工程力学：第19课_第13章_应力状态分析(1)
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工程力学应力状态分析
H
x y 2
x y 2
cos2
s
x
i
n
2
同理：
H
五、应力圆的应用
§13-2 平面应力状态应力分析
H
H (, )
• 利用应力圆明晰的几何关
系推导并记忆一些基本公
式，避免死记硬背；
o
D H
C 220x
y
F
• 在应用过程中，应当将应 力圆作为思考、分析问题 的工具，而不是计算工具；
y E
(
x
2
y
)2
2
(
x
2
y
)2
x2
—坐标系下的圆方程
圆心坐标：
（ x y ， 0） 2
o
R
半径：
R
(
x 2
y
)2
2 x
(x+ y)/2
结论：平面应力状态下各方向的应力轨迹为一个圆
——应力圆
三、应力圆的绘制
绘制方法1：
§13-2 平面应力状态应力分析
以 （ x y ， 0） 为圆心，
0
当
d d
0
时，正应力有极值。
2
x
y 2
sin2
c
x
o
s
2
0
最大正应力方位角α0：
tan2
0
2 x x
y
max x y
•
3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。08:305.26.202108:305.26.202108:3008:30:575.26.202108:305.26.2021
工程力学：第19课_第13章_应力状态分析(1)
x
F
y
x+y)/2 x-y)/2 x
设x面和y面的应力分别为 D( x , x ), E ( y , y ),
由于 x
y ,
故DE中点坐标
C(
x
2
y
,
0)
为圆心，DE为直径。
29
第十三章 应力状态分析
y
y y
n
x
x x
D
C x
o
y
F
绘图：以ED为直径，C为圆心作圆
y
面应力： 考察D点逆时针转动2α
2
60 cos60
=8.35MPa
还可取何值 150; 30 （x轴向左）
N 180 不改变 25
第十三章 应力状态分析
二、应力圆
一、应力圆
应力转轴公式
x
2
y
x
2
y
cos2
xsin2
x
2
y
sin2
xcos2
在 平面上， , 的轨迹？
应力转轴公式形式变换
x
2
推论：微体互垂截面，对应应力圆同一直径两端 微体平行对边, 对应应力圆同一点
32
第十三章 应力状态分析
几种简单受力状态的应力圆
单向受力状态
x
x
纯剪切受力状态 y
x
E 0,0
o
R=x/2
C
D x ,0
D 0,
R=x
o
双向等拉
C
o
x/2
D 0,
45º方向面上既有正应力又有 45º方向面上只有正应力无剪 剪应力，但正应力不是最大 应力，且正应力最大。 值，剪应力却最大。
工程力学-应力状态与应力状态分析
8 应力状态与应变状态分析1、应力状态的概念，2、平面应力状态下的应力分析，3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。
（1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:321σσσ≥≥最大切应力为132max σστ-=（2）任斜截面上的应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=（3) 主应力的大小22minmax )2(2xyyx yx τσσσσσ+-±+=主平面的方位yx xytg σστα--=2204、主应变122122x y x y xy xyx y()()tg εεεεεεγγϕεε⎡=+±-+⎣=-5、广义胡克定律)]([1z y x x E σσμσε+-=)]([1xzyy Eσσμσε+-=)]([1yxzz Eσσμσε+-=Gzxzxτγ=Gyzyzτγ=，Gxyxyτγ=6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。
”8.1试画出下图8.1(a)所示简支梁A点处的原始单元体。
图8.1[解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。
再取A点偏上和偏下的一对与xz平行的平面。
截取出的单元体如图8.1(d)所示。
(2)分析单元体各面上的应力:A点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A点的坐标x、y代入正应力和切应力公式得A点单元体左右侧面的应力为：zMyIσ=bIQSzz*=τ由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ；前后边面为自由表面，应力为零。
在单元体各面上画上应力，得到A点单元体如图8.1(d)。
工程力学-应力状态
σ 30 100 50 2 100 50 2
sy
n
例1 已知 sx= –100MPa、sy =50MPa 、tx = – 60MPa，a = –30º
cos[2 ( 30)] ( 60)sin[2 ( 30)]
114.5MPa
τ 30
上海应用技术学院
τ T WP
此时不适用基本变形下的强度条件，应同时考虑s 、t 的影响。 又如：受内压容器筒壁
上海应用技术学院
sy
A 筒壁某点A处应力： sx 、sy，为双向受拉状态。 又如：火车车轮与铁轨接触处表层
4
sx
s s
A
s
A点应力：为三向受压状态。 此外：在通过A点不同斜截面上的应力是不同的，将影响到构 件的破坏形式。
s
OC CFcos2 α DFsin2 α σx σy σx σy cos2 α τ x sin2 α σ α 2 2
上海应用技术学院
证明： H点横坐标： OM 纵坐标： MH CD与s 轴夹角为2a0
OM σx σy 2 σx σy 2 cos2 α τ x sin2 α σ α
ty
e
cos2 α τ x sin2 α
b
sy
切线方向上： Σ F 0 τ
τ α d A (σ x d A cos α )sin α ( τ x d A cos α )cos α (σ y d A sin α )cos α ( τ y d A sin α )sin α 0
∴ τ α σ x sin α cos α σ y sin α cos α τ x cos2 α τ y sin 2 α
上海应用技术学院
sy
n
例1 已知 sx= –100MPa、sy =50MPa 、tx = – 60MPa，a = –30º
cos[2 ( 30)] ( 60)sin[2 ( 30)]
114.5MPa
τ 30
上海应用技术学院
τ T WP
此时不适用基本变形下的强度条件，应同时考虑s 、t 的影响。 又如：受内压容器筒壁
上海应用技术学院
sy
A 筒壁某点A处应力： sx 、sy，为双向受拉状态。 又如：火车车轮与铁轨接触处表层
4
sx
s s
A
s
A点应力：为三向受压状态。 此外：在通过A点不同斜截面上的应力是不同的，将影响到构 件的破坏形式。
s
OC CFcos2 α DFsin2 α σx σy σx σy cos2 α τ x sin2 α σ α 2 2
上海应用技术学院
证明： H点横坐标： OM 纵坐标： MH CD与s 轴夹角为2a0
OM σx σy 2 σx σy 2 cos2 α τ x sin2 α σ α
ty
e
cos2 α τ x sin2 α
b
sy
切线方向上： Σ F 0 τ
τ α d A (σ x d A cos α )sin α ( τ x d A cos α )cos α (σ y d A sin α )cos α ( τ y d A sin α )sin α 0
∴ τ α σ x sin α cos α σ y sin α cos α τ x cos2 α τ y sin 2 α
上海应用技术学院
《应力状态分析》课件
意义
揭示了物体在受力状态下 内部应力的分布规律，为 分析强度、刚度和稳定性 问题提供依据。
空间应力状态的分类
单向应力状态
物体只承受单向正应力作 用，即一维应力状态。
二向应力状态
物体承受两个正交方向的 正应力作用，即平面应力 状态。
三向应力状态
物体承受三个正交方向的 的正应力作用，即空间应 力状态。
02 平面应力状态分析
平面应力状态的概念
平面应力状态
在二维平面上，各应力分量均平行于平面，且均沿z轴方向变化的 应力状态。
平面应力状态的特点
各应力分量均平行于平面，且均沿z轴方向变化。
平面应力状态的应用
在工程中，许多问题可以简化为平面应力状态进行分析，如薄板、 薄壳等结构的应力分析。
平面应力状态的分类
数值法
通过有限元、有限差分等方法求解平面应力状态 的应力和应变。
3
实验法
通过实验测试和测量平面应力状态的应力和应变 。
03 空间应力状态分析
空间应力状态的概念
01
02
03
空间应状态
描述物体内部各点应力矢 量在空间位置和方向上的 分布情况。
定义
空间中任意一点处的应力 状态由三个正交的主应力 及相应的主方向组成。
将物体离散化为有限个小的单元，对 每个单元进行受力分析，再通过单元 的集合得到整体的平衡方程，求解得 到各点的应力分量。适用于复杂几何 形状和边界条件的物体。
通过实验测试得到物体的应力应变关 系，从而反推出物体的应力状态。适 用于无法通过理论分析求解的复杂问 题。
05 应变与应力的关系
应变的概念
复杂应力状态的分类
按主应力大小分类
分为三向主应力状态和二向主应力状态。
13应力状态分析ppt课件
第 13 章 应力状态分析
本章主要研究：
应力状态应力分析基本理论 应力、应变间的一般关系 复合材料应力应变关系简介
单辉祖：工程力学
精品课件
1
§1 引言 §2 平面应力状态应力分析 §3 极值应力与主应力 §4 复杂应力状态的最大应力 §5 广义胡克定律 §6 复合材料应力应变关系简介
单辉祖：工程力学
空间应力状态一般形式
单辉祖：工程力学
精品课件
8
§2 平面应力状态应力分析
应力分析的解析法 应力圆 例题
单辉祖：工程力学
精品课件
9
应力分析的解析法
问题
斜截面：// z 轴；方位用 a 表示；应力为 sa , ta
符号规定：
切应力 t － 以企图使微体沿 旋转者为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、 者为正
单辉祖：工程力学 sm11M 5精品P 课件atm35MPa
19
§3 极值应力与主应力
平面应力状态的极值应力 主平面与主应力 纯剪切与扭转破坏 例题
单辉祖：工程力学
精品课件
20
平面应力状态的极值应力
极值应力数值
ssm mainxOCCAsx 2sy sx 2sy2tx2
ttmmainx CK
精品课件
2
§1 引 言
实例 应力状态概念 平面与空间应力状态
单辉祖：工程力学
精品课件
3
实例
微体A
单辉祖：工程力学
精品课件
4
微体abcd
单辉祖：工程力学
精品课件
5
微体A
单辉祖：工程力学
精品课件
6
应力状态概念
应力状态 过构件内一点所作各微截面的应力状况，称为该点 处的应力状态
本章主要研究：
应力状态应力分析基本理论 应力、应变间的一般关系 复合材料应力应变关系简介
单辉祖：工程力学
精品课件
1
§1 引言 §2 平面应力状态应力分析 §3 极值应力与主应力 §4 复杂应力状态的最大应力 §5 广义胡克定律 §6 复合材料应力应变关系简介
单辉祖：工程力学
空间应力状态一般形式
单辉祖：工程力学
精品课件
8
§2 平面应力状态应力分析
应力分析的解析法 应力圆 例题
单辉祖：工程力学
精品课件
9
应力分析的解析法
问题
斜截面：// z 轴；方位用 a 表示；应力为 sa , ta
符号规定：
切应力 t － 以企图使微体沿 旋转者为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、 者为正
单辉祖：工程力学 sm11M 5精品P 课件atm35MPa
19
§3 极值应力与主应力
平面应力状态的极值应力 主平面与主应力 纯剪切与扭转破坏 例题
单辉祖：工程力学
精品课件
20
平面应力状态的极值应力
极值应力数值
ssm mainxOCCAsx 2sy sx 2sy2tx2
ttmmainx CK
精品课件
2
§1 引 言
实例 应力状态概念 平面与空间应力状态
单辉祖：工程力学
精品课件
3
实例
微体A
单辉祖：工程力学
精品课件
4
微体abcd
单辉祖：工程力学
精品课件
5
微体A
单辉祖：工程力学
精品课件
6
应力状态概念
应力状态 过构件内一点所作各微截面的应力状况，称为该点 处的应力状态
工程力学课件 13应力状态
2
i j
0
tg2 0
2 xy
x y
2
±（
x y
2
x y y
2 ） xy 2
x
y O x
0 极值正应力就是主应力 ！
xy
三、主应力大小及方向
(1) i j 0 (2) 0 i j (3) i 0; j 0
第十三章 应力状态分析
§13–1 应力状态的概念
§13–2 平面应力状态分析——解析法
§13–3 平面应力状态分析——图解法 §13–4 空间应力状态简介
§13–5
复杂应力状态下的应力--应变关系（广义虎克定律）
§13–１ 应力状态的概念
一、引言 铸铁与低碳钢的拉、压、扭的破坏原因？ 低 碳 钢 扭 转 铸 铁 拉 伸 P
n y
1 i ; 2 j ; 3 0 1 0; 2 i ; 3 j
1 i ; 2 0; 3 j
2 xy
y
1 0
tg2 0
x y
y O
3
0
x
O
y
xy
x
X 0
1 S cos 0 x S cos o xy S sin 0 0
铸铁
例3 用解析法求斜截面上的应力。
解：
300
x 20MPa xy 0
y 30MPa
30MPa
20MPa
120o
y
O x
x y
x y
2
2 17.5 MPa
cos 2 xy sin2
i j
0
tg2 0
2 xy
x y
2
±（
x y
2
x y y
2 ） xy 2
x
y O x
0 极值正应力就是主应力 ！
xy
三、主应力大小及方向
(1) i j 0 (2) 0 i j (3) i 0; j 0
第十三章 应力状态分析
§13–1 应力状态的概念
§13–2 平面应力状态分析——解析法
§13–3 平面应力状态分析——图解法 §13–4 空间应力状态简介
§13–5
复杂应力状态下的应力--应变关系（广义虎克定律）
§13–１ 应力状态的概念
一、引言 铸铁与低碳钢的拉、压、扭的破坏原因？ 低 碳 钢 扭 转 铸 铁 拉 伸 P
n y
1 i ; 2 j ; 3 0 1 0; 2 i ; 3 j
1 i ; 2 0; 3 j
2 xy
y
1 0
tg2 0
x y
y O
3
0
x
O
y
xy
x
X 0
1 S cos 0 x S cos o xy S sin 0 0
铸铁
例3 用解析法求斜截面上的应力。
解：
300
x 20MPa xy 0
y 30MPa
30MPa
20MPa
120o
y
O x
x y
x y
2
2 17.5 MPa
cos 2 xy sin2
应力状态分析和强度理论
03
弹性极限
材料在弹性范围内所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生弹性变形。
01
屈服点
当物体受到一定的外力作用时，其内部应力状态会发生变化，当达到某一特定应力状态时，材料会发生屈服现象。
02
强度极限
材料所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生断裂。
应力状态对材料强度的影响
形状改变比能准则
04
弹塑性材料的强度分析
屈服条件
屈服条件是描述材料在受力过程中开始进入屈服（即非弹性变形）的应力状态，是材料强度分析的重要依据。
根据不同的材料特性，存在多种屈服条件，如Mohr-Coulomb、Drucker-Prager等。
屈服条件通常以等式或不等式的形式表示，用于确定材料在复杂应力状态下的响应。
最大剪切应力准则
总结词
该准则以形状改变比能作为失效判据，当形状改变比能超过某一极限值时发生失效。
详细描述
形状改变比能准则基于材料在受力过程中吸收能量的能力。当材料在受力过程中吸收的能量超过某一极限值时，材料会发生屈服和塑性变形，导致失效。该准则适用于韧性材料的失效分析，尤其适用于复杂应力状态的失效判断。
高分子材料的强度分析
01
高分子材料的强度分析是工程应用中不可或缺的一环，主要涉及到对高分子材料在不同应力状态下的力学性能进行评估。
02
高分子材料的强度分析通常采用实验方法来获取材料的应力-应变曲线，并根据曲线确定材料的屈服极限、抗拉强度等力学性能指标。
03
高分子材料的强度分析还需要考虑温度、湿度等环境因素的影响，因为高分子材料对环境因素比较敏感。
02
强度理论
总结词
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的主要因素。
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强度条件
y y
y
dx
dy
x
x x
dz x
z
y
13
第十三章 应力状态分析
二、应力和应力状态的基本概念
FS FNx
MZ
横截面上的正应力分布
横截面上的切应力分布
横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一 面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。
14
第十三章 应力状态分析
FP
FP
FP
FP
受力之前,表面的正方形。受拉 后，正方形变成了矩形，直角 没有改变。
10
受内压的圆筒
第十三章 应力状态分析 导轨与滚轮接触处
微体abcd
微体A
11
第十三章 应力状态分析
工字梁
C ,max
d 1
1
a max
C
z
a max
O
max
b 1
1
c
t ,max
b
1
1
d
C ,max
c
y
t ,max
y
a 点处: 纯剪切；c , d 点处: 单向应力；
b 点处: ,联合作用
(1)单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀分布
(2)任意一对平行平面上的应力相等
x
z
y
y dx
y
dy
x x
dz
x
y
研究目的：研究一点处的应力、应变及其关系，目的是为构 件的应力、变形与强度分析，提供更广泛的理论基础。
19
应力状态的分类
三向（空间）应力状态
x
x
z
z
zx
zy
xz
yz
y
xy yx
sin2
x
y
cos 2
2 x
应力转轴公式的适用范围？
x y
cos sin
sin x
cos
y
x y
x y
x0 y0
x, y
y x, y
d x0 , y0
x, y
0 r x2 y2
x
上述关系式是建立在静力平衡基础上，与材料性质无关。也 就是说，它既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向 异性、非线弹性与非弹性问题。
受力之前,表面斜置的正方形受 拉后，正方形变成了菱形。
这表明：拉杆的斜截面上存在剪应力。
F
m
n
m
p
t
cos2
2
sin 2
15
第十三章 应力状态分析
Mx Mx
受扭之前，圆轴表面为正圆。受扭后，变为一斜置椭圆， 长轴方向伸长，短轴方向缩短。这是为什么？
这表明，轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。
如何建立复杂应力状态下（一般 分别满足 ?
情况下）的强度条件 ？
实验（工作量与难度） ?
12
第十三章 应力状态分析
如何建立复杂应力状态强度条件？
材料物质点应力状况（应力状态）
材料失效机理（强度理论）
•应力状态
通过构件内一点，所作各微截面的应 力状况，称为该点处的应力状态
•应变状态
构件内一点在各个不同方位的应变状 况，称为该点处的应变状态
F SS z,max
I z
max
[
]
单向受力状态、纯剪切建立强度条件的依据？
8
第十三章 应力状态分析
低碳钢和铸铁的拉伸与扭转实验:
拉伸实验
x
x
单向受力状态
低碳钢
铸铁
扭转实验 y x
纯剪切受力状态
由对应实验确定强度指标
9
螺旋桨轴
第十三章 应力状态分析
A
F
F
M
微体A
分别采用拉伸强度条件、扭转强度条件，还是其它强度条件？
y
第十三章 应力状态分析
平面（二向）应力状态
yy yx yx xy x
xy
x
20
y 单向应力状态
第十三章 应力状态分析
纯剪应力状态
x x
y
yx
xy
x
三 向 应 力 状 态 特例
平
面
单向应力状态
应
力
状 态
特例
纯剪应力状态
21
第十三章 应力状态分析
§13-2 平面应力状态应力分析
y
y dx
受力构件内一点在不同方向面上应力的集合，称为该点的应力状态。
m
n
F
F
o
m
拉(压)：
p p
cos sin
F cos cos cos2 A
F cos sin sin 2
A
2
拉(压)扭：
？ ？
18
应力状态的概念和研究方法
第十三章 应力状态分析
研究方法：围绕所研究点取无限小微六面体为研究对象
x x
y x
2
2
y sin 2 2
y x
cos 2 cos 2
x
sin
2
23
第十三章 应力状态分析
平面应力状态下斜截面上的应力公式（应力转轴公式）
x x
y
2
y
2
x sin2
2
y cos2 xcos2
xsin2
应力转轴公式的意义？
x
2 0
y
cos2 sin2
24
第十三章 应力状态分析
例: 求图示 ，
已知 x 80 MPa y 30 MPa x 60 MPa 210
60
80
解：
x
2
y
x
2
y
cos2
xsin2
30
单位：MPa
80 30
2
80 30 cos60
2
(-60)sin60
104.46MPa
x
2
y
sin2
xcos2
80 30 sin60
符号规定：—拉伸为正； —使微体顺时针转动为正 —以x轴为始边，逆时针转向为正
Fn 0 dA xdAcos sin xdAcos cos
ydAsin cos ydAsin sin 0
Ft 0 dA xdAcos cos xdAcos sin
ydAsin sin ydAsin cos 0
什么是平面应力状态？
y
dy
微体有一对平行表面不受力的应力状态。
x
x x
由此推断：
dz
x 微体仅有四个面作用有应力；
z
y
y
应力作用线均平行于不受力表面；
平面应力状态的应力分析
问题：已知x , y, x , y, 求任
意平行于z轴的斜截面上的应力？
dz
x
z 22
第十三章 应力状态分析
一、应力分析的解析法：微体中分离体的平衡。
第十三章 应力状态分析
§13-1 应力状态概述 一、杆、轴、梁强度条件回顾
强度条件：保证结构或构件不致因强度不够而破坏的条件。
拉压杆强度条件：
max＝
FN A
max
圆轴强度条件：
max
T Wp
max
x
x
单向受力状态
y x
纯剪切受力状态
梁的强度条件：
max
M Wz
max
[ ]
max
45
45
等价
45
45
16
根据微元的局部平衡
y'
x
x'
第十三章 应力状态分析
x x
拉中有剪
x
y'
y
x'
x
x
x
x x
剪中有拉
y
微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力 也是各不相同的，此即应力的面的概念（多面性）。
17
应力状态的概念和研究方法
第十三章 应力状态分析
应力 指 明
哪一个横截面上,哪一点？ 哪一点,哪个方向面？
2
60 cos60
=8.35MPa
还可取何值 150; 30 （x轴向左）
N 180 不改变 25