2019-2020学年湖北省石首市第一中学高一下学期摸底考试数学试题(解析版)

石首一中2019-2020学年高一下学期摸底考试数学试题时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，共60．0分）1．下列不等式正确的是（）A．若a>b，则a⋅c>b⋅c B．若a>b，则a⋅c2>b⋅c2C．若a>b，则1a <1bD．若a⋅c2>b⋅c2，则a>b2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为（）A．0.99 B．0.98 C．0.97D．0.963．已知关于x的不等式x2−ax-b＜0的解集是（−2，3），则a+b的值是（）A．−11B．11 C．−7D．74．在△ABC中，已知B=45°，c=2√2，b=4，则角C =（）A．60∘B．30∘C．30∘或150∘D．150∘5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；1②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．已知△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若c=2b cos A，则此三角形必是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形7．当x∈R时，不等式kx2−kx+1＞0恒成立，则k的取值范围是（）A．(0,+∞)B．[0,+∞)C．[0,4)D．(0,4)8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=7，b=5，c=8，则△ABC 的面积S等于（）A．10 B．10√3C．20D．20√39．从1，2，3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是（）A．①B．②④C．③D．①③第!异常的公式结尾页 2310．若函数y =f （x ）的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将整个函数图象向右平移π2个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数y =14sin x −√34cos x 的图象，则y =f （x ）的解析式为（ ）A ． y =12sin(2x +π6)+1 B ． y =12sin(2x +π4)+1 C ． y =12sin(2x +π3)+1D ． y =12sin(2x +5π6)+111．在△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3，其面积s ∈[√32，3√32]，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的取值范围为（ ）A ． [π6,π4] B ． [π4,π3] C ． [π6,π3]D ． [2π3,3π4]12． 等差数列{a n }前n 项和为S n , (1+a 5)3+2018(1+a 5)=1,(1+a 2014)3+2018(1+a 2014)=−1,则下列结论正确的是 A ． S 2018=−2018,a 2014>a 5 B ． S 2018=2018,a 2014>a 5C ． S 2018=−2018,a 2014<a 5D ． S 2018=2018,a 2014<a 5二、填空题（本大题共4小题，共20．0分）13．为了解高三女生的身高情况，从高三女生中选取容量为60的样本（60名女生身高，单位：cm ），分组情况如下，则a =____________________．14．已知正数a，b满足2ab=2a+b，则a+8b的最小值是______．15．如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是。

16．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列四个论断中正确的是______（把你认为是正确论断的序号都写上）。

①若sinAa =cosBb，则B=π4或3π4；②若B= π4，b= 2，满足条件的三角形恰有一个，则a的取值范围是（0，2]；③在ABC中，若cos C= 2√23，b cos A+a cos B= 2，则△ABC的外接圆面积为9π；④若a=5，c=2，△ABC的面积S△ABC=4，则cos B= 35．三、解答题（本大题共6小题，共72分）17．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲82 81 79 78 95 88 93 84 乙92 95 80 75 83 80 90 85（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由。

第!异常的公式结尾页 4518．已知α∈（π2，π），且sinα= 513． （1）求sin2α的值；（2）若sin （α+β）=−35，β∈（0，π2），求sinβ的值．19．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等． （Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率； （Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．第!异常的公式结尾页620．如图（1），边长为的正方形中，分别为上的点，且，现沿把CDF ∆剪切、拼接成如图（2）的图形，再将ABD CDF BEC ∆∆∆,,沿折起，使三点重合于点A '。

（1）求证：CD A B ⊥'；（2）求四面体CD A B '-体积的最大值。

21．设数列{a n }满足,a 1=2，且a n =13a n−1+23(n ≥2)．（1）求证：数列{a n −1}为等比数列，并求数列{a n }的通项； （2）数列c n =2−3log 3(a n −1)，求数列{1c n ⋅c n +1}的前n 项和T n ．722．已知m ⃗⃗⃗ =（12sinωx ，√32），n ⃗ =（cosωx ，cos 2ωx −12），x ∈R ，ω＞0且函数f （x ）=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ，y =f （x ）的图象的一个对称中心到它的对称轴的最近距离为π2． （1）求f （x ）的单调递增区间和对称中心；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （A ）= 12，sin B =4 5，a =√3，求△ABC 的面积．答案和解析1．【答案】D【解析】解：A．c≤0不成立；B．c=0时不成立；C．取a=2，b=-1不成立；D．a•c2＞b•c2，可得a＞b．故选：D．利用不等式的基本性质即可得出．本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．C3．【答案】D【解析】解：关于x的不等式x2-ax-b＜0的解集是（-2，3），所以方程x2-ax-b=0的解-2和3，由根与系数的关系知，a=-2+3=1，-b=-2×3，解得b=6，所以a+b=7．故选：D．利用不等式x2-ax-b＜0与对应方程的关系，和根与系数的关系，求出a、b的值，再计算a+b．本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，也考查了根与系数的关系应用问题，是基础题．4．【答案】B【解析】第!异常的公式结尾页8解：∵B=45°，c=2，b=4，∴由正弦定理，可得：sinC===，∵c＜b，可得C＜45°，∴C=30°．故选：B．由已知利用正弦定理可求sinC的值，利用大边对大角，特殊角的三角函数值可求C的值．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．5．D6．【答案】B【解析】解：∵c=2bcosA，由正弦定理，可得：sinC=2sinBcosA，即sin（A+B）=2sinBcosA，sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA，∴sinAcosB-sinBcosA=0即sin（A-B）=0，∵A、B是△ABC的三内角，∴A=B．故△ABC的是等腰三角形．故选：B．利用正弦定理和三角形内角和定理化简即可判断．本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．7．【答案】C【解析】9解：当k=0时，不等式kx2-kx+1＞0可化为1＞0，显然恒成立；当k≠0时，若不等式kx2-kx+1＞0恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x轴无交点则解得：0＜k＜4综上k的取值范围是[0，4）故选：C．当k=0时，不等式kx2-kx+1＞0可化为不等式1＞0，显然成立；当k≠0时，不等式kx2-kx+1＞0恒成立，则，解不等式可求k的范围本题主要考查了二次不等式的恒成立问题的求解，解题的关键是熟练应用二次函数的性质8．【答案】B【解析】解：在△ABC中，若三边长分别为a=7，b=5，c=8，由余弦定理可得64=49+25-2×7×5cosC，∴cosC=，∴sinC=，===10．∴S△ABC故选：B．利用余弦定理求得cosC，再利用同角三角函数的基本关系求得sinC，代入△ABC的面积公式进行运算即可．本题考查余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，求出sinC是解题的关键．9．C第!异常的公式结尾页1010．【答案】A【解析】解：∵函数y=f（x）的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将整个函数图象向右平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y=sinx-cosx的图象；∴把函数y=sinx-cosx=sin（x-）的图象沿y轴向上平移1个单位，再将整个函数图象向左平移个单位，可得y=sin（x+-）+1=sin （x+）+1的图象，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得函数y=f（x）=sin（2x+）+1 的图象，故选：A．由题意利用两角差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查两角差的正弦公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．11．【答案】C【解析】解：∵；∴的夹角为锐角，设的夹角为θ，则：cosθ=3；∴；11又；∴；∴；∴；∴；∴与夹角的取值范围为．故选：C．可设与夹角为θ，则据题意得出θ为锐角，且，从而根据△ABC的面积可得出，这样根据正切函数在的单调性即可求出θ的范围．考查向量数量积的计算公式，三角形的面积公式，以及正切函数的单调性．12．【答案】C【解析】解：设缉私船在D处追上走私船，所用时间为t小时，则CD=5t，BD=5t，由题意可知∠CAD=90°，AC=，AB=1，∴AD=5t+1，由勾股定理可得（5t+1）2+3=75t2，解得t=或t=-（舍）．∴AD=3，故tan∠DCA==，∴∠DCA=60°，∴∠NCD=60°，第!异常的公式结尾页12故选：C．根据勾股定理计算追赶时间，从而可求出∠DCA，进而得出追赶方向．本题考查了解三角形的应用，属于基础题．13．0．4514．【答案】252【解析】解：∵正数a，b满足2ab=2a+b，∴，则a+8b=（a+8b）（）=，当且仅当且2ab=2a+b即a=，b=，时取得最小值故答案为：由已知可得，，从而a+8b=（a+8b）（），利用基本不等式即可求解本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，解题的关键是进行1的代换15．216．【答案】③【解析】解：对于①：由正弦定理：，可得cosBsinA=sinBsinA，即cosB=sinB，0＜B＜π，可得B=．故①错误；13对于②：由余弦定理可得：b2=a2+c2-2accosB，可得：c2-c+a2-4=0，∴△=0或a2-4≤0，∴解得：a=2或0＜a≤2，∴b的取值范围为（0，2]∪{2}，故②错误；对于③：∵bcosA+acosB=2，∴由余弦定理可得：b×+a×=2，整理解得：c=2，又∵cosC=，可得：sinC==，∴设三角形的外接圆的半径为R，则2R===6，可得：R=3，∴△ABC的外接圆的面积S=πR2=9π．故③正确；对于④：a=5，c=2，△ABC的面积S△ABC=acsinB=4，即sinB=，∵＜＜，∴＜B＜或＜B＜．∴cosB=±，故④错误．故答案为：③．根据正余弦定理和三角形内角和定理依次判断即可得答案．本题考查了正、余弦定理的灵活运用和计算能力，角的判断．考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17．【答案】解：（1）已知α∈（π2，π），且sinα=513．所以：cosα=−1213．所以：sin2α=2sinαcosα=−120169．（2）由于α∈（π2，π），β∈（0，π2），则：α+β∈(π2，3π2)，第!异常的公式结尾页1415所以：cos(α+β)=−45，则：sin β=sin[（α+β）-α]=(−35)⋅(−1213)−(−45)⋅513=5665．【解析】（1）直接利用同角三角函数的诱导公式的应用求出结果．（2）利用三角函数关系式的和角公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，同角三角函数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18．【答案】解：（1）在△ABC 中，由b 2+c 2=bc +a 2，可得：cos A =b 2+c 2−a 22bc =12， 又0＜A ＜π，故A =π3．（2）∵A =π3，a =√3，又∵b sinB =c sinC =√3√32=2，∴可得：b +c =2（sin B +sin C ）=2[sin B +sin （2π3-B ）]=2√3sin （B +π6），∵在锐角三角形ABC 中，π6＜B ＜π2，∴π3＜B +π6＜2π3，∴√32＜sin （B +π6）≤1， ∴b +c ∈（3，2√3]．【解析】（1）根据余弦定理即可求出可求cosA 的值，结合A 的范围可求A 的值．（2）根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求b+c=2sin （B+），第!异常的公式结尾页 16 根据范围＜B ＜，可求＜B+＜，利用正弦函数的性质可求其取值范围． 本题考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及推理论证能力、运算求解能力，转化与化归思想，属于中档题．19．【答案】解：（1）a =1时，函数f （x ）=（x +2）（x -1）， 不等式f （x ）＞0化为（x +2）（x -1）＞0，解得x ＜-2或x ＞1，所以不等式的解集为{x |x ＜-2或x ＞1}；（2）a ＜0时，不等式（ax +a +1）（x -1）＞0化为（x +1+1a ）（x -1）＜0， 若-12＜a ＜0，则-1-1a ＞1，解不等式得1＜x ＜-1-1a ；若a =-12，则-1-1a =1，不等式化为（x -1）2＜0，无解；若a ＜-12，则-1-1a ＜1，解不等式得-1-1a ＜x ＜1；综上所述，-12＜a ＜0时，不等式的解集为{x |1＜x ＜-1-1a }； a =-12时，不等式的解集为∅；a ＜-12时，不等式的解集为{x |-1-1a ＜x ＜1}．【解析】（1）a=1时不等式f （x ）＞0化为（x+2）（x-1）＞0，求出解集即可；（2）a ＜0时原不等式化为（x+1+）（x-1）＜0，讨论-＜a ＜0，a=-和a ＜-，从而求出不等式的解集．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，熟练掌握一元二次不等式的解法和分类讨论的思想方法是解题的关键．17 20．21．22．【答案】解：（1）已知m ⃗⃗⃗ =（12sin ωx ，√32），n ⃗ =（cos ωx ，cos 2ωx -12）， 函数f （x ）=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ，=12sin ωx cos ωx +√32（cos 2ωx −12）， =12sin(2ωx +π3)，由于y =f （x ）的图象的一个对称中心到它的对称轴的最近距离为π2， 故：函数的周期为2π，则：ω=12则：f （x ）=12sin(x +π3)．令：−π2+2kπ≤x +π3≤2kπ+π2（k ∈Z ），解得：−5π6+2kπ≤x ≤2kπ+π6（k ∈Z ），所以函数的单调递增区间为[−5π6+2kπ，2kπ+π6]（k ∈Z ）． 令：x +π3=kπ，解得：x =k π−π3（k ∈Z ）． （2）由于f （x ）=12sin(x +π3)．f （A ）=12，故：A =π6．sin B =45，a =√3，利用正弦定理得：a sinA =b sinB ，解得：b =8√35，sin C=sin（A+B）=45⋅12+35⋅√32=4+3√310，所以：S△ABC=12⋅a⋅b⋅sinC=8√3+1825．【解析】（1）首先利用平面向量的坐标运算和三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的对称中心和单调区间．（2）利用（1）的结论，进一步利用解三角形知识的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．第!异常的公式结尾页18。