第18章数学活动：折纸做60°、30°、15°的角
数学人教版八年级下册数学活动——折纸做60度,30度,15度的角
第十八章数学活动——折纸做60°，30°，15°的角学校：厦门集美中学授课人：秦冲一、教学目标知识与技能：1、能折出60°，30°，15°等特殊度数的角；2、通过折纸活动，进一步加深对轴对称、等腰三角形、等边三角形性质的理解；过程与方法：探索折60°、30°、15°的角，经历折叠、观察、猜想、论证、交流、反思等数学活动过程，发展学生对几何图形的认识，引导学生从不同角度寻找解决问题的策略，培养学生动手能力、创新能力、合作意识；情感与态度：在折纸活动中感受数学活动的乐趣，提高学生学习数学的兴趣，发展学生对几何图形的认知能力、演绎推理能力，进一步提升数学活动经验。
二、教学重难点重点：让学生学会折纸做60°，30°，15°等特殊角，培养学生的动手能力，并在动手过程中培养学生思考探究的习惯，养成合作交流意识；难点：让学生通过自己的尝试和思考折出特殊度数的角。
三、学情分析学生经过之前的学习，已经初步掌握了平行四边形相关的性质和推理论证方法。
本节内容围绕特殊的平行四边形展开，通过折纸做特殊度数的角，再得到与之相应的一系列角度。
本节课既有动手操作，又有一定的趣味性，还可以巩固学生对矩形性质、垂直平分线性质等知识的理解运用，有效锻炼学生的动手操作能力、观察发现能力以及推理论证能力。
四、教学过程（一）创设情境，引入新课折纸是一门艺术形式，动物、花、船和人等都是折纸的创作题材，在折的过程里要用到轴对称等数学知识。
怎么样把生活中的折纸和数学结合起来呢？今天让我们一起探究，走进折纸的世界。
（二）提出问题，深度思考课题引入：在没有圆规、三角尺、量角器的情况下，又需要作60°、30°、15°的角，怎么得到呢？本节课就来进行折纸活动，探索解决这一问题的途径。
问题1利用一张矩形的纸片，怎么折出一个45°的角？（学生分组折叠，学生很快会折出来，引导学生分析，得出结论：对折可以平分一个角。
数学活动折纸做60°、30°、15°的角
3
D
N
F
C
动手实践，寻找规律
你能通过折纸的方法，折出15°的角吗？怎 样折？
A
M H D
E
G
N
F
B
1 2 3
C
在图中，你能找出所有60°的角吗？ 30°的角呢？
A M
D
E
G
N
F
B
角形， 怎样剪出的等边三角形才是最大的？
A M D
E
G
N
F
B
H
C
有30°的直角三角形的性质 知识回顾
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD. ∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°。 又∵AC=AC， CD=BC ∴△ACB≌△ACD(SAS)。 ∴AB=AD。
A
1 ∵CD=BC，∴BC= BD。 2 1 又∵BC= AB， 2 ∴AB=BD。∴AB=AD=BD，
即△ABD是等边三角形。
B
C
D
动手实践，寻找规律
在一张矩形的纸片上，怎么折出一个 45°的角？
动手实践，寻找规律
在一张矩形的纸片上，怎么折出一个 45°的角？
动手实践，寻找规律
你能通过折纸的方法，折出30°的角吗？ 怎样折？
证明折法，反思提高
证明：连接AN ∵四边形AEFD与四边形BEFC关于EF对称 ∴AN=BN ∵△ABM与△NBM关于BM轴对称 M A ∴AB=NB，∠1=∠2 ∴AB=AN=NB ∴∠ABN=60° ∴∠1=∠2=30° G ∵四边形ABCD是矩形 E ∴∠ABC=90° ∴∠3=90°－60°=30° ∴∠1=∠2=∠3=30° 1 2
么它所对的直角边等于斜边的一半。”反过来怎么表述？
第18章数学活动：折纸做60°、30°、15°的角
30° 30°
折纸做60°、30°、15°的角
三、动手操作 实验探究
在矩形中寻找线段间的2倍关系
A
D
E
F
B
C
AB=2AE=2BE DC=2DF=2CF
折纸做60°、30°、15°的角
三、动手操作 实验探究
问题5 利用上面得出的边长关系如何折出斜边等于直角边2倍的 直角三角形？
A
D
R
D
A
R
D
E
F
O（A）
折纸做60°、30°、15°的角
一、创设情境 引入新课
折纸做60°、30°、15°的角
二、提出问题 深度思考
问题1 在一张矩形纸片上，怎样折出一个正方形？
追问 正方形的对角线与每一边的夹角是多少度？ 45° 问题2 用矩形纸片还能折出哪些度数的角？ 对折可以平分一个角，还可以把一个角分成 2n 等份， 同时通过角的和差得到相关的度数。
折纸做60°、30°、15°的角
二、提出问题 深度思考
问题3 动手试试，你能否折出30°的角呢？
折纸做60°、30°、15°的角
三、动手操作 实验探究
追问 你能精确的折出30°的角吗？
问题4 我们学过哪些和30°角有关的知识？
在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边 的一半。
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的 一半，那么这条直角边所对的锐角是30°。
六、畅谈感悟 反思成长
问题12 通过这一节课的学习，你有哪些收获？
折纸做60°、30°、15°的角
七、布置作业 拓展延伸
1、尝试折叠并写出证明过程.
A
D
O
M
N
E
F
数学活动 折纸做60°,30°,15°的角 ppt课件
13
勤学 诚实 育人 报国
五、变式练习 学以致用
问题9 在图中找出所有30°和60°的角？
A
R
D
EH
O
F
B
C
A O
M E
P B
R
ppt课件
D N F Q C
14
勤学 诚实 育人 报国
五、变式练习 学以致用
问题10 用矩形卡片如何剪出等边三角形？
怎样剪出的等边三角形面积才是最大的？
A
R
D
A
O
M
O
E
ppt课件
16
勤学 诚实 育人 报国
五、变式练习 学以致用
(2)将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的 点F处，折痕为BE（如图①）；再沿过点E的直线折叠，使点D 落在BE上的点H处，折痕为EG（如图②）；再展平纸片（如图 ③）．求图③中∠1 的大小．
A
E
DA
E
DA
E
D
H
1
B
CB F
A
R
D
问题6 你能说出以上操作的依据吗？
O
证明：对折矩形ABCD
E 1
4
F
23
∴ AB=2BE,∠1=90°
B
C
∵ 以BR为折痕折叠，使点A落在EF上
∴ AB=BO, ∠2=∠3
∴ BO=2BE
又∵ ∠1=90°
∴ ∠4=30°
∵ ∠ABO=90°- ∠4=60°
∴∠2=∠3=30°
ppt课件
9
勤学 诚实 育人 报国
F
CB G
C FG
图①
图②
图③
ppt课件
第18章数学活动：折纸做60°、30°、15°的角
折纸做60°、30°、15°的角
五、变式练习 学以致用
(2)如图①:四边形ABCD是一张正方形纸片,E、F分别是AB,CD的 中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得A落在EF上(如图②),折 痕交AE于点G,那么∠ADG等于多少度?
B
CB
C
E
F
EA
F
G
A
①
D
A
②
D
折纸做60°、30°、15°的角
F
E
O F
B
C
B
C
B
C
折纸做60°、30°、15°的角
四、引发猜想 理论验证
A
R
D
O
问题6 你能说出以上操作的依据吗？
E
12
F
证明：连接AO.
3
B
C
∵四边形AEFD与四边形BEFC关于EF对称
∴AO=BO
∵△ABR与△OBR关于BR轴对称
∴AB=OB，∠1=∠2
∴AB=AO=OB
∴∠ABO=60°
六、畅谈感悟 反思成长
问题12 通过这一节课的学习，你有哪些收获？
折纸做60°、30°、15°的角
七、布置作业 拓展延伸
1、尝试折叠并写出证明过程.
A
D
O
M
N
E
F
P
Q
B
R
C
2、通过折纸，如何折到75°的角.
30° 30°
折纸做60°、30°、15°的角
三、动手操作 实验探究
在矩形中寻找线段间的2倍关系
A
D
E
F
B
C
AB=2AE=2BE DC=2DF=2CF
折纸做60°、30°、15°的角
第十八章平行四边形数学活动1折纸做60°,30°,15°的角
八、作业布置
1、完成活动一其它的证明过程（至少两种以上）。 2、自学活动二：折黄金矩形。
对折可以平分一个角，还可以把一个角分成 2n 等份， 同时通过角的和差得到相关的度数.
二、动手折一折
问题2. 动手试一试，用一张矩形纸片，你能否折出30° 的角呢？
三、动手操作 实验探究
追问 你折出30°的角准确吗？动手用量角器量一量 问题2 你能找出不准确的原因吗？
M D
A
折叠后点A的位置
B
C
四、验证猜想
问题4 你能证明你的猜想吗？
证明：连接AN. ∵四边形AEFD与四边形BEFC关于EF对称 ∴AN=BN ∵△ABM与△NBM关于BM对称 ∴AB=NB，∠1=∠2 ∴AB=AN=NB ∴∠ABN=60° ∴∠1=∠2=30° ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ABC=90° ∴∠3=90°-60°=30° ∴∠1=∠2=∠3=30°.
追问 你还有其他证明方法吗？
五、发散思维
问题5 还有其它的折法吗？
A
D
A
D
A
D
O（B）
O
M
N
M
N
M
N
E
F
E
F
E
F
P
Q
Q
P
Q
B
C
C
B
R
R
C
六、变式练习 学以致用
问题6 看一看，找一找： 在图中，你能找出所有的30°角吗？ 60°的角呢？
还有其它度数的角吗？
A
M
EH
N
D
△MNH为等边三角形
F
还有120°和150°的角
同学们玩过折纸吗?都折过些什么？
第18章数学活动：折纸做60°、30°、15°的角
第十八章数学活动: 折纸做60°,30 °,15 °的角教材分析: 本课之前，学生已通过折角平分线、折平行线、折纸研究轴对称等活动获得了较为丰富的折纸经验，为本节课奠定了基础。
本节课是在此基础上折出特殊度数的角。
折纸不仅是培养学生动手能力的一种游戏，折纸中还蕴含着许多数学知识，它还是开发学生智力的一种有效手段。
本节活动课的目的是让学生在动手操作中学会运用数学知识，发展学生的想象力、创造力。
学情分析: 学生已学习了平移、旋转、轴对称等基本图形变换，角平分线、平行与垂直、三角形的全等、四边形等知识，教材选取学生熟知的、生活化的折纸游戏作为研究和学习的内容，让学生倍感亲切，能激发学生积极参与数学活动的兴趣。
教学目标:知识与技能：通过折叠，加深对轴对称、全等图形性质的认识；探索并能折出60°, 30° , 15°的角；初步体会研究几何问题的方法.过程与方法：学生经历折出60°，30°，15°角的折纸过程，培养学生观察、思考、抽象、动手的能力，领悟数学活动是个充满着探索与创造的过程.情感态度与价值观：通过折纸活动，让学生体会生活与数学是紧密联系的，感受数学中的美；在探索过程中养成学生与他人合作交流的习惯，获得成功的体验，提高克服困难的勇气和信心.教学重点: 通过探究折60° , 30° , 15°的角，培养学生的动手能力和推理能力.教学难点: 折出60°,30°, 15°角的方法的探究和证明.教学准备: 教师：课件；矩形纸片学生：矩形纸片；折纸教学方法: 合作探究教学过程:1. 创设情境，引入新课:导语: 同学们，你们玩过折纸吗？都会折什么？在折纸的过程中，蕴含着许多数学知识，例如图形的全等、轴对称。
这节课，我们一起折60° , 30° , 15°的角.师生活动：学生欣赏折纸，教师引导. 折纸是一门艺术形式，动物、花、船和人等都是折纸的创作题材，在折的过程中要用到很多的数学知识，比如：轴对称、全等、特殊的角度等等，这就需要我们通过数学知识来解决这些问题，今天我们就一起学习如何通过折纸，折出特殊的角度.设计意图：通过观察生活中的实例, 点出课题，激起学生的学习兴趣2. 提出问题，深度思考问题1:在一张矩形纸片上，你怎么折出一个正方形？师生活动：学生在小组内动手折，教师指导，及时调整•追问：正方形的对角线与每一边的夹角是多少度师生活动：学生观察所折图形，思考教师提出的问题，口述理论依据设计意图：从学生最熟悉的正方形为知识生长点，折出本节课第一个特殊角问题2：用一张矩形纸片你还能折出哪些度数的角？师生活动：通过折叠，师生共同归纳对折可以平分一个角，可以把一个角平均分成2n份，还可以利用角的和差得出相关度数的角•设计意图：从简单的折纸游戏出发，提高学生课堂参与度，经过学生的互相补充得出22.5 ° ,67.5 ° ,112.5。
数学人教版八年级下册第十八章数学活动 折纸做60°、30°、15°的角
逸夫中学生本课堂教学展示课教学设计
郑莹莹2016.4.7
课例
名称
折纸做60°、30°、15°的角
课型
活动课
章节
第十八章数学活动
年级班级
初二2班
教学
目标
知识与技能
1、在折纸活动中进一步加深学生对折叠性质的理解。
2、能折出60°、30°、15°等特殊度数的角。
过程与方法
探索折30°的角，经历折叠、观察、猜想、论证、交流等过程，发展学生对几何图形的认识，引导学生从不同的角度寻找解决问题的策略，培养学生动手能力、创新能力、合作意识。
活动二：
如图，请回答以下问题
1、连接AN，证明：△ABN是等边三角形。
2、指出图中所有30°的角。
3、通过这种折纸方法，你还能折出哪些度数的角。
答：
1、证明：连接AN.
∵四边形AEFD与四边形BEFC重合
∴AE=BE，EF⊥AB
∴AN=BN
∵△ABM与△NBM重合
∴△ABM≌△NBM
∴AB=NB
∴AB=AN=NB
2、课堂练习1和练习2要进行对调，练习2与活动2比较有衔接关系。
3、练习2的的题目难度比较大，需要进行各种论证和讨论。
4、在教学过程中，对于30°所对的直角边等于斜边的一半要进行指点，以便顺利的做出练习1，这是忽略的地方。
厦门逸夫中学“生本课堂”教学展示教学设计说明
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第十八章数学活动:折纸做60°,30°,15°的角
教材分析:本课之前，学生已通过折角平分线、折平行线、折纸研究轴对称等活动获得了较为丰富的折纸经验，为本节课奠定了基础。
本节课是在此基础上折出特殊度数的角。
折纸不仅是培养学生动手能力的一种游戏，折纸中还蕴含着许多数学知识，它还是开发学生智力的一种有效手段。
本节活动课的目的是让学生在动手操作中学会运用数学知识，发展学生的想象力、创造力。
学情分析:学生已学习了平移、旋转、轴对称等基本图形变换，角平分线、平行与垂直、三角形的全等、四边形等知识，教材选取学生熟知的、生活化的折纸游戏作为研究和学习的内容，让学生倍感亲切，能激发学生积极参与数学活动的兴趣。
教学目标:
知识与技能：通过折叠，加深对轴对称、全等图形性质的认识；探索并能折出60°,30°,15°的角；初步体会研究几何问题的方法.
过程与方法：学生经历折出60°，30°，15°角的折纸过程，培养学生观察、思考、抽象、动手的能力，领悟数学活动是个充满着探索与创造的过程.
情感态度与价值观：通过折纸活动，让学生体会生活与数学是紧密联系的，感受数学中的美；在探索过程中养成学生与他人合作交流的习惯，获得成功的体验，提高克服困难的勇气和信心.
教学重点:通过探究折60°,30°,15°的角，培养学生的动手能力和推理能力.
教学难点:折出60°,30°,15°角的方法的探究和证明.
教学准备:教师：课件；矩形纸片学生：矩形纸片；折纸
教学方法:合作探究
教学过程:
1.创设情境，引入新课:
导语:同学们，你们玩过折纸吗？都会折什么？在折纸的过程中，蕴含着许多数学知识，例如图形的全等、轴对称。
这节课，我们一起折60°,30°,15°的角.
师生活动：学生欣赏折纸，教师引导.折纸是一门艺术形式，动物、花、船和人等都是折纸的创作题材，在折的过程中要用到很多的数学知识，比如：轴对称、全等、特殊的角度等等，这就需要我们通过数学知识来解决这些问题，今天我们就一起学习如何通过折纸，折出特殊的角度.
设计意图：通过观察生活中的实例,点出课题，激起学生的学习兴趣.
2.提出问题，深度思考:
问题1：在一张矩形纸片上，你怎么折出一个正方形？
师生活动：学生在小组内动手折，教师指导，及时调整.
追问：正方形的对角线与每一边的夹角是多少度?
师生活动：学生观察所折图形，思考教师提出的问题，口述理论依据.
设计意图：从学生最熟悉的正方形为知识生长点，折出本节课第一个特殊角.
问题2：用一张矩形纸片你还能折出哪些度数的角？
师生活动：通过折叠，师生共同归纳对折可以平分一个角，可以把一个角平均分成2n份，还可以利用角的和差得出相关度数的角.
设计意图：从简单的折纸游戏出发，提高学生课堂参与度，经过学生的互相补充得出
22.5°,67.5°,112.5°等度数的角，由此引导学生发现上面的结论.此过程也让学生感受折纸可以得到角的和差倍分关系.
问题3：动手试试，你能否折出30°的角呢？怎样折？
师生活动：学生动手尝试，最终会把矩形纸片的90°角折叠的接近三等分.
设计意图：这个问题的提出是为了增强学生对新旧知识的联系，突出所学知识的整体性、联系性，是螺旋上升的关系.
3.动手操作，实验探究:
追问：你能精确的折出30°的角吗？
师生活动：学生动手尝试.
设计意图：问题层层深入，学生在折叠过程中出现困难，为以下问题做铺垫.
问题4：我们学过哪些和30°角有关的知识？
师生活动：教师引导学生思考：如果折一个直角三角形，使斜边是直角边的2倍，问题就可以解决，怎样得到满足条件的三角形呢？
为突破重难点，教师做以下铺垫：
（1）矩形对折，寻找边长的二倍关系
（2）
F
A
B F
E
M N
Q P
BE=2ME
学生探究如何折出满足条件的线段.（小组交流，展示图片）
设计意图：让学生体会轴对称变换的性质，为学生更加容易的去构造存在30°角的直角三角形打基础，分散难点.
视学生情况，第二种折法也可由教师折叠后与学生分享。
问题5：利用上面得出的边长关系如何折出斜边等于直角边2倍的直角三角形？ 师生活动：教师安排小组交流.学生得出不同的折叠过程. 方法一：
AB=BO=2BE
方法二：
BE=EO=2ME
设计意图：在折纸的过程中，让学生进一步体验方法的灵活性，感受数形结合思想方法的运用. 4.引发猜想，理论验证:
问题6：
你能说出以上操作的道理吗？
师生活动：教师引导学生观察、分析、思考、验证，运用折叠的本质书写证明过程.教师应关注重点：引导折叠，学生在思考验证方法时，是否找准了验证方向.
设计意图：推理论证所得角为30°，培养学生推理能力. 问题7：还有其它的证明方法吗?
师生活动：学生书写论证过程，多媒体展示.
设计意图：通过一题多解培养学生的发散思维.训练学生综合运用知识的能力，达到对知识的融会贯通，体现数学学习的灵活性.
问题8：怎样折15°的角呢？怎样折60°的角呢？你还能得到哪些度数的角？
F
M N
Q A B
F
E
师生活动：学生独立操作.
设计意图：巩固折30°角的方法，使学生再次感受折纸可以得到角的倍分关系. 5.变式练习，学以致用:
问题9：在图中，你能找出所有30°的角吗？60°的角呢？
师生活动：学生观察图形，回答教师提出的问题.教师重点关注学生回答问题是否完整. 设计意图：培养学生识图的能力和严密的思维习惯.
问题10：用矩形卡片能否剪出等边三角形？怎样剪出的等边三角形才是最大的？
师生活动：学生观察图形，发现图形中的等边三角形，剪出等边三角形并展示.学生口述依据.教师重点关注学生在图中发现的各个不同的等边三角形.
设计意图：折等边三角形是一个思维的跨越，从角到等边三角形的转化，可以使学生在获得知识、技能和方法的同时，让知识在实践中巩固内化，同时也培养了学生大胆探索、善于创造的意识.
问题11：课堂检测:
(1)如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半．这样的图形有( )
(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个
(2)如图①:四边形ABCD 是一张正方形纸片,E 、F 分别是AB,CD 的中点,沿着过点D 的折痕将A 角翻折,使得A 落在EF 上(如图②),折痕交AE 于点G,求∠ADG 的大小．
F A B
F E
F N Q F N Q F
设计意图：通过观察，培养学生识别图形的能力与探索意识.让学生再次体会折叠中蕴含的数学知识，体会知识间的联系.
6.畅谈感悟，反思成长:
问题12：通过这一节课的学习，你有哪些收获？
师生活动：学生自己总结，不全面的由其他学生补充完善，教师重点关注不同层次学生对本节知识的理解和掌握程度.
设计意图：从知识、能力、思想方法上让学生对折叠的数学本质有一个深刻的认识. 7.布置作业，拓展延伸:
1、尝试折叠并写出证明过程.
2、通过折纸，如何折到75°的角. 8.板书设计:
折纸做60°,30°,15°的角
形 数
矩形 正方形 45° 对折平分角
角的和差 直角三角形 30°
15° 角的倍分
等边三角形 60°
C B E F D
A
C B E F
①
②
G A F N Q。