有限元法简介

电磁学中有限元法简介

摘要：本文简单介绍了有限元法的历史、优点、基本原理及一维的有限元法，并用使用HFSS软件设计了一个各项参数都符合要求的3dB 的功率分配器。

1.有限元法的历史

有限元法起源于航空力学，最早思想是由Courant在1943年提出，但真正确定有限元的学科和命名的则是Clough 在1960年给出。我国著名学者冯康也对有限元法做了开创性贡献。20世纪70年代开始，开始在电磁领域移植有限元法，由于其本身的优点，逐渐成为了电磁场数值分析的一个主要分支。有限元法，简称FEM。有限元法有着扎实的理论基础，所给出的结果是变分稳定的。2.有限元法的优点

▪有限元法采用物理上离散与分片多项式插值，因此具有对材料、边界、激励的广泛适应性。

▪有限元法基于变分原理，将数理方程求解变成代数方程组的求解，因此非常简易

▪有限元法采用矩阵形式和单元组装方法，其各个环节易于标准化，程序通用性强，且有较高的计算精度，便于编制程序和维护，适宜于制作商业软件。▪国际学术界对有限元法的理论、计算技术、以及各方面的应用做了大量的工作，许多问题均有现成的程序，可用的商业软件资源相对较多。

3.泛函和变分

最速降线问题

问题的提出：设点A与原点重合，点B的坐标是（a,b）,重物从A点下落，求出A，B之间的使重物从A运动到B的时间最短的路径。

可以求出A 到B 的总时间：

T 中只含有y 和'y 。

变分命题的描述 ：

T 是(),'y x y 的泛函；

y 满足边界条件(0)0,()y y a b == ；

求一个函数y 使得泛函T 有最小值，也就是有极值。泛函T 取极值的时候其变分为0，记为：0T δ=

4. 一维有限元法

有限元法就是变分问题的数值解法，其基本思想是把场方程转化为能量积分的变分问题（能量最小）。 静电场中，所有满足相同边界条件的位函数u 中，真实的u 将保持能量最小。

在这里，通过研究平板电容器的电位分布问题来介绍有限元法的基本思想。

设电位()u x 满足： 220d u

dx

= ，00u = ，0N u =Φ 。

不妨取（0,1）区间为例来进行分析，这样也具有普遍意义。

T =⎰

现在总结一下有限元法的基本步骤：首先是根据实际情况对求解区域进行剖分，然后在最基本的剖分单元上做线性近似，再由此得到整个区域能量泛函的表达式。

结合具体的边界条件，对能量泛函求变分（极值），得到一组线性方程，然后解方程组得到节点参数的比较精确的近似值。

5.3dB功率分配器的HFSS仿真

3dB功率分配器的仿真图：

仿真结果：

各个端口的反射系数，S11，S22，S33曲线图：

S12和S13曲线图

隔离度S23曲线：

在频段5-20GHz范围内，各端口的反射系数都在-10dB以下，输出端口2和3之

间的隔离度在-10dB以下，传输系数S

12和S

13

都在-3dB左右，各项指标都符合要

求。