抽样分布理论

2
i=1
χ 分布图示
2
fχ2 ( x)
0.5
k=1
0.4
k=2
0.3 0.2 0.1
k=6
O
2
4
6
8
10
12
14
x
3
注：
χ （1） 可以证明， 分布具有可加性：即 ） 可以证明， 分布具有可加性： 2 χ12 和 χ2 相互独立，且 相互独立， 若随机变量 2 χ12 ~ χ 2 (k1 ), χ2 ~ χ 2 (k2 ), 则它们的和 2 χ12 + χ2 ~ χ 2 (k1 + k2 ). 分位数： （2） 上α分位数：对于不同自由度 k及 ） 2 不同的数 α(0 < α < 1)，定义χα 为自由度为 k 2 分位数， 的 χ 分布的上 α 分位数，如果其满足 +∞ 2 2 P(χ ≥ χα ) = ∫ f χ ( x)dx = α χ 2 χ0.05 (15) = 25.0 例如： 例如：
12
例如： 0.05 例如： F ( 5,10) = 3.33
F α
F分布上α 分位数
fF ( x)
α
O
Fα
x
13
§5.5
正态总体统计量的分布
1.单个正态总体的统计量的分布
约定： 从总体 X中抽取样本容量为 n的样 约定： 本 X1, X2 ,L, Xn ，样本均值与样本方差分别是
2 1 n 1 n 2 X = ∑Xi , S = ∑( Xi − X ) n i=1 n −1 i=1
6
t分布图示
ft ( x)
k =∞, N ( 0,1)
k=6
k =2
O
x
7
注： （1） 可以证明，t ( ∞) ~ N ( 0,1) ） 可以证明， 分位数： （2） 上α分位数：对于不同自由度 k及 ） 不同的数 α(0 < α < 1)，定义 tα为自由度为 k 分位数， 的 t 分布的上 α 分位数，如果其满足
2 x
U=
σ
2 x
推论 N ( µy ,σ 2 )，则统计量 从 ( X −Y ) −( µx − µy )
U= 1 1 + σ nx ny
ny 2 设总体 X 服从 N ( µx ,σ )，总体 Y服
~ N ( 0,1)
nx
+
2 σy
~ N ( 0,1)
19
定理7 定理 设总体 X 服从 N ( µx ,σ )，总体 Y服 N ( µy ,σ 2 )，则统计量 从 ( X −Y ) −( µx − µy )
抽样分布理论
1
χ 分布 t 分布 F 分布 分布· 分布·
2
1. χ 分布
2
定理1 相互独立， 定理 设随机变量 X1, X 2 ,L, X k 相互独立， 且均服从 N(0,1) ，则称随机变量
χ 2 = ∑X i
k
χ2 χ 2 ~ χ 2 (k)。 服从自由度为k的 分布， 服从自由度为 的 分布，记作
P( t ≥ tα ) = ∫
+∞
例如： 例如： 0.05 (15) =1.753 t
tα
ft ( x) dx = α
8
t 分布上α 分位数
ft ( x)
α
O
tα
x
9
3. F 分布
定理3 相互独立， 定理 设随机变量 X ,Y 相互独立，分别 服 2 分布， 从自由度为 k1, k2的 χ 分布，则称随机变量
18
2.两个正态总体的统计量的分布 约定： 约定：从总体 X中抽取样本容量为 nx 的样
y
ny的样本 Y ,Y2,L,Yn 。假设所有的样本均独立。 假设所有的样本均独立。 1
定理6 定理 设总体 X 服从 N ( µx ,σ )，总体 Y服 2 N ( µy ,σ y )，则统计量 从 ( X −Y ) −( µx − µy )
14
值 X 满足
N ( µ,σ 2 )，则样本均 定理1 定理 设总体 X 服从
σ2 X ~ N µ, n
N ( µ,σ 2 ) ，则统计量 定理2 定理 设总体 X 服从 X −µ u= 满足 σ n X −µ u= ~ N ( 0,1) σ n
15
定理3 定理 设总体 X 服从 N ( µ,σ )，则统计量
2
T=
Sω
1 1 + nx ny
~ t ( nx + ny − 2)
其中， 其中，
Sω Sy (
nx + ny − 2
20
2 N ( µx ,σx )，总体 Y服 定理8 定理 设总体 X 服从 2 从 N ( µy ,σ y )，则统计量
F=
∑( Xi − µx ) ∑(Yi − µy )
2
χ =
2
1
σ
2
N ( µ,σ 2 ) ，则 定理4 定理 设总体 X 服从
∑( X − µ) 满足 1 χ = ∑( X − µ) σ
2 i=1 i n 2 2 i=1 i
n
2
~ χ2 ( n)
相互独立； （1）样本均值 X与样本方差 S2相互独立； ） 2
( n −1) S （2）统计量 χ = ） 满足 2 σ ( n −1) S2 ~ χ2 n −1 χ2 = ( ) 2
2
α
2 2
4
χ 分布上α 分位数
2
fχ2 ( x)
α
O
χα2
x
5
2. t 分布
定理2 相互独立， 定理 设随机变量 X ,Y 相互独立，且 X 服 2 Y 分布， 从 N(0,1) ， 服从自由度为 k 的 χ 分布，则称 随机变量 X
t= Yk
服从自由度为k的 分布， 服从自由度为 的 t 分布，记作 t ~ t ( k ) 。
2
σ
16
N ( µ,σ 2 )，统计量 定理5 定理 设总体 X 服从 X −µ t= 满足 S n X −µ t= ~ t ( n −1) S n
（本节各定理的证明从略）。 本节各定理的证明从略）。
17
本 X1, X2 ,L, Xnx；从总体 Y中抽取样本容量为 取自两个总体的样本均值和样本方差分别记作： 取自两个总体的样本均值和样本方差分别记作： 2 1 nx 1 nx 2 X = ∑Xi , Sx = ∑( Xi − X ) nx i=1 nx −1 i=1 ny ny 2 1 1 2 Y = ∑Yi , Sy = ∑(Yi −Y ) ny i=1 ny −1 i=1
X k1 F= Y k2
分布， 服从自由度为( k1, k2 )的 F 分布，记作F ~ F ( k1, k2 ) 称为第一自由度； 称为第二自由度。 其中 k1称为第一自由度； k2 称为第二自由度。
10
F分布图示
fF ( x)
(1,10)
( ∞,10)
(10,10) (5,10)
O
x
11
注： 分位数： （1） 上α分位数：对于不同自由度 ( k1, k2 ) ） 及不同的数α(0 < α < 1)，定义 F 为自由度 α 分位数， 为 ( k1, k2 )的 F分布的上α 分位数，如果其 满足 +∞ P( F ≥ F ) = ∫ fF ( x) dx = α α （2）可以证明，F−α ( k1,k2 ) ⋅ F ( k2 , k1 ) =1 ）可以证明， 1 α
i=1 i=1 ny
nx
2
2 nxσx 2 nyσ y
2
~ F ( nx , ny )
2 x
定理9 定理 设总体 X 服从 N ( µx ,σ )，总体 Y服 2 N ( µy ,σ y )，则统计量 从 2 2 Sx σx F = 2 2 ~ F ( nx −1, ny −1) S σy
21