随机振动理论在工程中的应用

目录

1 随机振动介绍 (1)

1.1 随机振动发展历程 (1)

1.2 随机振动基本理论及一些计算方法 (1)

1.2.1 线性随机振动 (1)

1.2.2 非线性随机振动 (2)

1.3 随机振动理论在工程中的应用 (3)

1.4 随机振动理论展望 (4)

2 应用分析实例 (5)

2.1 桥梁抗震分析 (5)

2.1.1 桥梁结构介绍 (5)

2.1.2 桥梁模态及地震反应谱分析 (6)

2.1.3 桥梁地震作用时程分析 (12)

2.2 海洋平台在波浪载荷作用下随机振动分析 (13)

2.2.1 海洋平台结构介绍 (13)

2.2.1 海洋平台结构模态分析 (14)

2.2.3 海浪作用下结构随机振动分析 (18)

【概述】本文简述了有关随机振动的发展历程、基本理论和相关计算方法，并介绍了该领域的研究动态和热点。同时，本文亦阐述了随机振动理论在工程中的实际应用，并介绍了某桥梁在小地震作用下及海洋平台在波浪作用下的分析计算实例。

1 随机振动介绍

1.1 随机振动发展历程

振动现象可分为两大类：一类称为确定性振动，另一类称为随机振动。

所谓确定性振动就是指那些运动时间历程可以用确定性函数来描述的振动，如单自由度无阻尼线性系统的自由振动。随机振动则与之大大不同了，它是无规则，杂乱无章的振动。

随机振动作为力学的一个分支，主要研究动力学系统在随机性激励（包括外激和参激）下的响应特性。从1905年爱因斯坦研究布朗运动，人们开始了对随机振动的研究。现在所说的随机振动始于20世纪50年代中期，当时由于火箭和喷气技术的发展，在航空航天工程中提出了3个问题：大气湍流引起的飞机抖振（气流分离或湍流激起结构或部分结构的不规则振动）；喷气噪声引起的飞行器表面结构的声疲劳；火箭运载工具中的有效负载的可靠性。以上问题的共同特点是激励的随机性。为了解决这些问题，把统计力学、通讯噪声及湍流理论中当时已有的方法移植到机械振动中来，随机振动也由此形成了一门学科。

1.2 随机振动基本理论及一些计算方法

表述一个随机振动比表述一个正弦振动要复杂。表述一个正弦振动用频率和振幅或加速度就可以了。而随机振动没有固定的周期，它包含的的频率成分是连续的而不像周期振动那样离散的，所以振幅或加速度要用随频率的变化曲线来表示，这个曲线叫频谱曲线。

随机振动有线性与非线性之分。

1.2.1 线性随机振动

对于线性系统随机振动的研究，理论上已经比较成熟。随机响应的精确高效求解方法是目前研究的热点问题之一，常规的求解方法有传统CQC（complete quadratic combination）方法和传统SRSS（square root of the sum of squares）方法。前一种方法是精确的，但是效率很低，甚至导致不可行；后一种方法效率有所提高，但是精度却有很大牺牲。正是由于这些不足，近年来大连理工大学林家浩教授提出并发展了的虚拟激励法（快速CQC算法），不仅提高了计算效率，而且精度也可以得到保证。

现简要介绍一下虚拟激励法和精细积分法。

（一）虚拟激励法

虚拟激励法的思想是，将一个包含随机载荷功率谱信息的虚拟载荷加到原系统上

算虚拟响应模的平方值可得到响应的功率谱密度。

这是虚拟激励法的最基本原理，即由随机激励的自谱密度直接得到响应谱密度。

对于受多点载荷的系统，传统方法需要求出单个激励对应的频率响应函数，并求出各个载荷对响应功率谱的贡献（根据方法不同，考虑是否包括载荷间的相互影响），并对各个贡献求和得到最终的响应功率谱。而虚拟激励法将包含了载荷功率谱信息的所有虚拟激励一次带入系统动力方程，相当于用一个与之对应的频率响应函数求出了虚拟响应，进而求出响应功率谱。整个过程没有近似与省略，结果是确定性和解析的，并且提高了计算的效率。

（二）精细积分法

一个动力学系统，总可以描述成微分方程的形式，首先，求得齐次方程的解，要尽可能精确的在数值上计算出所出现的指数矩阵。问题就归结到矩阵的计算；只要很精细的算出了矩阵，即可计算出时程积分。

上述计算过程特点是将注意力放在增量上，而不是全量上。其次，求解中考虑外力的非线性方程。由外力引起的响应可以由杜哈梅尔（Duhamel）积分求出。

虚拟激励法和精细积分法结合之后解决了许多以前无法解决的复杂外载荷问题，已可以在微机上精确求解大型结构的多点非平稳激励问题，非均匀调制演变随机激励问题。根据两种方法的特点，可以设计并行计算方法，使计算效率进一步提高。

对于线性随机振动，经过总结分析可以发现，近年来学者们进行的主要工作是算法及其应用研究，以及大型或（和）复杂工程问题的分析，如林家浩教授提出虚拟激励法的工程应用仍然是被关注的热点问题之一，再比如，如何把虚拟激励法向包括隧道、大坝、高层建筑、飞行器、船舶甚至机电控制等领域拓展，我们还可以利用虚拟激励法进一步考虑多种因素影响下的随机振动。

1.2.2 非线性随机振动

非线性系统的随机振动是科学界研究的热点问题，几乎所有真实的系统都在某种程度上具有非线性特征。工程振动系统的非线性主要来源于非线性恢复力和非线性阻尼等。关于非线性随机振动的主要研究工作始于上世纪60年代，关于非线性随机振动问题的研究，主要体现在随机响应求解方法的研究、随机响应特性的分析和非线性随机控制问题研究。如，随机响应预测、随机稳定性、随机分岔、首次穿越问题和非线性随机控制等。其中，随机响应的预测是最基本的问题，也是最热点的问题。非线性随机动力学的发展已经在物理、化学和生物学等领域产生了重要影响。下面对非线性随机振动的随机响应预测作简单的讨论。

非线性随机响应预测方法众多，有从本质上描述非线性过程的，如扩散过程方法；还有一些线性化的方法，如随机平均方法、统计等价系统方法、多尺度方法、摄动法、级数解法等。有些学者将几类方法综合，也取得了良好效果。

（一）随机平均方法

随机平均法是一类方法的总称，它基于以下物理解释：在结构阻尼比较小，随机激励比较弱的时候，随机响应过程变化比较缓慢，这种缓慢变化的过程反映了系统的渐进行为。现在，随机平均法也被用到了过程变化较快的系统中。主要有两种方法。标准随机平均法：适用于具有线性刚度和非线性阻尼的单自由度和多自由度的阵子在宽带白噪声下的情况。能量包线随机平均法：适用于刚度和阻尼都是非线性的单自由度情况。最