2013年高考数学(理科)一轮复习课件第65讲：回归分析与独立性检验
20
(2)根据题(1)中表格的数据计算，有多大的把握，认为学生的 数学成绩与物理成绩之间有关系？ (3)若从这 20 个人中抽出 1 人来了解有关情况，求抽到的学生 数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的概率.
参考数据：①假设有两个分类变量X 和 Y，它们的值域分别 为(x1，x2)和(y1，y2)，其样本频数列联表(称为2×2 列联表)为： 合计 y1 y2 a＋b x1 a b c＋d x2 c d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d nad－bc2 2＝ 则随机变量K ，其中n＝a＋b＋c a＋bc＋da＋cb＋d ＋d 为样本容量； ②独立检验随机变量K2 临界值参考表：
提出假设H0：含杂质的高低与设备改造没有关系． 382×37×202－121×222 由公式得K2 ＝ ≈13.11. 158×224×59×323 由于13.11>10.828，故有99.9%的把握认为含杂质的高低与设
备是否改造是有关系的．
两个分类变量X，Y 是否有关系的独立性检验的步 骤： ①根据题意，列出2×2 列联表；
物理成绩优秀 物理成绩不优秀 5
数学成绩不优秀
2
合 计
7
1
6
12
14
13
20
合 计
(2)提出假设H0：学生数学成绩与物理成绩之间没有关系．
根据列联表可以求得
20×5×12－1×22 K2＝ ≈8.802>7.879. 6×14×7×13
当H0 成立时，P(K2>7.879)＝0.005.
所以我们有99.5%的把握认为：学生的数学成绩与物理成绩之 间有关系. (3)由(1)可知数学成绩与物理成绩都优秀的学生的人数为 5
1．回归分析
相关关系 (1)定义：对具有__________的两个变量进行统计分析的方法．
(2)回归分析的步骤： ①确定研究对象，明确解释变量和预报变量； ②画出散点图，观察它们是否存在相关关系(如线性相关关 系)；
^ ^ ^ ③确定回归方程的类型(如线性回归方程y＝bx＋a)；
④按一般规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法)；
考点1 回归分析 例1：某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的 时间，为此作了四次试验，得到的数据如下： 零件的个数 x(个) 加工的时间 y(小时) 2 2.5 3 3 4 4 5 4.5
由资料知 y 对 x 呈线性关系．
^ ^ ^ (1)求出 y 关于 x 的线性回归方程y＝bx＋a；
【互动探究】 3．(2010 年广东广州调研)某学校课题组为了研究学生的数学 成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级 20 名学生某次考 试成绩(满分 100 分)如下表： 序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
数学成绩 物理成绩
序号 数学成绩 物理成绩
95 75 80 94 92 65 67 84 98 71 90 63 72 87 91 71 58 82 93 81 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
人，则数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的学生人数为 15 人． 故从 20 名学生中抽出 1 名，抽到的学生数学成绩与物理成绩至少
15 3 有一门不优秀的概率为20＝4.
1．独立性检验的思想来自于统计上的假设检验思想，它与反 证法类似，它们都是先假设结论不成立，然后根据是否能推出“矛
盾”来判定结论是否成立．但二者“矛盾”的含义不同，反证法
②提出假设利用公式，由观测数据，求出K2 的观测值 k； ③作判断，如果k≥k0，就以[1－P(K2≥k0)]×100%的把握认 为“X 和 Y 有关系”．否则就说样本数据没有提供充分的证据说
明“X 和 Y 有关系”．
【互动探究】
2．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机
构对此现象的调查结果： 冷漠 多看电视 少看电视 总计 68 20 88 不冷漠 42 38 80 总计 110 58 168
率是多少？
nad－bc2 参考公式：K ＝ ，其中 n＝a＋b＋c＋d. a＋bc＋da＋cb＋d
2
参考数据：
P(K2 ≥k0) k0
0.40 0.708
0.25 1.323
0.10 2.706
0.010 6.635
解题思路：代入公式进行计算即可． 解析：(1) 完成 2×2 列联表如下： 喜爱运动 不喜爱运动 男 女 总计 10 6 16 6 8 14 总计 16 14 30
(2)试预测加工 10 个零件需要多少时间？
－ 解析： (1)由表中数据得－＝3.5，y ＝3.5， xi yi＝52.5， x 2 x i
i 1 i 1
4
4
＝54， ^ i 1 ∴b＝ 4
xi yi 4 xy
xi2 4 x 2
i 1
4
^ y ^x ＝0.7，a＝－－b－＝1.05.
F，其中 A，B，C，D 会外语，则从这6 人中任取2 人有 AB，AC， AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF
共15 种取法，其中两人都会外语的有AB，AC，AD，BC，BD，
CD 共6 种．
故抽出的志愿者中 2 人都能胜任翻译工作的概率是 6 2 p＝15＝5.
考点2
独立性检验
例2：冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检 验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如下表
所示： 杂质高
旧设备 新设备 37
杂质低
121
22
202
根据以上数据试判断含杂质的高低与设备改造有无关系？
解析：由已知数据得到如下 2×2 列联表：
杂质高 旧设备 新设备 总计 37 22 59 杂质低 121 202 323 总计 158 224 382
(2)假设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得：
K2＝
30×10×8－6×62 ≈1.157 5<2.706. 10＋66＋810＋66＋8
因此，在犯错的概率不超过0.10 的前提下不能判断喜爱运动 与性别有关． (3)喜欢运动的女志愿者有6 人，设分别为A，B，C，D，E，
考纲要求
考纲研读
1.了解下列一些常见的统计方法，并能应 在回归分析与独立性 用这些方法解决一些实际问题． 检验中． 2.独立检验 了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基 (1)利用最小二乘法求 出线性回归直线 本思想、方法及其简单应用． (2)利用独立性检验判 3.回归分析 断两个变量是否有关 了解回归的基本思想、方法及其简单应用.
4．下面是一个 2×2 列联表： y1
y2 45 30 75
总计 55 50
x1 x2 总计
a 20 b
10,30 则表中 a，b 的值分别为________. 5．已知 x 与 y 之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
(1.5,4) 则 y 与 x 的线性回归方程为 y＝bx＋a 必过点_______．
^ 故线性回归方程为y＝0.7x＋1.05. ^ (2)将 x＝10 代入回归直线方程得y＝0.7×10＋1.05 ＝8.05(小时)． 故预测加工 10 个零件需要 8.05 个小时．
【互动探究】 1．(2010 年广东揭阳二模)下表提供了某厂节能降耗技术改造 后生产 A 产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准
煤)的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出 y 关于 x 的线性 回归方程为 ^ ＝0.7x＋0.35，那么表中 t 的值为( A ) y
x y
A.3 B．3.15
3 2.5
4
5 4
6 4.5 D．4.5
t
C．3.5
解析：因 a＝－－b－由回归方程知 0.35＝－－0.7－ y x y x 2.5＋t＋4＋4.5 3＋4＋5＋6 ＝ －0.7× ，解得 t＝3. 4 4
67 93 64 78 77 90 57 83 72 83
77 82 48 85 69 91 61 84 78 86
若单科成绩 85 分以上(含 85 分)，则该科成绩为优秀． (1)根据上表完成下面的 2×2 列联表(单位：人)： 数学成绩优秀 物理成绩优秀 物理成绩不优秀 合计 数学成绩不优秀 合计
则大约有多大的把握认为多看电视与人变冷漠有关系( A ) A．99.9% B．97.5% C．95% D．90%
考点3 独立性检验与概率的结合 例3：第 16 届亚运会于 2010 年 11 月 12 日至 27 日在中国广 州进行，为了搞好接待工作，组委会招募了 16 名男志愿者和 14
名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有 10 人和 6 人喜爱
⑤得出结果后分析残差图是否异常，若存在异常，则检验数
据是否有误，模型是否恰当． 2．独立性检验 没有关系 (1)假设 H0：两个分类变量 X 和 Y___________；
nad－bc2 a＋ba＋cb＋dc＋d (2)利用公式，计算出随机变量 K2＝______________________.
例如：当 K2≥41 时，则有 95%的把握说 X 和 Y 有关．
当 K2≥6.635 时，则有 99%的把握说 X 和 Y 有关．
1．在两个变量的回归分析中，作散点图是为了( C ) A．直接求出回归直线方程 B．直接求出回归方程 C．根据经验选定回归方程的类型 D．估计回归方程的参数 2．在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的( B ) A．预报变量在 x 轴上，解释变量在 y 轴上 B．解释变量在 x 轴上，预报变量在 y 轴上 C．可以选择两个变量中任意一个变量在 x 轴上 D．可以选择两个变量中任意一个变量在 y 轴上
高考数学考点总复习课件 第65讲 变量的相关性、回归分析、独立性检验
1．计算回归直线方程中的参数a、b时应分层 进行，避免因计算错误而产生误差． 2．求线性回归方程之前，应对数据进行线 性相关分析． 3．回归分析的关键是根据散点图选择函数 模型，用相关系数判定哪种模型更好． 4．独立性检验不能用比例余数来判定，a、 b、c、d成比例扩大，K 2的值是不同的，正确 列出2 2列联表是解题的关键步骤．
n
n
(xi x)( yi y)
xi yi nx y
其中b i1 xi x
i1 n
xi2
2
nx
,
i 1
a y bx.
3．最小二乘法
n
使残差平方和Q yi bxi a2为最小的方 i 1
法，叫做⑦ ______________ .
4.线性回归模型
1样本的相关系数r
1.对变量 x，y 有观测数据(xi，yi)(i＝1,2,3，…，n)， 所得的散点图如下，其中具有负相关关系的是( )
【解析】由散点分布状况可知 C、D 具有相关 关系，其中 C 是正相关，D 是负相关，故选 D.
2.下列说法不正确的是( ) A．相关关系的两个变量不具备因果关系 B．散点图能直观反映观测数据的相关程度 C．回归直线最能表示线性相关的两个变量之间的 关系 D．任何一组数据都存在相应的回归直线方程
【解析】只有线性相关的观测数据才存在回归直 线方程，可知应选 D.
3.统计某种实验中两个量 x，y 的观测数据， 得到下面一个 2×2 的列联表：
则表示 a 的值为 52 ，b＝a＋2＝ 54 .
【解析】a＝73－21＝52，b＝a＋2＝54.
4.利用独立性检验来考虑两个分类变量 X 和 Y 是否 有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和 Y 有关系” 的可信度．如果 k>5.024，那么就有把握认为“X 和 Y 有关系”的百分比为 97.5% .
[高三数学]第1轮总复习理科数学课件第55讲变量的相关性、回归分析、独立性检验
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(5)分析残差图是否异常，若存在异常， 则检查数据是否有误，或模型是否合适等.
9.利用随机变量K2进行判断检验 K2=
n(ad bc)2 (a b)(c d )(a c)(b d )
.
先假设两个分类变量 x与 y无关系，若 K2 的值较大，则拒绝假设，只要K2>2.706，就 认为x与y有关系.
新课标高中一轮 总复习
理数
1
第七单元
计算原理、概率与统计
2
第55讲
变量的相关性、回归分析、 独立性检验
3
1. 会作两个有关联变量数据的散点图， 会利用散点图认识变量间的相关关系. 2. 了解最小二乘法的思想，能根据给出 的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. 3. 了解独立性检验的含义，知道什么是 2×2列联表. 4.会运用独立性检验的方法判断事件 A与 B的关系. 5. 会求回归方程模型，并能进行相关性 检验. 6.掌握相关性检验的步骤.
. ,表示
用R2来刻画回归的效果,R2⑨ 越大 ⑩拟合效果越好.同类 别. 14
7.列联表(即列出两个分类变量的频率表)
A
B B 合计 a c a+c
A
b d b+d
合计
A+b C+d n
其中n为样本容量. 8.建立回归模型的基本步骤 (1)确定研究对象,明确解释变量与预报变量; (2)画出解释变量与预报变量的散点图; (3)由经验确定回归方程的类型; 15 (4)估计回归方程中的参数;
i 1 i i
n
x y nx y
=
i 1 n i i
n
( x x)
i 1 i
n
2
x
i 1
高考数学一轮复习专题04 独立性检验(解析版)
概率与统计 专题四：独立性检验一、知识储备 1．22⨯列联表设X ，Y 为两个变量，它们的取值分别为12{}x x ,和12{}y y ,，其样本频数列联表(22⨯列联表)如下：2．独立性检验利用随机变量2K (也可表示为2χ)2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++(其中n a b c d =+++为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验． 3．独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据列出22⨯列联表；(2)计算随机变量2K 的观测值k ，查下表确定临界值k 0：(3)如果0k k ≥，就推断“X 与Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过()20P K k ≥；否则，就认为在犯错误的概率不超过()20P K k ≥的前提下不能推断“X 与Y 有关系”．【注意】(1)通常认为 2.706k ≤时，样本数据就没有充分的证据显示“X 与Y 有关系”．(2)独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．(3)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．二、例题讲解1．（2022·榆林市第十中学高三月考（文））随着经济的发展，人们的生活水平显著提高，健康意识不断增强，健康管理理念深入人心，人们参加体育锻炼的次数与时间在逐渐增加.某校一个课外学习小组为研究居民参加体育锻炼的时长（时长不超过60分钟）是否与性别有关，对某小区居民进行调查，并随机抽取了100名居民的调查结果，其中男性有55人，根据调查结果绘制了居民日均锻炼时间的频率分布直方图如下：(1)求样本中居民日均锻炼时间的中位数；(2)将日均锻炼时间不低于40分钟的居民称为“健生达人”（健康生活达人），已知样本中“健生达人”中有10名女性，根据已知条件完成下面22⨯列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“健生达人”与性别有关.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.【答案】(1)32.8分钟；(2)表格见解析，没有95%的把握认为“健生达人”与性别有关. 【分析】(1)根据中位数的定义求样本中居民日均锻炼时间的中位数；(2)分析数据，完成列联表，计算2K ，通过比较其与临界值的大小，确定是否接受假设. 【详解】解：本题考查独立性检验.(1)由频率分布直方图知日均锻炼时间在[)0,30对应的频率为0.050.180.20.43++=，则中位数位于[)30,40，且中位数为0.500.43301032.80.25-+⨯=（分钟）(2)由频率分布直方图可知在抽取的100人中，“健生达人”有32人，从而22⨯列联表如下：得()210033103522 3.595 3.84155456832K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为“健生达人”与性别有关2．（2022·江苏南京市·高三开学考试）科研小组为提高某种水果的果径，设计了一套实验方案，并在两片果园中进行对比实验.其中实验园采用实验方案，对照园未采用.实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：[)21,26，[)26,31，[)31,36，[)36,41，[]41,46（单位：mm ）.统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36mm 及以上的为“大果”.（1）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“大果”与“采用实验方案”有关；（2）根据长期种植经验，可以认为对照园中的果径X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，5.5σ≈，请估计对照园中果径落在区间()39,50内的概率.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）附：①()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++；②若X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.683P X μσμσ-<<+=，()220.954P X μσμσ-<<+=，()330.997P X μσμσ-<<+=.【答案】（1）列联表见解析，有99.9%的把握认为两者有关；（2）0.157. 【分析】（1）根据频率分布直方图分别求出采用实验方案大果和非大果数量及未采用实验方案大果和非大果数量，从而可得出列联表，再根据公式求出2K ，对照临界值表即可得出结论；（2）求出样本平均数x ，再根据正态分布的性质即可得出答案. 【详解】解：（1）由频率分布直方图可得：采用实验方案大果的数量为()50.1100.01010060⨯+⨯=个， 则非大果数量为1006040-=个，未采用实验方案大果的数量为()50.0400.02010030⨯+⨯=个， 则非大果数量为1003070-=个， 列联表如下：22006070304020010.8281001009011011K ⨯-⨯==⨯⨯⨯＞，所以有99.9%的把握认为两者有关； （2）由题中数据，23.50.128.50.233.50.438.50.243.50.133.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 则33.5μ=，则()()0.9970.683395030.157P X P X μσμσ-=++==＜＜＜＜.三、实战练习1．（2022·定远县育才学校高三开学考试（文））微信是腾讯公司推出的一种手机通信软件，它支持发送语音短信､视频､图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人.为了调查微信用户每天使用微信的时间，某经销化妆品的店家在一广场随机采访男性､女性用户各50名，将男性､女性平均每天使用微信的时间（单位：h ）分成5组：(0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图估计女性平均每天使用微信的时间；（2）若每天玩微信超过4h 的用户称为“微信控”，否则称为“非微信控”，判断是否有90%的把握认为“微信控”与性别有关. 附表：（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】（1）4.76()h ；（2）有90%的把握认为“微信控”与性别有关. 【分析】（1）用每个小矩形的面积乘以对应小矩形底边的中点，然后求和即可得到答案；（2）先通过频率分布直方图面积为1求出a ，进而根据参考公式求出K 2，然后将数据进行对比即可得到答案. 【详解】（1）由女性的频率分布直方图，可知女性用户平均每天使用微信的时间为0.1610.2430.2850.2070.129 4.76()h ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）由男性的频率分布直方图，可得2(0.040.1420.12)1a +++⨯=，解得0.08a =.由两个频率分布直方图，可得22⨯列联表如下：2K的观测值2100(38203012)2.941 2.70650506832k⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有90%的把握认为“微信控”与性别有关.2．（2022·河北唐山·高三开学考试）数字人民币是由央行发行的法定数字货币，它由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价.截至2022年6月30日，数字人民币试点场景已超132万个，覆盖生活缴费､餐饮服务､交通出行､购物消费､政务服务等领域.为了进一步了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况，某机构进行了-次问卷调查，部分结果如下：（1）如果将高中及高中以下的学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成下面的22⨯列联表；（2）若从低学历的被调查者中，按对数字人民币的了解程度用分层抽样的方法抽取8人，然后从这8人中抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率；（3）根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？ 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）列联表答案见解析；（2）914；（3）没有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关. 【分析】（1）根据题中所给数据完成22⨯列联表即可；（2）根据分层抽样分别求出不了解数字人民币和了解数字人民币的人数，再根据古典概型公式即可得解； （3）根据公式求出2K ，在参照临界值表即可得出结论. 【详解】解：（1）22⨯列联表如下：（2）从低学历被调查者中按对数字人民币的了解程度用分层抽样的方法抽取8人，抽取的8人中，不了解数字人民币的有81503400⨯=人， 了解数字人民币的有82505400⨯=人， 从这8人中抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率2528C 91C 14P =-=.（3）根据列联表得()22800125250150275800 3.463 3.841275525400400231K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯.故没有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关.3．（2022·广东实验中学高三月考）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把捏认为潜伏期与息者年龄有关；（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）．．．．．．．．．．．是多少？ 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）5.4天；（2）列联表见解析，没有95%的把捏认为潜伏期与息者年龄有关.（3）潜伏期超过6天最有可能．．．．是8人.【分析】（1）根据频率直方表求平均值即可.（2）由题设写出列联表，根据卡方检验公式计算卡方值，比照参考值即可知是否有95%的把捏认为潜伏期与息者年龄有关；（3）由题意知潜伏期超过6天的人数2(20,)5X B ，则202032()()()55k k kP X k C -==，应用不等法求最大概率时的k 值即可. 【详解】（1）10.08530.20550.3170.2590.13110.015130.005x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 5.4=天.（2）由题设知：[0,6]的频率为0.6，(6,14]的频率为0.4，故200人中潜伏期在[0,6]上有120人，在(6,14]上有80人. 列联表如下：∴22200(65453555) 2.083 3.84110010012080K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，故没有95%的把捏认为潜伏期与息者年龄有关.（3）由患者潜伏期超过6天发生的概率400210005=， 设潜伏期超过6天的人数为X ，则2(20,)5XB ，∴202032()()()55k k kP X k C -==且020k ≤≤，*k N ∈，由题意，()(1)()(1)P X k P X k P X k P X k =≥=+⎧⎨=≥=-⎩，即2019112020202111202032325555{32325555k k k k k k k k k k k k C C C C --++----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得3(1)2(20)2(21)3k k k k +≥-⎧⎨-≥⎩，解得374255k ≤≤， ∴8k ，即潜伏期超过6天最有可能．．．．是8人. 4．（2022·黑龙江高三其他模拟（文））据有关部门统计，2021年本科生的平均签约薪酬为每月4300元.2021年某高校毕业生就业指导中心为了分析本校本科毕业生的专业课成绩优秀与否与本科毕业生就业后获得薪酬的关系，随机调查了从学校毕业的200名本科毕业学进行研究.研究结果表明：在专业课成绩优秀的120名本科毕业生中有90人每月工资超过人民币4300元，另30人每月工资低于人民币4300元；在专业课成绩不优秀的80名本科毕业生中有20人每月工资超过人民币4300元，另60人每月工资低于人民币4300元. （1）试根据上述数据完成22⨯列联表；（2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“该高校本科毕业生的专业课成绩优秀”与“每月工资超过当年本科生的平均签约薪酬”有关系？参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）列联表见解析；（2）能. 【分析】（1）根据题目已知数据完成22⨯列联表；（2）计算2K，根据临界值表判断即可【详解】（1）22⨯列联表如下：（2）因为()22009060302016004810.828 120801109033K⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯.所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“该校毕业生的专业课成绩优秀”与“每月工资超过当年本科生的平均签约薪酬”有关系.【点睛】方法点睛：本题考查22⨯联表判断相关性，独立性检验的一般步骤：第一步，提出假设0H：两个分类变量A和B没有关系；第二步，根据22⨯列联表和公式计算2K统计量；第三步，查对课本中临界值表，作出判断。
高中数学选修课件第三章§独立性检验
针对性解决策略和建议
深入理解独立性概念
明确事件独立与随机变量独立的区别，熟练掌握 相关公式和定理的适用条件。
正确选择统计性检验。
ABCD
重视样本容量的选择
在进行独立性检验时，应根据实际情况选择合适 的样本容量，以保证结果的准确性。
明确显著性水平的意义
结果分析与讨论
结果描述
详细阐述检验结果，包 括统计量、显著性水平
等信息。
结果解释
结合研究问题和假设， 对检验结果进行合理解
释。
结果比较
将本研究结果与已有研 究进行比较，分析异同
点。
结果推广与应用
探讨本研究结果的推广 价值和应用前景。
06
独立性检验常见问题及解决方法
常见错误类型及原因剖析
错误理解独立性概念
在判断两个分类变量是否独立时，需 要结合实际情况和专业知识进行综合 判断，避免盲目依赖统计结果。
在计算卡方统计量时，需要注意期望 频数的计算方法，避免出现计算错误 。
需要注意独立性检验只能判断两个分 类变量之间是否存在关联，但不能确 定它们之间的因果关系。
03
独立性检验在统计学中应用
统计分析中作用
实际操作流程演示
确定研究问题和假设
明确研究目的，提出假设并确定检验标准 。
结果解释与报告
对检验结果进行解释，得出结论并撰写报 告。
收集数据
根据研究问题和假设，选择合适的方法收 集数据。
进行独立性检验
根据所选用的检验方法，对数据进行计算 和分析。
数据整理与预处理
对收集到的数据进行整理、清洗和转换， 以便于后续分析。
独立性检验可以帮助我们更好 地理解概率论中的基本概念， 如条件概率、联合概率等。
高中数学选修课件第一章：独立性检验
注意事项与误区提示
在进行独立性检验前，需要确保样本 的随机性和代表性，以避免因样本偏 差导致结果失真。
需要注意的是，独立性检验只能判断 两个变量之间是否存在统计上的独立 性，并不能说明它们之间是否存在因 果关系或其他形式的关联。
在解读结果时，需要注意概率值（p 值）或临界值表的具体含义和适用条 件，避免误用或滥用。
高中数学选修课件第一 章：独立性检验
汇报人：XX 20XX-01-30
contents
目录
• 独立性检验基本概念 • 独立性检验基本思想解读 • 独立性检验方法介绍及应用场景分析 • 独立性检验结果解读与注意事项 • 独立性检验在统计学中地位和作用 • 高中数学选修课程中其他相关知识点回
顾与拓展
01
在实际应用中，还需要结合其他统计 方法和专业知识进行综合分析和判断 。
05
独立性检验在统计学中地位和作用
独立性检验在统计学中地位
独立性检验是统计学 中一种重要的假设检 验方法。
在数据分析、市场调 研、医学研究等领域 具有广泛应用。
它用于判断两个或多 个分类变量之间是否 相互独立。
独立性检验对后续统计分析影响
高中数学选修课程中其他相关知识点梳理
排列组合与二项式定理
回顾排列组合的基本概念、计算公式及应用，掌握二项式定理的展开式及通项公式的应 用。
概率与统计的综合应用
梳理概率与统计在高中数学选修课程中的综合应用，如概率与统计在解决实际问题中的 结合，以及概率与统计在其他数学知识点中的交叉应用等。
数学建模与数学探究
独立性检验的基本思想
通过抽样调查获取数据，根据样本数据来判断两个分类变量 是否独立。
独立性检验的方法
通常采用列联表的形式整理数据，然后计算相关统计量的值 （如χ²值），并根据统计量的值及给定的显著性水平作出判 断。
高考数学一轮复习 9.5 回归分析与独立性检验精品课件 文 新人教A版
≈ 0 .999
(518 -1× 6 2 202 0 )0 5 (54.4 5 -17 × 2 72 .6 2 2)
查得r0.05=0.576,
因r＞r0.05,说明变量Y与x之间具有线性相关关系.
.
12
返回目录
(2) b=15812-8 19-1 × 6 242× 203 20×07 05 2.6 2 5≈0.304
.
4
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1.随机误差
由于所有的样本点不共线，而只是散布在某一条直
线的附近，实际上，y=bx+a+e,e是y与 =y ˆbx+a之间
的误差.通常e为随机变量，称为随机误差，它的均值
E(e)=0,方差D（e）=σ2>0.这样线性回归模型的完整表
达式为
{ y=bx+a+e E(e)=0,D(e)=σ2 .
1 32.2 25.0
2 31.1 30.0
3 32.9 34.0
4
5
35.8 37.1
37.0 39.0
第几年 城市居民年收入（亿元） 某商品销售额（万元）
6 38.0 41.0
7 39.0 42.0
8 43.0 44.0
9 10 44.6 46.0 48.0 51.0
.
14
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(1)画出散点图; (2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线附近， 求Y与x之间的回归直线方程.
X 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 Y 56.9 58.3 61.6 64.6 68.1 71.3 74.1 77.4 80.2 82.6 86.4 89.7
.
南方新课堂广东高考数学理科一轮总复习配套课件16.3回归分析与独立性检验
回归分析与独立性检验
考纲要求 1.会作两个有关联变量数据的散点图，会利用 散点图认识变量间的相关关系. 2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性 回归方程系数公式建立线性回归方程. 3.了解下列一些常见的统计方法，并能应用这 些方法解决一些实际问题. (1)了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基 本思想、方法及其简单应用. (2)了解假设检验的基本思想、方法及其简单 应用. (3)了解回归的基本思想、方法及其简单应用.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一种非确定性关系.
(2)将样本中 n 个数据点(xi，yi)(i＝1,2，„，n)描在平面直 角坐标系中，表示两个变量关系的一组数据的图形叫做散点图.
(3)正相关、负相关： 左下角 到__________ 右上角 的区 ①在散点图中，点散布在从__________ 域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. 左上角 到__________ 右下角 的区 ②在散点图中，点散布在从__________ 域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关.
3.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运
动，得到如下的列联表： 男 爱好
不爱好 总计 40 20 60
女
20 30 50
总计
60 50 110
2 n ad － bc 由 K2＝ 算得， a＋bc＋da＋cb＋d 2 110 × 40 × 30 － 20 × 20 K2＝ ≈7.8. 60×50×60×50
报变量变化的贡献率，R2 越接近于 1，表示回归的效果越好.
3.独立性检验 (1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类 别，像这类变量称为分类变量. 频数表 ，称为列联表. (2)列联表：列出两个分类变量的__________ 假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的可能取值分别为{x1，x2} 和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)：
2013年数学高考总复习重点精品课件：独立性检验的基本思想及其初步应用新课标人教A版课件
且P(K2≥7.879)≈0.005即我们得到的K2的观测值k≈8.106超过 7.879，这就意味着：“喜欢体育还是文娱与性别没有关系”这
一结论成立的可能性小于0.005，即在犯错误的概率不超过
0.005的前提下认为“喜欢体育还是喜欢文娱与性别有关”．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
规律方法 (1)利用 K2＝a＋bnc＋add－ab＋cc2b＋d求出 K2 的 观测值 k 的值．再利用临界值的大小来判断假设是否成立． (2)解题时应注意准确代数与计算，不可错用公式，准确进行 比较与判断．
活页规范训练
3．两个分类变量相关性检验方法 利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，能较精 确地给出这种判断的可靠程度，具体的做法是：①根据实 际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误 概率的上界α，然后查表确定临界值k0.②计算随机变量K2 的观测值k.③如果k≥k0，就推断“X与Y”有关系，这种推断 犯错误的概率不超过α，否则就认为在犯错误的概率不超 过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中 没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．
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的程度约为99%，即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可
信程度约为99%.
(2)在实际问题中要记住以下几个常用值：
①k＞6.635有99%的把握认为“X与Y有关系”；
②k＞3.841有95%的把握认为“X与Y有关系”；
③k＞2.706有90%的把握认为“X与Y有关系”；
④k≤2.706就认为没有充分证据显示“X与Y有关系”．
(3)反证法原理与独立性检验原理的比较
反证法原理：在假设H0下，如果推出一个矛盾，就证明了H0 不成立．
2025数学大一轮复习讲义苏教版 第九章 线性回归分析、独立性检验
根据散点的集中程度可知，花瓣长度和 花萼长度有相关性，故A错误； 散点的分布是从左下到右上，从而花瓣 长度和花萼长度呈正相关，故B错误， C正确； 由于r＝0.824 5是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能 变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是0.824 5，故D错误.
n
xiyi－n x y
i＝1
2.求b^ 时，常用公式b^ ＝
.
n
x2i －n x 2
i＝1
3.回归分析和独立性检验都是基于样本观测数据进行估计或推断，得出
的结论都可能犯错误.
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段.( √ )
跟踪训练1 (1)(2023·保定模拟)已知两个变量x和y之间有线性相关关系， 经调查得到样本数据如表所示：
x3 4 5 6 7 y 3.5 2.4 1.1 －0.2 －1.3
根据表格中的数据求得线性回归方程为y^＝b^ x＋a^ ，则下列说法中正确的是
a^ >0，b^ >0
√B.a^ >0，b^<0
8
(xi－ x )(yi－ y )＝16＋12＋5＋0＋0＋3＋6＋27＝69，
i＝1
x3 3 4 5 5 6 6 8
y 10 12 13 18 19 21 24 27
8
(xi－ x )2＝4＋4＋1＋0＋0＋1＋1＋9＝20，
i＝1
8
(yi－ y )2＝64＋36＋25＋0＋1＋9＋36＋81＝252，
若由表中数据得到线性回归方程为y^＝0.8x＋a^ ，则当 x＝10 时的残差为 __－__0_.1___(注：实际观测值减去预测值称为残差).
(江西专用)高考数学一轮复习 10.4 回归分析与独立性检验课件 文 新人教A版
若有资料知y对x呈线性相关关系. 试求:(1)线性回归方程y=bx+a的回归系数a,b; (2)估计使用年限为10年时,维修费用是多少? 【分析】求回归直线方程的计算量较大,需要细心、谨慎地 计算.可以通过列表,计算出 后将这些量代入公式 xiyi, x , , x y
§10.4 回归分析与独立性检验
知识诠释
思维发散
一、变量间的相关关系
常见的两变量之间的关系有两类:一类是函数关系,另一类是 相关关系;与函数关系不同,相关关系是一种非确定性关系.
二、两个变量的线性相关
1.从散点图上看,如果这些点从整体上看大致分布在一条直 线附近,称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做 回归直线. 2.从散点图上看,点分布在从左下角到右上角的区域内,两个 变量的这种相关关系称为正相关;点分布在左上角到右下角 的区域内,两个变量的相关关系称为负相关. 3.回归直线方程为y=bx+a,
.
i 1 n i 1 2 i
xi yi n x y x nx
2
n
(D)直线y=bx+a和各点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的偏差 [yi-(bxi i 1
n
+a)] 是该坐标平面上所有的直线与这些点的偏差中最小的
2
直线.
(2)如果χ 的观测值为7.012,那么可以认为“x和y无关”的可 信度为 ( (A)95%. ) (B)5%. (C)99%. (D)1%.
2
系数”,“χ ”等.
2
变式训练1 (1)有一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)得到直 线方程y=bx+x,那么下列说法不正确的是 (