些数学工具对于理解量子力学的概念和方法非常重要。
2. 经典力学：量子力学是在经典力学的基础上发展起来的，因此学生需要对经典力学有深入的理解，包括牛顿力学、运动学、刚体力学等。
3. 电磁学：量子力学与电磁学密切相关，因此学生需要学习电磁学的基本原理和定律，包括库仑定律、安培定律、法拉第电磁感应定律等。
4. 光谱学：光谱学是量子力学的一个重要应用领域，因此学生需要了解光谱学的基本原理和实验技术，包括原子结构、分子结构、能级、谱线等。
5. 实验技术：量子力学是一门实验科学，因此学生需要掌握基本的实验技术和操作技能，包括光学、电学、热学等方面的实验技术。
总之，量子力学需要的基础课程非常广泛和深入，学生需要具备扎实的数学和物理基础，并掌握基本的实验技术和操作技能，才能更好地理解和应用量子力学。
如何入门量子计算：简单明了的教程
量子计算是近年来备受关注的领域，它具备着超强的计算能力和强大的应用潜力。
然而，对于初学者来说，量子计算可能会显得相当复杂和抽象。
本文旨在提供一个简单明了的入门教程，帮助读者快速掌握量子计算的基础知识和入门技巧。
一、量子计算基础量子计算是以量子力学原理为基础的计算模型。
为了理解量子计算，我们首先需要了解一些基本概念。
量子位量子位是量子计算的基本单位，类似于经典计算机中的比特。
与比特只能表示0和1两种状态不同，量子位可以同时表示多种状态，这一特性被称为叠加态。
量子门量子门是用来操作量子位的基本逻辑门。
与经典计算中的逻辑门（如与门、或门等）不同，量子门可以操作量子位的叠加态，实现更为复杂的计算操作。
量子纠缠量子纠缠是量子计算中的一种特殊现象。
当两个量子位发生纠缠时，它们之间将形成一种不可分割的关联关系，无论它们之间有多远的距离。
这一特性是实现量子计算中的重要基础。
二、如何入门量子计算现在，我们开始介绍如何入门量子计算。
以下是几个步骤，供初学者参考。
学习量子力学基础量子计算是基于量子力学的，因此了解量子力学的基础知识是十分重要的。
可以通过查阅书籍或参加线上课程来学习量子力学的基本原理、数学表达方式等。
学习量子计算的数学工具量子计算涉及到许多高深的数学工具，如线性代数、矩阵运算等。
初学者可以通过学习这些数学工具，为后续的量子计算理论打下坚实的基础。
探索量子计算语言量子计算有其特有的编程语言，如Qiskit、Cirq等。
学习这些语言可以帮助初学者理解量子计算的编程思想和实现方式。
可以通过在线教程或官方文档来学习这些语言的基本语法和使用方法。
运行量子计算实验为了更好地理解量子计算，初学者可以尝试运行一些简单的量子计算实验。
这可以通过云计算平台或本地模拟器来实现。
通过实际操作，能够更好地理解量子计算的原理和实现方式。
学习量子算法量子计算有其独特的算法，如Shor算法、Grover算法等。
初学者可以通过学习这些量子算法，了解量子计算相对于经典计算的优势和应用领域。
量子力学实验基础
量子力学实验基础
量子力学实验是研究量子力学的基本实验方法，是实现量子力学理论预测的主要手段之一。
它是一种描述动力学系统的科学方法，可以用来推断材料在微观尺度上会发生怎样的变化。
它将量子力学理论和实验测量连接起来，为实验家们提供了做出可靠的观测和预测的能力。
量子力学的实验基础包括量子力学的起源、麦克斯韦方程、哈密顿量子力学、量子力场理论等多项内容。
量子力学的起源是源于原则几何学中关于三角形体现的欧氏定理。
通过这些原则，可以推导出麦克斯韦方程，它描述了物质振动在空间和时间上的规律性变化。
哈密顿量子力学则描述了物质粒子在量子态中的状态和特性。
量子力场理论建立了量子力学的数学基础，它关系着量子力学的实验与理论的联系。
一般来说，量子力学的实验基础需要研究者具备良好的数学基础知识，包括普通微积分、偏微分方程、复变函数、线性代数等抽象思维能力，以及常微分方程、数学物理方程等数学知识，还需要一定的物理知识，包括基础力学和热力学。
量子力学实验有多种不同的形式，其中最常用的是量子波动实验。
该实验的基本原理是激发物质至某一高能状态，使其发射量子波，并测量波的谱线以及衰减行为，从而推测原子的能级及波函数的形式。
其它量子力学实验还包括量子拉曼散射实验、量子统计实验等。
总之，量子力学实验是一种用于研究量子力学理论的实验手段，
它要求研究者有一定的数学知识和物理知识，它可以提供实验家们可靠的观测和预测能力，以帮助他们更好地理解量子力学。
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量子力学的数学准备(暑期读物)写在前面的话06光信、电科的同学们：暑假开学后我将和你们一起学习量子力学这门课程。
由于教学计划调整，量子力学的学时由周五学时缩减为周四学时，加之学期缩短(由18-19周缩短为16-17周)，实际教学时间缩减近三分之一。
无论是从学校的要求还是从将来同学们学习后续课程或考研的要求来看，都不允许减少教学内容。
为此我编写了一个暑期读物，以期同学们利用暑假在不涉及量子力学的基本原理和有关概念的前提下，能够对量子力学课程中用到的一些数学知识做一个复习和预习，以便开学后在课堂上可适度减少对数学的讲解。
我知道大家暑假都很忙，要回家与亲人团聚尽享天伦之乐，要孝敬父母帮着做一些事情，要游览大好河山感受大自然的美，要准备考托考吉考这考那，要准备科技创新、电子大赛，等等等等。
但我还是希望大家能拨冗看一下这个读物，此处所说的看决不是指“Look ”，而是指“Read, Deduce and Consider ”，即阅读、推导、思考。
为此，带上数学物理方法和线性代数的课本回家是有必要的。
有人说19世纪是机器的世纪，20世纪是信息的世纪，而21世纪将是量子的世纪。
让我们为迎接量子世纪的到来做好准备吧！刘骥 谨此I. 一个积分的计算计算积分⎰+∞∞--≡dx e I x2⎰⎰⎰⎰+-+∞∞--+∞∞--=≡edy edx eI x y x(2222θπ=+∞-⎰⎰0202r dr rd eπ=∴I由此我们可以得到积分公式：πnx n n dx ex 2!)!12(22-=⎰+∞∞--0221221222!)!12(2)32)(12(21221221222I n I n n I n dxe x n de x dx exI nn n x n x n x nn -==--=-=-=-=≡--∞∞---∞∞---+∞∞--⎰⎰⎰-≡112dxeJ x可以仿照上述方法计算吗为什么如果不能，该如何计算其近似值问题：对于积分⎰-II. 厄密多项式及相关问题在处理线性谐振子时会碰到求解下列方程的有限解问题0)()()(222=-+x y x dxx y d λ[2)(x y是待求的有限函数，λ下面尝试用级数法求解方程将nx x y =)(代入方程(1)会出现x因而方程(1)① 考察方程(1)在区间),(+∞-∞两端±∞→x由于λ是常数，相对)(2+∞→x 可忽略，方程(1)在±∞→x 的渐近式为02=-''yx y 观察可发现2/2x e-是方程(2)2/2xe -当然不是方程(1)的解)(x y ，但当±∞→x 时)(x y 应表现出2/2xe-的渐近行为，于是我们可以合理地假设)(x y 中应包含因子2e-② 令2/2)()(xe x h x y -=，代入(1)，得0)()1()(2)(=-+'-''x h x h x x h λ (3)方程(3)称为Hermit ③ 级数法求解Hermit 方程 令∑∞=)(k kx ax h ，代入(3)，(0∑∞=k k [(0∑∞=k k,2,1,0,)2)(1(122=++-+=+k a k k λk a k k (4)由递推公式(4)可以看出，0a 确定后，2a 、4a 、…等所有下标为偶数的展开系数随之确定，1a 确定后，3a 、5a 、…等所有下标为奇数的展开系数随之确定。
不妨令⎩⎨⎧==奇数，为偶数为,21k b C a k b C a k kk k ，21,C C 为任意常数，则不管k 为偶数还是奇数都有k k b k k λk b )2)(1(122++-+=+ (5)于是))11)(7)(3()7)(3(!33()!6)9)(5)(1(!4)5)(1(!21()(7151311260402001 +---+--+-+++---+--+-+=x b x b x b x b C x b x b x b b C x h λλλλλλλλλλλλ (6))()(2211x h C x h C +≡ ④)(x y 当λ取任意常数值(λi.对任一有限的ii. ±∞→x 时，无穷级数)(1x h 或)(2x h 有限，即使趋向无穷大也不能快于2/x e。
由式(5)，)(1x h 或)(2x h 的相邻项系数比(后项比前项) kk k λk b bk kk 2)2)(1(122−−→−++-+=∞→+，根据无穷级数收敛判别法则，条件i 是满足的，即)(1x h 或)(2x h 是收敛的。
至于是否满足条件ii ，难以直接看出。
为此我们考察函数2x e的泰勒展开式 ++++++=)!2/(!3!216422k x x x x ekx ，其相邻项系数比kk k k k 21)2(1]!1)2[()!2(−−→−+=+∞→。
一个无穷级数在±∞→x 时的渐近行为取决于其高次项， )(1x h 或)(2x h 与2x e 有相同的(∞→k )相邻项系数比，因而221201)(,)(x x x x xe b x h e b x h −−−→−−−−→−±∞→±∞→。
显然这不满足上述的条件ii ，即12+≠n λ时，方程(1)没有有限解。
⑤12+=n λ时，方程(1)有有限解12+=n λ时，式(5)变为k k b k k n k b )2)(1()12(122+++-+=+，由0b (或1b )可推出n b b b ,,,42 (或n b b b ,,,53 )，而042===++ n n b b ，)(1x h 或)(2x h 截断成为多项式。
±∞→x 时，多项式趋向无穷的速度不快于2/2x e，满足条件ii ，因而我们可以得到方程(1)的有限解。
具体地说，12+=n λ，n 为偶数时，)(1x h 截断成为只含有偶数次幂的n 次多项式，而)(2x h 仍为无穷级数，此时可选任意常数02=C ，得到方程(1)的有限解2/112)()(x ex h C x y -=。
12+=n λ，n 为奇数时，)(2x h 截断成为只含有奇数次幂的n 次多项式，而)(1x h 仍为无穷级数，此时可选任意常数01=C ，得到方程(1)的有限解2/222)()(x e x h C x y -=。
⑥Hermit(厄密)多项式12+=n λ时，)(1x h 或)(2x h 截断成为n次多项式，其中的常数0b 或1b 习惯上这样选取：使多项式最高次项的系数为n2。
这样的多项式称为Hermit 多项式，记为)(x H n ，其通项公式：==2[0)(n k n x H 由此通项公式可具体写出任意阶的厄密多项式，如1)(0=x H ，x x H 2)(1=，24)(22-=x x H ，x x x H 128)(33-=124816)(244+-=x x x H ，……归纳起来，方程0)(2=-+''y x y λ在12+=n λ时存在有限解，对应的解为2/2)()(x n n n ex H C x y -=，⑦Hermit 多项式的微商表示方法及递推公式 Hermit 多项式还可写为nx n xn n dxed ex H 22)1()(--= (8)由通项公式(7)可得厄密多项式的一个递推公式由微商表示(8)可得第二个递推公式由(9),(10)可得第三个递推公式⑧常数n C 由归一化条件确定按照量子力学，)(x y n 应满足归一化条件，即1)()(2222==⎰⎰+∞∞--+∞∞-dx x H eC dxx y n x nn 。
其中的积分值计算出来后，就能得到常数n C 。
将微商表示(8)代入上述积分，得⎰⎰+∞∞--+∞∞---=dx dxed x H dx x He nx n n n n x 22)()1()(2⎰+∞∞-----=)()()1(112n x n n ndxedd x H⎰+∞∞----'--=dx dxe d x H n x n nn112)()1(⎰+∞∞-------=dx dxe d x H n n x n n n 11112)()1(2π!2)(!220n dx ex H n n x n===⎰+∞∞-- (12)于是⑨两个常用的关于)(x y n 递推关系由(11)得，)(21)()(11x H x nH x xH n n n +-+=，那么)(!21)(2/2/12x xH en x xy n x nn -⎪⎪⎭⎫⎝⎛=π)()!1(2121)()!1(21212/2/1112/2/1122x H en n x H en n n x n n xn +-+---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππ即利用(10)式 )(2)(1x H xH x H n n n +-='，类此上面的计算可得⑩)(x y n 满足正交性，即n m dx x y x y n m ≠=⎰+∞∞-,0)()(证明：不妨设n m >，仿照(12)式中的做法⎰⎰+∞∞---+∞∞-=dx ex H n dx x y x y x n m nn m 2)(!2)()(再将厄密多项式的微商表示(8)代入，⎰--+∞∞--=n dx x y x ynmnn m )1(!2)()(0)1(!2112=-=+∞∞-------n m x n m nm n dxednIII. δ函数1．定义 ⎩⎨⎧=∞≠=0,0,0)(x x x δ，且1)(=⎰+∞∞-dx x δ。
2．性质 i. )()(x x δδ=-， ii. )0(),(1)(≠=a x a a x δδ iii. )()()(00x f dx x x x f =-⎰+∞∞-δ3．δ函数是某些通常函数序列的极限“δ函数显然不是通常意义的函数。
人们现在说，它是广义函数。
具体地说，它是某种通常函数系列的极限，而这极限是在积分的意义上说的。
”（梁昆淼《数学物理方法》第三版，p108）除了梁昆淼书中给出的三个例子，即 i. )(rect 1)(lim 0l x l x l →=δ， ii.x K )(δ∞→=iii. 221)(lim xx +=∞→εεπδε之外，量子力学中还经常用到下面几种： iv. ⎰+∞∞-=dx ek ikxπδ21)( v. gx xg x g 22)(sin )(limπδ∞→=先验证iv ，k Rkdx edx eR R RikxR ikxsin 12121lim lim πππ∞→+-∞→+∞∞-==⎰⎰再验证v ，0≠x 时，0)(sin 22lim =∞→gx xg g π0=x 时，∞→==∞→→∞→∞→πππggx xg gx xg g x g g limlimlim lim 22022)(sin )(sin⎰⎰+∞∞→+∞∞-∞→+∞∞-∞→==dx gx xg dx gx xg g g g 222221)(sin )(sin limlimlim πππ注意到π===-=⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-+∞∞-dx xxx xd dx x x dx xx 2sin 12cos 2122cos 1sin 2221)(sin 22lim =∴⎰+∞∞-∞→dx gx xg g π 符合δ函数的定义。