复合函数知识总结与例题
根据复合函数知识点总结归纳
根据复合函数知识点总结归纳
一、复合函数的定义
复合函数是由两个函数组合而成的新函数。
给定两个函数 f(x)
和 g(x)，则它们的复合函数定义为 h(x) = f(g(x))。
二、复合函数的性质
1. 复合函数满足结合律：f(g(h(x))) = (f ∘ g) ∘ h(x) = f(g(h(x)))。
2. 复合函数满足交换律：f(g(x)) = g(f(x))。
3. 复合函数的定义域：复合函数 h(x) 的定义域取决于 g(x) 的
定义域。
三、求解复合函数
1. 已知构成复合函数的两个函数 f(x) 和 g(x)，将 g(x) 的输出作
为 f(x) 的输入，可以通过以下方法求解复合函数 h(x) = f(g(x))：- 将 g(x) 的表达式代入 f(x) 中，并化简得到 h(x)。
- 先求解 g(x)，再将其结果代入 f(x) 中，得到 h(x)。
2. 注意函数的定义域和值域，确保复合函数的求解是合理的。
四、复合函数的应用
1. 复合函数常用于描述复杂的运算关系，尤其是在数学和物理领域中。
2. 复合函数可以用于优化问题，通过将多个函数组合，实现更高效的计算和求解过程。
五、总结
复合函数是由两个函数组合而成的新函数，满足结合律和交换律。
求解复合函数需要注意定义域和值域，复合函数在数学和物理问题中有广泛的应用。
以上是关于复合函数的知识点总结归纳。
参考资料：。
复合函数知识总结材料及例题
复合函数问题一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。
例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。
解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x 解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11()即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111，解得x x ≠-≠-12且故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且 （2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。
例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。
函数的复合知识点及例题解析
函数的复合知识点及例题解析函数的复合是数学中一种常见的操作，它将一个函数和另一个函数结合起来，形成一个新的函数。
本文将介绍函数的复合的概念和使用方法，并通过例题进行解析。
复合函数的概念复合函数指的是将一个函数作为另一个函数的输入，得到一个新的函数作为输出。
复合函数的表达形式为 f(g(x))，其中 g(x) 是函数 g 的输出，f(g(x)) 是函数 f 对 g(x) 的输出进行操作后的结果。
复合函数的步骤要计算复合函数 f(g(x)) 的值，可以按照以下步骤进行：1. 将函数 g 的输出 g(x) 放入函数 f，得到 f(g(x))。
2. 将 x 值代入 g(x)，计算出 g(x) 的值。
3. 使用 g(x) 的值代入 f，计算出 f(g(x)) 的值。
复合函数的例题解析考虑以下例题：已知函数 f(x) = x^2，函数 g(x) = 2x + 1，求复合函数 f(g(x))。
按照步骤进行计算：1. 将函数 g 的输出 g(x) = 2x + 1 放入函数 f，得到 f(g(x)) = (2x + 1)^2。
2. 将 x 值代入 g(x) = 2x + 1，计算出 g(x) 的值。
3. 使用 g(x) 的值代入 f，计算出 f(g(x)) 的值。
假设 x = 3，代入 g(x) 得到 g(3) = 2 * 3 + 1 = 7。
将 7 代入 f，计算出 f(g(x)) = f(7) = 7^2 = 49。
所以，复合函数 f(g(x)) 的值为 49。
总结函数的复合是一种将两个函数结合起来的操作，可以通过将一个函数的输出作为另一个函数的输入，得到一个新的函数。
计算复合函数的值需要按照指定步骤进行，将各个部分代入相应的函数进行计算。
通过例题的解析，我们可以更好地理解和应用函数的复合概念。
以上是关于函数的复合知识点及例题解析的内容。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)
复合函数的定义域和解析式以及单调性【复合函数相关知识】1、复合函数的定义如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即()y f u =，()u g x =，那么y 关于x 的 函数(())y f g x =叫做函数()y f u =（外函数）和()u g x =（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y 。
例如：函数212x y += 是由2u y =和21u x =+ 复合而成立。
说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
2．求有关复合函数的定义域① 已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域的方法：已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域。
实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即)(b a u ,∈，)()(b a x g ,∈。
通过解不等式b x g a <<)(求得x 的范围，即为))((x g f 的定义域。
② 已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域的方法：若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域。
实际上是已知直接变量x 的取值范围，即)(b a x ，∈。
先利用b x a <<求得)(x g 的范围，则)(x g 的范围即是)(x f 的定义域。
3．求有关复合函数的解析式①已知)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。
②已知)]([x g f 求)(x f 的常用方法有：配凑法和换元法。
配凑法：就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换 成x 而得)(x f 。
复合函数知识点总结题型
复合函数知识点总结题型一、复合函数的定义1.1 复合函数的概念复合函数是指一个函数作用于另一个函数的结果，即一个函数的输入值是另一个函数的输出值。
设有两个函数f(x)和g(x)，那么复合函数可以表示为f(g(x))或g(f(x))。
例如，若f(x) = 2x，g(x) = x^2，则f(g(x)) = 2x^2，g(f(x)) = (2x)^2。
1.2 复合函数的符号表示复合函数一般用圆括号来表示，如f(g(x))或g(f(x))，表示函数g和f的复合函数。
若有多个函数进行复合，如f(g(h(x)))，则可以用括号表示复合次序，从内到外进行计算。
1.3 复合函数的定义域和值域复合函数的定义域和值域需要满足前一个函数的值域和后一个函数的定义域的交集，即f(g(x))的定义域是g(x)的定义域，f(g(x))的值域是f的值域。
二、复合函数的性质2.1 复合函数的可交换性对于函数f(x)和g(x)，一般情况下f(g(x)) ≠ g(f(x))，即复合函数的次序一般是不能交换的。
但对于一些特殊的函数，如幂函数、指数函数等，复合函数的次序可以交换。
2.2 复合函数的代数性质复合函数具有分配律、结合律等代数性质，如(f+g)(x) = f(x) + g(x)、(f·g)(x) = f(x)·g(x)等。
2.3 复合函数的可逆性如果两个函数f和g满足f(g(x)) = x和g(f(x)) = x，则称f和g是互逆的函数。
在这种情况下，f和g都是可逆的函数，且f(g(x))和g(f(x))互为逆函数。
三、复合函数的求导3.1 复合函数的导数法则复合函数的求导可以使用链式法则，即对于复合函数f(g(x))，其导数为f'(g(x))·g'(x)。
链式法则是求导复合函数的一般方法，可以推广到多重复合函数的情况。
3.2 复合函数的高阶导数对于复合函数的高阶导数，可以依次求导，或者使用高阶链式法则进行求导。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)
2
x 1
在区间 [0,) 上都是增函数。
其中正确命题的序号是：__________。 （把你认为正确的命题序号都填上）
7
2.函数 y e |ln x| | x 1 | 的图象大致是（
）
6
Go the distance
3． （2008 江苏南通模拟， 5 分） 设 f ( x) o g l
3 3
a
（ a 0 且 a 1） ， 若 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) 1 （ xi R ， x
a a a 函数.而实质上原函数的最大单调增区间是 , ,由 ,3 , 得 3 ,即 a 6 . 2 2 2
【过关检测】
1. （1） f ( x)
x 2 5x 4 ;
2） g ( x) ( ) 4( ) 5
4.求复合函数的单调性 若 u g ( x) 增函数 减函数 增函数 减函数 即“同增异减”法则 5.复合函数的奇偶性 一偶则偶，同奇则奇
【例题讲解】
y f ( x)
增函数 减函数 减函数 增函数
则 y f [ g ( x)] 增函数 增函数 减函数 减函数
一、复合函数定义域解析式 例1 设函数 f ( x) 2 x 3, g ( x) 3x 5 ，求 f ( g ( x)), g ( f ( x)) ．
1 2
2
2.求函数 y 4
x
3 2 x 5 的单调区间和值域.
例2
求 f ( x) = 5 - 4 x - x 2 的单调区间及值域
变式练习 2 求函数 f(x)= 2
复合函数习题大全
复合函数习题大全
1.基本概念
复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数。
设有函数f(x)
和g(x)，则两个函数的复合函数可以表示为f(g(x))。
2.复合函数的求导
对于两个函数的复合函数，可以通过链式法则来求导。
设有函
数f(x)和g(x)，则复合函数f(g(x))的导数可以表示为f'(g(x)) * g'(x)。
3.复合函数的求值
要求复合函数的值，需要先将内层函数的输出作为外层函数的
输入。
计算复合函数的值时，需要按照函数的定义顺序依次进行计算。
4.复合函数的题示例
题1：
已知函数f(x) = 2x^2 + 3x，g(x) = x + 1，求复合函数f(g(x))的
表达式。
题2：
已知函数f(x) = 3x - 1，g(x) = 2x^2，求复合函数f(g(x))的导数
f'(g(x)) * g'(x)。
题3：
给定函数f(x) = sin(x)，g(x) = cos(x)，求复合函数f(g(x))的值。
题4：
已知函数f(x) = x^2，g(x) = x + 1，求复合函数f(g(x))的值。
题5：
已知函数f(x) = 2x，g(x) = x^3，求复合函数f(g(x))的导数
f'(g(x)) * g'(x)。
以上是一些关于复合函数的题示例，通过解答这些题，可以帮
助理解和掌握复合函数的基本概念、求导方法和求值过程。
让我们通过练习习题，加深对复合函数的理解吧！。
复合函数的单调性例题和知识点总结
复合函数的单调性例题和知识点总结在数学的学习中，函数是一个非常重要的概念，而复合函数的单调性更是函数知识中的重点和难点。
理解并掌握复合函数的单调性，对于解决函数相关的问题有着至关重要的作用。
下面，我们将通过一些例题来深入探讨复合函数的单调性，并对相关知识点进行总结。
首先，我们来明确一下复合函数的概念。
如果函数$y=f(u)＄的定义域为$D_1$，函数$u=g(x)＄的值域为$D_2$，且$D_2\subseteq D_1$，那么对于定义域内的某个区间上的任意一个$x$，经过中间变量$u$，有唯一确定的$y$值与之对应，则变量$y$是变量$x$的复合函数，记为$y=fg(x)＄。
接下来，我们探讨复合函数单调性的判断方法——同增异减。
也就是说，当内层函数与外层函数的单调性相同时，复合函数为增函数；当内层函数与外层函数的单调性不同时，复合函数为减函数。
下面通过几个例题来加深对复合函数单调性的理解。
例题 1：求函数$f(x)＝＼log_2(x^2 2x ＋ 3)＄的单调性。
首先，令$u ＝ x^2 2x ＋ 3$，则$f(u) ＝＼log_2 u$。
对于$u ＝ x^2 2x ＋ 3$，其图象开口向上，对称轴为$x ＝ 1$。
所以$u$在$（＼infty, 1)＄上单调递减，在$（1, ＋＼infty)＄上单调递增。
而$f(u) ＝＼log_2 u$在定义域$（0, ＋＼infty)＄上单调递增。
因为内层函数$u$在$（1, ＋＼infty)＄上单调递增，外层函数$f(u)＄也单调递增，根据同增异减，所以复合函数$f(x)＄在$（1, ＋＼infty)＄上单调递增。
又因为内层函数$u$在$（＼infty, 1)＄上单调递减，外层函数$f(u)＄单调递增，所以复合函数$f(x)＄在$（＼infty, 1)＄上单调递减。
例题 2：求函数$f(x) ＝ 2^｛x^2 ＋ 2x 3}＄的单调性。
令$u ＝ x^2 ＋ 2x 3$，则$f(u) ＝ 2^u$。
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复合函数问题一、 复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A , u=g(x)的值域为B ，若A B ，贝U y 关于x 函数的 y=f [ g(x)]叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量•二、 复合函数定义域问题：(1)、已知f (x)的定义域，求f g(x)的定义域思路：设函数f (x)的定义域为D ，即x D ，所以f 的作用范围为D ，又f 对g(x)作用，作用范 围不变，所以g(x)D ，解得xE ，E 为f g(x)的定义域。
例1.设函数f (u)的定义域为(0,1)，贝U 函数f(ln x)的定义域为 ______________________ 。
解析：函数f (u)的定义域为(0, 1 )即u (0, 1)，所以f 的作用范围为(0,1) 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以0 Inx 1解得x (1, e)，故函数f (In x)的定义域为(1 , e ) 例2.若函数f (x)，则函数 x 1解析：先求f 的作用范围，由f (X ) 1，又f 对f(x)作用所以f(x) R 且f (x) 1，即f f(x)中x 应x 1即 1 ，解得x 1 — 1 x 1故函数f f (x)的定义域为x R|x 1且x 2(2 )、已知f g(x)的定义域，求f(x)的定义域思路：设f g(x)的定义域为D ，即x D ，由此得g(x) E ，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作 用，作用范围不变，所以 x E , E 为f (x)的定义域。
例3.已知f (3 2x)的定义域为x 1, 2，则函数f (x)的定义域为 ___________________所以f 的作用范围为 1, 5，又f 对x 作用，作用范围不变，所以 x 1, 5f f (x)的定义域为1 ，知x 1x 1即f 的作用范围为x R|x满足x 1 f(x)解析：f (32x)的定义域为 1, 2，即x1, 2，由此得 3 2x 1, 5围，f 的作用对象可以变，但f 的作用范围不会变。
利用这种理念求此类定义域问题会有 “得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。
三、复合函数单调性问题(1 )引理证明已知函数y f (g(x)).若u g(x)在区间(a,b )上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y f (u)在 区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y f(g(x))在区间(a,b )上是增函数.证明：在区间(a, b )内任取两个数 x 1, x 2，使a x 1x 2b因为u g(x)在区间(a,b )上是减函数，所以 g(xj g(x 2),记5g(x 」，u ?g(X 2)即U 1 u 2,且u 1,u 2 (c, d)2即函数f (x)的定义域为 1，5例4.已知f (x4)2ig 』 x8，则函数f (x)的定义域为解析：先求f 的作用范围，由f (x4)2x ig — x2x-2~x解得x 2 4 4，f 的作用范围为(4，)，又f 对x 作用, 作用范围不变，所以 x (4，即f (x)的定义域为(4,(3)、已知f g(x)的定义域，求fh(x) 的定义域思路：设f g(x)的定义域为D ，即x D ，由此得g(x) E ，f 的作用范围为E ，又f 对h(x)作 用，作用范围不变，所以 h(x) E ，解得xF ，F 为f h(x)的定义域。
例5.若函数f(2x )的定义域为1, 1 ，则 f(log 2 x)的定义域为解析：f(2x )的定义域为1, 1，即 x 1，1，由此得 2xf 的作用范围为 -，22，又f 对log 2 x 作用，所以 log 2 x2，解得x 2，4即f (log 2x)的定义域为、2，4评注：函数定义域是自变量x 的取值范围(用集合或区间表示)f 对谁作用，则谁的范围是 f 的作用范因为函数y f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(uj 仁上)，即f(g(xj) f(g(x2)),故函数y f(g(x))在区间(a,b)上是增函数.(2).复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。
为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表:以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”(3)、复合函数y f(g(x))的单调性判断步骤：i确定函数的定义域；ii将复合函数分解成两个简单函数：y f (u)与u g(x)。
iii分别确定分解成的两个函数的单调性；iv若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数，或都是减函数)，则复合后的函数y f (g(x))为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数，而另一个是减函数)，则复合后的函数y f(g(x))为减函数。
(4)例题演练例1、求函数y log1 (x222x3)的单调区间，并用单调定义给予证明2解：定义域x2x 3 0x3或x 1单调减区间是(3,)设X i,X2(3,)且人X2贝Uy i log iX222为3)y22log 1(x22x23)22(x12x-i 3)(X222x23)=(X2 xJ(X2 x(2) x2 x1 3 ••• x2 x10 x2x1 2 02 2 1••• (X i 2x i 3)>(X2 2X2 3) 又底数0 —12•y2 y i 0即y2 y i•y在(3,)上是减函数.同理可证：y在(，1)上是增函数+［例］2、讨论函数f(x) log a(3x2 2x 1)的单调性•［解］由3X22x 1 0得函数的定义域为亠 1{x|x 1,或 x —}•3则当a 1时，若x 1 ,••• u 3x22x 1为增函数，• f(x) log a(3x2 2x 1)为增函数.1若x ,••• u 3x22x 1为减函数.3•- f (x) log a(3x2 2x 1)为减函数。
2 1 当0 a1时，若x 1 ,贝y f(x) log a(3x2 2x 1)为减函数，若x —,则3f (x) log a(3x2 2x 1)为增函数.x __ ..例3、.已知y= log a (2- a )在］0 , 1 ］上是x的减函数，求a的取值范围.解：T a> 0且a丰1当a > 1时，函数t=2- a x>0是减函数x由y= log a (2- a )在］0,1 :上x的减函数，知y= log a t是增函数，• a > 1由x :0 , 1 ］时，2- a x2-a >0,得a v2,• 1 v a v 2当0<a<1时，函数t=2- a x>0是增函数•由y= log a (2- a x)在］0,1 :上x的减函数，知y= log a t是减函数，•0<a<1 ・由x :0 , 1 ］时，2- a x2-1 >0, • 0<a<1综上述，0<a<1或1 v a v 2-例4、已知函数f(x 2) ax2(a 3)x a 2 ( a为负整数)的图象经过点(m 2,0), m R，设g(x) f ［f (x)］, F(x) pg(x) f (x).问是否存在实数p(p 0)使得F(x)在区间(,f (2)］上是减函数，且在区间(f(2),0)上是减函数？并证明你的结论。
［解析］由已知f(m 2) 0,得am2(a 3)m a 2 0 ,其中m R,a 0. •••0 即3a22a 9 0,1解得2打a1 2,7 33•/ a为负整数，• a 1.•- f(x2) x4x 3(x 2)21即f (x)x21g(x)f[f(x)]/ 2 八2 , 4 ^2(x 1) 1 x 2x ,•- F(x)pg(x)f(x)px4(2p1)x2 1.假设存在实数p(p 0)，使得F(x)满足条件，设X1 X2 ,•F(x i) F(X2)(X i2x2)[ p(xf x2) 2p 1].••• f(2)3，当x i,X2 ( , 3)时，F(x)为减函数，•F(x1) F (x2) 0，•x-|2x^ 0, p(x12x^) 2 p 1 0.■/ x13,x23, • x? x^ 18,p(x12xi) 2 p 1 16p 1,•16p 1 0.①当X1,X2 ( 3,0)时,F(x)增函数 5 * *F(X1)F(X2)0.•/ x2 x2 0, •p(x12x2) 2p116p 1,•16p 1 0.②由①、②可知p1，故存在16p116.一.指数函数与对数函数•同底的指数函数y X a与对数函数y log a X互为反函数;(二)主要方法：1 •解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2 •指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；3 •比较几个数的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差.(三)例题分析：2 b例1 • (1 )若a b a 1，则log b, log b a , log a b从小到大依次为________________________ ；a(2 )若2x 3y 5z，且x , y , z都是正数，则2x, 3y , 5z从小到大依次为______________________(3 )设x 0，且a b 1 ( a 0, b 0)，则a与b的大小关系是()(A) b a 1 ( B) a b 1 (C) 1 b a ( D ) 1 a bb b解：(1)由a2 b a 1 得一 a，故log b 一 log b a 1 log a b .a a(2 )令2x 3y5z t，则t1,lgtx , ylgtzlgt ig2 y lg3lg5• 2x 3y 2lgt3lgt lgt(lg9 lg8)0, • 2x3y; lg2lg3lg2 lg3同理可得：2x 5z0 ,•.2x5z3y2x 5z . (3 )取x 1 ,知选(B ) 例2 •已知函数f (x)X a X2 (a1),求证：(1 )函数f (x)在( 1,)上为增函数；(2) 方程f(x)0没有负数根. 证明：(1 )设1 为X2,则f (x,) f (x2) a x1X12a X2X22X11X21一x 2X1 2X22X13(X1 X2)a a a ax11X21(X11)(X2 1)1 x-i x2, •为10 , X2 10, X1X20,3(X1 X2)0 ;(X1 1)(X2 1)••• 1 人X2,且a1, . X1 X2…a a, …a Xa2 0• f (X1) f (X2) 0 , 即f(X1) f (X2), •函数f(x)在('1,)上为增函数；(2 )假设X0是方程f (X)0的负数根,且X01,则a X0X0 20,X0 1即a" 2 X0 3(X。