第4讲：怎样用函数描述简谐运动
简谐运动的描述++课件-2022-2023学年高二上学期物理人教版(2019)选择性必修第一册
二、简谐运动的描述方法
【例2】右图是两个简谐运动的振动图像，它们的 Nhomakorabea位差是多少？
【例3】右图为甲、乙两个简谐运动的振动图 像。请根据图像写出这两个简谐运动的位移 随时间变化的关系式。
二、简谐运动的描述方法
【例4】如图所示是某弹簧振子的振动图像。 （1）求振子振动的振幅、周期、频率和初相。 （2）如果从点 O 开始计时，到图中的哪一点为止，振子完成了一次全 振动？如果从点 C 开始计时呢？ （3）当 t=1.4s时，振子对平衡位置的位移是多少？它在一次全振动中 所通过的路程是多少？
二、简谐运动的描述方法
3．图像信息
(1)由图像可以得出质点振动的振幅、周期和频率。 (2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。 (3)可以确定某时刻质点回复力、加速度的方向。 (4)确定某时刻质点速度的方向。 (5)比较不同时刻回复力、加速度的大小。 (6)比较不同时刻质点的动能、势能的大小。
二、简谐运动的描述方法
第二节
简谐运动的描述
学习目标
1.会用三角函数公式描述简谐运动，理解简谐运动位移表达式； 2.会用图像描述简谐运动，能从图像中求出振动的振幅、周期、频率和初 相；能借助图像分析振子振动时的位移、速度、加速度的大小和方向的 变化；能根据图像写出简谐运动的函数表达式；
复习回顾
说话或唱歌时，用手摸着喉部，能感 觉到声带的振动。声音大小发生变化，声 带的振动也有变化。一般情况下，女生的 音调比男生高。这些现象表明振动具有不 同的特征。
如何科学地描述振动呢？本节我们将 学习描述振动特征的物理量，并用函数和 图像描述简谐运动。
新课教学
观察与思考：以下两个振子的运动有何不同？
想一想：我们该用哪些物理量来描述简谐运动呢？
大学物理简谐运动
电磁振荡的简谐运动
总结词
电磁振荡的简谐运动是指电磁场中的电荷或电流在电 场和磁场的作用下做周期性振动。这种振动可以产生 无线电波，是通信技术中的重要应用之一。
详细描述
电磁振荡的简谐运动是指电磁场中的电荷或电流在电场 和磁场的作用下做周期性振动。这种振动可以产生无线 电波，是通信技术中的重要应用之一。电磁振荡的频率 范围很广，从低频的无线电波到高频的X射线，都可以 通过电磁振荡产生。在通信技术中，电磁振荡被广泛应 用于信号传输、广播、电视等领域。电磁振荡的振荡频 率、幅度和相位都可以通过电路元件进行调节和控制， 从而实现信息的传输和接收。
实验器材与步骤
步骤 1. 安装摆球和支架，确保摆球可以自由摆动。
2. 将光电门传感器放置在摆球的平衡位置附近，并与数据采集器连接。
实验器材与步骤
3. 启动数据采集器， 记录摆球摆动的位置 和时间数据。
5. 将实验结果与理论 值进行比较，验证简 谐运动的规律。
4. 分析数据，计算摆 球的速度和加速度。
简谐运动的特点
位移与时间的关系是正弦 或余弦函数。
速度和加速度随时间按正 弦或余弦规律变化。
回复力与位移大小成正比， 方向相反。
简谐运动的能量是守恒的。
简谐运动的分类
01
根据位移和时间的关系，简谐运动可分为正弦简谐 运动和余弦简谐运动。
02
根据振幅和频率是否变化，简谐运动可分为自由简 谐运动和受迫简谐运动。
对未来科技发展的影响与启示
简谐运动的研究不仅对于当前科技发 展具有重要意义，也为未来科技发展 提供了启示和方向。
通过深入探索简谐运动背后的物理规 律和原理，可以启发新的科技思想和 实验方法，推动物理学和其他学科的 交叉融合和创新发展。
高三物理简谐运动的公式描述
例1、从Ｘ－t图象可以获取的信息有哪些？
①可求Ａ、Ｔ、f、Ｘ（任 X/cm
意时刻）
右图：
5 0 -5
0.2 0.5
t/s
②判断X、Ｆ、a、Ｖ的方
向 右图：0.2S和0.35S时刻 ③Ｘ、Ｆ、a、Ｖ的变化 规律( 0.2-0.4s)
右图：
例2两个简谐振动分别为
x１＝４asin(4πbt＋π) x2＝2asin（4πbt＋π）
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简谐运动的公式描述
旋 转 矢 量 为了直观地表明简谐运动的三个特征量的物理意义， 可用一个旋转矢量来表示简谐运动。
A
t=t
t = 0 A
t+
(ωt+ φ 2)－（ωt＋ φ １）＝ φ 2－ φ 1
知识应用： 1.一质点作简谐运动，图象如图所示，在0.2s 到0.3s这段时间内质点的运动情况是 （ CD ） A．沿负方向运动，且速度不断增大 B．沿负方向运动的位移不断增大 C．沿正方向运动，且速度不断增大 D．沿正方向的加速度不断减小 弹力、动能、 势能、机械 能、动量呢？
o x x A cos t ） （
因此 ， o 为圆点，旋转矢量 以 投影点的运动是简谐运 动。
·
x
A 的末端在
ox 轴上的
参考圆
用旋转矢量图画简谐运动的
xt
图
T 2 π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
x A cos( t )
矢量 A的
端点在 x 旋转
轴上的投
简谐运动的公式
简谐运动的公式
简谐运动是一种按固定时间周期运行的运动，也是物理
学中经常用到的一种运动形式。
它是由三个物理量共同组成，分别是位置（位置为物体相对于起始点）、速度和加速度，它们之间会有一定的关系。
简谐运动的公式也比较容易推导，可以用x、v、a三个
物理量来表示，其中x表示位置，v表示速度，a表示加速度。
它们之间的关系可以用如下方程式表示：
$$ x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}a_0 t^2 $$
公式中的参数表示什么？x_0表示的是物体的初始位置，
v_0表示的是物体初始的速度，a_0表示的是物体的初始加速度，t表示的是在运动中衡量出来的时间。
用简谐运动的公式可以很容易推导出物体在一个定义域
内的运动规律，并且可以用它模拟各种变化的运动轨迹，例如物体从速度为v_0加速度为a_0的开始状态，可以模拟出物体在各种不同时间段后的位置，总结起来也比较简单：
在简谐运动中，物体的位置x随时间的变化满足一定的
公式：
x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}a_0 t^2
其中x_0、v_0、a_0都是物体在起始状态的物理量，t表示物体在定义域内所衡量出来的时间，通过该公式可以可以很容易推导出物体在定义域内的运动。
简谐运动的描述(高中物理教学课件)完整版
四.简谐运动的表达式
简谐运动的表达式：x＝Asin（ωt＋φ）
位移 振幅
时刻 初相位
圆频率 ω＝2π/T＝2πf
也可以写成：x Asin(2 t )
T
相位
根据一个简谐运动的振幅、周期、初相位，可以知道做 简谐运动的物体在任意时刻的位移，故振幅、周期、初 相位是描述简谐运动特征的物理量。
三角变换
因为 2 ， T 2 2 m
T
k
振动系统本身性质决 定的。
同时放开的两个小球振动步调总是 一致，我们说它们的相位是相同的；
而对于不同时放开的两个小球，我 们说第二个小球的相位落后于第一个 小球的相位。
如何定量的表示相位呢？
三.相位
1.相位：物理学中把（ωt＋φ）叫作相位，其中φ 叫初相位，也叫初相。 由简谐运动的表达式x＝Asin（ωt＋φ）可以知道， 一旦相位确定，简谐运动的状态也就确定了。 2.相位差：两个具有相同频率的简谐运动的相位 的差值。 如果两个简谐运动的频率相同，其初相分别是φ1 和φ2，当φ1>φ2时，它们的相位差是Δφ＝(ωt＋φ1) －(ωt＋φ2)＝φ1－φ2此时我们常说1的相位比2超前 Δφ，或者说2的相位比1落后Δφ。
x甲 0.5sin(5t )cm 或者x甲 0.5sin 5tcm
x乙
0.2 sin(2.5t
2
)cm
或者x乙 0.2 cos 2.5tcm
注意： 振动物体运动的范围是振幅的两倍。
二.周期和频率
做简谐振动的振子，如果从A点开始运动，经过O点运动到Aˊ点再 经过O点回到A点，这样的过程物体的振动就完成了一次全振动。 如果从B点向左运动算起，经过O点运动到Aˊ点，再经过O点回到 B点，再经A点返回到B点时，这样的过程也是一种全振动。
简谐运动的描述ppt课件
简谐运动的描述
目录
CONTENTS
1
简谐运动的表达式
2
描述简谐运动的物理量
3
简谐运动的周期性和对称性
4
简谐运动振幅与路程的关系
有些物体的振动可以近似为简谐运
动，做简谐运动的物体在一个位置附近
不断地重复同样的运动。如何描述简谐
运动的这种独特性呢？
知识回顾：
简谐运动的位移图像是一条正弦曲线。
全振动的特点：①位移和速度都会到初状态 ②路程等于4A
②周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，用T表示，
单位：s.
③ 频率：单位时间内完成全振动的次数，用f表示，单位：Hz.
周期T与频率f的关系是T＝
知道即可：弹簧振子的周期由哪些因素决定?
周期公式： T 2
m
k
弹簧振子周期（固有周期）和频率由振动系统本身的因素决定（振子的质量m和弹
②若△ = 2 − 1＜0，振动2的相位比1落后△ 。
4.同相与反相：
（1）同相：相位差为零
△ = 2( = 0，1，2， … )
（2）反相：相位差为
△ = (2 + 1)( = 0，1，2， … )
A与B同相
A与C反相
A与D异相
相位差90°
＝（ ＋ ）
一、简谐运动的表达式
相位
x A sin(t )
振幅
圆频率
初相位
二、描述简谐运动的物理量
＝（ ＋ ）
1.振幅：（1）定义：振动物体离开平衡位置的最大距离。
振幅
O
振幅
（2）物理意义：振幅是描述振动强弱的物理量。
利用三角函数解简谐运动
解析：由函数关系式可知
当x1＝5cm时,
当x2＝10cm时，
以上主要是应用质点在简谐运动中非特殊时刻的位移和在简谐波中非特殊位置质点的位移，如果是特殊时刻或特殊位置，只要根据周期性就可分析出来。
由图象（1）可知x＝ ，同样的如图（2）x＝ 或x＝
例1.有一振动的弹簧振子，周期为8s，从振子经平衡位置开始计时，在10s内通过的路程为10cm，求：振子在第5秒，第9秒的位移。
解析：由t＝10s＝ 可知，在 内振子通过了 即 ，所以A＝2cm
由函数关系式x＝ ＝ 得
当t1＝5秒时，
当t2＝9秒时，
二、简谐波
简谐运动在介质中的传播过程就形成简谐波，其特点是具有周期性，频率由波源决定，波速由介质性质决定，在分析简谐波时，也经常借助图象，也就是横坐标表在波的传播方向上介质中各质点的平衡位置，纵坐标表示某一时刻各质点偏离平衡位置的位移，波的图象表示某一时刻各质点的位移，应如何确定各质点在该时刻的位移呢？如图（3），A表示振幅，λ表示波长，由三角函数式可知，y＝Asin ，如图（4）应为 或
利用三角函数解简谐运动
简谐波中质点的位移
一、简谐运动
简谐运动是物体在跟偏离平衡位置的大小成正比，并且总是指向平称位置的回复力的作用下的振动。其特点是具有周期性，是变加速运动。在分析简谐运动时，经常借助图象，也就是横坐标为时间轴，纵坐标为某时刻质点的位移，振动图象表示质点位移随时间变化的规律。如图（1）所示，其中A表示振幅，T表示周期，那么要如何说明在某一时刻质点的位移？这里我们介绍用三角函数方法解题：
高中物理选修3-4-简谐运动的描述
简谐运动的描述知识集结知识元简谐运动的振幅、周期和频率知识讲解2．相关物理量：①振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离。
②周期T：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间。
③频率f：单位时间内完成全振动的次数。
④相位：描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。
3．受力特征：①做简谐运动的质点受到的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，通常将这种力称为回复力。
②回复力：F=-kx③若质点受到的回复力为F=-kx，则质点的运动为简谐运动。
4．运动特征位移x：方向始终背离平衡位置，每经过平衡位置位移方向发生改变；远离平衡位置时位移增大，靠近平衡位置时位移减小。
速度v：每经过最大距离处速度方向发生改变，远离平衡位置时速度方向和位移方向相同，靠近平衡位置时速度方向和位移方向相反。
加速度，方向与位移方向相反，总指向平衡位置．简谐运动是一种变加速运动．在平衡位置时，速度最大，加速度为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大。
5．振动能量简谐运动过程中动能和势能相互转化，机械能守恒．振动能量与振幅有关，振幅越大，能量越大。
6．周期性：简谐运动是一种复杂的非匀变速运动，要结合牛顿运动定律、动量定理、动能定理、机械能守恒定律来分析解决简谐运动的问题。
（1）简谐运动的对称性：振动物体在振动的过程中，在关于平衡位置对称的位置上，描述物体振动状态的物理量（位移、速度、加速度、动量、动能、势能等）大小相等。
（2）简谐运动的周期性：振动物体完成一次全振动（或振动经过一个周期），描述物体振动状态的物理量（位移、速度、加速度、动量、动能、势能等）又恢复到和原来一样。
简谐运动的周期是由振动系统的特性决定的，与振幅无关。
弹簧振子的周期只决定于弹簧的劲度系数和振子的质量，与其放置的环境和方式无关。
例题精讲简谐运动的振幅、周期和频率例1.如图所示，一质点在x轴上以O为平衡位置做简谐运动，其振幅为8cm，周期为4s。
t=0时物体在x=4cm处，向x轴负方向运动，则（）A．质点在t=1.0s时所处的位置为x=+4cmB．质点在t=1.0s时所处的位置为x=-4cmC．由起始位置运动到x=-4cm处所需的最短时间为sD．由起始位罝运动到x=-4cm处所需的最短时间为s例2.如图所示，一质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从质点通过O点时开始计时，经过0.9s质点第一次通过M点，再继续运动，又经过0.6s质点第二次通过M点，该质点第三次通过M点需再经过的时间可能是（）A．1s B．1.2s C．2.4s D．4.2s例3.如图1所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。
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弹簧振子的x-t图像如图所示，初相是多少？
第一步：画典型的正弦函数图像 第二步：比较 1 比较可知：相差 4 个全振动 第三步：求初相 1 因为一个全振动对应2π，所以 2
4
2
弹簧振子的x-t图像如图所示，初相是多少？
第一步：画典型的正弦函数图像 第二步：比较 3 比较可知：相差 4 个全振动。 第三步：求初相 3 3 因为一个全振动对应2π，所以 2
-20
弹簧振子的x-t图像如图所示， 求：t=0.5s时刻对应的坐标
x 8
0
1
2
3
4
t
-8
x
8 0
1
2
3
4
t
2 sin( ) 4 2
第一步：写出函数表达式 x 8 sin(0.5t ) 第二步：把 t 0.5s 代入 x 8 sin(0.5t )
-8
x 8 sin(0.5t ) 8 sin(0.5 0.5) 8 sin( ) 4 2 8 4 2 5 .7 2
时间与周期的关系 T
弧度 2π
角度
360
30
1 T 12
1 T 6 1 T 4 1 T 3
1 T 2
1 T 8
4 3 2 2 3
6
45
60
90 120
180
这个式子记得吗，在圆周运动中有。
把 t 代入 x A sin 得： x A sin(t ) 问：ω怎么求？ 2 答：用周期求 T
1 T 2
1 ，也就是 2 1
弹簧振子的x-t图像如图所示，初相是多少？
x 8
0
1 2
3
4
t
-8
答：因为是典型的正弦函数图像，所以 x A sin 所以初相 0
弹簧振子的x-t图像如图所示，初相是多少？
x
0
t
第一步：画典型的正弦函数图像 第二步：比较 1 比较可知：相差 2 个全振动。 第三步：求初相 1 因为一个全振动对应2π，所以 2 2
弹簧振子的x-t图像如图所示，请写出函数 表达式。
A=2
T=0.4
第一步：找振幅、周期 2 2 5 第二步：求角速度 0.4 T 第三步：确定相位 2 第四步：写表达式
x A sin(t )
x 2 sin( 5t
2
)
弹簧振子的x-t图像如图所示，请写出函数 的表达式
问：什么是【相位差】？ 答：相位差，相位差，就是相位之差。
x A sin(t 1 )
x A sin(t 2 ) 问： 0 是什么意思？ 答：就是相位相同，表示振子1与振子2的 位置时时刻刻相同，完全同步。
2 1
问： 是什么意思？ 答：就是相位相反，不同步。 因为π相当于 次全振动 也就是振子1与振子2相差 2 次全振动 如： 当振子1在左边振幅处，振子2就在右边振 幅处。 当振子1在平衡位置向右运动，振子2就在 平衡位置向左运动
问：如果从一般位置计时，表达式是什么？ 答： x A sin(t )
这就是简谐运动的一般表达式
问：简谐运动的一般表达式是什么？ 答： x A sin(t ) 问：什么叫【相位】？ t 就是相位 答： 问：什么是【初相】？ 答： 就是初相。 问：【相位】的本质是什么？ 答：就是弧度 问：【初相】有什么作用？ 答：描述振子的初始状态
4 2
弹簧振子的x-t图像如图所示，请写出x关于 t的函数表达式
x
8
0
1 2
3
4
t
-8
x 8 A=8 0 1 2 3 4 t T=4
-8
第一步：找振幅 第二步：找周期 2 2 0.5 第三步：求角速度 T 4 第四步：写表达式
x A sin(t )
x 8 sin(0.5t )
x 20
3
6
9
12
t
-20
x
20 A=20 3 6 9 12
T=12
t
第一步：找振幅、周期 2 2 第二步：求角速度 12 6 3 T 第三步：确定初相 2 第四步：写表达式 3 x A sin(t ) x 20 sin( t ) 6 2
第2讲：怎样用函数描述简谐运动
制作人：张光明
问：【正弦曲线】仅仅表示正弦函数图像吗？ 答：不是，也表示余弦函数图像。
正弦函数图像
正弦曲线
余弦函数图像
在物理学上： 【正弦函数图像】与【余弦函数图像】统称 为正弦曲线。
问：怎样用函数描述简谐运动？ 答：因为简谐运动的x-t图像是正弦曲线， 所以 x A sin 问：θ是角度吗？ 答：不是，是弧度。 我们规定：【一个周期对应的弧度是2π】 反过来：【弧度是2π表示请写出函数 表达式。 x
10
0 -10
2
4
6
8
t
x A=10 10
0
2
4
6
8
t T=8s
-10
第一步：找振幅、周期 2 2 0.25 第二步：求角速度 8 T 第三步：确定相位
x A sin(t )
x 10sin(0.25t )
弹簧振子的x-t图像如图所示。 求：t=1.5s x t=2.5 t=3.5 的坐标
4 2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 t
4 2
刚才我们求出来了t=0.5时 x 4 2