第三章导数与微分
第三章 导数与微分 习题及答案
第三章 导数与微分同步练习 一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim=--→xf x f x x ，则)0(f '= 。
2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。
3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则1=x dxdy = 。
4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。
5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将 。
6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为 。
7、已知x x y ln =，则)10(y = 。
8、已知2arcsin )(),2323(x x f x x f y ='+-=，则：0=x dxdy = 。
9、设1111ln22++-+=x x y ，则y '= 。
10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。
11、已知()xke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dyxd 。
二、选择1、设f 可微，则=---→1)1()2(lim1x f x f x （ ）A 、)1(-'-x fB 、)1(-'fC 、)1(f '-D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→)()2(lim000x f x x f xx （ ）A 、41 B 、41- C 、1 D 、-1 3、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001arctan )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（ ）A 、不连续B 、极限不存在 Ｃ、连续且可导 Ｄ、连续但不可导 ４、下列函数在[]1,1-上可微的有（ ） Ａ、x x y sin 32+= Ｂ、x x y sin =Ｃ、21x x y +=Ｄ、x x y cos += ５、设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=（ ） Ａ、在0=x 处极限不存在 Ｂ、有跳跃间断点0=x Ｃ、在0=x 处右极限不存在 Ｄ、有可去间断点0=x６、设函数)(),(21x y x y 的弹性分别为)0(,≠b b a ，则函数)()(21x y x y y =的弹性为（ ） Ａ、b a - Ｂ、b aＣ、2112y by ay - Ｄ、以上都不对 ７、已知)(x f e y =，则y ''＝（ ）Ａ、)(x f e Ｂ、)]()([)(x f x f e x f ''+' Ｃ、)()(x f e x f '' Ｄ、)}()]({[2)(x f x f e x f ''+'８、设函数⎩⎨⎧≤+>+=11)ln()(2x bx x x a x f 在1=x 处可导。
第三章高阶导数与微分详解
五、高阶导数
如果函数 f (x) 的导数 f (x) 在点 x 处可导，则 f (x) 在点 x 处的导
数称为函数 f (x) 在点 x 处的二阶导数，记作
y ，
f
( x)
，
d2y dx2
或
d dx
(dy) dx
例如：y=x 3 ，则 y =3x 2 ， y=6x
y=sinx，则 y =cosx， y=-sinx
)= sec 2 x dx ;
(4)d( )= xdx , d( )=cos3xdx , d( )= e t dt ,
(5)adx=d( ) , bxdx=d( ) ,
(6)sin3xdx=d( ) , cosaxdx=d( )
(7)e 2x dx=d( ) , e 3x dx=d( )
三、高阶导数和微分
y= e x ，则 y = e x ， y = e x
y=lnx，则
y
=
1 x
，
y
=-
1 x2
三、高阶导数和微分
类似的，二阶导数的导数称为三阶导数，记作：y ，f (x)或 d 3 y ；
dx3
三阶导数的导数称为四阶导数，记作：
y(4)
，
f
(4)
( x) 或
d4y dx4
，一般地，
（n-1）阶导数的导数称为
=
1 cos
1
(-sin
1 x
) ( 1 )
x
x
x
=-tan
(cos 1 ) x
(-
1 x2
)=
1 x2
tan
1 x
dy=
1 x2
tan
估值问题—导数与微分详解
x
2
并写出在该点处的切线方程和法线方程.
y 1 x
y 1 x
例6 求曲线y 1 在点( 1 , 2)处的切线的斜率，
x
2
并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k 的yy曲xf线12(xC()在 在 1x )Mxx0处 012点的 切导线x1数 2的x是斜12 f率(x4).
定义 设函数y f ( x)存在n 1阶导数，并且
n 1阶导数可导，那么y(n-1) f (n1) ( x)的导数
叫做函数y f ( x)的n 阶导数，
记作y(n)
f
(n) ( x)
dn y dxn
.
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
当x 0时，y x
f ( x0 ).
y
y = f (x)
f ( x0 )
斜率是 y x
M0
x
M
y
斜率是 f (x0)
o
x0
x0 x
x
注意：（1）y 是平均变化率 x
f
(
x0
)
lim
x 0
y x
是瞬时变化率
导数是平均变 化率的极限
（2） dy 是表示导数的一个整体符号. dx
（3）点导数是因变量在这点的变化率，它反 映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度.
y x (为任一实数).
( x ) x 1 .
1/2
例如,
(
x )
1
1 1
x2
1 .
2
2x
3 ( x3 ) 3 x2 .
sin
sin
2 sin
cos
第三章 导数与微分习题
习 题 三1．根据导数的定义求下列函数的导数：（1）221x y -= （2）21x y = （3）32x y =2．给定函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c 为常量，求：)(x f '，)0(f '，)21(f '，)2(a b f -' 3．一物体的运动方程为s ＝t 3＋10，求该物体在t ＝3时的瞬时速度。
4．求在抛物线y ＝x 2上点x ＝3处的切线方程。
5．自变量x 取哪些值时，抛物线y ＝x 2与y ＝x 3的切线平行？6．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-<≤+=x x x x x f 113101)(2在点x ＝1处是否可导？为什么？7．讨论函数y ＝x|x|在点x ＝0处的可导性。
8．用导数定义求⎩⎨⎧≥+<=0)1ln(1)(x s x xx f 在点x ＝0处的导数。
9．设⎩⎨⎧<<--+≤<-+=101101)1ln()(x xx x x x f 讨论f （x ）在x ＝0处的连续性与可导性。
10．函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠=0)1ln(1sin )(12x s x x x f x 在点x ＝0处是否继续？是否可导？11．讨论⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<+≤<+≤=x xx x x x x x f 2212101201)(2在x ＝0，x ＝1，x ＝2处的连续性与可导性。
12．求下列各函数的导数（其中a ，b 为常量）：（1）532+-=x x y （2）b a x y +=（3）3412+-=xx y （4）2222x x y += （5）x x y 31-= （6）)12(2-=x x y（7）)11)(1(-+=x x y （8）x x y 2)1(+=（9）ba b ax y ++= （10）))((b x a x y --=（10）)1)(1(a b bx ax y ++=13．求下列各函数的导数（其中a ，b ，c ，d ，n 为常量）：（1）)3)(2)(1(+++=x x x y（2）x x y ln =（3）x x y n ln = （4）x y alog = （5）11-+=x x y （6）215xx y += （7）x x x y --=223 （8）n cx b a y += （9）x x y ln 1ln 1+-= （10）2211xx x x y +--+= 14．求下列各函数的导数：（1）x x x y cos sin += （2）xx y cos 1-=（3）x x x y tan tan -= （4）xx y cos 1sin 5+= （5）x x x x y sin sin += （6）x x x y ln sin ⋅= 15．求曲线x y sin =在点x ＝π处的切线方程。
高中物理课件-第三章-微分中值定理、导数的应用
lim x3 1 . x x 1
一、 0 0 型不定式 定理：设函数 f (x) 与 F (x) 满足：
0
（１）在点 a 的某去心邻域U (a) 内可导且 F(x) 0;
（２）
lim
xa
f
(x)
0,
lim
x a
F ( x)
0;
f (x)
（３）
lim
xa
F
(
x)
存在（或
）．
则
lim
xa
f F
(x) (x)
提示： f (2) f (1) f (0) f (1) 0, 且 f (x) 在三个区间 [2,1], [1,0] 和[0,1] 上都满足 Rolle 定理的条件．
在 (2,1), (1,0), (0,1) 内分别至少存在一点1, 2, 3 使 f (1) 0, f (2) 0, f (3 ) 0 ．即 f (x) 0 至少有三个实根．
F( )
f
( ) 2
f
( )
由 F ( ) 0 得 f ( ) f ( ).
【例】设 f (x) 在[a,b]上连续，在(a, b) 内可导且 f (a) f (b) 0,
证明：在(a,b) 内至少存在一点 使 f ( ) f ( ). 提示：令 F(x) ex f (x) ，可验证 F (x) 在[a,b] 上满足 Rolle
g(x) 0, f (a) f (b) g(a) g(b) 0.
证明：（１）在(a,b)内 g(x) 0;
（２）在(a,b)内至少存在一点, 使得
f ( ) g( )
f ( ) . g( )
提示：（１）假设c (a,b) 使 g(c) 0, 则由 Rolle 定理，
高等数学导数微分学习辅导及公式总结
高等数学（1）学习辅导（三）第三章 导数与微分导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。
在学习的时候要侧重以下几点：⒈理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系。
)(x f 在点0x x =处可导是指极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000存在，且该点处的导数就是这个极限的值。
导数的定义式还可写成极限0)()(limx x x f x f x x --→函数)(x f 在点0x x =处的导数)(0x f '的几何意义是曲线)(x f y =上点))(,(00x f x 处切线的斜率。
曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线方程为)())((000x f x x x f y +-'=函数)(x f y =在0x 点可导，则在0x 点连续。
反之则不然，函数)(x f y =在0x 点连续，在0x 点不一定可导。
⒉了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。
⒊熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法 （1）导数的四则运算法则 （2）复合函数求导法则 （3）隐函数求导方法 （4）对数求导方法（5）参数表示的函数的求导法正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法， 例如函数xx y 2)1(-=，求y '。
在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。
如果我们把函数先进行变形，即21212322212)1(-+-=+-=-=xx x xx x xx y再用导数的加法法则计算其导数，于是有2321212123----='x x x y这样计算不但简单而且不易出错。
又例如函数321-+=x x y ，求y '。
显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得)2ln(31)1ln(21ln --+=x x y 两端求导得)2(31)1(21--+='x x y y 整理后便可得)2(682123---⋅-+='x x x x x y若函数由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕψ 的形式给出，则有导数公式)()(d d t t x y ϕψ''=能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数。
微积分第3章导数与微分
2021/4/21
9
三、左、右导数
定义 设函数 y = f(x) 在某U+(x0) (或 U-(x0))内有定义. 若
(或
)
存在，则称该极限值为 f 在点 x0 处的右 (左) 导数.
记作 f( x0 ) (或 f( x0 )) .
注：1. f 在x0可导 f 在 x0 的左, 右导数存在且相等.
f
(
x)
x
sin
1 x
,
x 0 与 f(x) = |x| 在 x = 0 处连续但不可导.
0, x 0
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例5. 求下列函数的导函数：
(1) c ( 常函数 ) ;
答案：0
记结论
(2) xn , ( n∈N+ ) ; (3) sin x ,
cos x ; (4) log ax ( a > 0, a≠1, x > 0 ) .
方法一：F(x, y) = 0 显化 y = f(x) 已有方法 求 y.
√ 方法二：F(x, y) = 0 两边同时求导 [F(x, y)] 0 求 y.
例6. 已知 y x ln y 确定了函数 y = f(x)，求 y.
（答案：
y
y ln y y x
）
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第三章 导数与微分
22
要牢记！
(1) (c) 0 (c为常数);
(2) ( x ) x1 (为任意实数 );
(3) (a x ) a x ln a, (ex ) ex ;
(4)
(log a
x)
1, x ln a
(ln
x)
1; x
(5) (sin x) cos x,(cos x) sin x ;
《高等数学》教案第三章导数与微分
《高等数学》教案第三章导数与微分教案之一：导数的定义和性质一、教学目标1.理解导数的概念和意义；2.学习导数的计算方法；3.掌握导数的基本性质；4.能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。
二、教学重点和难点1.导数的概念和计算方法；2.导数的性质；3.函数在其中一点的切线方程的计算。
三、教学内容和方法1.导数的概念和计算方法通过解释导数的概念，引出导数的计算方法，并通过示例进行演示和讲解。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
2.导数的性质介绍导数的基本性质，如导数为0的函数、导数的四则运算和导数的符号性。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
3.函数在其中一点的切线方程的计算通过解释切线的概念，推导出切线方程的计算公式，并通过示例进行演示和讲解。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
四、教学过程1.导数的概念和计算方法a.引出导数的概念和意义；b.讲解导数的计算方法，包括使用函数的极限和差商的方法，以及导数的几何意义；c.通过示例演示导数的计算方法。
2.导数的性质a.介绍导数为0的函数及其性质；b.讲解导数的四则运算和导数的符号性；c.通过示例演示导数的性质。
3.函数在其中一点的切线方程的计算a.解释切线的概念和意义；b.推导出切线方程的计算公式，包括斜截式和点斜式；c.通过示例演示切线方程的计算方法。
五、教学反思本节课主要介绍了导数的定义和性质，通过讲解、示例演示和问题解答，帮助学生理解了导数的概念和计算方法，掌握了导数的基本性质，以及函数在其中一点的切线方程的计算方法。
在教学中，应重点讲解导数的几何意义和切线的概念，帮助学生理解导数及其应用。
同时，通过举例说明导数性质的应用，激发学生的学习兴趣和思考能力。
在教学过程中，要注意引导学生思考问题，提高其自主学习的能力。
希望通过本次教学，学生能够掌握导数的概念和性质，并能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。
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定理 如果函数u( x), v( x)在点x处可导,则它 们 的 和 、 差 、 积 、 商(分 母 不 为 零)在 点 x处 也 可导, 并且
(1) [u( x) v( x)] u( x) v( x);
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
(3)
[u( x)] v( x)
u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
(v( x) 0).
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
微积分
证 (1)略. 证（2）
设y u( x) v( x)
y u(x x) v( x x) u(x) v( x)
u(x x)v(x x) u(x)v(x x)
u( x)v( x x) u( x)v( x)
② （1）可推广到任意有限个可导函数的情形
n
n
[ fi ( x)] fi( x);
i 1
i 1
③ （2）也可推广到任意有限个函数的情形
微积分
(uvw) uvw uvw uvw
n
[ fi ( x)] f1( x) f2( x) fn( x)
i 1
f1( x) f2( x) fn( x)
解 （1）求增量：
y f (x x) f (x) sin(x x) sin x ，
由和差化积公式有：
y 2cos (x x) x sin (x x) x
2
2
2cos(x x)sin x . 22
微积分
（2）算比值：
y x
2 cos( x
x)sin 2
x
x 2
cos(x
x 2
⑤作为（3）的一种特殊情况，
若u
1,则(1) v
v v2
二、例题分析
例1 求 y x3 2x2 sin x 的导数 .
解 y 3x 2 4x cos x.
微积分
例2 求 y sin 2x ln x 的导数 . 解 y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x) ln x 2 sin x cos x 1 x
)
sin x 2
x
2
（3）取极限：
dy dx
lim
x0
y x
lim
x0
cos(x
x ) 2
sin x 2
x
2
(sin x) cos x
用类似的方法，可求得余弦函数y=cosx的导数为： (cos x) sin x
微积分
y log a x(a 0, a 0, x 0)
y
loga (x
x)
2 cos 2x ln x 1 sin 2x. x
例3 求 y tan x 的导数 .
解 y (tan x) (sin x )
u v( x x) u( x) v
微积分
y u v( x x) u( x) v
x x
x
y lim y lim[ u v( x x) u( x) v ]
x0 x x0 x
x
u( x) v( x) u( x) v( x)
微积分
证(3) 设 f ( x) u( x) , (v( x) 0), v( x)
微积分
第三章 导数与微分
• 引例 • 导数概念 • 导数的基本公式与运算法则 • 高阶导数 • 微分
微积分
3-3 导数的基本公式
微积分
初等函数微分法
求导数的方法称为微分法。用定义只能求出 一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、 正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于 比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来 建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这 些公式和法则就能比较方便地求出常见的函 数——初等函数的导数，从而是初等函数的求 导问题系统化，简单化。
x0
v( x x)v( x)x
u( x x) u( x) v( x) u( x) v( x x) v( x)
lim
x
x
x0
v( x x)v( x)
u(
x)v( x) u( [v( x)]2
x)v(
x)
f ( x)在x处可导.
微积分
注
① （1）即是和、差的导数等于导数的和、差 （2）即是乘积的导数等于第一个因子的导数 乘以第二个因子再加上第一个因子乘以 第二个因子的导数 （3）即是商的导数等于分子的导数乘以分母 减去分子乘以分母的导数，再除以分母 的平方
loga
x
loga
x
x x
log
a
1
x x
y x
loga
1 x
x x
1 x
log
a
1
x x
x
x
微积分
x
dy dx
lim
x0
y x
lim
x0
1 x
loga
1
x x
x
1 x
log
a
e
1 x ln a
( log a
x)
1 x ln
a
特别地
(ln x) 1 x
微积分
y xn （n为正整数）的导数.
f ( x) lim f ( x x) f ( x)
x0
x
u( x x) u( x)
lim v( x x) v( x)
x0
x
lim u( x x)v( x) u( x)v( x x)
x0
v( x x)v( x)x
微积分
lim [u( x x) u( x)]v( x) u( x)[v( x x) v( x)]
微积分
求函数 y C （C 是常数）的导数.
解 (1)求增量：因为 y C ，即不论 x取什么值，
y 的值总等于 C ，所以y 0；
(2)算比值： y 0；
x
(3)取极限： y lim y lim 0 0.
x x0
x0
即常数函数的导数等于零.
微积分
求函数 y sin x 的导数.
y (x x)n xn
nxn1x n(n 1) xn2 (x)2 (x)n 2!
y nxn1 n(n 1) xn2x (x)n1
x
2!
dy dx
lim
x0
y x
lim
x0
nxn1
n(n 1) 2!
xn2x
(x)
n1
nxn1
xn nxn1 （n为正整数）
微积分
一、和、差、积、商的求导法则
nn
fi( x) fk ( x);
i1 k1 ki
④ 作为（2）的特殊情况
若v c，则(cu) cu 或 [Cf ( x)] Cf ( x); 即常数因子可以提到导数符号的外面
n
n
[ ki fi ( x)] ki fi( x)
i 1
i 1
微积分
即线性组合的导数等于导数的线性组合
——说明求导是一线性运算