折纸中的数学
折纸中的数学PPT学习教案
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猜一 可以算猜得, 按每张纸的厚度为0.06mm计算,
这个厚度相当于绕地球赤道大约1.65圈 （地球半径6.37×103km ）(★“很大的数”, 通过折纸：可使我们得到现实中难以想像
的“很小的数”和“很大的数”．
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以增加纸的厚度） ⑵为什么要增加纸的厚度呢？（太薄的纸无法测
量） ⑶折叠得厚点好测量．请问你折叠了几次？（纸
变为多少层？） 提醒折纸中应注意的问题： ①把纸按紧，尽量减少纸间的空隙； ②尽量多折叠几次，这样能得到较准确的结果．
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一张小纸结的：厚度，如果用刻度尺直接测量， 我们无法读出它的厚度．所以，同学们在 生活中做任何事都要动脑筋．
折纸中的数学
会计学
1
折角
如何用你手中的长方形纸片折出以下角？ 45°的角 30°的角 60°的角 动手折一折，说出你的方法。
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学具准 ①长方形备薄纸片3张
②刻度尺 ③计算器 ④剪刀、小刀
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㈠活动体验——折一 情境1. 对一张长折方：形纸片作适当的折叠，
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第n次操作后余下纸片的面积为 ＞0 折叠次数 1 2 3 4 … n
扔掉纸片的 面积
…
(剩下的纸片请大家把它放到自己口袋里)
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⑵①请同学们把扔掉的纸片按 原图位置放回（重新拼图）；
②观察你所拼出的图形，你能 发现什么？
（可以讨论，“写”在纸上）
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课后作 想一想；业用一张长方形的纸片如何折出
75°的角？
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折叠数学练习题
折叠数学练习题一、折纸问题折纸问题是一个有趣而又富有挑战性的数学问题。
假设我们有一张纸，初始状态下它是平铺在桌子上的。
现在我们要对这张纸进行一系列的折叠操作。
1. 折叠一次：将纸的左下角折叠到右上角。
这样纸上面会有两个角，下面会有一个角。
2. 折叠两次：再将纸的左下角折叠到右上角。
这样纸上面会有四个角，下面会有一个角。
3. 折叠三次：再将纸的左下角折叠到右上角。
这样纸上面会有八个角，下面会有一个角。
以此类推，我们可以发现每次折叠，纸上面的角的数量都是前一次折叠的两倍。
假设我们折叠纸的次数为n，那么最终纸上面的角的数量是2^n。
二、应用折纸问题不仅仅是一个数学问题，它还有许多实际应用。
1. 地图折叠：在地图制作过程中，为了将较大的地图装入更小的空间，常常需要对地图进行折叠。
折纸问题可以帮助我们计算折叠后地图上角的数量，从而设计更紧凑的地图。
2. 空间展开：在一些工程领域，为了研究或测试某些结构的性质，需要将其展开成平面状态进行观察。
折纸问题可以帮助我们计算展开后的结构上角的数量，从而为工程设计提供参考。
3. 材料优化：通过折纸问题的研究，我们可以探索如何将一定面积的材料最大限度地利用起来。
根据角的数量，我们可以计算出所需材料的面积，并进行优化。
三、拓展问题除了折纸问题，还有一些与之相关的数学拓展问题。
1. 折纸长度：相信许多人在小时候都玩过将一张长方形纸张对折，然后剪开，得到两个等长的矩形纸张的游戏。
那么问题来了，如果我们有一张长方形纸张，以及一段给定的长度，该如何通过折叠来得到这段给定长度的纸张呢？这个问题可以通过折纸问题的原理进行解答。
2. 折纸形状：如果我们将一张纸对折多次，能否得到一个特定的形状？比如三角形、正方形或者五角星等。
这个问题可以帮助我们更深入地理解折纸问题，并进行进一步的研究。
折纸数学练习题就介绍到这里，希望能够帮助你对折纸问题有一个更深入的理解，并激发你对数学的兴趣和探索欲望。
折纸中的数学原理
折纸是一门具有深厚数学基础的艺术形式，通过运用数学原理和几何学概念，可以创作出各种独特的折纸作品。
折纸是一种结合几何学和数学原理的艺术和手工技巧。
在折纸的过程中，涉及到很多数学概念和原理。
1.1几何学：折纸中使用的几何概念包括点、直线、角度、比例、相似三角形等。
通过几何学原理，可以实现各种复杂的折纸形状和结构。
1.2尺规作图：在折纸中，通常需要按照一定的比例和尺寸来进行折叠，这涉及到尺规作图中的标尺和尺子等工具，以及画圆规等几何工具。
2.1数学计算：在一些复杂的折纸设计中，需要进行数学计算来确定各个部分的尺寸和位置，以确保最终的折纸作品符合设计要求。
2.2对称性：对称性在折纸中非常重要，通过对称性原理可以实现各种独特的折纸形状和结构，增加折纸作品的美感和艺术性。
折纸与数学简介
折纸与数学简介篇一：数学与折纸数学与折纸我们中的大多数人都有过折纸的经历，只是折叠后便收了起来．只有少数人折纸，是为了研究其间所揭示的数学思想．折纸是一项教育与娱乐两者兼备的活动．连L·卡洛尔也是一位折纸的热心者．虽然折叠纸张超越了许多文化，但日本人却把它作为一种交谊的途径，并通过普及和发展，使之成为一门称之为“折纸”的艺术．纸张折出的一些数学形体当折叠纸张的时候，很自然地会出现许多几何的概念．诸如：正方形、矩形、直角三角形、全等、对角线、中点、内接、面积、梯形、垂直平分线、毕达哥拉斯定理及其他一些几何和代数概念．下面是一些折纸的例子，它说明了上述概念的运用．Ⅰ)从一个矩形式样的纸张，作成一个正方形(下图左)．Ⅱ)由一张正方形的纸张，变成四个全等的直角三角形(上图右)．Ⅲ)找出正方形一条边的中点(下图右)．Ⅳ)在正方形的纸中内接一个正方形(下图左和中)．Ⅴ)研究纸的折痕，注意内接正方形的面积是大正方形面积的．Ⅵ)拿一个正方形纸张折叠，使折痕过正方形中心，便会构成两个全等的梯形(下图左)．Ⅶ)把一个正方形折成两半，那么折痕将成为正方形边的垂直平分线(下图右)．Ⅷ)证明毕达哥拉斯定理．如右图折叠正方形纸：c=正方形ABCD的面积．a=正方形FBIM的面积．b=正方形AFNO的面积．由全等形状相配得：正方形FBIM的面积=△ABK的面积．又 AFNO的面积=BCDAK的面积(此即正方形ABCD除△ABK外剩余部分的面积)．这样，a＋ b= c 222222Ⅸ)证明三角形内角和等于180°．取任意形状的三角形，并沿图示的点划线(横的为中位线)折叠a°＋b°＋c°＝180°——它们形成一条直线．Ⅹ)通过折切线构造抛物线．程序：——在离纸张一边一两英寸的地方，设置抛物线的焦点．如图所示的方法，将纸折20－30次．所形成的一系列折痕，便是抛物线的切线，它们整体地勾画出曲线的轮廓．篇二：探究折纸中的数学探究折纸中的数学教学目标（1）通过折纸理解垂直和平行的定义和相关性质；体会折纸中的数学思想，从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。
折纸中的数学教学设计
折纸中的数学教学设计教学目标：1.学生能够了解折纸的基本概念和原理；2.学生能够通过折纸活动学习数学概念和解决问题的方法；3.学生能够培养数学思维和创造力。
教学步骤：第一步：引入知识（10分钟）教师可以通过引导学生进行简单的折纸活动，如将一张纸对折、三角形折叠等，让学生亲身体验折纸的乐趣，并引导学生思考折纸背后的数学原理。
第二步：讲解数学概念（15分钟）教师对于折纸的数学原理进行简要讲解，包括平行线、垂直线、相似形状、对称性等概念，并且通过具体的折纸实例进行解释和说明。
第三步：数学问题解决（20分钟）教师提供一些折纸问题，让学生通过折纸来解决。
例如，学生可以用一张纸折叠出一个正方形、一个圆、一个等边三角形等，或者通过折纸来计算一些长度、面积和体积等。
第四步：创造性折纸（20分钟）教师鼓励学生进行创造性的折纸活动。
学生可以尝试折叠一些创意的形状，如动物、植物等，并解释他们所用到的数学原理和方法。
第五步：讨论和总结（15分钟）教师和学生一起讨论折纸中涉及的数学概念和解决问题的方法，并总结学生在这个过程中学到的知识和经验。
扩展活动：1.学生可以进一步研究折纸与数学之间的关系，如研究折纸在几何学、代数学和概率统计学中的应用。
2.学生可以将折纸与其他学科进行结合，如折纸与艺术、折纸与物理等，以拓宽他们的知识面和视野。
评估方式：1.学生解答课堂上提供的折纸问题；2.学生进行创造性折纸活动，并解释数学原理；3.学生参与讨论并能够总结所学的知识和经验。
教学资源：1.纸张；2.折纸指南；3.相关的数学问题和知识点。
注意事项：1.鼓励学生亲身参与折纸活动，培养他们的动手能力和实践能力；2.引导学生思考折纸背后的数学原理，并能够将其应用到解决问题中；3.培养学生的数学思维和创造力，鼓励他们提出自己的想法和解决方法。
折纸与数学
折纸与数学折纸是一项源远流长的手工艺活动，也是一门结合了数学原理的艺术。
在中国古代，折纸被广泛应用于礼仪、日常生活和儿童教育等方面。
而随着时间的推移，折纸的技巧和方法也得到了不断的发展和创新。
折纸需要仔细测量、计算和准确的折叠技巧。
折纸作品通常由一个正方形的纸张开始，通过折叠、弯曲和压痕等方式构成各种形状。
这种数学化的过程需要艺术家们掌握几何学、比例和对称等数学原理。
在折纸过程中，艺术家需要根据需要确定每个折痕的位置、角度和长度。
这就需要运用到比例和几何学中的知识。
折纸还可以通过数学的原理来推导折纸作品的理论，例如著名的六个折叠定理。
六个折叠定理是数学家Miura 和Uchida在1985年提出的，它们利用了几何学中的对称、相似和等边三角形等原理。
这些定理可以帮助我们理解和创造更复杂、更精致的折纸作品。
折纸还与拓扑学有着密切的联系。
拓扑学是数学中的一个分支，研究的是空间形状和性质的变化。
折纸本质上就是一种拓扑变换，通过折叠纸张，改变了纸张的形态和结构。
通过一系列的折叠，一个平面的纸张可以变成一个立体的物体，这种变换就涉及到了拓扑学中的连续映射和同胚等概念。
折纸还可以应用于解决一些实际问题，如地图折叠。
地图通常都是平面的，但当需要携带或存放时，平面的地图容易卷曲和破损。
通过折叠地图，可以将其变成一个小巧、便于携带的形状。
这需要折纸家考虑地图的尺寸、纸张的强度和折叠方式等因素，从而得到一个满足要求的地图折叠方案。
折纸与数学的结合不仅让折纸变得更加有趣和有挑战性，还可以帮助人们更好地理解和掌握数学的概念和原理。
通过折纸，我们可以感受到数学在艺术中的美妙和深刻。
折纸不仅是一种传统的手工艺活动，更是一种与数学相结合的创造性表达方式。
折纸中的数学奥秘
折纸中的数学奥秘六(3) 周航宇一丶问题的提出：在一次培训的课上，老师提出了一个有关折纸的问题：若将一张纸折成有7条折痕，则这张纸会被分成几个面？我思索了一下的说道：八个；老师又提到：那把A、B、C、D、E、F、G、H这八个字母依次填进去，然后顺着折痕重新折起来，请你回答从上往下数，第1、2、3、4、5、6、7、8层的字母各是什么？不能打开来看哦。
我猜了几个，有些对有些错，我想：这里有没有规律呢？那如果是16个面呢、32个面呢？如何快速而准确的说出每个字母所在的位置？若有规律那其中的奥秘又会是什么？回家后，立即找来笔与纸，开始思考。
二、分析与探索1、我找来纸，学着老师考我们的样折了7条折痕8个面（即将纸对折，再对折共对折了3次），并重新展开在每个面上依次都标上字母，然后再折回，把各层所在的位置标出来。
我仔细的搜索着这张纸里蕴藏的奥秘，我发现了:1+8=5+4=3+6=7+2。
也就说第一个字母和第二个字母所在的层数之和等于第三个字母和第四个字母所在的层数之和，也等于第五个字母和第六个字母所在的层数之和，等于第七个字母和第八个字母所在的层数之和。
那将纸折15条折痕16个面（即先将纸对折，再对折，再对折，再对折，共对折了4次）之后是否也符合这个规律？当层数标好之后，我非常的惊喜：1+16=9+8=5+12=13+4=11+6=7+10=15+2，从前依次往后，相临的二个字母所在的层数之和真的相等，而且它们的和等于总面数值再加1！2、经过多次试验我确信了这个规律，太高兴了！这样我就可以验算折纸的排列是否有误！同时我还发现了：第一个字母总是在第1层，最后一个字母总是在第2层；所以第二个字母就是最后一层，倒数第二个字母就是倒数第二层，也就是说他的位置不变。
同时又发现了：最中间的二个字母，前一字母总是在第4层，后一个字母总是在第3层。
临近的字母于是也可找到自己的层数。
3、我似乎找到了规律，于是赶紧拿了张稍长的纸，把它对折5次，折成了具有32个面的纸，赶紧标上字母，准备要验证一下自己的结论，在每个字母的下面准备标上它的层数位置，但只标好如下表的数据就犯难了：第5、第6层又是在哪个字母那里呢？还有第7、第8层……呢？刚刚发现规律的喜悦被新来的问题冲的一干二净。
长方形折纸勾股定理
长方形折纸勾股定理勾股定理是数学中的一项重要定理，它描述了直角三角形三边之间的关系。
而长方形折纸勾股定理则是一种有趣的方法，通过对长方形纸片的折叠，可以得到勾股定理的结果。
首先，我们需要一张长方形纸片，它的宽度为a，长度为b。
我们将纸张对折，使得宽度a与长度b重叠。
接下来，我们再次将纸张对折，使得宽度a与长度b再次重叠。
这时，我们可以看到纸张上出现了一个直角三角形。
其中，折叠处的边长a即为直角边，未折叠部分的边长b即为另一直角边，而纸张的对角线c则为斜边。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方之和。
因此，在这个长方形折纸的过程中，我们可以得出以下结论：c²=a²+b²这就是长方形折纸勾股定理的表达方式。
通过这种折纸方法，我们可以验证勾股定理的成立。
当然，我们也可以根据这个折纸方法，进行逆向推理，得出已知两直角边长时的斜边长。
这种折纸方法在数学教学中也有一定的应用。
在教授勾股定理时，我们可以通过这种形象的折叠过程，帮助学生更好地理解定理的含义。
同时，折纸还可以激发学生的兴趣，使学习变得更加生动有趣。
除了勾股定理，长方形折纸还可以应用于其他一些数学问题中。
例如，我们可以通过折纸来解决一些几何问题，或者进行数学推理。
这种折纸方法可以培养学生的空间想象力和逻辑思维能力，对于他们的数学素养的提升有着积极的影响。
总结来说，长方形折纸勾股定理是一种有趣且有效的方法，通过这种折纸方式，我们可以验证和应用勾股定理。
它不仅可以帮助学生更好地理解数学知识，还可以培养他们的创造力和思维能力。
在数学教学中，这种折纸方法是一种有益的辅助教学手段。
希望更多的人可以尝试这种方法，享受数学带来的乐趣。
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长为 半径的圆， 方程为（ ： ＋ 。 ） ’ ＋ 尹＝ ４ ａ ２ ， 设折痕１
与Ｐ Ｆ的交点为Ｎ ， 则 Ｎ的轨迹是以０为圆心， 半长
可 知△二 ０ ， 即 ｂ ２ ＋ ａ ２ ｋ ， 一 ｍ ２ ＝ ０ ， 又Ｍ （ ｘ ｏ ， Ｙ ｏ ） 在
半径的 圆， 方程为ｘ ２ ＋ ｙ ２ 二 ａ， ｚ 同 时 折痕ｌ 是椭 ｌ 上， ｍ＝ ＝ Ｙ ｏ 一 ｋ ｘ ｏ ， 所以ｂ ２ ＋ ａ 认 ， 一 （ Ｙ ｏ 一 ｋ ｘ ｏ ） ’ 二 ０ 轴为 即 （ 二 孟 一 ａ ２ ） ｋ ２ 一 ２ ｘ ｏ 九 ｋ ＋ 元一 ｂ ２ ＝ ０ （ ｘ ｏ ＃ 土 ａ ） ， 又 圆的切线 ．
ｃ ｏ ｓ ２ ０
一 （ ｘ ０ ２ 一 。 ， ） －
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２ ｂ ｀ ｂ ２ Ｉ ＭＦ ’ Ｉ ！ＭＦ Ｉ ｙ ｏ一ｋ ｘ 。二 了一 所 以 ｌ １＋ｃ ｏ ｓ ２ ０
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０ ． ｘ ｏ ｘ
． ｒ ｐ － 了 ＋
当ｌ 的
通过对上述折纸过程的分析、 探究及证明， 使学 生对椭圆的定义、 方程及性质有更深的理解， 起到了 学以致用， 理论联系实际的作用 ． 如果将此题中的 Ｆ点移到圆外， 折纸的方法相同， 就可以得到一道关 于双曲线的折纸操作题， 有兴趣的读者不妨先操作 再做更深人的探究 ．
直线与圆锥曲线位置关系肋又一回量Ａ别法
一 ４ ａ ２ （ ＋ａ ２ ｋ ２ ＿ｍ ４ ａ ２ ｂ ２ （ ｂ ２ ２ ）
２ ａ ２ ｋ ｍ ｘ＋ ａ ａ（ ２ ｍ ， 一 ｂ ２ ）＝ ０ ， ４ ａ ４ ｋ ２ ｍ ２ △ ｂ ２ ＋ ａ ２ ｋ ２ ） （ ｍ ， 一ｂ ２ ）＝
，‘
因为ｂ ２ ＋ ａ ２ ｋ ２ 一 ｍ ２
呱 ｖ ， ． ２
探究６ 若 Ｌ Ｆ ＇ Ｐ Ｆ二 ０ ， 则Ｓ Ｏ Ｍ Ｆ ； 二ｂ ＇ ｔ ａ ｎ ０ ．
证明 因为 Ｌ Ｆ＇ Ｐ Ｆ＝ ０ ， 所以Ｌ Ｆ ＇ Ｍ Ｆ ＝ ２ ０ ，
Ｉ ＦＴ １ ２ ＝ １ Ｍ Ｆ’ １ ２ ＋ Ｉ Ｍ Ｆ Ｉ ＇ 一 ２ １ Ｍ Ｆ‘ Ｉ Ｉ Ｍ Ｆ Ｉ
‘ ． 峥 Ａ 一 力
．
＝（ 一ａ＋
ｍｒ＋ Ｃ 几－
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ｃ ｍ ｚ ｎ － ｎ ２ ｒ ）
刀忿 十 ｎ
刀乙 十 ｎ
Ｄ Ｂ二（ 。 ＋ ｍ ２ ｎ － ｎ ２ ｒ ） ｍ ２ ＋ｎ ｎ ２ ， ｃ
ｍ ｒ ＋ｃ ｃ ｎ ２
＋ ｎ ２ ＊０ － ） ， 不 妨 设Ｆ （ 一 。 ， ０ ） ，
小的点．
‘ 探究 ２ 折痕上的 Ｍ点构成了椭圆， 而其余的 点都在椭圆外， 所以折痕所在的直线 ｌ 就是椭圆的 切线 ．
证明 由 图３ 可知Ｏ Ｆ’ 方程为（ ｘ ＋ ｃ ） ２ ＋ 尹
＝ ４ ａ ２ ， Ｆ （ ｃ ， ０ ） ， 设Ｐ （ ２ ａ ｃ ｏ ｓ ６ 一 ｃ ， ２ ａ ｓ ｉ ｎ Ｏ ） ， Ｎ为 Ｐ Ｆ 的中点， 则Ｎ （ ａ ｃ ｏ ｓ Ｏ ， ａ ｓ ｉ ｎ Ｏ ） ， 则ｌ 的方程为 ，＝
ｃ一ａ ｃ ｏ ｓ Ｏ
一 一 ￣ 一 下 厂 一 兮 一 一 ｘ ＋ —
’ａ 一ｃ ｃ ｏ ｓ ｏ， ＿
【 ｔ ｉ 尹 ｋ４ ｆ． Ｉ Ｃ Ｅ Ｇ ）。Ｉ Ｖ ｋ 二
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ａｓ ｉ ｎｎ ｓ ｉ ｎｅ
图１ 图２
一ａ ｃ ｏ ｓ Ｏ ａ ｓ ｉ ｎ Ｏ
如图３ ， 设圆 心Ｆ＇ ， 圆的半径为２ ａ ， Ｆ ＇ Ｆ＝２ ｃ ，
以Ｆ’ 凡 中点为坐标原点， Ｆ ＇ Ｆ 所在直线为ｘ 轴， 建立 直角坐标系， Ｐ为圆上一点， Ｐ Ｆ的垂直平分线 ｌ 交 Ｐ Ｆ’ 于点Ｍ， 我们来探求Ｍ的轨迹． 分析 连 Ｍ Ｆ ， 由垂直平分线的性质可知， Ｍ Ｐ ａ ＞Ｆ ‘ Ｆ ． 二Ｍ Ｆ ， 则Ｍ Ｆ‘ ＋ ＭＦ二Ｍ Ｆ ＋ＭＰ ＝２ 由椭 圆的定义可知， Ｍ 的轨迹是以Ｆ ， Ｆ‘ 为焦点的 椭圆， 其中长轴为 ２ ａ ， 焦距
， 爪 ＝一 一 叮 丁 兀不一 ， ‘ ａ Ｊ 刀乍 王刁 ／ ｊｙ
５Ｉ Ｉ Ｉ 口
＿＿ａ一 ｃ ｃ ｏ ｓ ｏ， Ａ ｌ － ， ａ － ＝ Ｔ － － ｕ ． ． 一二ｋ ｘ＋ｍ，
Ｙ二ｋ ｘ＋ｍ
与椭圆联立
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（ ａ ２ ｍ ２ ＋ ｂ ２ ｎ ２ ） ： ， ＋ ２ ａ ２ ｍ ｒ ｘ ＋ ａ ２ （ ｒ ， 一 ｂ ２ ｎ ２ ） 二 ０
其 判 别 式 △ 二 ４ ａ ２ ｂ ２ ｎ ２ （ ａ ２ ｍ Ｍ＋ ２。 ， 。 ， 一 ｒ ２ ）
２ ８
Ｄ Ｂ＝ 一 ａ ２ ＋ （ ＋（ 一 ｍ ｒ ２ ＋ ｃ ｎ ２ ） ２
ｎ 门 ＋ ｎ
ｃ ｍ ｎ 一 ｎｒ
ｍ ２ ＋ｎ ２
万方数据
中学数学杂志 ２ ０ ０ ８ 年第 ５ 期
Ｙ ｂ Ｏ ２ Ｙ 二 ， ‘ 可 类 比 以 圆 上 某 点 为 切 点 的 圆 的 切 线 方
程） ．
解 当ｌ 的斜率存在时， 设ｌ 的直线方程为Ｙ＝ ｋ ｘ ＋ ｍ， 与椭圆联立， 因为 ｌ 是椭圆的切线， 由探究 ２
壁就暗合了声学的传音原理． 、 探究５ 如果已知Ｆ ， Ｆ’ 为椭圆的焦点， Ｍ是椭 圆 上一点， 如图３ ， 现将Ｍ Ｆ 折起使Ｆ 点与Ｆ ＇ Ｍ延长 线上的 Ｐ点重合， 则 Ｐ的轨迹是以Ｆ‘ 为圆心， 长轴
湖南省常德市第六中学 ４ １ ５ ０ ０ ３ 彭世金
文【 １ ］ ， ［ ２ ］ 介绍了用向量法判定直线与圆锥 曲线位置关系的两种方法， 受文【 １ Ｊ ， ［ ２ 」 的启发， 笔 者发现直线与圆锥曲线位置关系的又一向量判别 法， 现介绍如下．
１ ） 若ｎ ００ ， 将１ 的方程与椭圆ｒ的 方程联Fra bibliotek， ｙ 并整理得
中学数学杂志 ２ ０ ０ ８ 年第 ５ 期
苏 角濒邓 候男称 簇 兜锣水 男扮９ 婆Ｌ 粼 召 名男尹
折纸中的数学
江苏省海门市包场高级中学 数学中折纸问题 ， 易于学生动手操作， 具有很 强的直观感， 趣味性强， 能培养学生空间想象能力， 是开展研究性学习的好素材， 这类探究 ・ 拓展题在 ２ ２ ６ １ ５ １ 王明飞 个椭圆？ 如图３ ， 设Ｍ‘ 是直线 ｌ 上不同于 Ｍ 的任一
新课改及高考中就经常出现， 因此， 在平时教学中就 要引起我们足够的重视 ， 下面就一道折纸问题来探 讨折纸中有趣的数学 ． 准备一张圆形纸片， 在圆内任取不同于圆心的 一点Ｆ ， 将纸片折起， 使圆周过点Ｆ （ 如图１ ） ， 然后将 纸片展开， 就得到一条折痕 ｌ （ 为了看清楚， 可把直 线ｌ 画出 来） ． 这样继续折去， 得到若干折痕． 观察 这些折痕围成的轮廓， 它们形成什么曲线？ 折许多条折痕就围成了如图２的一个椭圆， 我 们知道， 椭圆应该由点的轨迹来具体确定， 那究竟是 什么样的点构成了这个椭圆？
过Ｆ 且垂直于ｌ 的直线Ｆ Ｄ的 方程为：
定 理１ 设 椭 圆ｒ ： 气＋ 分 二 ， （ ａ ＞ ６ ＞ ” ， 的
左右两个顶点分别为Ａ ， Ｂ ， 一个焦点 Ｆ 在直线 ｌ 上的 射影为 Ｄ， 则
）（ Ｄ
１
２
ｎ ｘ 一 ｍ ｙ＋ｃ ｎ二０ ， 与直线ｌ 的方程联立可得
ｍ ｒ ＋ ｃ ｎ ． ， ｃ ｍ ｎ － ｎ ｒ ） ， 于是 ＋ｎ ｎ ｚ
＝ ＞ Ｓ Ａ Ｍ Ｆ ｝ Ｆ二于
ＩＭ Ｆ’ Ｉ Ｉ Ｍ Ｆ Ｉ ｓ ｉ ｎ ２ Ｂ二６ ２ ｔ ａ ｎ ｇ ．
斜率不存在时， 显然方程也满足上式 ．
探究 ４ 由对称性可知， Ｌ Ｆ Ｍ Ｎ ＝Ｌ Ｐ Ｍ Ｎ二
Ｌ Ｆ ＇ Ｍ Ｍ’ ， 这一点反映在椭圆的光波与声波的性质 上， 一束光从 Ｆ点出发， 经椭圆反射后， 反射光一定 通过Ｆ‘ 点， 声音传到椭圆上， 经过连续几次反射 ， 在 很远的地方也能听到声音， 北京天坛公园里的回音
ａ 一ｃ ｃ ｏ ｓ ｏ ｓ ｉ ｎ ｇ
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２
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为２ ｃ ， 令ｂ ２ 二 ａ一２ ２ ｃ， 则椭圆
一 一
的 方 程 为２ ｘ ＋ ｙ＝ ２； ． ” 一 ’ －一‘ 一 ａ ‘ ｂ
现在问题是Ｍ的轨迹与 折痕围成的椭圆是否是同一
图３
所以八二 ０ ， 即ｌ 与椭圆相切， 当ｌ 的斜率不存在 时， 相切显然成立， 所以ｌ 是椭圆的切线， Ｍ是切点 ．
探 究 ３若 Ｍ （ ｘ ａ ， Ｙ ， ） ， 则 ‘ 的 直 线 方 程 为 琴＋
万方数据
婆． 男 ． 琪 岌男泌忿才粼涨另黔＆ ｚ － ． 粼 沼苏 沼
点， 则Ｍ ＇ Ｆ’ ＋ Ｍ＇ Ｆ ＝ ＭＴ’ ＋ Ｍ ＇ Ｐ＞ Ｐ Ｆ’ 二 ２ ａ ，
所以Ｍ ’ 在椭圆的外部， 当Ｐ 取遍 ＯＦ’ 上所有的点 时， ｌ 所围成的轮廓就是 Ｍ点所确定的椭圆， 从图 ２ 中可以看出， 折痕上的点也在它所 围成的椭圆上或 外部， 而折痕所在的直线就是 ｌ ， 所以点 Ｍ的轨迹与 折痕围成的椭圆就是同一个椭圆． 进一步思考， 发现这个折纸问题是个十分有趣 的开放性问题， 它包含了许多的数学知识， 进一步探 究， 还可以得出一些有趣的结论： 探究１ Ｍ是折痕ｌ 上到两点Ｆ ， Ｆ‘ 距离之和最
２ ｘ ， Ｙ ｏ 土 产ｘ 孟 姑一 ４ （ ｘ 孟 一 ａ ２ ） （ 元一 ｂ ２ ） 解得 ｋ二 ２ （ ｘ 言 一 ａ ａ） ２
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