简谐运动的周期、频率、振幅、相位
《简谐运动》 知识清单
《简谐运动》知识清单一、什么是简谐运动简谐运动是一种理想化的机械运动模型。
它的定义是：如果一个物体所受到的力跟它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且力的方向总是指向平衡位置，那么这个物体的运动就叫做简谐运动。
比如常见的弹簧振子，就是一种典型的简谐运动。
当弹簧一端固定，另一端连接一个物体，将物体拉离平衡位置后释放，它就会在平衡位置附近做往复运动，这种运动就是简谐运动。
二、简谐运动的特点1、受力特点物体所受的回复力F 与位移x 大小成正比，方向相反，即F ＝kx，其中 k 是比例系数，叫做回复力系数。
回复力是使物体回到平衡位置的力。
在弹簧振子中，回复力就是弹簧的弹力；在单摆中，回复力是重力沿圆弧切线方向的分力。
2、运动特点简谐运动是一种周期性运动，具有重复性和对称性。
（1）重复性：物体在相同的时间间隔内，重复相同的运动状态。
（2）对称性：关于平衡位置对称的两点，速度大小相等、方向相反；加速度大小相等、方向相反；位移大小相等、方向相反。
3、能量特点在简谐运动中，系统的机械能守恒。
当物体远离平衡位置时，动能减小，势能增大；当物体靠近平衡位置时，动能增大，势能减小。
但总的机械能保持不变。
三、简谐运动的表达式简谐运动的位移时间关系可以用正弦函数或余弦函数来表示：x ＝A sin(ωt ＋φ) 或 x ＝A cos(ωt ＋φ)其中，A 表示振幅，是物体离开平衡位置的最大距离；ω 是角频率，ω ＝2π/T，T 是周期；φ 是初相位，决定了运动的初始状态。
四、简谐运动的周期和频率1、周期完成一次全振动所需要的时间叫做周期，用 T 表示。
周期的大小由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。
对于弹簧振子，T ＝2π√（m/k)，其中 m 是振子的质量，k 是弹簧的劲度系数。
对于单摆，T ＝2π√（L/g)，其中 L 是摆长，g 是重力加速度。
2、频率单位时间内完成全振动的次数叫做频率，用 f 表示。
频率与周期互为倒数，即 f ＝ 1/T。
简谐运动中的振幅周期频率和相位资料重点
o
t
- A2
o
A1
-A1
A2
x
A1
x1 反相
两质点同时到达各
A2 o
- A2
x2
自相反方向的极端位置，
T
同时越过原点但向相反
t
方向运动.
-A1
A2
o
A2
9 – 2 简谐运动中的振幅 周期 频率和相位
➢ 超前和落后：
第九章 振 动
若 = 2- 1>0, 则 x2比x1较早达到正最大, 称x2比x1超前
k g
mb
( mg kb 0)
自然长度
F
b
当 t 0 时, x0 b ，0 0
mg
则 A
x02
02 2
b
arctg
0 x0
x b cos
1 （单位时间内的振动次数）
T 2π
9 – 2 简谐运动中的振幅 周期 频率和相位
第九章 振 动
圆频率 2π 2π
T
角频率(angular frequency)
(2 秒内的振动次数)
x
A
o
xt 图
T
T
t
A
2
注意
弹簧振子周期 T 2π m
k
周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关
9 – 2 简谐运动中的振幅 周期 频率和相位
第九章 振 动
简谐振动为
x2
v2
02
A2
v v
o
vx
• 简谐振动的相轨迹是椭圆，其形状大小取决于 初始条件。
9 – 2 简谐运动中的振幅 周期 频率和相位
第九章 振 动
例题 : 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，
简谐运动中的振幅 周期 频率和相位
13–2 简谐运动中的振幅 周期 频率和相位 第十三章 机械振动
x 简谐运动中， x和 v
间不存在一一对应的关系. A
x Acos(t ) o
v A sin(t ) A
v v
T 2
xt 图
v T t
三 相位 t
1） t ( x, v) 存在一一对应的关系;
2）相位在 0 ~ 2π 内变化，质点无相同的运动状态；
sin 0 取 π
2
x Acos(t π )
2
x
A
o
A
v
x
o
Tt
T 2
13–2 简谐运动中的振幅 周期 频率和相位 第十三章 机械振动
一 振幅
A xmax
二 周期、频率
x Acos(t )
x xt图
A
o
Tt
T
A
2
Acos[(t T ) ]
周期 T 2π
频率 1
T 2π
圆频率 2π 2π
T
弹簧振子周期注意T 2π m Nhomakorabeak
周期和频率仅与振动系 统本身的物理性质有关
x0 A cos v0 Asin
A
x02
v02
2
tan v0 x0
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定.
13–2 简谐运动中的振幅 周期 频率和相位 第十三章 机械振动
讨论 已知 t 0, x 0, v 0求
0 Acos
π
2
v0 A sin 0
相差 2nπ (n为整数 )质点运动状态全同.（周期性）
3）初相位 (t 0) 描述质点初始时刻的运动状态.
大一简谐运动知识点归纳
大一简谐运动知识点归纳简谐运动是物理学中一个重要的概念，它是指物体在受到一个恢复力（即与偏离平衡位置成正比的力）作用下以一定频率做往复振动的运动。
简谐运动具有许多特点和规律，本文将对大一学生需要掌握的简谐运动知识点进行归纳和总结。
一、简谐运动的基本特点简谐运动的基本特点包括：振动物体的周期、频率、振幅和相位。
周期指的是一个完整振动所需要的时间，通常用T表示，单位是秒。
频率指的是单位时间内完成的振动次数，通常用f表示，单位是赫兹（Hz）。
振幅表示振动物体偏离平衡位置的最大距离。
相位表示振动物体当前所处的状态。
二、简谐运动的描述简谐运动可以通过各种方式进行描述。
其中，最常用的是通过位移-时间图、速度-时间图和加速度-时间图。
位移-时间图是一条曲线，横轴表示时间，纵轴表示位移，它能够直观地展示振动物体的运动情况。
速度-时间图和加速度-时间图同样是使用时间作为横轴，但纵轴分别表示速度和加速度。
三、简谐运动的数学表示简谐运动可以通过使用正弦函数或余弦函数进行数学表示。
设物体的位移为x，时间为t，角频率为ω，初相位为φ，则简谐运动的数学表示可以写为：x = A * sin(ωt + φ)或x = A * cos(ωt + φ)其中，A表示振幅，ω表示角频率，φ表示相位。
这两种表示方式是等效的，可以根据需要选择其中一种进行使用。
四、简谐运动的能量简谐运动的能量由势能和动能组成。
势能是指振动物体由于位置发生变化而具有的能量，动能是指振动物体由于速度发生变化而具有的能量。
在简谐运动中，势能和动能之间相互转化，总能量不变。
五、简谐运动的共振共振是指在外力作用下，当物体的振动频率与外力频率接近或相等时，振幅达到最大的现象。
共振可以放大物体的振动，使其接收到更多的能量。
然而，如果超过物体的势能极限，共振可能会导致物体破坏。
六、简谐运动的应用简谐运动在生活和工程中有着广泛的应用。
例如，钟表的摆锤运动、弹簧振子的振动、音叉的振动等都是简谐运动的实例。
简谐运动微分方程推导
简谐运动微分方程推导
简谐运动是物理学中非常重要的一个概念，它描述了一种周期性的运动，如振动和波动等。
在数学上，简谐运动可以用微分方程来描述。
本文将介绍简谐运动微分方程的推导过程。
首先，我们需要了解简谐运动的定义。
一个物体进行简谐运动时，它的位移x可以表示为：
x = A sin(ωt + φ)
其中，A是振幅，ω是角频率，t是时间，φ是相位常数。
简谐运动的周期T等于2π/ω，频率f等于ω/2π。
我们现在要推导简谐运动的微分方程。
根据牛顿第二定律，物体的加速度a等于力F除以质量m：
a = F / m
对于简谐运动，力可以表示为弹性力和阻尼力的合力：
F = -kx - bv
其中，k是弹性系数，b是阻尼系数，v是速度。
我们可以通过对位移和速度的一阶导数进行求解，得到简谐运动的微分方程：
x'' + (k/m) x= 0
这个微分方程也可以表示为：
x'' + ωx = 0
其中，ω=k/m是简谐运动的角频率的平方。
这个微分方程描述了一个在没有外力作用下的简谐运动。
如果加入阻尼或强制外力，微分方程将会有所不同。
总之，简谐运动微分方程是描述简谐运动的重要数学工具。
通过推导，我们可以更好地理解简谐运动的本质。
22简谐运动的描述(210) 2023学年高二上学期物理人教版(2019)选择性必修第一册
5、简谐运动的表达式（简谐运动的位移-时间关系
根据一个简谐运动的振幅A、周期T、初相位φ0， 可以知道做简谐运动的物体在任意时刻t的位移x是
x
A sin( 2
T
t
0 )
x Asin(t 0 )
振动图象：正弦曲线
① A叫简谐运动的振幅.表示简谐运动的强弱. ② 叫圆频率.表示简谐运动的快慢.
x Asin(t )
质点再需经多少时间第三次经过M点？
例题7： 写出振动方程.
s
s
y=10sin(2π t) cm
x 10sin(2t )cm
2
或x 10cos 2t(cm)
一、描述简谐运动的物理量——振幅、 周期、频率和相位 振幅：描述振动强弱； 周期和频率：描述振动快慢; 相位：描述振动步调. 二、简谐运动的表达式：
2、周期T和频率f
做一做：测量小球振动的周期
如图 2.2-3，弹簧上端固定，下 端悬挂钢球。把钢球从平衡位置 向下拉一段距离 A，放手让其运 动，A 就是振动的振幅。用停表 测出钢球完成 n 个全振动所用的 时间 t， t /n就是振动的周期。n 的值取大一些可以减小测量误差。 再把振幅减小为原来的一半，用 同样的方法测量振动的周期。
第二节、简谐运动的描述 一、描述简谐运动的物理量 x Asin(t )
1、振幅A： 因为∣sin（ωt＋φ）∣≤1，所以∣x∣≤A，这说 明A是物体离开平衡位置的最大距离。
①定义:振动物体离开平衡位置的最大距离.(标量） ②意义:描述振动的强弱.
第二节、简谐运动的描述 一、描述简谐运动的物理量 x Asin(t )
过程中，函数值循环变化一次。这一变化过程 所需要的时间便是简谐运动的周期T。
5-1简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位讲解
四 相位和初相
相位 (t ) ： 决定简谐
初相位 ：
运动状态的物理量。
t =0 时的相位。 1）t ( x , v)存在一一 对应的关系;
例： t x 0, v A 设有两个同频率的谐 2 2 A 振动，表达式分别为： t x , v 3 A 2 3 2
4 t 3
3 A A x , v 2 2
第五章 机械振动 5-1 简谐运动 简谐运动
19
的振幅 周期 频率和相位
2）相位在 0 ~ 2 内变 x1 A1 cos t 1 化，质点无相同的运动 x A cos t 2 2 2 状态； 相位差为 2n 质 二者的相位差为： t 2 t 1 2 1 点运动状态全同.（周 (a) 当 2k 时，称两个振 期性） 动为同相； 3）相位概念可用于比 较两个谐振动之间在振 (b) 当 2k 1 时，称两个 振动为反相； 动步调上的差异。 (c) 当 0 时,称第二个振动超 设有两个同频率的谐 前第一个振动 ； 振动，表达式分别为： (d) 当 0 时,称第二个振动落 后第一个振动 ；
14
x A cos(t )
二 振幅 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。 三 周期、频率 周期： 物体作一次完全 运动所经历的时间。
A xmax
A
x x t 图
T 2
T
o
A
t
x A cos(t )
T 2
周期
A cos[( t T ) ]
2 T 2 T
a
A
x
v
v
x t 图
1、深刻理解简谐运动、振幅、周期和频率的概念
机械振动和机械波考点例析一、夯实基础知识1、深刻理解简谐运动、振幅、周期和频率的概念（1）简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动。
特征是：F=-kx,a=-kx/m（2）简谐运动的规律：○1在平衡位置： 速度最大、动能最大、动量最大；位移最小、回复力最小、加速度最小。
○2在离开平衡位置最远时： 速度最小、动能最小、动量最小；位移最大、回复力最大、加速度最大。
○3振动中的位移x 都是以平衡位置为起点的，方向从平衡位置指向末位置，大小为这两位置间的直线距离。
加速度与回复力、位移的变化一致,在两个“端点”最大，在平衡位置为零，方向总是指向平衡位置。
（3）振幅A ：振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。
它是描述振动强弱的物理量。
它是标量。
（4）周期T 和频率f ：振动物体完成一次全振动所需的时间称为周期T,它是标量，单位是秒；单位时间内完成的全振动的次数称为振动频率，单位是赫兹（Hz ）。
周期和频率都是描述振动快慢的物理量，它们的关系是：T=1/f.2、深刻理解单摆的概念(1)单摆的概念：在细线的一端拴一个小球，另一端固定在悬点上，线的伸缩和质量可忽略，线长远大于球的直径，这样的装置叫单摆。
(2)单摆的特点：○1单摆是实际摆的理想化，是一个理想模型; ○2单摆的等时性，在振幅很小的情况下，单摆的振动周期与振幅、摆球的质量等无关; ○3单摆的回复力由重力沿圆弧方向的分力提供，当最大摆角α<100时，单摆的振动是简谐运动，其振动周期T=gL π2。
(3)单摆的应用：○1计时器；○2测定重力加速度g=224TL π.3、深刻理解受迫振动和共振(1)受迫振动：物体在周期性驱动力作用下的振动，其振动频率和固有频率无关，等于驱动力的频率；受迫振动是等幅振动，振动物体因克服摩擦或其它阻力做功而消耗振动能量刚好由周期性的驱动力做功给予补充，维持其做等幅振动。
(2)共振：○1共振现象：在受迫振动中，驱动力的频率和物体的固有频率相等时，振幅最大，这种现象称为共振。
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π 甲和乙的相差为_____ 甲和乙的相差为_____
2
课 堂 练 习 2. 某 简 谐 运 动 的 位 移 与 时 间 关 系 为 ：
x=0.1sin （ 100πt ＋ π ） cm, 由此可知该振动 sin（
50 Ｈz，零时 刻 振 动 物 体 的 速 度 与 规 定 正 方相反 （ 填 向 _____
T＝1.0s f＝1 Hz 振子在5s 5s末的位移的大小 （2）振子在5s末的位移的大小 10cm 振子5s 5s内通过的路程 （3）振子5s内通过的路程 200cm
一定 注意： 内通过的路程一定是 注意： T内通过的路程一定是4A 内通过的路程一定 1/2T内通过的路程一定是 1/2T内通过的路程一定是2A 1/4T内通过的路程不一定是 1/4T内通过的路程不一定是A 内通过的路程不一定
同相：频率相同、初相相同(即相差为0 同相：频率相同、初相相同(即相差为0） 的两个振子振动步调完全相同 反相：频率相同、相差为π 反相：频率相同、相差为π的两个振子 振动步调完全相反
思考与讨论 1、一个物体运动时其相位变化多少就意味着完成 了一次全振动? 了一次全振动? 相位每增加2 相位每增加2π就意味着发生了一次全振动 2、甲和乙两个简谐运动的相差为 ，意味着什么? 意味着什么?
x = A sin (ωt + ϕ )
课 堂 练 习 1.右图中是甲乙两弹簧振子的振动图象， 1.右图中是甲乙两弹簧振子的振动图象，两振 右图中是甲乙两弹簧振子的振动图象 动振幅之比为_______，频率之比为_______， 动振幅之比为_______，频率之比为_______， _______ _______ 2∶1 1∶1
二、简谐运动的表达式 相位
x = A sin(ωt + ϕ )
振幅 圆频率
2π ω= = 2πf TFra bibliotek初相位
2π x = A sin( t + ϕ ) = A sin( 2πft + ϕ ) T
二、简谐运动的表达式 实际上经常用到的是两个相同频率的简 谐运动的相位差，简称相差 谐运动的相位差，
(ωt + ϕ1 ) − (ωt + ϕ 2 ) = ϕ1 − ϕ 2
11.2《简谐运动 的描述》
教学目标
• 知识与能力 • 1、知道振幅、周期和频率的概念，知道全振动的 含义。2、了解初相和相位差的概念，理解相位的 物理意义。3、了解简谐运动位移方程中各量的物 理意义，能依据振动方程描绘振动图象。 • 教学重点 教学重点:简谐运动的振幅、周期和频率的概念； 相位的物理意义。 • 教学难点 1、振幅和位移的联系和区别、周期和 教学难点: 频率的联系和区别； 2、对全振动概念的理解， 对振动的快慢和振动物体运动的快慢的理解； 3 、相位的物理意义。
A
C
O
D B
问题：若从振子经过C向右起， 问题：若从振子经过C向右起，经过怎样 的运动才叫完成一次全振动？ 的运动才叫完成一次全振动？
一、描述简谐运动的物理量 简谐运动的周期公式
m T = 2π k
简谐运动的周期和频率由振动系统本 简谐运动的周期和频率由振动系统本 周期和频率 身的因素决定， 身的因素决定，与振幅无关
一、描述简谐运动的物理量 1、振幅A 振幅A 是标量
（1）定义：振动物体离开平衡位置的最大距离。 定义：振动物体离开平衡位置的最大距离。 距离 （2）物理意义：描述振动强弱的物理量 物理意义： 振幅的两倍（2A）表示振动物体运动范围 振幅的两倍（2A）
A
O
B
简谐运动OA 简谐运动OA = OB
一、描述简谐运动的物理量 描述振动快慢的物理量 2、周期和频率 —描述振动快慢的物理量 周期T 振子完成一次全振动 一次全振动所需要的时间 周期T：振子完成一次全振动所需要的时间 一次全振动：振动物体从某一初始状态开始， 一次全振动：振动物体从某一初始状态开始， 再次回到初始状态（即位移、 再次回到初始状态（即位移、速度均与初态完 全相同）所经历的过程。 全相同）所经历的过程。 频率f 频率f：单位时间内完成全振动的次数
的振幅是______cm， 的振幅是______cm，频率是 ______cm 0.1 “相同”或“相反”). 相同” 相反”
课 堂 练 习 3、有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一 有一个在光滑水平面内的弹簧振子， 次用力把弹簧压缩x后释放， 次用力把弹簧压缩x后释放，第二次把弹簧压 缩2x后释放，则先后两次振动的周期和振幅之 2x后释放， 后释放 比分别为多少？ 比分别为多少？
π
2
意味着乙总是比甲滞后1/4个周期或1/4次全振动 意味着乙总是比甲滞后1/4个周期或1/4次全振动 1/4个周期或1/4
课 堂 小 结 一、描述简谐运动的物理量 1、振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离 2、周期T：完成一次全振动所需要的时间 频率f：单位时间内完成全振动的次数 3、相位：周期性运动的物体在各个时刻所处 相位： 的不同的状态 二、简谐运动的表达式
T1:T2=1:1 =1: A1:A2=1:2
课 堂 练 习 4、弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点之 弹簧振子以O点为平衡位置， 间做简谐振动， 相距20cm 20cm， 间做简谐振动，B、C相距20cm，某时刻振子处 经过0.5s 振子首次到达C 0.5s， 于B点，经过0.5s，振子首次到达C点，求： （1）振子的周期和频率
一、描述简谐运动的物理量 3、相位 描述周期性运动的物体在各个时刻所处状 态的物理量. 态的物理量. 代表质点对于平衡位置的位移， 以x代表质点对于平衡位置的位移，t代 表时间， 表时间，则
x = A sin (ωt + ϕ )
1、公式中的A 代表什么? 代表什么? 2、ω叫做什么?它和T、f之间有什么关系? 叫做什么?它和T 之间有什么关系? 3、公式中的相位用什么来表示? 公式中的相位用什么来表示? 4、什么叫简谐振动的初相? 什么叫简谐振动的初相?