折纸中的数学问题 PPT
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折纸中的数学PPT学习教案
如果将纸片重复折叠40次，那么纸的厚度 将会达到多少？
第6页/共12页
猜一 可以算猜得, 按每张纸的厚度为0.06mm计算,
这个厚度相当于绕地球赤道大约1.65圈 （地球半径6.37×103km ）(★“很大的数”, 通过折纸：可使我们得到现实中难以想像
的“很小的数”和“很大的数”．
第7页/共12页
以增加纸的厚度） ⑵为什么要增加纸的厚度呢？（太薄的纸无法测
量） ⑶折叠得厚点好测量．请问你折叠了几次？（纸
变为多少层？） 提醒折纸中应注意的问题： ①把纸按紧，尽量减少纸间的空隙； ②尽量多折叠几次，这样能得到较准确的结果．
第5页/共12页
一张小纸结的：厚度，如果用刻度尺直接测量， 我们无法读出它的厚度．所以，同学们在 生活中做任何事都要动脑筋．
折纸中的数学
会计学
1
折角
如何用你手中的长方形纸片折出以下角？ 45°的角 30°的角 60°的角 动手折一折，说出你的方法。
第1页/共12页
学具准 ①长方形备薄纸片3张
②刻度尺 ③计算器 ④剪刀、小刀
第2页/共12页
㈠活动体验——折一 情境1. 对一张长折方：形纸片作适当的折叠，
第8页/共12页
第n次操作后余下纸片的面积为 ＞0 折叠次数 1 2 3 4 … n
扔掉纸片的 面积
…
(剩下的纸片请大家把它放到自己口袋里)
第9页/共12页
⑵①请同学们把扔掉的纸片按 原图位置放回（重新拼图）；
②观察你所拼出的图形，你能 发现什么？
（可以讨论，“写”在纸上）
第10页/共12页
课后作 想一想；业用一张长方形的纸片如何折出
75°的角？
第11页/共12页
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猜一 可以算猜得, 按每张纸的厚度为0.06mm计算,
这个厚度相当于绕地球赤道大约1.65圈 （地球半径6.37×103km ）(★“很大的数”, 通过折纸：可使我们得到现实中难以想像
的“很小的数”和“很大的数”．
第7页/共12页
以增加纸的厚度） ⑵为什么要增加纸的厚度呢？（太薄的纸无法测
量） ⑶折叠得厚点好测量．请问你折叠了几次？（纸
变为多少层？） 提醒折纸中应注意的问题： ①把纸按紧，尽量减少纸间的空隙； ②尽量多折叠几次，这样能得到较准确的结果．
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一张小纸结的：厚度，如果用刻度尺直接测量， 我们无法读出它的厚度．所以，同学们在 生活中做任何事都要动脑筋．
折纸中的数学
会计学
1
折角
如何用你手中的长方形纸片折出以下角？ 45°的角 30°的角 60°的角 动手折一折，说出你的方法。
第1页/共12页
学具准 ①长方形备薄纸片3张
②刻度尺 ③计算器 ④剪刀、小刀
第2页/共12页
㈠活动体验——折一 情境1. 对一张长折方：形纸片作适当的折叠，
第8页/共12页
第n次操作后余下纸片的面积为 ＞0 折叠次数 1 2 3 4 … n
扔掉纸片的 面积
…
(剩下的纸片请大家把它放到自己口袋里)
第9页/共12页
⑵①请同学们把扔掉的纸片按 原图位置放回（重新拼图）；
②观察你所拼出的图形，你能 发现什么？
（可以讨论，“写”在纸上）
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课后作 想一想；业用一张长方形的纸片如何折出
75°的角？
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折纸中的数学问题
空间几何形状的构造
通过折叠纸张，可以创造出各种空间几何形状，如球体、 圆柱体和棱柱等。这涉及到对空间几何知识的理解和应用。
折痕的几何性质
折纸过程中形成的折痕具有特定的几何性质，如长度、角 度和形状。研究这些折痕的性质有助于理解折纸的几何原 理。
折纸与代数问题
方程的求解
在折纸过程中，有时需要通过解代数方程来找到折叠的步骤。例如， 需要求解方程来找到折叠某条线段的正确角度。
折纸艺术中经常使用各种几何形状，如三角形、正方形、菱形等， 这些形状在折叠过程中会产生数学美感。
轴对称与中心对称
许多折纸作品具有轴对称或中心对称的特点，这种对称性体现了数 学的和谐与平衡。
黄金分割
在折纸艺术中，黄金分割比例的应用可以使作品更加协调和美观， 这种比例关系体现了数学的韵律和美感。
折纸艺术中的数学思维
折纸游戏激发数学兴趣
通过折纸游戏，学生可以在玩乐中学 习几何、对称等数学概念，提高对数 学的兴趣。
辅助教学工具
折纸可以作为教学工具，帮助学生理 解抽象的数学概念，如函数、微积分 等。
折纸艺术与其他学科的交叉研究
折纸与物理学
折纸艺术在物理学的弹性、动力 学等领域有应用，可以为相关问 题提供直观模型。
利用代数公式、定理和计算机代数系统等手段，解决折纸中的代 数问题。
折纸中的拓扑问题实例
拓扑问题
连通性、紧致性等
问题描述
在折纸过程中，如何通过拓扑手段研究折叠后图形的连通性、紧致 性和同胚等问题。
解决方式
利用拓扑定理、公式和计算机模拟等手段，解决折纸中的拓扑问题。
06
折纸艺术与数学的未来发 展
折纸艺术在数学教育中的应用
参数的优化
在折纸过程中，为了达到最佳的折叠效果，需要对各种参数进行优 化，如折叠角度、长度和顺序等。这涉及到代数中的优化问题。
通过折叠纸张，可以创造出各种空间几何形状，如球体、 圆柱体和棱柱等。这涉及到对空间几何知识的理解和应用。
折痕的几何性质
折纸过程中形成的折痕具有特定的几何性质，如长度、角 度和形状。研究这些折痕的性质有助于理解折纸的几何原 理。
折纸与代数问题
方程的求解
在折纸过程中，有时需要通过解代数方程来找到折叠的步骤。例如， 需要求解方程来找到折叠某条线段的正确角度。
折纸艺术中经常使用各种几何形状，如三角形、正方形、菱形等， 这些形状在折叠过程中会产生数学美感。
轴对称与中心对称
许多折纸作品具有轴对称或中心对称的特点，这种对称性体现了数 学的和谐与平衡。
黄金分割
在折纸艺术中，黄金分割比例的应用可以使作品更加协调和美观， 这种比例关系体现了数学的韵律和美感。
折纸艺术中的数学思维
折纸游戏激发数学兴趣
通过折纸游戏，学生可以在玩乐中学 习几何、对称等数学概念，提高对数 学的兴趣。
辅助教学工具
折纸可以作为教学工具，帮助学生理 解抽象的数学概念，如函数、微积分 等。
折纸艺术与其他学科的交叉研究
折纸与物理学
折纸艺术在物理学的弹性、动力 学等领域有应用，可以为相关问 题提供直观模型。
利用代数公式、定理和计算机代数系统等手段，解决折纸中的代 数问题。
折纸中的拓扑问题实例
拓扑问题
连通性、紧致性等
问题描述
在折纸过程中，如何通过拓扑手段研究折叠后图形的连通性、紧致 性和同胚等问题。
解决方式
利用拓扑定理、公式和计算机模拟等手段，解决折纸中的拓扑问题。
06
折纸艺术与数学的未来发 展
折纸艺术在数学教育中的应用
参数的优化
在折纸过程中，为了达到最佳的折叠效果，需要对各种参数进行优 化，如折叠角度、长度和顺序等。这涉及到代数中的优化问题。
数学折纸-PPT课件
《折纸》
异分母分数加减法
回顾：
把下面每组中的两个分数通分
1 和2 35
3 和7 4 20
5 和3 12 8
1 3
=
5 15
3 4
=
15 20
5 12
=
10 24
2 5
=
6 15
7 20
=
7 20
3 8
=
9 24
算一算：
1 23
5
+
=
5
5
4 – 1 =3 7 77
3 25 +=
7 77
11
11 –
=0
15 15
1 56 2
+
=
=
9 99 3
7 –5
2
=
1
=
12 12 12 6
同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。
同学们在手工课上折纸，小红用了一张纸的 1 折一只小船，
小明用同一张纸的 1 折一只小鸟。
2
4
（1）他俩一共用了这张纸的几分之几？
（2）小红比小明多用了这张纸的几分之几？
同学们在手工课上折纸，小红用了一张纸的 1 折一只小船，
怎样计算分母不 同的分数加减？ 与同学进行交 流。
91 10 6
27 5 = 30 30
22 = 30
11 = 15
分母不同分数加减法的计算方法
• 分母不同的分数相加减，要先 （通分）， 化成（相同 ）的 分母，再加减。计算结果能约 分的，要约成最（ 简 ）分数。
不同分母的分数加减法解题步骤：
一看： 看清题目 二通： 通分 三算： 计算 四约： 结果能约分的要约成最简分数 五化：结果是假分数的要化成带分数或整数
异分母分数加减法
回顾：
把下面每组中的两个分数通分
1 和2 35
3 和7 4 20
5 和3 12 8
1 3
=
5 15
3 4
=
15 20
5 12
=
10 24
2 5
=
6 15
7 20
=
7 20
3 8
=
9 24
算一算：
1 23
5
+
=
5
5
4 – 1 =3 7 77
3 25 +=
7 77
11
11 –
=0
15 15
1 56 2
+
=
=
9 99 3
7 –5
2
=
1
=
12 12 12 6
同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。
同学们在手工课上折纸，小红用了一张纸的 1 折一只小船，
小明用同一张纸的 1 折一只小鸟。
2
4
（1）他俩一共用了这张纸的几分之几？
（2）小红比小明多用了这张纸的几分之几？
同学们在手工课上折纸，小红用了一张纸的 1 折一只小船，
怎样计算分母不 同的分数加减？ 与同学进行交 流。
91 10 6
27 5 = 30 30
22 = 30
11 = 15
分母不同分数加减法的计算方法
• 分母不同的分数相加减，要先 （通分）， 化成（相同 ）的 分母，再加减。计算结果能约 分的，要约成最（ 简 ）分数。
不同分母的分数加减法解题步骤：
一看： 看清题目 二通： 通分 三算： 计算 四约： 结果能约分的要约成最简分数 五化：结果是假分数的要化成带分数或整数
数学活动折纸做60°、30°、15°的角ppt课件
3
动手实践，寻找规律
在一张矩形的纸片上，怎么折出一个 45°的角？
4
动手实践，寻找规律
你能通过折纸的方法，折出30°的角吗？ 怎样折？
5
证明折法，反思提高
证明：连接AN
∵四边形AEFD与四边形BEFC关于EF对称
∴AN=BN
∵△ABM与△NBM关于BM轴对称
∴AB=NB，∠1=∠2
A
M
D
∴AB=AN=NB
∴AB=AD。
∵CD=BC，∴BC1= BD。
又∵BC= 1AB， 2 ∴AB=BD2。∴AB=AD=BD，
B
C
D
即△ABD是等边三角形。
∴∠B=60°。在Rt△ABC中，∠BAC=30°。
12
关注知识,经验,方法的积累和提高,是前进的推进器.
几
何
的
三
如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E、F分别是 种
推论：BC : AC : AB 1 : 3 : 2
10
反过来怎么样——逆向思维 命题“在直角三角形中, 如果一个锐角等于30°,那 么它所对的直角边等于斜边的一半。”反过来怎么表述？ 与小组同学交流。 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半， 那么这条直角边所对的锐角等于30°。 它是真命题吗？如果是，请你证明它。
A
M
D
E
G
N
F
12
B3
C
8
在矩形纸片中剪出等边三角形， 怎样剪出的等边三角形才是最大的？
A
M
D
E
G
N
F
B
H
C
9
B
有30°的直角三角形的性质 知识回顾
动手实践，寻找规律
在一张矩形的纸片上，怎么折出一个 45°的角？
4
动手实践，寻找规律
你能通过折纸的方法，折出30°的角吗？ 怎样折？
5
证明折法，反思提高
证明：连接AN
∵四边形AEFD与四边形BEFC关于EF对称
∴AN=BN
∵△ABM与△NBM关于BM轴对称
∴AB=NB，∠1=∠2
A
M
D
∴AB=AN=NB
∴AB=AD。
∵CD=BC，∴BC1= BD。
又∵BC= 1AB， 2 ∴AB=BD2。∴AB=AD=BD，
B
C
D
即△ABD是等边三角形。
∴∠B=60°。在Rt△ABC中，∠BAC=30°。
12
关注知识,经验,方法的积累和提高,是前进的推进器.
几
何
的
三
如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E、F分别是 种
推论：BC : AC : AB 1 : 3 : 2
10
反过来怎么样——逆向思维 命题“在直角三角形中, 如果一个锐角等于30°,那 么它所对的直角边等于斜边的一半。”反过来怎么表述？ 与小组同学交流。 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半， 那么这条直角边所对的锐角等于30°。 它是真命题吗？如果是，请你证明它。
A
M
D
E
G
N
F
12
B3
C
8
在矩形纸片中剪出等边三角形， 怎样剪出的等边三角形才是最大的？
A
M
D
E
G
N
F
B
H
C
9
B
有30°的直角三角形的性质 知识回顾
图形的运动(一)折一折剪一剪 二年级数学下册人教版PPT课件
2 拿正方形的纸，按下面的方式折一折、剪一剪。指出不同剪法 展开后分别得到的图案。
剪法1得到图案（2），剪法2得到图案（1）。
3 下面哪幅图是通过对折的方法剪出来的？在那个图下面的（ ）里 画“√”。
√
√
4 按照下面的剪法，剪出来的是哪幅图？圈一圈。
5 右边的图案分别是从左边的哪张纸上剪下来的？连一连。
7 帮助咕咕回家。
方法一：咕咕先向（右）走（ 5） 格，再向（下）走（ 4）格。
方法二：咕咕先向（下）走（ 4）格， 再向（右）走（ 5）格。
1 选择题。
（1）下列英文字母中，是轴对称图形的是（ B） A、S B、H C、P D、Q
（2）下列各种图形中，不是轴对称图形的是（ A）
（3）下面各图形中，（D）不能通过图①平移或旋转得到。
完整课件
直接使用
1.通过练习，进一步认识轴对称图形，感受平移和旋转在日常生活中 的应用。
2.会用所学的图形拼出图案，培养欣赏美的能力。 3.发展动手操作能力、空间想象力和创造力。
【重点】感受图形自身蕴含的丰富的形态美。 【难点】引导学生发挥想象，打开思路进行创作。
轴对称图形及对称轴 画出轴对称图形的对称轴。
在得到的花边中，相邻的两个图案是对称 的；相间的两个图案可以通过平移获得。 (2)观察整条花边，左起和右起的三个图案各为一组，这两组图案有 什么关系？
在得到的花边中，这两组图案是对称的。
人教版 数学 二年级 下册
第 4课时 巩固练习
图形的运动（一）
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第十八章 平行四边形 单元复习专题折纸中的数学课件-2023-2024学年人教版 数学八年级下册
人教版 八年级数学 下册
第十八章 平行四边形单元复习专题
折纸中的数学
创设情境 探究活动 学以致用 中考链接 折纸科学 归纳总结
1.你们小时候折过纸吗？都折过些什么？ 2.不用任何作图工具，利用矩形纸，怎么折出45°角？
3.用一张矩形纸片你还能折出哪些度数的角？
创设情境 探究活动 学以致用 中考链接 折纸科学 归纳总结
现有一张矩形的彩纸ABCD，已知AD上有一点E，请你通过 折纸的方法，做等边△EMN，使得点M、N在BC上.
用 一 用
A
E
D
用
一
用
P
1
2
B
M
F
N
C
创设情境 探究活动 学以致用 中考链接 折纸科学 归纳总结
六、知识运用
例1：如图，将正方形纸片对折，折痕为EF，展开后继 续折叠，使点A落在EF上，折痕为GB，求∠AGB的度数。
追问：120°，150°角呢？你还能得到哪些度数的角？
一 想
展 一 展
证 一 证 延一延一 延延
创设情境 探究活动 学以致用 中考链接 折纸科学 归纳总结
在矩形纸片中剪出等边三角形，怎样剪出的等边三角形才是最大的？
用
A
M
D
一 用
用
一
E
G
N
F
用
1
2
B
H
C
创设情境 探究活动 学以致用 中考链接 折纸科学 归纳总结
一
延
创设情境 探究活动 学以致用 中考链接 折纸科学 归纳总结
问题4：哪些同学能代表小组上台展示方案？
A
法一：
E
△ABN B
A
D
H
第十八章 平行四边形单元复习专题
折纸中的数学
创设情境 探究活动 学以致用 中考链接 折纸科学 归纳总结
1.你们小时候折过纸吗？都折过些什么？ 2.不用任何作图工具，利用矩形纸，怎么折出45°角？
3.用一张矩形纸片你还能折出哪些度数的角？
创设情境 探究活动 学以致用 中考链接 折纸科学 归纳总结
现有一张矩形的彩纸ABCD，已知AD上有一点E，请你通过 折纸的方法，做等边△EMN，使得点M、N在BC上.
用 一 用
A
E
D
用
一
用
P
1
2
B
M
F
N
C
创设情境 探究活动 学以致用 中考链接 折纸科学 归纳总结
六、知识运用
例1：如图，将正方形纸片对折，折痕为EF，展开后继 续折叠，使点A落在EF上，折痕为GB，求∠AGB的度数。
追问：120°，150°角呢？你还能得到哪些度数的角？
一 想
展 一 展
证 一 证 延一延一 延延
创设情境 探究活动 学以致用 中考链接 折纸科学 归纳总结
在矩形纸片中剪出等边三角形，怎样剪出的等边三角形才是最大的？
用
A
M
D
一 用
用
一
E
G
N
F
用
1
2
B
H
C
创设情境 探究活动 学以致用 中考链接 折纸科学 归纳总结
一
延
创设情境 探究活动 学以致用 中考链接 折纸科学 归纳总结
问题4：哪些同学能代表小组上台展示方案？
A
法一：
E
△ABN B
A
D
H
18.4数学活动-折纸做60°-30°-15°的角 5
在矩形中寻找线段间的2倍关系
A
D
E
F
B
C
AB=2AE=2BE
DC=2DF=2CF
三、动手操作 合作探究
利用上面得出的边长关系如何折出斜边等于直角边2倍 的直角三角形？
A
D
E
O（A） F
R
D
A
R
D
O（A）
F
E
O F
B
C
B
C
B
C
四、大胆猜想 理论验证
证你明能：说连出接以A上O 操作的依据吗？
∵四边形AEFD与四边形BEFC关于EF对称
五、集思广益 方法共享
A
D
M
N
E
F
P
Q
B
C
BE=2ME
五、集思广益 方法共享
A
D
A
D
A
D
M
O（B）
N
O（B） M
N
O M
N
E
F
E
F
E
F
P
Q
Q
P
Q
B
C
C
B
R
R
C
六、学以致用 举一反三
你能找出图中所有30°和60°的角吗？
A
R
D
EH
O
F
B
C
A
D
O
M
N
E
F
P
Q
B
C
R
六、学以致用 举一反三
用矩形卡片如何剪出等边三角形？
A
R
D
A
O
M
O
E
F
E
D
浙教版数学九年级上册教学课件：课题学习 有关正多边形的折纸 (共12张PPT)精品
E
变式跟进：通过以上例题的启发，你能解决下题
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D, ∠BAC= BD=2，CD=3，求△ABC的面积。（只需添 助线，不需解答过程）
E
• 题组四：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点 D ,BE⊥AC于点E, ∠BAC=45°, BD=2，CD=3，求 △ABC的面积。
E
G
例2：如图，△ABC内接于⊙O， ∠BAC=45°,AD⊥BC于点D, BD=2，CD 求△ABC的面积.
F E
变式跟进：通过以上例题的启发，你能解决下
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D, ∠BAC= BD=2，CD=3，求△ABC的面积。（只需添 辅助线，不需解答过程）
O
在△45°，求 △ACD的面积。
仅供学习交流！
利用数学模型解题
例1：如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上， 点F在边BC上，AE=2，CF=3，且∠EDF=45°， 求△DEF的面积。
F'
变式跟进：通过以上例题的启发，你能解决下题 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D, ∠BAC=45°， BD=2，CD=3，求△ABC的面积。（只需添出辅助 不需解答过程）
• 变式跟进：通过以上例题的启发，你能解决下 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D, ∠BAC=45°,
CD=3，求△ABC的面积。（只需添出辅助线， 解答过程）
E
• 通过以上题组的解决，谈谈你的想法。
谢谢！
墨子，(约前468～前376)名翟，鲁人 ，一说 宋人， 战国初 期思想 家，政 治家， 教育家 ，先秦 堵子散 文代表 作家。 曾为宋 国大夫 。早年 接受儒 家教育 ，后聚 徒讲学 ，创立 与儒家 相对立 的墨家 学派。 主张•兼 爱”“ 非攻“ 尚贤” “节用 ”，反 映了小 生产者 反对兼 并战争 ，要求 改善经 济地位 和社会 地位的 愿望， 他的认 识观点 是唯物 的。但 他一方 面批判 唯心的 宿命论 ，一方 面又提 出同样 是唯心 的“天 志”说 ，认为 天有意 志，并 且相信 鬼神。 墨于的 学说在 当时影 响很大 ，与儒 家并称 为•显 学”。 《墨子》是先秦墨家著作，现存五 十三篇 ，其中 有墨子 自作的 ，有弟 子所记 的墨子 讲学辞 和语录 ，其中 也有后 期墨家 的作品 。《墨 子》是 我国论 辩性散 文的源 头，运 用譬喻 ，类比 、举例 ，推论 的论辩 方法进 行论政 ，逻辑 严密， 说理清 楚。语 言质朴 无华， 多用口 语，在 先秦堵 子散文 中占有 重要的 地位。 公输，名盘，也作•“般”或•“班 ”又称 鲁班， 山东人 ，是我 国古代 传说中 的能工 巧匠。 现在， 鲁班被 人们尊 称为建 筑业的 鼻祖， 其实这 远远不 够．鲁 班不光 在建筑 业，而 且在其 他领域 也颇有 建树。 他发明 了飞鸢 ，是人 类征服 太空的 第一人 ，他发 明了云 梯(重武 器)，钩 钜(现 在还用) 以及其 他攻城 武器， 是一位 伟大的 军事科 学家， 在机械 方面， 很早被 人称为 “机械 圣人” ，此外 还有许 多民用 、工艺 等方面 的成就 。鲁班 对人类 的贡献 可以说 是前无 古人， 后无来 者，是 我国当 之无愧 的科技 发明之 父。
变式跟进：通过以上例题的启发，你能解决下题
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D, ∠BAC= BD=2，CD=3，求△ABC的面积。（只需添 助线，不需解答过程）
E
• 题组四：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点 D ,BE⊥AC于点E, ∠BAC=45°, BD=2，CD=3，求 △ABC的面积。
E
G
例2：如图，△ABC内接于⊙O， ∠BAC=45°,AD⊥BC于点D, BD=2，CD 求△ABC的面积.
F E
变式跟进：通过以上例题的启发，你能解决下
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D, ∠BAC= BD=2，CD=3，求△ABC的面积。（只需添 辅助线，不需解答过程）
O
在△45°，求 △ACD的面积。
仅供学习交流！
利用数学模型解题
例1：如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上， 点F在边BC上，AE=2，CF=3，且∠EDF=45°， 求△DEF的面积。
F'
变式跟进：通过以上例题的启发，你能解决下题 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D, ∠BAC=45°， BD=2，CD=3，求△ABC的面积。（只需添出辅助 不需解答过程）
• 变式跟进：通过以上例题的启发，你能解决下 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D, ∠BAC=45°,
CD=3，求△ABC的面积。（只需添出辅助线， 解答过程）
E
• 通过以上题组的解决，谈谈你的想法。
谢谢！
墨子，(约前468～前376)名翟，鲁人 ，一说 宋人， 战国初 期思想 家，政 治家， 教育家 ，先秦 堵子散 文代表 作家。 曾为宋 国大夫 。早年 接受儒 家教育 ，后聚 徒讲学 ，创立 与儒家 相对立 的墨家 学派。 主张•兼 爱”“ 非攻“ 尚贤” “节用 ”，反 映了小 生产者 反对兼 并战争 ，要求 改善经 济地位 和社会 地位的 愿望， 他的认 识观点 是唯物 的。但 他一方 面批判 唯心的 宿命论 ，一方 面又提 出同样 是唯心 的“天 志”说 ，认为 天有意 志，并 且相信 鬼神。 墨于的 学说在 当时影 响很大 ，与儒 家并称 为•显 学”。 《墨子》是先秦墨家著作，现存五 十三篇 ，其中 有墨子 自作的 ，有弟 子所记 的墨子 讲学辞 和语录 ，其中 也有后 期墨家 的作品 。《墨 子》是 我国论 辩性散 文的源 头，运 用譬喻 ，类比 、举例 ，推论 的论辩 方法进 行论政 ，逻辑 严密， 说理清 楚。语 言质朴 无华， 多用口 语，在 先秦堵 子散文 中占有 重要的 地位。 公输，名盘，也作•“般”或•“班 ”又称 鲁班， 山东人 ，是我 国古代 传说中 的能工 巧匠。 现在， 鲁班被 人们尊 称为建 筑业的 鼻祖， 其实这 远远不 够．鲁 班不光 在建筑 业，而 且在其 他领域 也颇有 建树。 他发明 了飞鸢 ，是人 类征服 太空的 第一人 ，他发 明了云 梯(重武 器)，钩 钜(现 在还用) 以及其 他攻城 武器， 是一位 伟大的 军事科 学家， 在机械 方面， 很早被 人称为 “机械 圣人” ，此外 还有许 多民用 、工艺 等方面 的成就 。鲁班 对人类 的贡献 可以说 是前无 古人， 后无来 者，是 我国当 之无愧 的科技 发明之 父。
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E
F
D
C
折纸中的数学问题
5
例1：将矩形ABCD沿对角线AC折叠（如图3），如果 AB=6 BC= 8 （2）连接DE,求DE 的长
提示：利用相似求解
E
A
F
D
B
C
折纸中的数学问题
6
练习1：将矩形ABCD沿对角线AC折叠（如图3），如 果AB=6 BC= 8 （3）以AB在直线为X轴，以BC所 在直线为Y轴，O和B重合，求E点坐标。
12折纸中的数学问题
10
Bye Bye
折纸中的数学问题
11
性：对称点之间的连线必被折痕（对称轴）垂直平分
折纸中的数学问题
3
练习：如果将一张长方形纸片，沿
E
着对角线折起一个角，使C点落在 E处，BE与AD相交与点O（如图2）
A
O
D
这时我们能观察到什么呢？请说明
理由。
结论： ∠E=∠C, (动中有静)
∠EDB=∠BDC,
∠EBD=∠CBBD
C
∠ODB=∠CBD=∠EDB,∠AOB=∠EOD,∠BDC= ∠ABD=∠EDB, ∠OBD=∠ODB, ∠ABO=∠EDO （各类基本图形）
折纸中的数学问题
1
折纸中的数学问题
2
E
AF
D
A
D
B
A (C′)
D′ C N D
O
C ′B E C
A
B
F
M B
C C
D E
折叠问题的实质是图形的轴对称变换，所以在解决折叠问
题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质．根据轴
对称的性质可以得到：（1）轴对称是全等变换：折叠重
合部分一定全等（有边、角的相等）；（2）点的轴对称
E
提示：∠DCF=∠EAF, 两角的三角函数值相 等，利用三角函数值 求出AM和EM
A
F
D
M
0
B
C
折纸中的数学问题
7
小结：折叠问题的实质是图形的轴对称变换，
所以在解决折叠问题时可以充分运用轴 对称的思想和轴对称的性质．根据轴对 称的性质可以得到：（1）轴对称是全等 变换：折叠重合部分一定全等（有边、 角的相等）；（2）点的轴对称性：互相 重合两点（对称点）之间的连线必被折 痕（对称轴）垂直平分（有Rt△，可应 用勾股定理得方程或利用三角函数求 解）．
AB=CD=ED, AD=BC=BE, △ABD△≌△BDC≌△BED △ABO≌△EOD
AE//BD OA=OE,OB=OD
折纸中的数学问题
4
例1：将矩形ABCD沿对角线AC折叠（如图3），如果 AB=6 BC= 8 （1）求△AFC的面积.
∵在矩形ABCD中，∠B=90°,
根据勾股定理可得AC= AB2BC26282
E/F折叠，使O点落在AB边上的D/点，过D/作D/G∥AO交E/F于T
点，交OC于G点，求TG=AE/
y D/
A
图2的一般性是矩形纸片折叠时的折痕过线 B 段OC上的一点，
E/ T
OGF 图2
X C
（3）在（2）的条件下设T（x,y），探求y与x之间的函数 关系式，并指出自变量x的取值范围
y1x23(2x6)
AD
在RtAED中，AD 2，DE OE，AE 6OE
E
由勾股定理，O得 E2 22 （6OE）2，解得
OE10，所以E（0，10）
3
3
O
图3
B
C
x
折纸中的数学问题
9
拓展提高：将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点,C在x 轴上,OA=6,OC=10.
（2）如图2，在OA、OC边上选取适当的点E/、F，将△E/OF沿
折纸中的数学问题
8
拓展提高：将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点,C在x 轴上,OA=6,OC=10.
（1）如图1，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O落在AB 边上的D点，求E点的坐标。 分析；图1的特殊性是矩形纸片折叠时的折痕过点C
在RtBCD中，BC6，DCOC10，
y
所以BD8。
=10由题意可得AE=CD ∠E=∠D ∠EFA=∠DFC
A
∴△AEF≌△CDF ∴EF=FD AF =FC
AB=AE=6 设EF=X EC=8－X
在RT△#43;62 X=7/4 CE=25/4
S△AFC=S △ADC－S △FDC
=24－21/2=75/4