数学活动折纸与证明
例谈数学实验问题的设计——以数学活动《折纸与证明》为例
的能 力 ， 手 操 作 的 能力 动
前小组 活动 的进展 和碰 到的 困难 ， 听取 有效建 议 ， 善 完 活动项 目并策划成果展示 的形式． 第四阶段（ ５学时） 第 展示完成 的作 品 ， 准备 回答 其 他同学提出 的各种 问题．
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教材教法 ・
审。擞 ・ （ １年第２ 初中 ？ ７ ２１ ０ 期・ 版）
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例 谈 教 学 雾验 问题 的 设 计
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以数 学 活 动 《 纸 与 证 明 》 例 折 为
２ ２ ０ 江 苏省连云 港 市新 海实验 中学 姜 晓 刚 ２ ０４
初 中数 学 实验 教学 是 指 在 初 中 阶 段 ， 据 国家 课 程 根 标 准 、 生 认 知 水 平 及 教 学 思 想 发 展 的脉 络 ， 设 恰 当 学 创 的 问 题 情 境 ， 用 合 理 的 实 验 手 段 ， 导 学 生 从 直 观 现 利 引 象 到 发 现 、 想 ， 后 给 出验 证 及 理 论 证 明 ， 学 生 亲 历 猜 然 使
要有不 同的要求 ， 通过动手 实验 ， 小组交 流 ， 同学问 可以
得 到 相 互 弥 补 、 鉴 ， 互 启 发 、 动 ， 成 立 体 、 互 的 借 相 拨 形 交
思维 网络 ， 往会产 生 ｌ ≥２的效果 ， 往 ＋１ 使不 同层 次 的
学 生 在 数 学 实 践 活 动 中都 有 所 收 获 ．
广 阔的设计 空 问． 教师要 结合 学生 的学情 ， 恰如其 分地
像 经 过 什 么 变 换 设 计 出来 的 ？ （ ） 国 中 学 生 罗 伯 特 ・ 耐 特 曾经 利 用 简 易 的变 ４美 加
折纸与数学简介
折纸与数学简介篇一：数学与折纸数学与折纸我们中的大多数人都有过折纸的经历，只是折叠后便收了起来．只有少数人折纸，是为了研究其间所揭示的数学思想．折纸是一项教育与娱乐两者兼备的活动．连L·卡洛尔也是一位折纸的热心者．虽然折叠纸张超越了许多文化，但日本人却把它作为一种交谊的途径，并通过普及和发展，使之成为一门称之为“折纸”的艺术．纸张折出的一些数学形体当折叠纸张的时候，很自然地会出现许多几何的概念．诸如：正方形、矩形、直角三角形、全等、对角线、中点、内接、面积、梯形、垂直平分线、毕达哥拉斯定理及其他一些几何和代数概念．下面是一些折纸的例子，它说明了上述概念的运用．Ⅰ)从一个矩形式样的纸张，作成一个正方形(下图左)．Ⅱ)由一张正方形的纸张，变成四个全等的直角三角形(上图右)．Ⅲ)找出正方形一条边的中点(下图右)．Ⅳ)在正方形的纸中内接一个正方形(下图左和中)．Ⅴ)研究纸的折痕，注意内接正方形的面积是大正方形面积的．Ⅵ)拿一个正方形纸张折叠，使折痕过正方形中心，便会构成两个全等的梯形(下图左)．Ⅶ)把一个正方形折成两半，那么折痕将成为正方形边的垂直平分线(下图右)．Ⅷ)证明毕达哥拉斯定理．如右图折叠正方形纸：c=正方形ABCD的面积．a=正方形FBIM的面积．b=正方形AFNO的面积．由全等形状相配得：正方形FBIM的面积=△ABK的面积．又 AFNO的面积=BCDAK的面积(此即正方形ABCD除△ABK外剩余部分的面积)．这样，a＋ b= c 222222Ⅸ)证明三角形内角和等于180°．取任意形状的三角形，并沿图示的点划线(横的为中位线)折叠a°＋b°＋c°＝180°——它们形成一条直线．Ⅹ)通过折切线构造抛物线．程序：——在离纸张一边一两英寸的地方，设置抛物线的焦点．如图所示的方法，将纸折20－30次．所形成的一系列折痕，便是抛物线的切线，它们整体地勾画出曲线的轮廓．篇二：探究折纸中的数学探究折纸中的数学教学目标（1）通过折纸理解垂直和平行的定义和相关性质；体会折纸中的数学思想，从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。
折纸中蕴含的数学思维与动手能力 2019年精选教育文档
“折纸”中蕴含的数学思维与动手能力“折纸”是学生经常做的手工活动，在“折纸”过程中学生手脑并用，互相协作，可以了解数学价值，获得数学活动经验，可以学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会中的有关数学的问题，并解决日常生活中的一些问题，增强应用数学的意识。
一、在折纸中体验数学学习中的“数感”数学新课标在总体目标中提出要使学生“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立数感，发展抽象思维”，并且在内容标准的几个阶段都阐述了培养学生数感的问题。
数感并不是一个新的概念，但《课标》第一次明确地把它作为数学学习的内容提了出来，可见，理解数感，让学生在数学学习过程中建立数感，是《课标》十分强调和重视的问题。
折纸可以加强对学生数感的培养，把数感的培养体现在折纸活动之中。
随着学生年龄的增长和知识经验的丰富，引导学生探索数、形及实际问题中蕴涵的关系和规律，通过折纸，初步掌握有效的表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具，会进一步增强学生的数感。
把数感的建立与数量关系的理解和运用结合起来，与符号感建立和初步的数学模型的建立结合起来，将有助于学生整体数学素养的提高。
二、在折纸中培养数学学习的“逻辑思维”现代教育观点认为，数学教学是数学活动的教学，即思维活动的养成良好逻辑思如何在数学教学中培养学生的逻辑思维能力，教学。
．维品质是教学改革的一个重要课题。
孔子曰：“学而不思则罔，思而不学则殆”。
在数学学习中要使学生逻辑思维活跃，就要教会学生分析问题的基本方法，这样有利于培养学生的正确逻辑思维方式。
要学生善于思维，必须重视基础知识和基本技能的学习，没有扎实的双基，逻辑思维能力是得不到提高的。
《华东师大版九年级数学（上册）》第40页有这样一道题：小明用一张边长为10cm的正方形硬纸板制作一个无盖的长方体，怎样制作使得底面积为81 ？不同的底面积与其剪去的正方形的边长发生怎样的变化？折叠成的长方体的侧面积又会发生怎样的变化？学生在折叠前可能会从以下几个方面进行思考：①无盖长方体展开后是什么样？②用一张正方形的纸怎样才能制作一个无盖长方体？基本的操作步骤是什么？③制成的无盖长方体的侧面积应当怎样去表达？④什么情况下无盖长方体的侧面积会较大？最大？思路一：在正方形的四角分别剪去一个相同的小正方形，折起后，制成一个无盖长方体，怎样才能使制作的无盖长方体的体积尽可能大？假设正方形的边长为20cm，剪去的小正方形的边长依次为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm、6cm、7cm、8cm，折成无盖长方体的体积将如何变化？（1）用表格表示通过表格，我们再把边长在2.5cm到3.5cm之间的数据进行细化：时，无盖长方体的体积较大。
初三数学活动课“折纸与证明”设计与反思
《 全 日制 义 务 教育 数 学 课 程 标 准 （ 修订稿） 》 明 确 提 出： “ 数学 教学 是数 学活 动 的教 学 。” “ 数 学 活动 是学 生
杂 ，说 理要 求循 序渐 进 ，并在 活动 中激 发学 生认 真 思考 、 经历 数 学化 过程 的活 动 。 ”相 应地 ， “ 数 学活动 ”也走进 积极 探 索 、主动 发现 问题 ，并从 问题 中归纳 出折纸 问题 中 了各 种版 本 的实验 教材 。以苏科 版义 务 教育 课程 标准 实验 教科 书为 例 ，各章 结束 时都 安排 “ 数 学 活动 ”这 一教 学 内 蕴含 的数学 知识和 解 决折纸 问题 的 一般 方法 ，从而 促进 学 容 ，设置 的 目的在 于培 养学 生综 合运 用章 节 知识及 方 法解 生研 究性 学 习方式 的形 成 ， 同时通过 小组 内学 生相 互协 作 决 实 际 问题 ，培 养 学 生 的 问题 意 识 、应 用 意 识和 创新 意 研究 ，培 养学 生合 作性 学 习精神 。 三 、案例细节分析 识 ，积 累 学 生 的活 动经 验 ，提 高 学 生 解 决 现 实 问题 的 能 １ ． 目标定 位 。（ １ ） 从 教材 的角度 。本节 内容 在教 材 中安 力 。但 鉴 于 “ 数学 活动 ” 内容设 置较 少 、较 开放 ，对教 师 图 形 与证 明（ 一） 、（ 二） ”学完 后 ， 意在 突 出从 数 学 的课堂 设计 及 组织 能力 都提 出 了挑战 ，现 实状 况是 很 多学 排在 “ 理论 的角 度 ，即用 证 明的方 法来 说 明折 纸活 动 的合 理性 ， 校 都跳 过 “ 数 学活 动 ”教学 。 同时 体现 了本 章在 认知 过程 中想 要突 显 的两种 认知 方法 间 笔 者 结合 自己开设 的一 节市 级公 开课— — 苏科 版九 年 级 上第 一章 数学 活动 课 《 折纸 与证 明》 ，谈谈 自己对数 学 重要 的辩证 关 系 ：观察 操作 丰富 了我们 对 图形 的认 识和 感
折纸几何公理
折纸几何公理本操作，也叫做折纸几何公理。
假定所有折纸操作均在理想的平面上实行，并且所有折痕都是直线，那么这些公理描述了通过折纸可能达成的所有数学操作：1. 已知 A 、 B 两点，能够折出一条经过 A 、 B 的折痕2. 已知 A 、 B 两点，能够把点 A 折到点 B 上去3. 已知 a 、 b 两条直线，能够把直线 a 折到直线 b 上去4. 已知点 A 和直线 a ，能够沿着一条过 A 点的折痕，把 a 折到自身上5. 已知 A 、 B 两点和直线 a ，能够沿着一条过 B 点的折痕，把 A 折到 a 上6. 已知 A 、 B 两点和 a 、 b 两直线，能够把 A 、 B 分别折到 a 、 b 上容易看出，它们实际上对应着不同的几何作图操作。
例如，操作1 实际上相当于连接已知两点，操作2 实际上相当于作出已知两点的连线的垂直平分线，操作3 则相当于作出已知线段的夹角的角平分线，操作4 则相当于过已知点作已知线的垂线。
真正强大的则是后面两项操作，它们确定出来的折痕要满足一系列复杂的特征，不是尺规作图一两下能作出来的（有时甚至是作不出来的）。
正是这两个操作，让折纸几何有别于尺规作图，折纸这门学问从此处开始变得有趣起来。
更有趣的是，操作5 的解很可能不止一个。
在绝大部分情况下，过一个点有两条能把点A 折到直线a 上的折痕。
操作6 则更猛：把已知两点分别折到对应的已知两线上，最多能够有三个解！一组限定条件能同时产生三个解，这让操作6 变得无比灵活，无比强大。
利用一些并不太复杂的解析几何分析，我们能得出操作6 有三种解的根本原因：满足要求的折痕是一个三次方程的解。
也就是说，给出两个已知点和两条对应的已知线后，寻找符合要求的折痕的过程，本质上是在解一个三次方程！尺规作图到底局限在哪里相比于折纸的几何操作，尺规作图就显得有些不够“强大”了。
不妨让我们先来回顾一下尺规作图里的五个基本操作：过已知两点作直线给定圆心和圆周上一点作圆寻找直线与直线的交点寻找圆与直线的交点寻找圆与圆的交点这5项操作看上去变化多端，但前3项操作都是唯一解，后两项操作最多也只能产生两个解。
数学活动 折纸与证明
数学活动折纸与证明数学活动折纸与证明数学活动折纸与证明数学活动折纸与证明【学习重、难点】重点：经历操作方式、证明的过程，探究化解折纸问题的方法并可以化解折纸问题难点：探究化解折纸问题的思路学习过程：活动一：(1)用一张长方形纸片八折正方形，并探究操作方式的合理性。
(2)用一张长方形纸片折等腰三角形，并探究操作的合理性。
活动二：（1）用一张正方形纸片八折矩形。
（2）用一张正方形纸片折等腰三角形，并探究操作的合理性。
（3）用一张正方形纸片折等边三角形，并探究操作的合理性。
(1)用一张等边三角形纸片八折菱形，并探究操作方式的合理性。
(2)用一张等腰三角形纸片八折菱形，并探究操作方式的合理性。
)观察与发现：小明将三角形纸片abc(ab>ac)沿过点a的直线折叠，使得ac落在ab 边上，折痕为ad，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点a和点d重合，折痕为ef，展平纸片后得到△aef（如图②）．再分别沿de、df折叠展平纸片后得四边形aedf（如图③）。
试判断四边形aedf是什么四边形？，并证明你的结论。
用两张长方形纸条纸片比拼菱形，并探究操作方式的合理性。
活动四：用一张长方形纸片折正五边形，并探究操作的合理性。
卷曲问题方法概括：1、如图，将△abc中，ab＞ac，d、e分别是ab、ac上的点，△ade沿线段de翻折，使点a落在边上，记作a′.则下列说法正确的是()(a)de垂直平分线段aa′(b)ad=ae(c)aa′垂直平分线段de(d)aa′平分∠bac2、将一矩形纸片按如图方式折叠，bc、bd为折痕，折叠后a'b与e'b与在同一条直线上，则∠cbd的度数（）a.大于90°b.等于90°c.小于90°d.不能确定5、例如图，将△abc沿de卷曲，使点a与bc边的中点f重合，以下结论中：①ef∥ab且ef=1ab；②∠baf=∠caf；四边形adfe=2afde；④∠bdf+∠fec=2∠bac，恰当的个数就是（）（a）春蕾杯教学反思———5.4折纸与证明今年的春蕾杯的课题是九年级的一节活动课《折纸与证明》，这节课极具挑战性，对于活动课该怎么上，作为年轻老师的我是一头雾水，没有一点头绪。
数学活动折纸并撰写活动心得
数学活动折纸并撰写活动心得折纸活动总结1本学期，学校开展了丰富多彩的社团活动；首先折纸是我国一种传统的手工艺术；其次兴趣是一个人走进成功大门的钥匙！发现和培养学；现将本学期的折纸活动总结如下：；1、提高了学生的动手能力，现在学生都能自己动手折；2、学生在活动中体会到了折纸的乐趣，所以对折纸的；3、培养了学生们的互助精神；总而言之，在本学期的折纸活动中学；首先折纸是我国一种传统的手工艺术。
手工折纸富于变化，造型生动活泼可爱，宜于孩子想象和智力的开发。
实际证明，折纸是一个手脑并用的过程，既可开发孩子的智力，培养他们的注意力、观察力、想象力和理解力，又可促进其手肌肉群的灵活性和大脑的发育。
因此，我们开设了对孩子进行纸艺培养兴趣小组课程，希望通过纸艺活动，使孩子们学会简单的折纸方法，并正确掌握折纸的技能技巧，从而进一步培养他们爱动脑、爱动手、不怕困难的精神。
其次兴趣是一个人走进成功大门的钥匙！发现和培养学生的兴趣是非常重要的，激发学生的兴趣爱好可以发展学生的潜能，调动学生的学习积极性。
风雅折纸社团，在于培养学生对手工的兴趣、爱好、增长知识、提高技能、丰富学生的课余文化生活，为今后培养手工人才起着积极推动的作用。
给爱好手工的同学一个良好的学习环境，折纸是一种材料简单、操作方便、效果显著的手工创造劳动，是深受学生喜欢的一种小工艺，它通过剪、折、粘贴、等手段，巧妙地把纸制成各种生动有趣的形象：如人物、动物、花卉等.从而培养学生认真观察的习惯和做事的条理性。
折纸活动总结21、提高了学生的动手能力，现在学生都能自己动手折一些作品，有半数同学不需要老师的指导，看着折纸书来折，还有部分同学能自己进行创作。
2、学生在活动中体会到了折纸的乐趣，所以对折纸的兴趣更浓了。
3、培养了学生们的互助精神。
折纸活动时我把学生分成六个小组，有利于不会的同学及时问，会的同学有时也主动教不会的，这样久而久之小组中的学生都已形成互帮互助的良好品质。
小学数学教案折纸
小学数学教案折纸
教学目标：
1. 了解折纸的基本原理和方法。
2. 学会制作简单的折纸作品。
3. 锻炼学生的动手能力和实践能力。
教学准备：
1. 折纸纸张
2. 折纸工具（如折纸尺、折纸折痕器等）
3. 教学PPT或视频
教学步骤：
1. 引入（通过展示一些折纸作品引导学生对折纸感兴趣）
2. 讲解（介绍折纸的基本原理和方法，示范如何折纸）
3. 练习（让学生跟着老师一起折纸，制作简单的折纸作品）
4. 制作（让学生自由发挥，制作自己喜欢的折纸作品）
5. 展示（学生展示自己的作品，老师评价并指导提升）
教学反思：
1. 本节课教学内容是否简单明了？
2. 学生对折纸是否感兴趣？
3. 学生的制作作品是否符合要求？
扩展活动：
1. 给学生布置作业，要求制作更复杂的折纸作品。
2. 组织折纸比赛，鼓励学生发挥创造力。
3. 将折纸与其他课程相结合，如折纸拼音字母等。
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数学活动 折纸与证明
【学习重、难点】
重点：经历操作、证明的过程，探究解决折纸问题的方法并会解决折纸问题 难点：探究解决折纸问题的思路
学习过程： 活动一：
(1) 用一张长方形纸片折正方形，并探究操作的合理性。
(2) 用一张长方形纸片折等腰三角形，并探究操作的合理性。
活动二：（1）用一张正方形纸片折矩形。
（2）用一张正方形纸片折等腰三角形，并探究操作的合理性。
B
A B E C D F
G C 'D '
（3）用一张正方形纸片折等边三角形，并探究操作的合理性。
活动三：
(1)用一张等边三角形纸片折菱形，并探究操作的合理性。
(2)用一张等腰三角形纸片折菱形，并探究操作的合理性。
)观察与发现：小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到AEF △（如图②）．再分别沿DE 、DF 折叠展平纸片后得四边形A EDF （如图③）。
试判断四边形AEDF 是什么四边形？，并证明你的结论。
活动四：
用两张长方形纸条纸片拼菱形，并探究操作的合理性。
活动四：
用一张长方形纸片折正五边形，并探究操作的合理性。
折叠问题方法归纳：
1、如图，将ABC △中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边上，记作A ′.则下列说法正确的是 ( ) (A) DE 垂直平分线段A A ′ (B) AD=AE
(C) A A ′垂直平分线段DE (D) A A ′平分∠BAC
2、将一矩形纸片按如图方式折叠，BC 、BD 为折痕，折叠后B E B A ''与与在同一条直线上，则∠CBD 的度数 （ ）
A. 大于90°
B.等于90°
C. 小于90°
D.不能确定
N F
E B
C
A E B
D C A '
E 'A C D B 图① A C D B 图②
F E A
C
D
B
图③
F E
5、如图，将ABC △沿DE 折叠，使点A 与BC 边的中点F 重合，下列结论中：①EF AB ∥且1
2
EF AB =；②BAF CAF ∠=∠；
③1
2
ADFE S AF DE =四边形；
④2BDF FEC BAC ∠+∠=∠，正确的个数是（ ）（A ）
A ．1
B ．2
C ．3
春蕾杯教学反思
———5.4折纸与证明
今年的春蕾杯的课题是九年级的一节活动课《折纸与证明》，这节课极具挑战性，对于活动课该怎么上，作为年轻老师的我是一头雾水，没有一点头绪。
这样的课题让我感觉到很有压力，不过正是因为有压力，人才会有动力，象我们这样的年轻教师，正需要这样的磨练机会，促使我们的成长，所以首先感谢学校给我们创造了这么好的平台，在这次活动中我学到了很多，知道了自己在讲课中还存在很多的不足。
我对这节课的总结如下：
这节课的教学目标是这样的：1、经历操作、证明的过程，进一步激发对数学证明的兴趣，感受证明的必要性，感受合情推理和演绎推理相辅相成的关系；2、进一步发展合乎逻辑的思考和有条理表达的能力；3、经历克服困难和取得成功的过程，增进应用数
第5题图
学的能力。
这节课我准备了四个活动：活动一在长方形上折正方形，折等腰三角形，折等边三角形；活动二在正方形上折等腰三角形，折等边三角形；活动三在三角形上折菱形。
从这4个活动中让学生感受折纸当中体现的数学证明思想。
这节课改变了学生的学习方式，变传统的接受学习为主动探究的学习，也让学生在探究中体验折纸中的数学证明，但从备课到一节课上下来，我的思绪都不是太清楚，对本节课的重点把握的不是很到位，上课的时候语言表述的也不是很清楚。
在评课的过程当中，我发现自己有很多的不足，在以后的教学过程中，对教材的研究要更加细致到位，多从学生的角度考虑他们的认知水平，并要有一定的提升。
总的来说，我觉得这节课设计还算完整，有让人满意的地方，也有很多的不足。
最大的问题就是自己讲的过多，留给学生思考和回答问题的余地太少，这样不利于学生的掌握，特别是一些差生，反应比较慢的学生有点接受不了。
还有就是板书太少以及板书的不规范，这些都是以后的教学过程我所要注意的问题。
只有发现了问题，才会有改进的机会，才会有进步。
王丹娟
2010-12-10。