数学活动折纸做60°、30°、15°的角
第18章数学活动：折纸做60°、30°、15°的角
第十八章数学活动:折纸做60°,30°,15°的角教材分析:本课之前，学生已通过折角平分线、折平行线、折纸研究轴对称等活动获得了较为丰富的折纸经验，为本节课奠定了基础。
本节课是在此基础上折出特殊度数的角。
折纸不仅是培养学生动手能力的一种游戏，折纸中还蕴含着许多数学知识，它还是开发学生智力的一种有效手段。
本节活动课的目的是让学生在动手操作中学会运用数学知识，发展学生的想象力、创造力。
学情分析:学生已学习了平移、旋转、轴对称等基本图形变换，角平分线、平行与垂直、三角形的全等、四边形等知识，教材选取学生熟知的、生活化的折纸游戏作为研究和学习的内容，让学生倍感亲切，能激发学生积极参与数学活动的兴趣。
教学目标:知识与技能：通过折叠，加深对轴对称、全等图形性质的认识；探索并能折出60°,30°,15°的角；初步体会研究几何问题的方法.过程与方法：学生经历折出60°，30°，15°角的折纸过程，培养学生观察、思考、抽象、动手的能力，领悟数学活动是个充满着探索与创造的过程.情感态度与价值观：通过折纸活动，让学生体会生活与数学是紧密联系的，感受数学中的美；在探索过程中养成学生与他人合作交流的习惯，获得成功的体验，提高克服困难的勇气和信心.教学重点:通过探究折60°,30°,15°的角，培养学生的动手能力和推理能力.教学难点:折出60°,30°,15°角的方法的探究和证明.教学准备:教师：课件；矩形纸片学生：矩形纸片；折纸教学方法:合作探究教学过程:1.创设情境，引入新课:导语:同学们，你们玩过折纸吗？都会折什么？在折纸的过程中，蕴含着许多数学知识，例如图形的全等、轴对称。
这节课，我们一起折60°,30°,15°的角.师生活动：学生欣赏折纸，教师引导.折纸是一门艺术形式，动物、花、船和人等都是折纸的创作题材，在折的过程中要用到很多的数学知识，比如：轴对称、全等、特殊的角度等等，这就需要我们通过数学知识来解决这些问题，今天我们就一起学习如何通过折纸，折出特殊的角度.设计意图：通过观察生活中的实例,点出课题，激起学生的学习兴趣.2.提出问题，深度思考:问题1：在一张矩形纸片上，你怎么折出一个正方形？师生活动：学生在小组内动手折，教师指导，及时调整.追问：正方形的对角线与每一边的夹角是多少度?师生活动：学生观察所折图形，思考教师提出的问题，口述理论依据.设计意图：从学生最熟悉的正方形为知识生长点，折出本节课第一个特殊角.问题2：用一张矩形纸片你还能折出哪些度数的角？师生活动：通过折叠，师生共同归纳对折可以平分一个角，可以把一个角平均分成2n份，还可以利用角的和差得出相关度数的角.设计意图：从简单的折纸游戏出发，提高学生课堂参与度，经过学生的互相补充得出22.5°,67.5°,112.5°等度数的角，由此引导学生发现上面的结论.此过程也让学生感受折纸可以得到角的和差倍分关系.问题3：动手试试，你能否折出30°的角呢？怎样折？师生活动：学生动手尝试，最终会把矩形纸片的90°角折叠的接近三等分.设计意图：这个问题的提出是为了增强学生对新旧知识的联系，突出所学知识的整体性、联系性，是螺旋上升的关系.3.动手操作，实验探究:追问：你能精确的折出30°的角吗？师生活动：学生动手尝试.设计意图：问题层层深入，学生在折叠过程中出现困难，为以下问题做铺垫.问题4：我们学过哪些和30°角有关的知识？师生活动：教师引导学生思考：如果折一个直角三角形，使斜边是直角边的2倍，问题就可以解决，怎样得到满足条件的三角形呢？为突破重难点，教师做以下铺垫：（1）矩形对折，寻找边长的二倍关系（2）FAB FEM NQ PBE=2ME学生探究如何折出满足条件的线段.（小组交流，展示图片）设计意图：让学生体会轴对称变换的性质，为学生更加容易的去构造存在30°角的直角三角形打基础，分散难点.视学生情况，第二种折法也可由教师折叠后与学生分享。
人教版八年级下册第18章数学活动：折纸做60,30,15的角教学设计
a.如何准确地制作出60°、30°、15°角？
b.制作过程中遇到了哪些问题？如何解决？
c.你认为折纸中的角度等分有什么实际应用？
2.各小组汇报讨论成果，教师点评并总结，强调关键知识点和技巧。
3.学生在讨论过程中，提高团队协作能力和交流沟通技巧。
（四）课堂练习
2.在制作过程中，思考以下问题并记录下来：
a.这三个角度之间有什么联系和区别？
b.在制作过程中遇到了哪些困难？你是如何解决的？
c.你认为折纸中的角度等分在实际生活中有哪些应用？
3.拍摄一段视频，展示你的折纸作品集，并简要介绍每个作品的特点和制作过程。视频时长不超过5分钟。
4.家长参与评价：请家长观看你的视频，并给予评价和建议。家长可以关注孩子在制作过程中的表现，如动手能力、创新意识、沟通表达等方面。
4.培养学生空间想象力，通过实际操作，提高学生对几何图形的观察、分析、推理和创造能力。
（二）过程与方法
1.通过折纸这种动手操作的过程，让学生在实践中学习，培养学生的问题解决能力和创新意识。
2.引导学生通过小组合作的方式，交流折纸技巧，讨论解决问题的策略，提高学生的团队协作能力。
3.利用直观教具和实际操作，引导学生从具体操作中提炼出数学概念，形成抽象思维能力。
4.引导学生认识到数学与生活之间的联系，培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的方法解决实际问题的意识。
在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，鼓励每个学生都能积极参与，充分调动学生的学习积极性，使学生在轻松愉快的氛围中掌握知识，发展能力，培养正确的情感态度和价值观。通过本章节的学习，学生不仅学会了制作特定角度的技巧，而且对数学学科产生了更深的认识和兴趣。
折纸做60°、30°、15°的角--点评
关于自贡市解放路中学李倩老师参加四川省初中数学教师优秀课展评的教学评价李倩老师参评内容选自义务教育教科书人教版八年级下册中“数学活动：“折纸做60、30、15度角”，属于义务教育段数学内容中“综合与实践”部分。
她的教学设计和教学活动的组织突出了科学性、实践性和创新性等特点。
主要在体现在：一是教学内容分析到位，挖掘得深。
教者能够从知识系统高度，理顺所教知识与上下位知识的联系，能紧密把握教学内容与学生知识经验和生活经验关系，准确理解和掌握本节教学内容的实践性、运用性和探究性的特点；特别是把自贡的剪纸文化与折角活动紧密联系，较好地挖掘了教学内容蕴含的文化价值观资源。
二是教学目标符合实际，达成度高。
李老师对教学目标的制定，充分结合了课标要求、教材特点和学生实际，目标紧扣具体内容，在知识与能力、过程与方法、情感态度价值观方面，把结果性目标和过程性目标表述得具体、清楚、准确；通过实施有效的教学手段和方法达到了预设的目标要求。
三是教学结构设计合理，过程流畅。
在教学设计上根据内容由浅入深的特点，教学环节层层递进，内容环环相扣，过渡自然流畅，逻辑性强，遵循了循序渐进的教学原则。
四是教学活动遵循规律，课改意识强。
教师在组织学生折角活动中，启发学生运用已有知识和经验开展折叠活动，又对实践活动进行理性的反思再认，从而抽象、概括出折叠的本质是轴对称，再引导学生运用这个原理进行数学的相关探究活动。
整过认知活动着眼了学生的认知基础，遵循了“实践——认识——再实践——再认识”的认识规律。
教学中教师有机渗透了课改理念，较好的处理了“教”与“学”的辩证关系，通过采用“启发、引导、点拨、激励等”导学方法，有效的组织了学生开展“实验、观察、猜想、计算、推理、验证等”等认知活动，培养了学生自主学习、合作学习和探究式学习的方法，营造了互动、互补、互进的学习氛围，极大地调动了学生学习的主动性和积极性。
五是课堂机制灵活教学针对性强。
教师采用提问、演练、展示、巡视、察言观色等多种方法捕捉教与学的反馈信息，并及时调控，调整教学方案，教学针对性、实效性强。
数学活动 折纸做 60°、30°、15°的角
《数学活动折纸做60°、30°、15°的角》教学设计广西南宁市武鸣区双桥镇中心学校周栋念一、教学目标（一）、知识技能1 、通过折叠, 让学生经历探究图形的翻转过程, 理解关于折痕所在直线成轴对称的图形是全等的；2 、能折出6 0 °、3 0 °、1 5 °的角。
（二）、数学思考在探索 6 0 °、3 0 °、1 5 °的角等活动中经历折叠、观察、猜想、测量、推理、交流、反思等理性思维过程发展学生对几何图形的认知能力。
（三）、解决问题理解折叠的含义能折出一些特殊的角度。
（四）、情感态度让学生积极而主动参与探索在动手实验的过程中感受数学活动的乐趣。
二、教学重点通过活动的任务、目的、过程等环节培养学生的动手能力和创新能力。
三、教学难点1 、引导折叠；2 、通过推理论证，证实所折的角为 6 0 °、3 0 °、1 5 °的角。
四、教学活动设计（一）问题与情境师生行为设计意图[ 活动 1 ] 同学们你们小时候折过纸吗都折过些什么？折纸是一门艺术形式动物、花、船和人等都是折纸的创作题材，在折的过程里要用到很多的数学知识。
比如：如何折出特殊的角度，这就需要我们通过数学知识来解决这个问题。
下面我们就来具体学习一下如何通过折纸折出特殊的角度。
（二）创设情境引入新课[ 活动 2 ] 在七年级时我们会用一幅三角板画出特殊的角，如果我们身旁没有量角器或三角板问题 1 在一张矩形纸片上你怎么折出一个 4 5 °的角，观察图形提问：在折叠过程中出现了多少度的角问题 2 那么3 0 °的角能否用折纸的方法折出呢？怎样折？在折叠两次后得到∠1 、∠2 、∠你能发现什么？学生动手折教师指导及时调整。
学生观察所折图形，思考教师提出的问题。
教师示范简易折法，让学生寻找答案学生动手折，引导学生寻找最简单、最准确的折叠方法。
折纸做60°、30°、15°的角--教学设计说明
四川省中学青年数学教师优秀课评选活动关于“折纸做60°、30°、15°的角”教学设计说明本节内容是教材在“三角形”、“轴对称”“四边形”、“尺规作图”等知识的基础上安排的一次“综合与实践”活动，学生通过折纸做角活动，既可以巩固再认已学知识，深化知识的理解运用，又可以加强数学与生活的联系，积累活动经验，培养应用能力、实践能力和元认知能力,为后继知识的学习和数学实践活动奠定认知基础。
但是折纸做角活动又是在不用任何作图工具的前提下开展的，在抽象概括能力和实践操作技能方面都比“尺规作图”难度大。
为了突出本节教学重点，分散教学难点，体现教学活动的合理性、科学性和创新性。
教学将围绕以下思路进行设计:（1）体现教学内容与学生生活的联系，激发学生的学习兴趣。
紧密把握教学内容与学生知识经验和生活经验关系，把自贡的剪纸文化与折角活动紧密联系，挖掘教学内容蕴含的文化价值观资源。
（2）教学目标的确定要结合课标要求和学生符合实际，体现教学重难点。
对教学目标的制定，充分结合了课标要求、教材特点和学生实际，目标紧扣具体内容，表述要具体、清楚、准确，突出教学重难点。
（3）教学结构设计遵循规律体现逻辑性、层次性、合理性，力求过程自然流畅。
在教学设计上根据内容由浅入深的特点，教学环节层层递进，内容环环相扣，过渡自然流畅，逻辑性强，遵循循序渐进的教学原则。
（4）教学活动要遵循学生的认识规律和教学规律，利于两主作用的发挥。
教学活动中要遵循了“实践——认识——再实践——再认识”的认识规律。
有机渗透了课改理念，较好的处理了“教”与“学”的辩证关系，通过采用“启发、引导、点拨、激励等”导学方法，组织了学生开展“实验、观察、猜想、计算、推理、验证等”等认知活动，培养了学生自主学习、合作学习和探究式学习的方法，营造了互动、互补、互进的学习氛围。
（5）教师要结合学情变化科学调整预设方案，增强教学针对性强。
教师要采用提问、演练、展示、巡视、察言观色等多种方法捕捉教与学的反馈信息，并及时调控，调整教学方案，增强教学针对性、实效性。
18.4数学活动-折纸做60°-30°-15°的角 5
在矩形中寻找线段间的2倍关系
A
D
E
F
B
C
AB=2AE=2BE
DC=2DF=2CF
三、动手操作 合作探究
利用上面得出的边长关系如何折出斜边等于直角边2倍 的直角三角形？
A
D
E
O（A） F
R
D
A
R
D
O（A）
F
E
O F
B
C
B
C
B
C
四、大胆猜想 理论验证
证你明能：说连出接以A上O 操作的依据吗？
∵四边形AEFD与四边形BEFC关于EF对称
五、集思广益 方法共享
A
D
M
N
E
F
P
Q
B
C
BE=2ME
五、集思广益 方法共享
A
D
A
D
A
D
M
O（B）
N
O（B） M
N
O M
N
E
F
E
F
E
F
P
Q
Q
P
Q
B
C
C
B
R
R
C
六、学以致用 举一反三
你能找出图中所有30°和60°的角吗？
A
R
D
EH
O
F
B
C
A
D
O
M
N
E
F
P
Q
B
C
R
六、学以致用 举一反三
用矩形卡片如何剪出等边三角形？
A
R
D
A
O
M
O
E
F
E
D
聚焦折纸对称,渗透核心素养——“折纸做60°、30°、15°的角”数学活动课的设计与思考
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程总目标部分提出了四基，在旧版课标双基基础上增加了基本思想和基本活动经验。
那么，如何在初中数学课上增加学生的基本活动经验呢？笔者以为，教师选用恰当的问题，让学生充分、自主地参与数学活动，是关键。
这些恰当的问题可来自生活，可选自教材，笔者结合人教版八年级下册第十八章《平行四边形》中的一节数学活动课“折纸做60°、30°、15°的角”，做简单介绍。
一、“折叠”活动课教学价值积累数学活动经验，培养学生应用意识和创新能力是数学课程的重要目标，应贯穿整个中学数学课程。
本课选取学生常见的折纸活动作为教学内容，体现了数学的生活化和趣味性，能够激起学生探索未知世界的兴趣。
生活中，学生已经接触过折纸，并具备一定的折叠技能；在知识储备上，学生已经学习过轴对称图形、三角形的全等、直角三角形的性质、平行四边形等知识，其识图能力、抽象思维能力等已基本形成。
从教学意义上看，轴对称作为初中数学三大全等变换之一，近年已成为热门考点，且大多考查轴对称的试题以“折叠”的形式呈现。
因此，“折叠”教学值得深入探究。
二、教学实施问题1:在一张矩形纸片上,如何折出45°角?学生分小组动手折,对折任意一个直角,利用折叠得到相等的角度。
追问1:更进一步,如何折出正方形?学生折纸,观察所折图形,思考、回答教师提出的问题。
追问2:折叠过程中,还能发现哪些图形?学生发现除正方形以外,还有等腰直角三角形。
设计意图：此环节由特殊角45°切入，折纸起点低，操作较简单，学生人人参与，气氛活跃。
学生发现对折可以得到相等的角，并且还能得到相等的线段，全等的图形。
从折角度到折不同图形，学生综合考虑线段与角的等量关系，实现能力的螺旋式上升。
问题2:用这一张矩形纸片我们还能折出哪些度数的角?学生继续动手折纸,在教师的引导下归纳出:对折可以平分一个角,继续反复对折,可以把一个角进一步平均分成2n份,还可以利用角的和、差得出相关度数的角。
第18章数学活动：折纸做60°、30°、15°的角
30° 30°
折纸做60°、30°、15°的角
三、动手操作 实验探究
在矩形中寻找线段间的2倍关系
A
D
E
F
B
C
AB=2AE=2BE DC=2DF=2CF
折纸做60°、30°、15°的角
三、动手操作 实验探究
问题5 利用上面得出的边长关系如何折出斜边等于直角边2倍的 直角三角形？
A
D
R
D
A
R
D
E
F
O（A）
折纸做60°、30°、15°的角
一、创设情境 引入新课
折纸做60°、30°、15°的角
二、提出问题 深度思考
问题1 在一张矩形纸片上，怎样折出一个正方形？
追问 正方形的对角线与每一边的夹角是多少度？ 45° 问题2 用矩形纸片还能折出哪些度数的角？ 对折可以平分一个角，还可以把一个角分成 2n 等份， 同时通过角的和差得到相关的度数。
折纸做60°、30°、15°的角
二、提出问题 深度思考
问题3 动手试试，你能否折出30°的角呢？
折纸做60°、30°、15°的角
三、动手操作 实验探究
追问 你能精确的折出30°的角吗？
问题4 我们学过哪些和30°角有关的知识？
在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边 的一半。
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的 一半，那么这条直角边所对的锐角是30°。
六、畅谈感悟 反思成长
问题12 通过这一节课的学习，你有哪些收获？
折纸做60°、30°、15°的角
七、布置作业 拓展延伸
1、尝试折叠并写出证明过程.
A
D
O
M
N
E
F
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3
D
N
F
C
动手实践，寻找规律
你能通过折纸的方法，折出15°的角吗？怎 样折？
A
M H D
E
G
N
F
B
1 2 3
C
在图中，你能找出所有60°的角吗？ 30°的角呢？
A M
D
E
G
N
F
B
角形， 怎样剪出的等边三角形才是最大的？
A M D
E
G
N
F
B
H
C
有30°的直角三角形的性质 知识回顾
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD. ∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°。 又∵AC=AC， CD=BC ∴△ACB≌△ACD(SAS)。 ∴AB=AD。
A
1 ∵CD=BC，∴BC= BD。 2 1 又∵BC= AB， 2 ∴AB=BD。∴AB=AD=BD，
即△ABD是等边三角形。
B
C
D
动手实践，寻找规律
在一张矩形的纸片上，怎么折出一个 45°的角？
动手实践，寻找规律
在一张矩形的纸片上，怎么折出一个 45°的角？
动手实践，寻找规律
你能通过折纸的方法，折出30°的角吗？ 怎样折？
证明折法，反思提高
证明：连接AN ∵四边形AEFD与四边形BEFC关于EF对称 ∴AN=BN ∵△ABM与△NBM关于BM轴对称 M A ∴AB=NB，∠1=∠2 ∴AB=AN=NB ∴∠ABN=60° ∴∠1=∠2=30° G ∵四边形ABCD是矩形 E ∴∠ABC=90° ∴∠3=90°－60°=30° ∴∠1=∠2=∠3=30° 1 2
么它所对的直角边等于斜边的一半。”反过来怎么表述？
与小组同学交流。 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半， 那么这条直角边所对的锐角等于30°。
它是真命题吗？如果是，请你证明它。
证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有 据.这是证明者谨记和遵循的原则.
1 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC= AB。 2 求证：∠BAC=30°
通过这节课的学习，你 学到了什么？
作业：
如何通过折纸，折到75°的角
下课了!
A
30°
B
C
1. 在直角三角形中, 如果有一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的一 半。 在△ABC中, ∵∠ACB=90°,∠A=30°。 1 ∴BC= 2 AB。(在直角三角形中, 30°角 所对的直角边等于斜边的一半)。
推论：BC : AC : AB 1 : 3 : 2
反过来怎么样——逆向思维 命题“在直角三角形中, 如果一个锐角等于30°,那
∴∠B=60°。在Rt△ABC中，∠BAC=30°。
关注知识,经验,方法的积累和提高,是前进的推进器.
几 何 的 三 如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E、F分别是 种 语 AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得A落在EF 言 上(如图(2)), 折痕交AE于点G,那么∠ADG等于多少度? 融 会 贯 你能证明你的结论吗? 通 的 B C B C 水 平 是 E F E A F 否 G 有 所 A D A D 提 (1) (2) 高