2019小学奥数-工程问题(教师版)

（1工程问题在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是：工作量=工作效率×时间.探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.解题关键是把“一项工程”看成1个单位，抓住数量关系：工作效率×工作时间=工作总量，来解答。

要善于利用常见的数学思想方法，如假设法、转化法、代换法等。

工作的先后顺序可以改变（假设）；要善于抓住工作效率之间的关系，并适当将它转化为工作时间和工作量之间的关系，这样的转化和代换，往往能化难为易。

【例1】★用计算机录入一份书稿，甲单独做10天可以完成，乙单独做15天可以完成。

那么，乙中途休息了天。

【解析】假设乙中途没有生病休息，那么甲、乙两个人8天完成的工作量为14+）×8=10153多完成的工作量就是乙休息时干出来的，所以乙休息的天数为（41-1）÷=5（天）315【小试牛刀】一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？【解析】解一：甲做了3天，完成的工作量是311221 =，乙还需完成的工作量是1-=，要÷=4 933336（天）解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是（18-2×3）÷3=4（天）解三：甲与乙的工作效率之比是6∶9=2∶3.甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）【例2】★★一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？【解析】乙效：61，乙需50天；甲效：111，甲需75天。

(1-)÷40=-=3050305075【例3】★★某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？【解析】11-⨯2-⨯2⎪÷=天18【解析】此题可以将“甲、乙两人合作，需48天完成”转化成“甲做48天，乙做48天完成”。

对比得：甲做63-48=15（天）等于乙做48-28=20（天），由此得出甲效是乙效的204=153所以甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做21⨯43=28（天）因此，乙还要做28+28=56（天）【小试牛刀】一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问从开始到完工共用了多少天时间？【解析】乙休息时甲单独做8天，甲休息时乙单独做2天，共完成工作量8213+=103015余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是(1-1311)÷(+)=1（天）151030从开始到完工共用2+8+1=11天【例4】★★一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满。

现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时。

乙单独开几小时可以灌满？【解析】(1-111⨯2-⨯2)÷(6-2-2)=54201÷120=20（小时）【点评】要善于运用转化，根据“现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时灌满”，我们可以把乙管的6小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二个2小时和丙同时开、第三个2小时单独开。

这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同时开2小时，乙独开2小时，正好灌满一池水。

【小试牛刀】一项工程，甲独做6天完成，甲3天的工作量，乙要4天完成。

两队合做2天后由乙队独做，还要几天才能完成？1⨯3÷4=68⎛1⎫110⎝6⎭83【例5】★★★一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？【解析】①若甲、乙两人合作共需多少小时？②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？，甲一人独做需要1÷④共用了多少小时？【点评】在工程问题中，转换条件是常用手法。

“甲做1小时，乙做1小时，他们相当于合作1小时，也即是每2小时，相当于合做1小时．”这样先算一下一共进行了多少个这样的2小时，余下部分问题就好解决了．【例6】★★一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？【解析】设这件工作的工作量是1.甲乙两人合作每天完成111；乙丙两人合作每天完成；甲丙两人合作每天完成，3645601111甲、乙、丙三人合作每天完成(++)÷2=36456030所以甲每天完成1111-==90（天）30459090【例7】★★某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？【解析】设这项工作的工作量是1.甲组每人每天能完成1111÷3=；乙组每人每天能完成÷4=8247281111甲组2人和乙组7人每天能完成⨯2+⨯7=，他们合作要1÷=3（天）242833【例8】★★★甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？【解析】设水池容量为1.甲、乙两管共同注水3分钟，注入水量是31=9311112甲每分钟注入水量是(1-)÷10=；乙每分钟注入水量是-=3159154512因此水池容积是0.6÷(-)=27（立方米）1545【小试牛刀】蓄水池有甲、乙、丙三个进水管，甲、乙、丙管单独灌满一池水依次需要10，12，15时。

上午8点三个管同时打开，中间甲管因故关闭，结果到下午2点水池被灌满。

问：甲管在何时被关闭？【解析】上午9时。

【例9】★★★（小学数学奥林匹克决赛第9题）甲、乙两项工程分别由一、二队来完成。

在晴天，一队完成甲工作要12天，二队完成乙工程要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40％，二队的工作效率要下降10％。

结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？【解析】解法一：设晴天有x天，雨天有y天，⨯60％＝二队在下雨天的工作效率是：⨯90％＝⎧11⎧x=6⎪12所以有：⎨，解得：⎨⎩y=10此时完成了工程的1一队在下雨天的工作效率是：111220131550x+y=12013⎪x+y=1⎩155011111解法二：在晴天,一队、二队的工作效率分别为和，一队比二队的工作效率高-=；12151215601113在雨天，一队、二队的工作效率分别为×（1-40%）=和×（1-10%）=，二队的工12201550311作效率比一队高-=。

502010011由︰=5︰3知，601003个晴天5个雨天，两个队的工作进程相同，11×3+×5=，12202所以在施工期间，共有6个晴天10个雨天。

1.一项工作，甲单独做要10天，乙单独做要15天，甲乙合作2天后，还剩这项工作的几分之几？【解析】简单工程问题，232.一批书，小明9天可装订35，小丽20天可装订，合作共装订6天后，余下的小丽完成。

装订46完这批书共用了多少天？【解析】12天13.某工厂预计用30天加工完一批零件，先由18名工人干了12天，完成任务的，后来需要提前63天完成全部任务，问需要增加多少名工人？【解析】18名4.单独完成一件工作，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。

如果甲、乙二人合做2天后，剩下的继续由乙单独做，那么刚好在规定时间完成。

问：甲、乙二人合做需多少天完成？【解析】乙单独做要超过3天，甲、乙合做2天后乙继续做，刚好按时完成，说明甲做2天等于乙做3天，即完成这件工作，乙需要的时间是甲的乙需要10+5=15（天）。

甲、乙合作需要5.放满一个水池的水，若同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；若同时打开2，3，4号阀门，则21分钟可以完成；若同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；若同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成。

问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成？【解析】同时打开1，2，3号阀门1分钟，再同时打开2，3，4号阀门1分钟，再同时打开1，3，4号阀门1分钟，再同时打开1，2，4号阀门1分钟，这时，1，2，3，4号阀门各打开了3分钟，放水量等于一6.（小学数学奥林匹克）一件工程,甲队独做12天可以完成,甲队做3天后乙队做2天恰可完成一半,现在甲乙两队合做若干天后,由乙队单独完成,做完后发现两段所用时间相等,则共用多少天?【解析】甲队做6天完成一半,甲队做3天乙队做2天也完成一半,所以甲队做3天相当于乙队做2天。

即甲的工作效率是乙的22,从而乙独做12×=8天完成。

所说两段所用时间相等,每段时间应33是8÷(1+1+23)=3(天),因此共用3×2=6天。