简谐运动周期公式的推导

简谐运动周期公式的推导

【摘要】：本文通过简谐运动与圆周运动的联系，用圆周运动的周期公式推导出了简谐运动周期公式。

【关键辞】：简谐运动、周期、匀速圆周运动、周期公式

【正文】：

考虑弹簧振子在平衡位置附近的简谐运动，如图2所示。它的运动及受力情况和图3所示的情况非常相似。在图3中，O 点是弹性绳（在这里我们设弹性绳的弹力是符合胡克定律的）的原长位置，此点正好位于光滑水平面上。把它在O 点的这一端系上一个小球，然后拉至A 位置由静止放手，小球就会在弹性绳的作用下在水平面上的A 、A ’间作简谐运动。如果我们不是由静止释放小球，而是给小球一个垂直于绳的恰当的初速度，使得小球恰好能在水平面内以O 点为圆心，以OA 长度为半径做匀速圆周运动。那么它在OA 方向的投影运动（即此方向的分运动）与图3中的简谐运动完全相同。证明如下： 首先，两个运动的初初速度均为零（图4中在OA 方向上的分速度为零）。 其次，在对应位置上的受力情况相同。

由上面的两个条件可知这两个运动是完全相同的。

在图4中小球绕O 点转一圈，对应的投影运动（简谐运动）恰好完成一个周期，这两个时间是相等的。因此我们可以通过求圆周运动周期的方法来求简谐运动的周期。

如图5作出图4的俯视图，并建以O 为坐标原点、OA 方向为x

轴正方向建直角坐标图2

图3

图4

系。

则由匀速圆周运动的周期公式可知：

ωπ

2=T (1)

其中ω是匀速圆周运动的角速度。

小球圆周运动的向心力由弹性绳的弹力来提供，由牛顿第二定律可知：

r m kr 2ω= (2)

式中的r 是小球圆周运动的半径，也是弹性绳的形变量；k 是弹性绳的劲度系数。 由（1）（2）式可得：

k

m T π

2= 二零一一年三月九日

图5