简谐运动的动力学条件和周期公式的推导
单摆周期公式的推导
F = m a 2 + g 2 ，因此，
a F′ T
G
图6
g ′ = a 2 + g 2 ，单摆的周期T = 2
x = Asin(t + ) 。这说明小球的位移 x 是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，
其变化的角速度为 = k = 2 ，从而得到作简谐运 mT
动物体的周期为T = 2 m 。 k
l
A
二．单摆周期公式的推导 单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小
球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，
m 动系统中，还应包括惯性力，惯性力的大小 F ′ = ma ，方向与系统的加速度的方向相反）
此时，单摆的周期公式就变成了T = 2 l 。 g'
例 2．在电场中带电摆球的摆动周期 如图 3 所示，长为 L 的绝缘细线下端系一带电量为 + q 、质量为 m 的小球，整个装置处
于场强为 E 方向竖直向下的匀强电场中，在摆角小于 50 时，求它的摆动周期。
始终沿着摆线方向的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力 F = mg + ma ，
因此 g′ = F = g + a ，所以单摆的周期T = 2 m
L g′
=
2
L。 g+a
如图 6 所示，若单摆处于沿水平方向作匀加速直线运动的系统内， 单摆的摆 长为 L ，系统水平向右的加速度为 a ，摆球的质量为 m ，求这一单摆的 周期。
解析 小球在垂直于纸面内作简谐运动时，其等效摆长为
简谐运动的表达式动力学表达式
性，在关于平衡位置对称的两个位置，动能、势 能相等，位移、回复力、加速度大小相等，方向 相反,速度大小相等，方向可能相同，也可能相 反,振动过程相对平衡位置两侧的最大位移值相等.
3.周期性——简谐运动的物体经过相同时间t=nT(n) 为整数,必回复到原来的状态,经时间t=(2n+1) T2 (n为整数)，则物体所处的位置必与原来的位置 关于平衡位置对称，因此在处理实际问题中，
图2 3.简谐运动的能量
简谐运动过程中动能和势能相互转化，机械能 守恒，振动能量与 振幅 有关， 振幅 越大， 能量越大.
二、简谐运动的两种基本模型
弹簧振子（水 平）
单摆
模型示意图
条件 平衡位置
回复力
忽略弹簧质量、 无摩擦等阻力
细线不可伸长、质量 忽略、无空气等阻力、 摆角很小
弹簧处于原长处
最低点
度方向上的力充当向心力，即F向=F-mgcosθ；摆 球重力在平行于速度方向上的分力充当摆球的回复
力.当单摆做小角度摆动时，由于F回=-mgsinθ= - mg x=-kx，所以单摆的振动近似为简谐运动.
l
3.单摆的周期公式 (1)单摆振动的周期公式T=2π l ,该公式提供了
g
一种测定重力加速度g的方法. (2)l为等效摆长,表示从悬点到摆球重心的距离, 要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在
2. 简谐运动的描述 （1）描述简谐运动的物理量 ①位移x：由平衡位置指向振动质点所在位置的 有向线段表示振动位移，是矢量. ②振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离， 是标量，表示振动的强弱. ③周期T和频率f:做简谐运动的物体完成 一次 全振动所需要的时间叫周期，而频率则等于单 位时间内完成 全振动的次数 ；它们是表示振动 快慢的物理量.二者互为倒数关系.
简谐振动及其周期推导与证明(原创)
简谐振动及其周期公式的推导与证明简谐振动：如果做机械振动的物体，其位移与时间的关系遵从正弦（或余弦）函数规律， 这样的振动叫做简谐振动。
位移：用x 表示，指振动物体相对于平衡位置的位置变化，由简谐振动定义可以得出x 的一 般式：)cos(ϕω+=t A x （下文会逐步解释各个物理符号的定义）；振幅：用A 表示，指物体相对平衡位置的最大位移；全振动：从任一时刻起，物体的运动状态（位置、速度、加速度），再次恢复到与该时刻完 全相同所经历的过程；频率：在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率，用f 表示；周期：物体完成一次全振动所用的时间，用T 表示；角频率：用ω表示，频率的2π倍叫角频率，角频率也是描述物体振动快慢的物理量。
角频 率、周期、频率三者的关系为：ω=2π/T =2πf ；相位：ϕωφ+=t 表示相位，相位是以角度的形式出现便于讨论振动细节，相位的变化率就是角频率，即dtd φω=； 初相：位移一般式中ϕ表示初相，即t =0时的相位，描述简谐振动的初始状态；回复力：使物体返回平衡位置并总指向平衡位置的力。
（因此回复力同向心力是一种效果力）如果用F 表示物体受到的回复力，用x 表示小球对于平衡位置的位移，对x 求二阶导即得：)cos(2ϕωω+-=t A a又因为F=ma ，最后可以得出F 与x 关系式：kx x m F -=-=2ω由此可见，回复力大小与物体相对平衡位置的位移大小成正比。
式中的k 是振动系统的回复力系数（只是在弹簧振子系统中k 恰好为劲度系数），负号的意思是：回复力的方向总跟物体位移的方向相反。
简谐振动周期公式：km T π2=，该公式为简谐振动普适公式，式中k 是振动系统的回复力 系数，切记与弹簧劲度系数无关。
单摆周期公式：首先必须明确只有在偏角不太大的情况（一般认为小于10°）下，单摆的运 动可以近似地视为简谐振动。
我们设偏角为θ，单摆位移为x ，摆长为L ，当θ很小时，有关系式：Lx ≈≈≈θθθtan sin ， 而单摆运动的回复力为F=mgsin θ，那么单摆运动中回复力系数L mg k =，代入简谐振动周期普适公式可得： gL T π2= 简谐振动周期公式推导与证明：（1）求导法：对x 求二阶导，得：)cos(2ϕωω+-=t A a ，由F=ma= -kx 得：mk =ω， km T πωπ22==。
单摆周期公式的推导
单摆周期公式的推导一．简谐运动物体的运动学特征作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力F 与物体相对于平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反，用公式表示可以写成kx F −=，其中k 是比例系数。
对于质量为m 的小球，假设t 时刻（位移是x ）的加速度为a ，根据牛顿第二运动定律有：kx ma F −==，即xmka −=因此小球的加速度a 与它相对平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反。
因为x （或F ）是变量，所以a 也是变量，小球作变加速运动。
把加速度a 写成22dt x d ，并把常数m k写成2ω得到x dtxd 222ω−=。
对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为)sin(ϕω+=t A x 。
这说明小球的位移x 是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，其变化的角速度为Tm k πω2==，从而得到作简谐运动物体的周期为kmT π2=。
二．单摆周期公式的推导单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，都可以认为是一个单摆。
当摆球静止在O 点时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 平衡，如图1所示，这个O 点就是单摆的平衡位置。
让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 就不再平衡。
在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置O 附近来回往复运动。
当摆球运动到任一点P时，重力G 沿着圆弧切线方向的分力θsin 1mg G =提供给摆球作为来回振动的回复力θsin 1mg G F ==，当偏角θ很小﹝如θ＜010﹞时，lx≈≈θθsin ，所以单摆受到的回复力x lmgF −=，式中的l 为摆长，x 是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反，由于m 、g 、L 都是确定的常数，所以lmg可以用常数k 来表示，于是上式可写成kx F −=。
因此，在偏角θ很小时，单摆受到的回复力与位移成正比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。
简谐运动的动力学条件和周期公式的推导
简谐运动的动力学条件和周期公式的推导简谐运动是指任一物体在弹性力作用下做往复运动的运动形式。
简谐运动的动力学条件可由牛顿第二定律推导得到，而周期公式可以通过运动方程和周期性的特点得到。
首先，考虑一个质点在弹性力作用下做简谐运动的情况。
设该质点的质量为m，位移为x(t)，加速度为a(t)，弹性力的大小为F，方向与位移方向相反。
根据牛顿第二定律，可以得到：F = ma将弹性力分解为恢复力和阻尼力两部分，得到：F = -kx - bv其中，k为弹簧的弹性系数，b为阻尼系数，v为该质点的速度。
将上述两个方程整理得到：ma = -kx - bv设该运动的角频率为ω，即ω^2=k/m，则上述方程可以改写为：m(d^2x/dt^2) = -kx - b(dx/dt)将上式变形可得：d^2x/dt^2 + b/m(dx/dt) + k/mx = 0上述方程即为简谐运动的特征方程，通过求解特征方程可以求得x(t)。
设x(t)的解为：x(t) = A cos(ωt + φ)其中，A为振幅，φ为初相位。
将x(t)代入到特征方程中，可以得到：-Aω^2 cos(ωt + φ) + b/m(-Aωsin(ωt + φ)) + (k/m)Acos(ωt + φ) = 0化简上式可以得到：A(ω^2 - (b/m)ω) cos(ωt + φ) + (b/m)Aω sin(ωt + φ) = 0上式左右两边都乘以1/A，可得：(ω^2 - (b/m)ω) cos(ωt + φ) + (b/m)ω sin(ωt + φ) = 0由于振幅A不为零，因此上式中的括号内的内容必须为零，即：ω^2-(b/m)ω=0解上式可以得到两个解ω1=0和ω2=b/m。
显然，ω1=0表示没有振动，因此我们只考虑ω2=b/m的情况。
将ω=b/m代入到x(t)中，可得到：x(t) = A cos((b/m)t + φ)其中，（b/m）t+φ被称为相位角。
高中物理复习：简谐运动规律
做机械振动的物体的偏离平衡位置的位移x 随时间t 做正弦规律变化时，物体的运动就被称之为简谐运动，其基本规律是sin()x A t ωϕ=+，其中ω为简谐运动的圆频率，由振动系统本身决定，A 为振幅，φ为初相位，这两者由振动系统的初始状态决定。
一、求导角度理解已知位移随时间的变化规律，即可根据x v t ∆=∆和v a t∆=∆得出振动物体的速度、加速度随时间的变化规律，这需要用到求导的知识。
1、简谐运动的速度规律：由x v t∆=∆得m cos()cos()v x A t v t ωωϕωϕ'==+=+，其中m v A ω=。
2、简谐运动的加速度规律：由v a t ∆=∆得2m sin()sin()a v A t a t ωωϕωϕ'==-+=-+，其中2m a A ω=。
由上述分析可知，振动物体的位移x 和速度v 这两个物理量中，一个振动量按正弦规律变化，另一个振动量就按余弦规律变化，而且有2a x ω=-，即振动物体的加速度a 大小正比于物体偏离平衡位置的位移x ，方向与位移x 的方向相反。
二、从运动方程角度理解将2a x ω=-写成微分方程，即222d d x x t ω=-，由数学知识可知，这个方程的解为sin()x A t ωϕ=+，其中A 为振幅，φ为初相位，这两者由振动系统的初始状态决定。
三、从动力学角度理解由牛顿第二定律，有2F ma m x ω==-，令2k m ω=，可得F kx =-，即做简谐运动的物体的回复力F 大小正比于物体偏离平衡位置的位移x ，方向与位移x 的方向相反。
将2k m ω=变形，可得ω=，则振动系统的周期为2πT ω==，此即为做简谐运动的物体的周期公式，由这个公式可以看出，简谐运动的周期仅仅由振动系统本身决定——振动物体的质量m 和比例系数k 。
对于弹簧振子模型，可以这样理解T =相同的回复力引起的加速度越小，振子回到平衡位置的时间就会越长；从最大位移处回到平衡位置过程中，弹簧的劲度系数越小，则相同位移处的回复力越小，振子的加速度越小，振子回到平衡位置的时间就会越长。
探究各种复摆简谐运动周期的推导方法
探究各种复摆简谐运动周期的推导方法复摆简谐运动是指一个由两个相互连接的摆构成的系统，在受到一定的初速度或初始位移后，将以简谐运动的方式来摆动。
这种运动周期的推导方法有多种，下面将探讨其中几种常用的方法。
方法一：拉格朗日方程利用拉格朗日方程可以简洁地推导出复摆简谐运动的周期。
拉格朗日方程是基于系统的动能和势能之差进行建立的。
首先，确定系统的广义坐标。
对于一个由两个相互连接的摆构成的复摆，我们选择两个摆的摆角（广义坐标）作为系统的广义坐标。
然后，确定系统的拉格朗日函数。
根据动能和势能的定义，可得系统的拉格朗日函数。
复摆的动能为两摆的动能之和，而势能为两摆的势能之和。
接下来，使用拉格朗日方程进行推导。
将拉格朗日函数对广义坐标的导数等于力的关系代入，然后根据受力分析计算出各自的力关系，即可得到运动方程。
最后，根据运动方程并进行适当的数学处理，可以得到复摆简谐运动的周期。
方法二：等效单摆法等效单摆法是将复摆简化为单摆，然后利用单摆的周期公式来推导出复摆的周期。
对于一个复摆而言，我们可以通过将两个摆的长度合并为一个等效的单摆长度，将两个摆的质量合并为一个等效的单摆质量，从而得到一个等效的单摆系统。
等效单摆的周期公式为T=2π√(l/g)，其中T为周期，l 为等效单摆的长度，g为重力加速度。
然后，将等效单摆的结果代入到复摆的周期公式中，即可得到复摆的周期。
方法三：近似展开在一些情况下，我们可以使用近似展开的方法来推导复摆简谐运动的周期。
例如，当摆角较小（小于10°）时，可以将正弦函数在小角度范围内进行泰勒展开。
根据泰勒展开的前几项，我们可以得到一个近似的周期公式。
具体来说，可以将复摆的运动方程根据泰勒展开式进行近似处理，然后继续代入进行数学计算，最后可以得到一个近似的周期公式。
需要注意的是，以上推导方法都是基于一定的简化假设和近似条件进行的。
在实际问题中，可能需要考虑更多的因素和复杂的计算方法来得到准确的周期结果。
如何判定是简谐运动
如何判定物体作简谐振动一、概念和规律1、定义：（象弹簧振子那样）物体在跟位移（相对于平衡位置）大小成正比，并且总是指向平衡位置的力作用下的振动，叫做简谐运动。
2、动力学特点：F回= -kx 。
3、简谐运动的周期：简谐运动的周期可表示为：T＝2πm。
k故：简谐运动的周期与振动物体的质量的平方根成正比，与振动系统的比例常数（回复系数）的平方根成反比，而与振幅无关。
对弹簧振子而言：弹簧振子的周期与振子的质量的平方根成正比，与弹簧的劲度系数的平方根成反比，而与振幅无关。
二、判断简谐运动的方法：例1、如图1和2所示装置中，小球的运动是振动、是简谐运动吗？接触面均光滑。
解析:图1中, 从能量角度考虑,小球将在斜面AB与BC上往复运动,是机械振动.小球在AB斜面上的运动.受重力和斜面弹力作用:在垂直斜面方向上,重力的分力G cosα与斜面弹力N平衡;在平行斜面方向上,只有重力的分力Gsinα沿斜面AB向下,为恒力,不随小球相对于B点的位移变化而变化.同理,小球在斜面BC上运动时,其受力Gsinβ沿斜面BC向下,也为恒力,不随小球相对于B点的位移变化而变化.综合小球在ABC斜面上的受力情况.不满足F回= -kx的关系,故不是简谐运动.图2中, 从能量角度考虑,小球将在斜面AB与BC上往复运动,是机械振动.小球在光滑圆弧形凹槽中运动,受重力和凹槽弹力作用:在凹槽半径R方向,弹力N与重力的分力G cosθ提供向心力;在轨道切线方向上,重力的分力Gsinθ提供回复力.即:F 回= Gsinθ,当θ≤5O时, sinθ≈θ.弦=||AB弧││, 小球相对于平衡位置的位移x=≈|mg.|AB││=s=Rθ,则F回= Gsinθ≈Gθ≈xR对指定的小求和凹槽轨道,m、R均为定值,故mg为一不变的常量,再考虑到回R复力F回与振动物体相对于平衡位置的位移x方向相反,则F回= -kx 。
故当θ≤5O时,小球的运动是简谐运动.例2、截面为S，长为l的均匀木棍竖直浮在水面上。
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简谐运动的动力学条件和周期公式的推导
[摘要]：本文从简谐运动的概念出发，
用数学知识，推理出了简谐运动的动力学条件及弹簧振子的周期公式、单摆做小角度摆动的周期。
从逻辑上对机械振动一章的知识有了一
个整体的认识。
[关键词]：简谐运动，动力学条件，周期公式，弹簧振子，单摆
[正文]
课程标准实验教科书《物理》3—4第十一章从运动学的角度对简谐运动进行了定义，恰好从数学课上学生也学到了关于导数的知识。
这就为构造简谐运动的逻辑提供了条件，通过这样的一个逻辑构造，可以让学生体会数学在物理学中的应用。
同时，也可以让学生充分体会物理学逻辑上的统一美。
激发学生学习物理，从理论上探究物理问题的兴趣和决心。
如果质点的位移与时间的关系遵从正弦的规律，即它的振动图象（
x —t 图象）是一条正弦，这样的运动叫做简谐运动。
由定义可知，质点的位移时间关系为t A x
sin ………………（1）对时间求导数可得速度随时间变化的规律：t A dt
dx
v cos ………………（2）再次对埋单求导数可得加速度随时间变化的规律：t A dt dv
a sin 2 (3)
由牛顿第二定律可知，质点受到的合力为：
ma F
………………（4）由（3）（4）可知：
t mA F sin 2 (5)
将（1）式代入（5）式可得：
x m
F
2..................（6）上式中，m 和都是常数，从而可以写成下面的形式kx F (7)
其中2m k ，至此得到了质点做简谐运动的动力学条件：质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置。
对于的弹簧振子来说，（7）式中的k 表示弹簧的劲度系数，对比（6）式可知k m 2，
即
m k
(8)
由数学知识知，质点完成一次全振动的时间，即周期
T
(9)
由（8）（9）可得：k
m T 2………………（10）至此，得到了弹簧振子的周期公式，它表明，振子的周期与振子的质量和弹簧的劲度系数有关，而与振幅无关，这正是我们所熟知的。
下面讨论单摆的周期公式。
设单摆的摆长为
l ，球的质量为m ，做小角度摆动时，在某个瞬间的摆角为，偏离平衡位置的位移为x 。
根据l x
sin 知，它的回复力x l mg F
………………（11）对比（7）式可知，l mg
k ，将这个结果代入（
10）可得单摆小角度摆动的周期g
l T 2………………（12）2012年3月6日星期二。